File size: 11,898 Bytes
119d12f | 1 2 3 4 5 6 7 | {"year": "2015", "problem_label": "1", "tier": 1, "problem": "Soit $A B C$ un triangle isocèle en $A$, dont l'angle en $A$ n'est pas droit. Soit $D$ le point de $(B C)$ tel que $(A D) \\perp(A B)$. Soit $E$ le projeté orthogonal de $D$ sur $(A C)$. Soit enfin $H$ le milieu de $[B C]$. Montrer que $A H=H E$.", "solution": "\n\nTout d'abord, comme les angles $\\widehat{A H D}$ et $\\widehat{A E D}$ sont droits, les points $A, H, E, D$ sont sur le cercle de diamètre $[A D]$.\nNotons $\\theta=\\widehat{C B A}=\\widehat{A C B}$. Comme $A H C$ est rectangle en $H, \\widehat{H A C}=90^{\\circ}-\\theta$. Comme $B A D$ est rectangle en $A, \\widehat{A D B}=90^{\\circ}-\\theta$, et donc $\\widehat{A D H}=\\widehat{H A E}$.\nPar cocyclicité de $A, H, E, D$, les angles $\\widehat{A D H}$ et $\\widehat{A E H}$ sont égaux ou supplémentaires, donc $\\widehat{H A E}=\\widehat{A E H}$ ou $\\widehat{H A E}+\\widehat{A E H}=180^{\\circ}$.\nLe deuxième cas ne peut pas se produire car la somme des angles du triangle $A E H$ vaut $180^{\\circ}$, donc on a $\\widehat{H A E}=\\widehat{A E H}$. On en déduit que $H A E$ est isocèle en $H$, d'où $H A=H E$.\nAutre approche avec les angles de droites. On sait que si $T$ est une tangente en un point $A$ à un cercle $(C)$ et si $B$ et $M$ sont deux autres points de $(C)$, alors $(T, A B)=(M A, M B)$.\nDans l'exercice, comme $(A B)$ est perpendiculaire au diamètre $(A D)$, elle est tangente au cercle donc d'après ce qui précède on a $(A B, A H)=(E A, E H)$. Or, comme $A B C$ est isocèle on a $(A B, A H)=(A H, A C)$ donc $(A H, A E)=(A H, A C)=(A B, A H)=(E A, E H)$. On en conclut que $H A E$ est isocèle en $H$, d'où $H A=H E$.", "problem_match": "\nExercice 1.", "solution_match": "## Solution de l'exercice 1"}
{"year": "2015", "problem_label": "2", "tier": 1, "problem": "Trouver tous les entiers $m \\geqslant 1$ et $n \\geqslant 1$ tels que $\\frac{5^{m}+2^{n+1}}{5^{m}-2^{n+1}}$ soit le carré d'un entier.", "solution": "La démonstration qui suit est valable pour $m, n \\in \\mathbb{N}$.\nDéjà, $5^{m}-2^{n+1}$ doit diviser $5^{m}+2^{n+1}$, donc divise $5^{m}+2^{n+1}-\\left(5^{m}-2^{n+1}\\right)=2^{n+2}$, par conséquent c'est une puissance de 2 . Or, $5^{m}-2^{n+1}$ est impair, donc $5^{m}-2^{n+1}=1$.\nEcrivons $5^{m}+2^{n+1}=a^{2}$. On a donc $(a-1)(a+1)=a^{2}-1=5^{m}+2^{n+1}-5^{m}+2^{n+1}=2^{n+2}$, donc $a-1$ et $a+1$ sont des puissances de 2 .\nEcrivons $a-1=2^{c}$ et $a+1=2^{d}$ avec $c+d=n+2$. Alors $c<d$ donc $a-1=2^{c}$ divise $2^{d}-2^{c}=(a+1)-(a-1)=2$, donc $a-1=1$ ou $a-1=2$.\nSi $a=2$ alors $2^{d}=a+1=3$, ce qui est impossible.\nOn en déduit que $a=3, c=1, d=2$ et $n+2=3$, ce qui donne $n=1$ et $5^{m}=1+2^{n+1}=5$, puis $m=1$.\nFinalement, $m=n=1$.", "problem_match": "\nExercice 2.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"}
{"year": "2015", "problem_label": "3", "tier": 1, "problem": "On considère 7 îles $A_{1}, \\ldots, A_{7}$. On est autorisé à construire des ponts, soit entre une île $A_{i}$ et l'île suivante $A_{i+1}$ (pour $i \\in\\{1,2, \\ldots, 6\\}$ ), soit entre une île $A_{i}$ et la dernière $A_{7}$ (pour $i \\in\\{1,2, \\ldots, 6\\}$ ). De combien de manières peut-on réaliser ces constructions avec le moins de ponts possibles de sorte que l'on puisse se rendre d'une île vers n'importe quelle autre ?\n\nExemple pour 3 îles au lieu de 7 : les trois constructions possibles utilisant deux ponts sont 1) un pont entre $A_{1}$ et $A_{2}$, et un pont entre $A_{1}$ et $A_{3}$\n2) un pont entre $A_{1}$ et $A_{2}$, et un pont entre $A_{2}$ et $A_{3}$\n3) un pont entre $A_{1}$ et $A_{3}$, et un pont entre $A_{2}$ et $A_{3}$.", "solution": "On dira qu'une configuration est bonne si elle satisfait les conditions de l'énoncé.\nNotons $a_{n}$ le nombre de bonnes configurations avec $n$ îles. On a $a_{1}=a_{2}=1$ et $a_{3}=3$.\nPartant d'une bonne configuration avec $n$ îles telle que $A_{n-1}$ et $A_{n}$ ne soient pas reliées, alors $A_{n-1}$ et $A_{n-2}$ sont nécessairement reliées, donc si on supprime l'île $A_{n-1}$ on obtient une bonne configuration avec $n-1$ îles. Réciproquement, toute bonne configuration avec $n-1$ îles provient d'une et une seule bonne configuration avec $n$ îles dont les deux dernières ne sont pas reliées : il suffit en effet d'intercaler une île entre les deux dernières et de mettre un pont entre celle-ci et la $n$ - 2-ième.\nOn en déduit qu'il y a $a_{n-1}$ bonnes configurations avec $n$ îles telles que $A_{n-1}$ et $A_{n}$ ne soient pas reliées.\nD'autre part, partant d'une bonne configuration avec des ponts entre $A_{n}$ et $A_{n-1}, A_{n-1}$ et $A_{n-2}, \\ldots$, $A_{n-k+1}$ et $A_{n-k}(k \\geqslant 1)$ mais pas entre $A_{n-k}$ et $A_{n_{k}-1}$, si on supprime les îles $A_{n-1}, \\ldots, A_{n-k}$ alors on obtient une bonne configuration avec $n-k$ îles. On en déduit comme ci-dessus qu'il y a $a_{n-1}+a_{n-2}+\\cdots+a_{1}$ bonnes configurations comportant un pont entre $A_{n}$ et $A_{n-1}$.\nOn voit donc que $a_{n}=2 a_{n-1}+a_{n-2}+\\cdots+a_{1}$.\nOn en déduit de proche en proche que $a_{4}=8, a_{5}=21, a_{6}=55$ et $a_{7}=144$.", "problem_match": "\nExercice 3.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"}
{"year": "2015", "problem_label": "4", "tier": 1, "problem": "Déterminer toutes les fonctions $f$ de $\\mathbb{R}$ dans $\\mathbb{R}$ telles que, pour tous $x$ et $y$ réels, on ait l'égalité\n\n$$\nf(x+y)=f(x-y)+f(f(1-x y))\n$$", "solution": "Pour $y=0$ on trouve que $f(x)=f(x)+f(f(1))$ donc $f(f(1))=0$. Pour $x=0$ on trouve $f(y)=f(-y)+f(f(1))$ donc $f(y)=f(-y)$ pour tout $y$.\nPour $y=1$ on obtient $f(x+1)=f(x-1)+f(f(1-x))$. En remplaçant $x$ par $-x+2$, il vient $f(-x+3)=f(-x+1)+f(f(x-1))$.\n\nOr, $f(x-1)=f(1-x)$ donc $f(f(1-x))=f(f(x-1))$. Par conséquent, $f(x+1)=f(x-1)+$ $f(-x+3)-f(-x+1)=f(x-3)$ puisque $f(-t)=f(t)$ pour tout $t$.\nOn en déduit, en remplaçant $x$ par $x+1$, que $f(x+2)=f(x-2)$ pour tout $x$.\nPrenons $y=2$ dans l'équation fonctionnelle. On a $f(x+2)=f(x-2)+f(f(1-2 x))$, donc $f(f(1-2 x))=0$ pour tout $x$. En remplaçant $x$ par $(1-t) / 2$, on trouve que $f(f(t))=0$ pour tout $r$.\nOn revient à l'équation fonctionnelle : $f(x+y)=f(x-y)+f(f(1-x y))$, donc $f(x+y)=f(x-y)$ pour tous $x$ et $y$. On prend $x=y=t / 2$ : il vient $f(t)=f(0)$, donc $f$ est constante. Comme $f(f(1))=0$, cette constante est nulle, et finalement $f(x)=0$ pour tout $x$.", "problem_match": "\nExercice 4.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 4"}
{"year": "2015", "problem_label": "5", "tier": 1, "problem": "a) Trouver tous les entiers $m \\geqslant 1$ et $n \\geqslant 1$ tels que $\\frac{5^{m}+2^{n+1}}{5^{m}-2^{n+1}}$ soit le carré d'un entier.\nb) Plus généralement, trouver tous les entiers $m \\geqslant 1$ et $n \\geqslant 1$, ainsi que les nombres premiers $p$, tels que $\\frac{5^{m}+2^{n} p}{5^{m}-2^{n} p}$ soit le carré d'un entier.", "solution": "a) Voir exercice 2 ci-dessus.\nb) Supposons que $p=5$. Alors $\\frac{5^{m-1}+2^{n}}{5^{m-1}-2^{n}}$ est le carré d'un entier. D'après la partie a) (qui marchait aussi dans le cas d'entiers $\\geqslant 0$, on a $m=n=2$.\nSupposons enfin $p \\neq 2$ et $p \\neq 5$. Soit $d$ le PGCD de $5^{m}+2^{n} p$ et de $5^{m}-2^{n} p$. Alors $d$ divise $5^{m}+2^{n} p+5^{m}-2^{n} p=2 \\times 5^{m}$. Comme $d$ est le PGCD de deux nombres impairs, il est impair, doncil divise $5^{m}$.\nDe plus, $d$ divise $5^{m}+2^{n} p-\\left(5^{m}-2^{n} p\\right)=2^{n+1} p$ et il est impair, donc il divise $p$. Comme $p$ et 5 sont premiers entre eux, en en déduit que $d=1$ et que $5^{m}-2^{n} p=1$; de plus, $5^{m}+2^{n} p=a^{2}$ pour un certain entier $a$.\nOn a donc $(a-1)(a+1)=a^{2}-1=2^{n+1} p$.\nLe PGCD de $a-1$ et de $a+1$ divise $(a+1)-(a-1)=2$, donc il vaut 1 ou 2 . De plus, $a-1$ et $a+1$ sont de même parité, et leur produit est pair, donc leur PGCD vaut 2 . On en déduit que $\\left(a-1=2, a+1=2^{n} p\\right)$ ou $\\left(a-1=2 p, a+1=2^{n}\\right)$ ou $\\left(a-1=2^{n}, a+1=2 p\\right)$.\nDans le premier cas on aurait $a=3$, donc $4=a+1=2^{n} p$, ce qui est impossible.\nDans le deuxième cas, on a $p=2^{n-1}-1$. Comme $p$ est premier, $n=1$ et $n=2$ ne conviennent pas donc $n \\geqslant 3$. Par conséquent, $5^{m}=2^{n} p+1 \\equiv 1[8]$. Comme $5^{2 \\ell+1}=5 \\times 25^{\\ell} \\equiv 5 \\times 1^{\\ell}=5$ [8], l'entier $m$ est nécessairement pair. Posons $m=2 \\ell$, alors $\\left(5^{\\ell}-1\\right)\\left(5^{\\ell}+1\\right)=2^{n} p$. L'un des facteurs est égal à $2 p$ et l'autre à $2^{n-1}$. Comme leur différence est égale 2 , on a $\\pm 2=2 p-2^{n-1}=2 p-(p+1)=p-1$, donc $p=3, n=3$ et $m=2$.\nDans le troisième cas, on a $p=2^{n-1}+1$. On ne peut pas avoir $n=1$, $\\operatorname{sinon} p=2$. Si $n=2$ alors $p=3$ et $5^{m}=1+2^{n} p=13$. Impossible. Donc $n \\geqslant 3$. Le même raisonnement que plus haut conduit à $m=2 \\ell$ avec $\\pm 2=2 p-2^{n-1}=2 p-(p-1)=p+1$, ce qui contredit $p \\geqslant 3$.", "problem_match": "\nExercice 5.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"}
{"year": "2015", "problem_label": "6", "tier": 1, "problem": "Soit $I$ le centre du cercle inscrit à un triangle $A B C$. Soit $D$ le point diamétralement opposé à $A$ sur le cercle circonscrit. On suppose que le point $E$ de la demi-droite $[B A)$ et le point $F$ de la demi-droite $[C A)$ satisfont la condition\n\n$$\nB E=C F=\\frac{A B+B C+C A}{2} .\n$$\n\nMontrer que $(E F) \\perp(D I)$.", "solution": "\n\nNotons $a, b, c$ les longueurs des côtés, $r$ le rayon du cercle inscrit et $p=(a+b+c) / 2$. Comme $[A D]$ est un diamètre, les angles $\\widehat{A B D}$ et $\\widehat{A C D}$ sont droits donc\n\n$$\n\\begin{aligned}\nD E^{2}-D F^{2} & =\\left(D B^{2}+B E^{2}\\right)-\\left(D C^{2}+C F^{2}\\right)=D B^{2}-D C^{2} \\\\\n& =\\left(A D^{2}-D C^{2}\\right)-\\left(A D^{2}-D B^{2}\\right)=A C^{2}-A B^{2} \\\\\n& =b^{2}-c^{2} .\n\\end{aligned}\n$$\n\nD'autre part, si $C^{\\prime}$ est le point de contact du cercle inscrit avec $[A B]$, on sait que $B C^{\\prime}=p-b$, donc $C^{\\prime} E=B E-B C^{\\prime}=b$. Il vient $I E^{2}=\\left(I C^{\\prime}\\right)^{2}+\\left(C^{\\prime} E\\right)^{2}=r^{2}+b^{2}$, et de même $I F^{2}=r^{2}-c^{2}$, donc\n\n$$\nD E^{2}-D F^{2}=I E^{2}-I F^{2}\n$$\n\nCeci signifie que les points $D$ et $I$ ont la même différence de puissances par rapport à $E$ et $F$ (considérés comme des cercles de rayon nul), donc $(D I) \\perp(E F)$.\n\nPrécision : expliquons pourquoi si $C$ et $C^{\\prime}$ sont deux cercles de centres $O$ et $O^{\\prime}$, et si $P_{C}(A)$ -$P_{C^{\\prime}}(A)=P_{C}(B)-P_{C^{\\prime}}(B)$ alors $(A B) \\perp\\left(O O^{\\prime}\\right)$. Notons $R$ et $R^{\\prime}$ les rayons des cercles et $C, D$ les projetés respectifs de $A$ et $B$ sur $\\left(O O^{\\prime}\\right)$.\nOn a $P_{C}(A)-P_{C^{\\prime}}(A)=O A^{2}-O^{\\prime} A^{2}-\\left(R^{2}-\\left(R^{\\prime}\\right)^{2}\\right)=O C^{2}-O^{\\prime} C^{2}-\\left(R^{2}-\\left(R^{\\prime}\\right)^{2}\\right)$, donc $O C^{2}-$ $O^{\\prime} C^{2}=O D^{2}-O^{\\prime} D^{2}$. Ceci s'écrit encore $\\left(\\overline{O C}-\\overline{O^{\\prime} C}\\right)\\left(\\overline{O C}+\\overline{O^{\\prime} C}\\right)=\\left(\\overline{O D}-\\overline{O^{\\prime} D}\\right)\\left(\\overline{O D}+\\overline{O^{\\prime} D}\\right)$, ou encore $2 \\overline{O^{\\prime} O} \\cdot \\overline{M C}=2 \\overline{O^{\\prime} O} \\cdot \\overline{M D}$ où $M$ est le milieu de $\\left[O^{\\prime} O\\right]$. Par conséquent, $C=D$, et donc $(A B)=(A C) \\perp\\left(O O^{\\prime}\\right)$.", "problem_match": "\nExercice 6.", "solution_match": "## Solution de l'exercice 6"}
|