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UNIONE MATEMATICA ITALIANA

SCUOLA NORMALE SUPERIORE DI PISA

# Progetto Olimpiadi di Matematica 2000 GARA di SECONDO LIVELLO 

1) Non sfogliare questo fascicoletto finché l'insegnante non ti dice di farlo. NON È AMMESSO L'UTILIZzO DI CALCOLATRICI TASCABILI.
2) La prova consiste di 17 problemi divisi in 3 gruppi.
3) Nei problemi dal numero 1 al numero 10 sono proposte 5 risposte possibili, indicate con le lettere $\mathbf{A}$, B, C, D, E. Una sola delle risposte è corretta. La lettera corrispondente alla risposta corretta dovrà essere risportata, per ogni quesito, in fondo a questa pagina nella relativa finestrella. Ogni risposta giusta vale 5 punti, ogni risposta errata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza risposta vale 1 punto. Non sono ammesse correzioni o cancellature sulla griglia.
4) I problemi dal numero 11 al numero 15 richiedono una risposta che è data da un numero intero. Questo numero intero va indicato in fondo a questa pagina nella relativa finestrella. Ogni risposta giusta vale 8 punti, ogni risposta errata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza risposta vale 1 punto. Non sono ammesse correzioni o cancellature sulla griglia.
5) Gli ultimi due problemi richiedono invece una dimostrazione. Ti invitiamo a formulare la soluzione in modo chiaro e conciso usufruendo dello spazio riservato e consegnando soltanto i fogli di questo fascicoletto. Ciascuno di questi problemi verrà valutato con un punteggio da $\mathbf{0}$ a 12.
6) Quando l'insegnante dà il via, comincia a lavorare. Hai $\mathbf{3}$ ore di tempo. Buon lavoro!

Da riempirsi da parte dello studente

NOME:

COGNOME:

ETÀ:

Indirizzo:

Città:

SCUOLA:

CLASSE:

Città:

Risposte ai primi 15 quesiti

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |


| PUNTEGGIO (c | ll'inseg |  |
| :---: | :---: | :---: |
| numero delle risposte esatte $(1-10)$ | $\times 5=$ |  |
| numero delle risposte esatte (11-15) | $\times 8=$ |  |
| numero degli esercizi senza risposta | $\times 1=$ |  |
| valutazione esercizio n. 16 |  |  |
| valutazione esercizio n. 17 |  |  |
| PUNTEGGIO T |  |  |

## Problemi a risposta multipla -5 punti

1. Un mucchio di sabbia può essere trasportato in 4 viaggi caricando al massimo un autocarro o, in alternativa, in 12 viaggi caricandone al massimo un altro più piccolo. Se possiamo utilizzare a pieno carico entrambi gli autocarri, e vogliamo che entrambi compiano lo stesso numero di viaggi, quanti viaggi dovrà fare ciascun autocarro per il trasporto di tutta la sabbia?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) i dati sono insufficienti.
2. Si vuole misurare la lunghezza di un circuito automobilistico usando un'auto che ha il contachilometri inizialmente azzerato e che misura solo i chilometri e non le centinaia di metri. Qual è il minimo $n$ tale che, guardando solamente quanto segna il contachilometri alla fine dell'n-esimo giro, il pilota possa conoscere la lunghezza del circuito con un errore inferiore a 30 metri?
(A) $0<n \leq 10$
(B) $10<n \leq 20$
(C) $20<n \leq 30$
(D) $30<n \leq 40$
(E) $40<n \leq 50$.
3. Nel triangolo rettangolo isoscele disegnato a fianco, ogni lato è stato diviso in cinque parti uguali. Determinare l'area della regione evidenziata in grigio sapendo che ciascun cateto è lungo $50 \mathrm{~cm}$.
(A) $9 \mathrm{~cm}^{2}$
(B) $50 \mathrm{~cm}^{2}$
(C) $90 \mathrm{~cm}^{2}$
(D) $18 \sqrt{26} \mathrm{~cm}^{2}$
(E) nessuna delle precedenti.

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4. Sia $P_{1}$ un esagono regolare. Sia $P_{2}$ il nuovo esagono ottenuto congiungendo i punti medi dei lati consecutivi di $P_{1}$. Allo stesso modo si proceda a partire da $P_{2}$ ottenendo un nuovo esagono $P_{3}$. Quanto vale il rapporto tra l'area di $P_{3}$ e quella di $P_{1}$ ?
(A) $\frac{1}{4}$
(B) $\frac{7}{16}$
(C) $\frac{9}{16}$
(D) $\frac{3}{4}$
(E) nessuna delle precedenti.
5. Tre ragazzi dicono, rispettivamente: "I nostri nomi sono Andrea, Bruno, Carlo"; "I nostri nomi sono Andrea, Carlo, Daniele"; "I nostri nomi sono Bruno, Daniele, Enrico".

Sapendo che ciascuno di loro ha detto un nome sbagliato e due giusti, come si chiamano i tre?

(A) Andrea, Carlo, Enrico

(B) Andrea, Bruno, Daniele

(C) Bruno, Daniele, Enrico

(D) Bruno, Carlo, Daniele

(E) i dati sono insufficienti per rispondere.

6. Se $A, B, C, D$ rappresentano cifre distinte e, impiegando l'usuale scrittura decimale, si ha $A C \times$ $B C=D D D$, quanto vale la somma $A+B+C+D$ ?
(A) 9
(B) 13
(C) 18
(D) 19
(E) 21 .
7. Siano $A$ e $B$ due punti nello spazio. L'insieme dei punti dello spazio la cui distanza da $B$ è doppia di quella da $A$ è

(A) un piano

(B) una circonferenza

(C) una superficie sferica

(D) la superficie laterale di un cono

(E) la superficie laterale di un cilindro.

8. In un paese l'uno per cento della popolazione è affetto da una certa malattia. Il test per sapere se si è contagiati sbaglia nell'uno per cento dei casi. Lorenzo si sottopone al test e risulta malato. Qual è la probabilità che egli sia sano?
(A) $\frac{99}{10000}$
(B) $\frac{1}{100}$
(C) $\frac{99}{5000}$
(D) $\frac{1}{2}$
(E) $\frac{99}{100}$.
9. Siano $x, y$ numeri reali positivi. Quale delle seguenti condizioni è sufficiente per garantire che $x^{y}>y^{x}$ ?
(A) $1<x<y$
(B) $1<y<x$
(C) $x<1<y$
(D) $x<y<1$
(E) $y<x<1$.
10. Una scatola contiene 3 palline bianche e 2 palline nere. Marco estrae una pallina e la rimette nella scatola aggiungendo un'altra pallina dello stesso colore. A questo punto egli estrae una nuova pallina dalla scatola. Qual è la probabilità che quest'ultima sia bianca?
(A) $\frac{1}{2}$
(B) $\frac{7}{12}$
(C) $\frac{3}{5}$
(D) $\frac{2}{3}$
(E) nessuna delle precedenti.

## Problemi a risposta numerica -8 punti

11. In un tetraedro regolare di vertici $A, B, C, D$, indichiamo con $P$ e $Q$ i centri delle due facce che hanno in comune lo spigolo $A B$. Qual è il rapporto tra il volume del tetraedro iniziale e quello del tetraedro che ha per vertici i punti $A, B, P$ e $Q$ ?
12. Sia $n$ il più piccolo intero positivo $>200$ che si può scrivere sia come somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 interi consecutivi e di 7 interi consecutivi. Quanto vale $n$ ?
13. Si consideri un quadrato $A B C D$ di lato 16 metri. Su due lati consecutivi $A B$ e $B C$ si costruiscano, esternamente rispetto al quadrato, i due triangoli equilateri $A B E$ e $B C F$. Quanto vale l'area del triangolo $B E F$ espressa in metri quadri?
14. Qual è il minimo numero di lanci di un dado a 6 facce che si devono effettuare per avere una probabilità superiore al $50 \%$ che la somma di tutti i punteggi ottenuti sia maggiore od uguale a 48 ?
15. Qual è la somma algebrica dei coefficienti del polinomio

$$
\left(x^{21}+4 x^{2}-3\right)^{2001}-\left(x^{21}+4 x^{2}+3\right)^{667}+x^{21}+4 x^{2} ?
$$

## 16. ESERCIZIO DIMOSTRATIVO

Sia $A B C$ un triangolo tale che l'angolo $\widehat{A C B}=60^{\circ}$. Sia $M$ il punto medio del lato $A B$ e siano $H$ e $K$ i piedi delle altezze che partono da $B$ e da $A$ rispettivamente. Dimostrare che il triangolo $H M K$ è equilatero.

## 17. ESERCIZIO DIMOSTRATIVO

Determinare tutte le soluzioni $(a, b)$, con $a, b$ interi relativi, dell'equazione

$$
a^{3}+b^{3}=91
$$