File size: 15,113 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 | # VIII РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ
Задачите и решенијата се скенирани од книгата
Регионални натпревари по математика 83-95
Подготвена од Боривое Миладиновиќ
## V одделение
1. Која од релацийте на цртежот е транзитивна? Образложи го одговорот.
a)
б)
в)
г)
2. Над страните на правоаголникот чија должина е за $4 \mathrm{~cm}$ поголема од ширината, од надвор конструирани се рамнострани триаголници. Периметарот на фигурата чии темиња се темињата на триаголниците и темињата на правоаголникот е $80 \mathrm{~cm}$. Пресметај ја плоштината на правоаголникот.
3. Нека е $\mathrm{A}=\{1,2,3,4\}, \mathrm{B}=\{0,1,2\}, \mathrm{C}=\{5,6\}$. Провери ја точноста на равенствата:
a) $(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) \mathrm{xC}=(\mathrm{AxC}) \cap(\mathrm{BxC})$;
б) $(\mathrm{A} \backslash \mathrm{B}) \mathrm{xC}=(\mathrm{AxC}) \backslash(\mathrm{BxC})$.
4. Од две различни места А и В, во исто време, еден спроти друг, тргнале двајца велосипедисти. Првиот се движел со брзина $13 \mathrm{~km}$ на час, а вториот со $15 \mathrm{~km}$ на час. Во моментот кога се сретнале вториот поминал $6 \mathrm{~km}$ повеќе. Пресметај го растојанието меѓу местата А и B.
## $\mathbf{v}$ одделение
1. Транзитивна е само релацијата иа цртежот под в).
a) не е транзитивна бидејки нема
$b \rightarrow \longrightarrow d$ :
б) не е транзитивна бидејки нема
$a_{o} \rightarrow \longrightarrow d, \quad$ bo $\longrightarrow \mathrm{d} ;$
в) не е транзитивна бидејќи нема
$\mathrm{a}_{\sigma} \longrightarrow \mathrm{d}, \mathrm{b}_{\mathrm{\sigma}} \longrightarrow \mathrm{c}, \mathrm{b}_{\sigma \rightarrow} \longrightarrow \mathrm{d}$.
2. Од цртежот се гледа дека периметарот на правоаголникот е два пати помал од периметарот на фигурата т.е. $\mathrm{L}=40 \mathrm{~cm}$.
Од 40=2(a+b) следува дека $a+b=20$, а како e $a=b+4$, пмаме: $b+4+b=20$, т.е. $b=8$ в $a-8+4=12 \mathrm{~cm}$, a $P=12.8=96 \mathrm{~cm}^{2}$.
3. a) $A \cap B=\{1,2\}$,
(AาB) $x C=\{1,2\} \times\{5,6\}=\{(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)\}$ :
$A x C=\{(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)\}$,
BxC=\{(0,5), (0,6), (1, 5), (1, 6), (2, 5), (2,6)\}.
$(\mathrm{AxC})(\mathrm{BxC})=\{(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)\}$.
Захлучох: Равенството под а) е точно.
б) $A \backslash B=\{3,4\},(A \cup B) \times C=\{(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)\}$ :
$(\mathrm{AxC})(\mathrm{BxC})=((3,5),(3,6),(4,5),(4,6)\}$.
Заклучок: Равенството под б) е точно.
4. Бидејки за секој час вторнот пелосппедист изминува по $2 \mathrm{~km}$ повеќе отколку првнот , $6 \mathrm{~km}$ тој ке помине зи 3 часа, т.е. секој возел по 3 часа.
Растојанието $\overline{\mathrm{AB}}=3 \cdot 13+3 \cdot 15=84 \mathrm{~km}$.
## VI одделение
1. Одреди го х од изразите:
a) $\left(3 \frac{4}{5}-1 \frac{3}{4}\right) \cdot x=0$
б) $(-8) \cdot(x+3)=0$.
2. Марко е три пати помлад од таткото, а два пати постар од сестрата. Таткото и сестрата заедно имаат 42 години. Колку години има Марко ?
3. Одреди колку страни има многуаголник кај кој може да се повлечат 252 дијагонали.
4. Во рамнокрак триаголник $\mathrm{ABC}$ ( $\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BC}}$ ), со периметар $22 \mathrm{~cm}$, е повлечена тежишната линија $\mathrm{AA}_{1}$. Периметрите на триаголниците $\mathrm{ABA}_{1}$ и $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{C}$ соодветно ce $17 \mathrm{~cm}$ и $19 \mathrm{~cm}$. Одреди ги должините на страните на триаголникот ABC.
## VI одиеление
1. a) $\left(3 \frac{4}{5}-1 \frac{3}{4}\right) x=0 ;$ бидејки $\left(3 \frac{4}{5}-1 \frac{3}{4}\right) \neq 0$ следува дека $x=0$.
б) $-8(x+3)-0$, бидејхн -8+0 следува дека $x+3-0$. т.е. $x=3$.
2. Ахо со $x$ ги означиме годините на сестрата, тогаш годините на Марко се $2 x$, а на таткото $6 x$.
Бидејки е $x+6 x=42$, следува дека $x=6$. Марко пмал 2-6-12 години.
3. Ако со $n$ го означиме бројот на страните иа многуаголникот , тогаш: $\frac{n(n-3)}{2}=252$; $n(n-3)=504=24 \cdot 21 ; n=24$. Многуаголникот има 24 странн.
4. Од триаголникот $\mathrm{ABC}$ вмаме: $\mathrm{a+2b-22}$.
Од $\triangle \mathrm{ABA}_{1}$ вмаме: $\mathrm{t}_{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{a}}{+}+\frac{\mathrm{b}}{2}=17$.
Од $^{2} \triangle A_{1} C_{1}$ имаме: $a_{2}+b+\frac{b}{2}=19$
Ако ги собереме левите и десните страни на равенствата Ке добиеме: $2 \mathrm{t}_{\mathrm{a}}+\mathrm{a}+2 \mathrm{~b}=36$, а бидејки е $\mathrm{a}+2 \mathrm{~b}=22$, имаме: $2 \mathrm{t}_{\mathrm{a}}=36-22=14 ; \mathrm{t}_{\mathrm{a}}=7 \mathrm{~cm}$.
Од $7+\frac{b}{2}+=19$ добиваме $b=8 \mathrm{~cm}$, од $\mathrm{a}+2 \mathrm{~b}=22$, добиваме $\mathrm{a}=6 \mathrm{~cm}$.
## VII одделение
1. $\mathrm{A}(\mathrm{x})$ и $\mathrm{B}(\mathrm{x})$ се полиноми такви што: $\mathrm{A}(\mathrm{x})+\left(4 \mathrm{x}^{2}+1\right)=2 \mathrm{x}^{2}-3$ и $\mathrm{B}(\mathrm{x})-\left(2 \mathrm{x}^{2}-3 \mathrm{x}-1\right)=5 \mathrm{x}-4$. Одреди го производот $\mathbf{A}(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{B}(\mathbf{x})$.
2. Нека N, P и S се средини на страните $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ и $\mathrm{AC}$ на $\triangle \mathrm{ABC}$, а М подножна точка на висината кон страната AB. Да се докаже дека четириаголникот MNPS e рамнокрак трапез.
3. Во 5 автобуси и 2 тролејбуси можат да се превезат 300 патници, а во 2 автобуси и 3 тролејбуси 230 патници. Колку патници можат да се превезат со 1 автобус, а колку со 1 тролејбус?
4. Во правоаголен триаголник $\mathrm{ABC}(\mathrm{AC} \perp \mathrm{BC}$ ) со должини на страните $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ и с е впишана кружница со радиус $\mathrm{r}$. Докажи дека $\mathrm{r}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}}{2}$.
## VII одиеление
1. Од дадените изрази ги определупаме полиномите: $A(x)=-2 x^{2}-4, B(x)=2 x^{2}+2 x-5$, а поToa $A(x)-B(x)=\left(-2 x^{2}-4\right)\left(2 x^{2}+2 x-5\right)=-4 x^{4}-4 x^{3}+2 x^{2}-8 x+20$.
2. Отсечката SP е средна линија на триаголникот $\mathrm{ABC}, \mathrm{SP} \mid \mathrm{AB}$, т.е. четирнаголннкот MNSP е трапез. Треба да докажеме дека $\overline{P N}=\overline{S M}$. Отсечката PN е исто така средна линија на трнаголникот, т.е. $\overline{\mathrm{PN}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}$.
Отсечката SM е техсишна лингја на правоаголниот триаголник AMC кон хипотенузата.
$\overline{\mathrm{SM}}=\overline{\mathrm{SA}}=\overline{\mathrm{SC}}$, бидејkи $\mathrm{S}$ е центар иа опишаната кружница околу $\triangle \mathrm{AMC}$, т.е. $\overline{\mathrm{SM}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}$. $\mathrm{O}_{\mathrm{A}}$ $\overline{\mathrm{PN}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}$ и $\overline{\mathrm{SM}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}$, следува дека $\overline{\mathrm{PN}}=\overline{\mathrm{SM}}$, т.е. четирнаголникот е рамнокрак трапез.
3. I - решенпе:Ако прянот услов го помножиме со 2, kе добпеме:
во 10 автобусп и 4 тролејбуся ке се превезат 600 патиици.
Ако вторнот услов на задачата го помножиме $о 05$ ке добпеме:
во 10 автобуси и 15 тролејбуси се превезувавт $5.230=1150$ патицц.
Ако ги споредиме добиените заклучоци, ке добисме:
во 11 тролејбусн се превезуват $550: 11=50$ патници; а во еден тролејбус 50 патници.
Во еден автобус се превезувавт $\mathrm{x}$ патници, а од $5 \mathrm{x}+2 \cdot 50=300, \mathrm{x}=40$ патници.
II - pешенве: Нека х е бројот на патиицнте кои се превезуваат во еден автобус, а у во еден тролејбус, тогаш имаме:
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x+3 y=230 \\
5 x+2 y=300
\end{array}\right.
$$
Множејки ја првата равенка со пет, а втората со два, и потоа одземајки ги равенките ќe добиеме:
$y=550: 11=50$ патинци; $x=40$ патиици.
$11 y=550$
4. Внди: II р.н. VIII/4.
## VII одделение
1. $\mathrm{A}(\mathrm{x})$ и $\mathrm{B}(\mathrm{x})$ се полиноми такви што: $\mathrm{A}(\mathrm{x})+\left(4 \mathrm{x}^{2}+1\right)=2 \mathrm{x}^{2}-3$ и $\mathrm{B}(\mathrm{x})-\left(2 \mathrm{x}^{2}-3 \mathrm{x}-1\right)=5 \mathrm{x}-4$. Одреди го производот $\mathbf{A}(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{B}(\mathbf{x})$.
2. Нека N, P и S се средини на страните $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ и $\mathrm{AC}$ на $\triangle \mathrm{ABC}$, а М подножна точка на висината кон страната AB. Да се докаже дека четириаголникот MNPS e рамнокрак трапез.
3. Во 5 автобуси и 2 тролејбуси можат да се превезат 300 патници, а во 2 автобуси и 3 тролејбуси 230 патници. Колку патници можат да се превезат со 1 автобус, а колку со 1 тролејбус?
4. Во правоаголен триаголних $\mathrm{ABC}(\mathrm{AC} \perp \mathrm{BC}$ ) со должини на страните $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ и с е впишана кружница со радиус $\mathrm{r}$. Докажи дека $\mathrm{r}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}}{2}$.
## VIII омделение
го помннат хамнонот и автомобилот.
$s_{\mathbf{k}}=900-45 t-$ е остатокот од патот на камнонот.
$s_{a}=900-75 t$ - с остатокот од патот на автомобилот.
Од условот $s_{k}=3 s_{a}$, пмаме:
$$
900-45 t=3(900-75 t)
$$
Со решавање на равенката ке добиеме $t=10$ чвса, т.е. на камионот му остануватат уште $900-45 \cdot 10=450 \mathrm{~km}$, а на автомобилот му остануватат 900-75.10=150 km.
2. Од цртежот се гледа дека $\overline{\mathrm{CC}_{1}}=\mathrm{d}=5 \mathrm{dm}$.
Од правоаголниот триаголних $\mathrm{CC}_{1} \mathrm{~B}$ имаме:
$\overline{C_{1} B}=\sqrt{c^{2}-d^{2}} ; \overline{C_{1} B}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12 \mathrm{dm}, a$ $\overline{\mathrm{AB}}=\mathrm{b}+\overline{\mathrm{C}_{1} \mathrm{~B}}=16 \mathrm{dm}$.
Плоштината иа трапезот е: $\mathrm{P}=\frac{(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{DC}})}{2} \cdot \overline{\mathrm{AD}}$; $P=\frac{(16+4)}{2} \cdot 5=50 \mathrm{dm}^{2}$
3. Дадено е: $\overline{\mathrm{AB}}=15 \mathrm{~cm}, \overline{\mathrm{BC}}=9 \mathrm{~cm}$ и $\overline{\mathrm{AS}}: \overline{\mathrm{SC}}=3: 1$. Од сличноста на триаголниците ABS и CDS следува:
$\overline{\mathrm{AS}}: \overline{\mathrm{SC}}=\overline{\mathrm{AB}}: \overline{\mathrm{DC}}$ или $3: 1=15: \overline{\mathrm{DC}}$, т.e. $\overline{\mathrm{DC}}=5 \mathrm{~cm}$. Од сличноста на $\triangle \mathrm{ABM}$ и $\triangle \mathrm{DCM}$ следува: $\overline{\mathrm{AB}}: \overline{\mathrm{BM}}=\overline{\mathrm{DC}}: \overline{\mathrm{CM}}$. Бидејки е $\overline{\mathrm{BM}}=9+\overline{\mathrm{CM}}$, имаме: $15:(9+\overline{\mathrm{CM}})=5: \overline{\mathrm{CM}}$.
Оттука следува: $\overline{C M}=4,5 \mathrm{~cm}$.
4. Види $\mathrm{V}$ р.н. VII/2.
|