File size: 18,621 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 | # ХХ РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ
## IV одделение
Задача 1. Во книжарницата биле донесени 8450 тетратки. Првиот ден продале половина од нив, а вториот ден 437 тетратки помалку. Колку тетратки останале непродадени?
Решение. Првиот ден се продале 8450:2=4225 тетратки, а вториот ден $4225-437=3788$ тетратки. Непродадени останале
$$
8450-(4225+3788)=437
$$
тетратки.
Задача 2. Лозарот Петре во буре има 151 вино. Помогнете му на Петре како на својот пријател да му даде 81 вино ако има само 2 сада кои собираат 51 и 91.
Решение. Лозарот Петре ќе го наполни садот од 91, а потоа ќе претури 51 во помалиот сад со што во поголемиот сад ќе му останат 41. Виното што е во садот од 51 ќе го врати во бурето и остатокот од 41 што е во поголемиот сад ќе го претури во празниот сад од 51. Повторно ќе го наполни поголемиот сад со 91 и ќе го дополни од него помалиот сад со еден литар, со што во поголемиот сад ќе останат 81 вино што ќе му ги продаде на пријателот.
Задача 3. Должината на страната на еден квадрат е три пати поголема од должината на страната на друг квадрат. Нивните периметри се разликуваат за $32 \mathrm{~cm}$. Определи ги должините на страните на двата квадрати.
Решение. Нека $L_{1}$ е периметарот на првиот, а $L$ на вториот квадрат. Ако $L_{1}=4 a$, тогаш $L=4 \cdot 3 a$. Бидејќи $32=L-L_{1}=12 a-4 a=8 a$, се добива дека должината на страната на првиот квадрат е $4 \mathrm{~cm}$, а на другиот квадрат е $12 \mathrm{~cm}$.
Задача 4 Ако од даден број се одземе 23, па добиената разлика се подели со 11 и добиениот количник се помножи со 5 , ќе се добие број кој е за 5 поголем од најмалиот двоцифрен број. Кој е тој број?
Решение. Задачата ќе ја решиме со враќање наназад. По извршените операции ќе добиеме $5+10=15$, по делење со 5 имаме $15: 5=3$, по мно-
жење со 11 имаме $3 \cdot 11=33$ и по собирање со 23 , го добиваме бројот $23+33=56$.
## V одделение
Задача 1. Секој од членовите на една екипа игра фудбал или тенис. Колку луѓе има во екипата, ако е познато дека 18 од нив играат и фудбал и тенис, 23 играат фудбал, а 21 играат тенис.
Решение. Нека $E$ е множеството од сите членови на екипата, $F$ е множеството од членови на екипата кои играат фудбал, а $T$ е множеството од членови на екипата кои играат тенис. Тогаш,
$$
\delta F=23, \delta T=21, \delta(F \cap T)=18 . \delta E=18+(23-18)+(21-18)=26
$$
Задача 2. Збирот на два броја е 1181. Ако поголемиот број се подели со помалиот се добива количник 4 и остаток 1 . Кои се тие броеви?
Решение. Ако збирот се намали за 1 , т.е. поголемиот број се намали за 1 , тогаш поголемиот број ќе биде делив со помалиот, и тогаш тој ќе биде 4 пати поголем од помалиот. Значи, помалиот број е (1181-1):5=236, а поголемиот е $1181-236=945$.
Задача 3. Колку најмногу еднакви букети можат да се направат од 252 ружи, 288 лалиња и 972 каранфили и по колку вкупно цветови има во секој букет?
Решение. Бидејќи $\operatorname{NZD}(252,288,972)=36$, можат да се направат 36 еднакви букети во кои ќе има по $252: 36=7$ ружи, $288: 36=8$ лалиња и 972:36=27 каранфили.
Задача 4. Плоштината на еден двор, што има форма на правоаголник е 10 ари. Должината на едната страна е 25 метри. Да се огради дворот потребно е на секои 5 метри да се постави по еден столб. Пресметај колку столбови се потребни за оградување на дворот и по колку столбови ќе има секоја страна?
Решение. Нека $a=25 \mathrm{~m}$ е ширина, а $b=1000: 25=40 \mathrm{~m}$ е должината на дворот. Периметарот на дворот е $L=2(25+40) \mathrm{m}=130 \mathrm{~m}$. За оградување на целиот двор потребни се $130: 5=26$ столбови. На поголемата страна има 9 столбови, а на помалата има 6 столбови.
## VI одделение
Задача 1. Определи ги $x \in \mathbb{Z}$ и $y \in \mathbb{Z}$ ако $|x y|=6$
Решение. Од $|x y|=6$ следува (i) $x y=6$ или (ii) $x y=-6$. Од (i) следува дека
$$
(x, y) \in\{(1,6) ;(-1,-6) ;(2,3) ;(-2,-3) ;(6,1) ;(-6,-1) ;(3,2) ;(-3,-2)\}
$$
а од (ii) следува дека
$$
(x, y) \in\{(-1,6) ;(1,-6) ;(2,-3) ;(-2,3) ;(6,-1) ;(-6,1) ;(-3,2) ;(3,-2)\}
$$
Решение е унијата на овие две множества.
Задача 2. Симетралата на надворешниот агол при основата на еден рамнокрак триаголник ја сече симетралата на надворешниот агол при врвот од истиот триаголник под агол од $80^{\circ}$. Одреди ги аглите на триаголникот.
Решение. Од својствата на внатрешни и надворешни агли во триаголникот следува
Од ${ }_{\Delta} C B D$ следува:
$$
\begin{array}{r}
\frac{\gamma_{1}}{2}+\frac{\beta_{1}}{2}+80^{\circ}=180^{\circ} \\
\alpha+90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=100^{\circ} \\
\frac{\alpha}{2}=10^{\circ} ; \alpha=20^{\circ}
\end{array}
$$
a $\gamma=180^{\circ}-2 \alpha=140^{\circ}$.
Задача 3. Одејќи Петре на училиште, откога изминал $1 \mathrm{~km}$ и половина од преостанатиот дел од патот, го сретнал чичко Стојан кој го прашал Петре уште колку километри има додека стигне до училиштето. Петре му одговорил дека има да оди уште $1 \mathrm{~km}$ и третина од вкупната должина на патот. Колкав пат поминува Петре одејќи на училиште?
Решение. Прв начин. Кога Петре поминал $1 \mathrm{~km}$ и половина од преостанатиот дел од патот нему му останала втората половина од преостанатиот дел од патот. Втората половина од преостанатиот дел од патот претставува $\frac{1}{3}$ од вкупната должина на патот и уште $1 \mathrm{~km}$. Значи, откако изминал $1 \mathrm{~km}$ на почетокот, на Петре му преостанува $\frac{2}{3}$ од вкупната должина на патот и уште $2 \mathrm{~km}$. Преостанатиот дел е за $1 \mathrm{~km}$ помал од должината на целиот пат. Според тоа, $\frac{1}{3}$ од вкупната должина на патот изнесува $2 \mathrm{~km}+1 \mathrm{~km}=3 \mathrm{~km}$, а вкупната должина на патот е $9 \mathrm{~km}$.
Втор начин. $1+\frac{x-1}{2}+\frac{x}{3}+1=x ; \quad x=9 \mathrm{~km}$.
Задача 4. Докажи дека подножјето на висината кон хипотенузата на правоаголен триаголник $A B C,\left(\measuredangle C=90^{\circ}\right)$ е теме на прав агол чии краци минуваат низ средините на катетите.
Решение. Нека во правоаголниот триаголник $A B C, A_{1}$ и $B_{1}$ се средини на катетите $B C$ и $C A$ соодветно, и нека е $E$ подножјето на висината кон хипотенузата. Тогаш, $A_{1} B_{1} \| A B$, па ако $\{D\}=A_{1} B_{1} \cap C E$ тогаш $\overline{C D}=\overline{D E} ; C D \perp A_{1} B_{1}$ па $\measuredangle C D A_{1}=\measuredangle E D A_{1}$. Од ${ }_{\triangle} C D A_{1} \cong{ }_{\triangle} E D A_{1}$, (CАC), следува дека $\overline{C A_{1}}=\overline{A_{1} E}$. Слично, од ${ }_{\triangle} C D B_{1} \cong{ }_{\triangle} E D B_{1}$, (CAC), следува дека $\overline{C B_{1}}=\overline{B_{1} E}$. Конечно, $\triangle A_{1} B_{1} C \cong{ }_{\triangle} A_{1} B_{1} E$, (CCC), па
$90^{\circ}=\measuredangle B_{1} C A_{1}=\measuredangle A_{1} E B_{1}$.
## VII одделение
Заадача 1. Одреди го растојанието на секоја од страните на впишаниот рамностран триаголник $A B C$ до центарот на кружницата во која тој е впишан, ако радиусот $r=6$.
Решение. Нека $C D$ е дијаметар на опишаната кружница околу $\triangle A B C$ со центар во точката $O$ и нека $\{E\}=O D \cap A B$. Од
$$
\overline{O D}=r=\overline{O B} \text { и } 60^{\circ}=\measuredangle D O B=\frac{1}{2} \measuredangle A O B
$$
следува $\triangle D B O$ е рамностран. $B E$ е висина во ${ }_{\triangle D B O}$, па $\overline{O E}=\frac{1}{2} \overline{O D}=\frac{r}{2}=3$.
Задача 2. Една третина од вкупната количина на некоја стока е продадена со $10 \%$ заработувачка, а половина од истата стока е продадена со $15 \%$ загуба. За колку треба да се зголеми цената на останатиот дел од стоката за да се надополни загубата?
Решение. Нека $x$ е количината на стоката, тогаш $10 \%$ од $\frac{1}{3} x$ е заработувачка, $15 \%$ од $\frac{1}{2} x$ е загуба, а $p \%$ од $x-\left(\frac{1}{3} x+\frac{1}{2} x\right)=\frac{1}{6} x$ која треба да се продаде за да се покрие загубата. Според условот имаме:
$$
\frac{15}{100} \frac{1}{2} x-\frac{10}{100} \frac{1}{3} x=\frac{p}{100} \frac{1}{6} x
$$
Оттука следува : $p=25$.
Задача 3. Низа од броеви се формира на следниот начин: прв е бројот 7 , понатаму секој следен член се добива од збирот на цифрите на неговиот квадрат зголемен за 1. Така, на второто место е бројот 14, бидејќи
$$
7^{2}=49,4+9+1=14
$$
на третото место е бројот 17 , бидејќи
$$
14^{2}=196,1+9+6+1=17 \text { итн. }
$$
Кој број се наоѓа на 2002-то место?
Решение. Првите некоку члена на низата се : 7, 14, 17, 20, 5, 8, 11, 5, 8, $11, \ldots$. Значи по првите четири члена, периодично се повторува тројката 5 , 8 , 11, па имаме: $2002-4=1998=3 \cdot 666$, што значи дека на 2002 -то место е бројот 11.
Задача 4. Даден е конвексен четириаголник $A B C D$. Докажи дека ако отсечките кои ги сврзуваат средините на спротивните страни се еднакви меѓу себе, тогаш дијагоналите $A C$ и $B D$ се заемно нормални.
Решение. Нека $K, L, M, N$ се средини на страните $A B, B C, C D, D A$ соодветно.
Отсечката $K L$ е средна линија на $\triangle A C B$, па затгоа $K L \| A C ; N M$ е средна линија на $\triangle A C D$, па затоа $N M \| A C$ од каде следува дека $K L \| N M$. Аналогно се докажува дека $M L \| N K$. Од условот $\overline{M K}=\overline{N L}$ следува дека $K L M N$ е паралеограм со еднакви дијагонали т.е. $K L M N$ е правоаголник. Бидејќи $K L \| A C$ и
$L M \| B D$, а $K L \perp L M$ следува дека $A C \perp B D$.
## VIII одделение
Задаќa 1. Дадени се изразите со променлива
$$
A(x)=\frac{1}{2} x-\frac{5}{6}, B(x)=\frac{7}{2}-\frac{5}{2} x \text { и } C(x)=\frac{1}{2} x-\frac{1}{6}
$$
Определи го $x$, така што
$$
3 A(x)-2 B(x)-4 C(x)=\frac{14}{3}
$$
Решение. Имаме
$$
3 A(x)-2 B(x)-4 C(x) \equiv \frac{3}{2} x-\frac{5}{2}+5 x-7-2 x+\frac{2}{3}=\frac{14}{3}
$$
од каде следува дека $27 x=81$ т.е. $x=3$.
Задача 2. Висината повлечена кон хипотенузата на правоаголниот триаголник $A B C,\left(\measuredangle C=90^{\circ}\right)$ ја дели хипотенузата на две отсечки со должини $\overline{A C_{1}}=9 \mathrm{~cm}$ и $\overline{C_{1} B}=16 \mathrm{~cm}$. Од темето $A$ на триаголникот повлечена е права што минува низ средината на висината $C C_{1}$. Одреди ја должината на оној дел од правата што се наоѓа во триаголникот.
Решение. Висината е геометриска средина на деловите од хипотенузата т.е. $h^{2}=9 \cdot 16 ; \quad h=12 \mathrm{~cm}$. Од $\triangle A C_{1} P$ имаме
$$
\begin{aligned}
& \overline{A P}^{2}={\overline{A C_{1}}}^{2}+{\overline{C_{1} P}}^{2} \\
& \overline{A P}^{2}=9^{2}+\left(\frac{1}{2} \cdot 12\right)^{2} ; \overline{A P}=3 \sqrt{13}
\end{aligned}
$$
Нека $P Q$ е средна линија на $\triangle C_{1} B$.
Бидејќи $\triangle A B E \sim{ }_{\triangle} P Q E$ (имаат еднакви агли), добиваме
$$
\overline{A E}: \overline{P E}=\overline{A B}: \overline{P Q} ;(3 \sqrt{3}+\overline{P E}): \overline{P E}=25: 8 ; \overline{P E}=\frac{24 \sqrt{13}}{17} ; \overline{A E}=\frac{75 \sqrt{13}}{17}
$$
Задача 3. Стрелките на часовникот се преклопени во 12 часот. По колку часа стрелките на часовникот повторно ќе бидат преклопени?
Решение. Стрелката што ги покажува минутите ротира 12 пати побрзо од стрелката што ги покажува часовите. Ако со $x$ го означиме аголот меѓу две преклопувања изразен во $\frac{1}{60}$ - тиот дел од цел круг (агол кој го ротира минутарникот за 1 минута), тогаш важи $x=\frac{60+x}{12} ; x=\frac{60}{11}=5+\frac{5}{11}$. Значи, наредното преклопување ќе се случи за $1 \frac{1}{11}$ часа.
Задача 4. Во I клас на едно средно училиште се запишани вкупно 110 ученици. Секој од нив од претходно познава барем 11 ученици. Докажи дека секој ученик од I клас има два познаника на кои тој не им е единствен заеднички познаник.
Решение. Нека постои ученик $A$ кој има 11 познаника меѓу кои не постојат два кои имаат уште еден заеднички познаник, освен ученикот $A$. Тогаш, секој од нив познава по 11 различни ученика. Меѓутоа, тоа не е можно, бидејќи тогаш вкупниот број на ученици би бил $1+11 \cdot 11=122$ што противречи на условот на задачата.
|