File size: 14,091 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 | # IX РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ
Задачите и решенијата се скенирани од книгата<br>Регионални натпревари по математика $83-95$<br>Подготвена од Боривое Миладиновиќ
## V одделение
1. Колку степени има аголот што го опишува минутната стрелка на часовникот за 5 минути?
2. Татко, мајка и ќерка сега имаат заедно 76 години. Таткото е за 4 години постар од мајката. Кога се родила ќерката, таткото и мајката заедно имале 46 години. Колку години има секој од нив сега?
3. Во еден магацин имало 120 големи и 40 мали конзерви. Вкупната маса на сите конзерви е $108 \mathrm{~kg}$. Масата на 3 големи конзерви е иста со масата на 8 мали конзерви. Пресметај ја масата, одделно, на една мала и една голема конзерва.
4. Правоаголник со плоштина $99 \mathrm{~cm}^{2}$ има должина $9 \mathrm{~cm}$. Пресметај ја плоштината на оној квадрат чиј периметар е еднаков на периметарот на правоаголникот.
## $\mathbf{V}$ одделеные
1. Бидејки часот има 60 минути, тогаш $60: 5=12.5$ мннути претставуваат $\frac{1}{12}$ од полннот агол, т.е. $360: 12=30^{\circ}$.
2. Ќерката има: (76-46):3=10 годинн. Мајката има: (46-4):2+10=31 година. Таткото има: $31+4=35$ години.
3. Ако 3 големи конзерви имаат иста маса како 8 мали конзерви, тогаш 120 големи, ќе имаат иста маса со 320 мали конзервн.
Бидејки во магацинот имало вкупно 120 големи и 40 мали конзерви, следува ( $320+40$ ) мали конзерви имаат маса од $108 \mathrm{~kg}$, т.е. една мала конзерва има маса: 108:(320+40) $=0,3 \mathrm{~kg}=300$ грама, а една голема ( $108000-300-40): 120=800$ грама.
4. Ако со а и b ги обележнме страннте на правоаголннкот, тогаш:
$$
P=a \cdot b ; 99=9 \cdot b ; b=11 \mathrm{~cm} .
$$
Периметарот на правоаголникот е: $\mathrm{L}_{\mathrm{p}}=2(\mathrm{a}+\mathrm{b})=40 \mathrm{~cm}$. Ако со $\mathrm{x}$ ја означнме страната на квадратот, тогаш: $\quad \mathrm{L}_{\mathrm{k}}=4 \mathrm{x}=40$, и $\mathrm{x}=10 \mathrm{~cm} . \quad \mathrm{P}_{\mathrm{k}}=\mathrm{a}^{2}=100 \mathrm{~cm}^{2}$.
## VI одделение
1. Докажи дека спроти поголема страна во триаголник лежи поголем агол.
2. Нека $x, y$ и $z$ се рационални броеви, од кои еден е позитивен, еден е негативен и еден е еднаков на нула. Определи кој од тие броеви е позитивен, кој негативен. а кој е нула ако $\frac{x(y-z)}{z}>0$.
3. Ако некој број се подели со 63 се добива количник $\mathrm{n}$ и остаток 59. Пресметај го остатокот, добиен со делење на тој број со 21.
4. Низ средината на кракот $\mathrm{AC}$ на рамнокрак триаголник $\mathrm{ABC}, \overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BC}}=$ $=10 \mathrm{~cm}$, повлечена е нормала на самиот крак. Нормалата го сече кракот $\mathrm{BC}$ во точката D. Периметарот на триаголникот ABD e $18 \mathrm{~cm}$. Пресметај го периметарот на триаголникот $\mathrm{ABC}$.
## VI одделенне
1. Heka $\overline{\mathrm{BC}}>\overline{\mathrm{AC}}$.
Треба да докажеме дека $\alpha>\beta$. Повлекуваме отсечка AM, така што $\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{CM}}$. Оттука имаме $\alpha_{1}=\delta$ и $\alpha>\alpha_{1}$, т.е. $\alpha>\delta$. Аголот $\delta$ е надворешен за трнаголникот. Според тоа $\delta>\beta$. Следува дека $\alpha>\beta$.
2. За да е $\frac{x \cdot(y-z)}{z}>0$, потребно е $z \neq 0$ и $x \neq 0$ значи $y=0$.
3. Нека тој број е $x$, тогаш имаме:
$$
\begin{aligned}
& x=63 n+59 \\
& x=3 \cdot 21 n+2 \cdot 21+17 \\
& x=21 \cdot(3 n+2)+17
\end{aligned}
$$
Според тоа бројот поделен со 21 нма остаток 17.
4. Триаголниците AMD и CMD се правоаголни со еднакви катети, штто значи тие се складни. $\triangle \mathrm{ADC}$ е рамнокрак, т.e. $\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{CD}}$. Оттука следува дека: $\overline{\mathrm{AD}}+\overline{\mathrm{DB}}=10 \mathrm{~cm}$. $\mathrm{L}_{\mathrm{ABD}}=\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{AD}}+\overline{\mathrm{DB}}$. $18=\overline{\mathrm{AB}}+10$, т.e. $\overline{\mathrm{AB}}=8 \mathrm{~cm}$.
Според тоа $\mathrm{L}_{\mathrm{ABC}}=\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}}+\overline{\mathrm{AC}}$. $\mathrm{L}_{\mathrm{ABC}}=8+10+10$.
$\mathrm{L}_{\mathrm{ABC}}=\mathbf{2 8} \mathrm{cm}$.
## VII одделение
1. Докажи дека разликата од квадратите на два последователни природни броја е непарен број.
2. Даден е паралелограм ABCD. Нека P е средина на страната AD, а M средина на страната BC. Докажи дека отсечките AM и СР ја делат дијагоналата BD на три еднакви дела.
3. Картата за концерт чинела 180 денари. Кога цената на картата била намалена, бројот на посетителите се зголемил за $50 \%$, а приходот се зголемил за $25 \%$. Колку била новата цена на картата?
4. Дадени се кружниците $\mathrm{k}_{1}\left(\mathrm{O}_{1}, \mathrm{r}_{1}\right)$ и $\mathrm{k}_{2}\left(\mathrm{O}_{2}, \mathrm{r}_{2}\right)$ и правата $\mathrm{p}$. Да се конструира права $t$ паралелна со правата $p$, така што кружниците $k_{1}$ и $k_{2}$ да отсекуваат од неа еднакви тетиви.
## VII одделенне
1. Ако $x$ и $x+1$ се последователни природни броеви, тогаш имаме: $(x+1)^{2}-x^{2}=x^{2}+2 x+1-x^{2}=2 x+1, x \in N$.
2. Отсечките АР и МС се еднакви и паралелни, тоа значи дека четнриаголникот АМСР е паралелограм. Ако повлечеме отсечка TS|MC, тогаш и четнриаголниците ATSP и TMCS ce паралелограми. Од тука следува дека $\overline{\mathrm{TS}}=\overline{\mathrm{MC}}$; $\overline{\mathrm{TS}}=\overline{\mathrm{BM}}$; $\overline{\mathrm{TS}}=\overline{\mathrm{PD}}$ н $\overline{\mathrm{PD}}=\overline{\mathrm{BM}}$.
Да ги разгледаме трнаголннците PRD; RTS и TB M.
I. $\overline{\mathrm{BM}}=\overline{\mathrm{TS}}=\overline{\mathrm{PD}}$.
2. $\angle \mathrm{I}=\angle 2=\angle 3$
3. $\angle 4=\angle 5=\angle 6$
како агли со паралелни краци.
Според тоа $\triangle \mathrm{PRD} \cong \triangle \mathrm{RTS} \cong \triangle T B M$, а од тоа следува дека $\overline{\mathrm{DR}}=\overline{\mathrm{RT}}=\overline{\mathrm{TB}}$.
3. Heка $x$ e бројот на поранешии посетители. Тогаш прнходот бил 180x. По намалупането на цената. прмходот е 180x.1.25=225x. а посетттелм I.5x. Картата чини:
225x:1.5x=150 денарм.
## 4. Начнн на конструкција.
I. Низ $\mathrm{O}_{2}$ повлекуваме права m нормална на p2. Вринне транслацмја на k, за вектор $\overrightarrow{O O}_{1}^{\prime}$ sokk . (види цртеж) Ako k2 ki $=\{A$. B\}, правата $A B$ e бараната права t.
Aкo k2 $k_{1}=\{$ M). правата te тaH-
гента на k и и k.
Ако k2 $k_{1}=\varnothing$. тогаш задачата нема решение.
## VIII одделение
1. Од равенката (a-3)x+(a-1)$\cdot$(3-x)=a+x-8 определи го $x$ ако е познато дека а е корен на равенката $2(\mathrm{a}-5)-3(\mathrm{a}-2)=6(\mathrm{a}-3)$.
2. Во паралелограм $\mathrm{ABCD}$, со периметар $48 \mathrm{~cm}$, отсечките што ги поврзуваат темињата А и B со средината на страната CD се заемно нормални. Пресметај ги должините на страните на тој паралелограм.
3. Низ темето B на правоаголник $\mathrm{ABCD}$ повлечена е права $\mathrm{p}$ нормална на дијагоналата BD. Темињата A и C, соодветно, се оддалечени од правата р за 6,4 $\mathrm{cm}$ и $3,6 \mathrm{~cm}$. Пресметај ги страните на правоаголникот.
4. Учениците Јован, Аница и Илија заедно имале 780 денари. Кога Јован потрошил $\frac{1}{4}$ од своите пари, Аница потрошила $\frac{1}{5}$, а Илија потрошил $\frac{3}{7}$, тогаш на сите им останале еднаква сума на пари. Колку пари имал секој од нив?
## VIII одделен:е
1. Прво ќe ја решвиме втората равенка co што र́e rо определиме a. $2 \mathrm{a}-10-3 \mathrm{a}+6=6 \mathrm{~d}-18 \Leftrightarrow \mathrm{a}=2$. Првата равенка гласи: $(2-3) x+(2-1)(3-x)=2+x-8 \Leftrightarrow x=3$.
2. Aко ја повлечеме тежпшната линпја MP на правоаголнмот триаголиих ABM, тогаш точката Р е цеитар иа оппшаната крухвница околу правоаголниот трмаголинк, ( $\overline{\mathrm{MP}}=\overline{\mathrm{PB}}$ ).
Четнриаголникот PBCM е роиб.
$\overline{\mathrm{MP}}=\overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{BC}}$. т.е. $\overline{\mathrm{AB}}=2 \overline{\mathrm{BC}}$.
Пермметарот на паралелограмот е:
$L=2 \overline{A B}+2 \overline{B C}$
$48=2(2 \overline{B C})+2 \overline{B C}=6 \overline{B C}$, т.e. $\overline{B C}=8 \mathrm{~cm}$, a $\overline{A B}=16 \mathrm{~cm}$.
3. Од тер оната A и C поsлekysave нормелм $\mathrm{AA}_{1}$ и $\mathrm{CC}_{1}$ на дпjaromaлaта $\mathrm{BD}$. Четармаголимmeтe AEBA 1 и $\mathrm{CC}_{1} \mathrm{BF}$ ce правоагаливци, т.е. $\overline{\mathrm{BA}_{1}}=6,4 \mathrm{~cm} \mathrm{~m}$ $\overline{\mathrm{BC}_{1}}=3,6 \mathrm{~cm}$. Правоаголинте трмаголннцр $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{D}$ и $\mathrm{CC}_{1} \mathrm{~B}$ се селаднн.
$\overline{\mathrm{DA}_{1}}=\overline{\mathrm{BC}_{1}}=3.6 \mathrm{~cm}$, т.e. $\overline{\mathrm{BD}}=10 \mathrm{~cm}$.
$\mathrm{O}_{\text {A }}$ теоремаaта за пponopцдоналін отсечікі во правоаголинот тршаголннх ABD шааме:
$\overline{\mathrm{AB}}^{2}=\overline{\mathrm{BD}} \cdot \overline{\mathrm{BA}_{1}}$.
$\overline{A B}^{2}=10 \cdot 6,4$
$\overline{\mathrm{AB}}=8 \mathrm{~cm} \mathbf{\mathrm { AD }}=6 \mathrm{~cm}$.
4. Нека на секој му останале по $\mathrm{x}$ денара.
Ако Јован ммал а денари, тогаш: $\mathrm{a}-\frac{1}{4}=\mathrm{x} \Rightarrow \mathrm{a}=\frac{4}{3} \mathrm{x}$.
Aко Аннца вмала $\mathrm{b}$ денари, тогапт: $\mathrm{b}-\frac{1}{5} \mathrm{~b}=\mathrm{x} \Rightarrow \mathrm{b}=\frac{5}{4} \mathrm{x}$.
Aхо Илюја ная с денарм, тогаш: $c-\frac{3}{7} c-x \Rightarrow c=\frac{7}{4} x$.
Bвдеjкm atb+c=780, maмe: $\frac{4}{3} x+\frac{5}{4} x+\frac{7}{4} x=780 \Rightarrow x=180$ демарн.
Јован пмал 240 денарм, Авпца 225 денарв и Илщја 315 денарв.
|