File size: 16,096 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 | # ХV РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ
V-1. IIто има помалта пиконттина - квадар со димснвии $15 \mathrm{~cm}, 2 \mathrm{dm}$ и $18 \mathrm{~cm}$ или коцка со раб $17 \mathrm{~cm}$ ?
Решепие: Нека $a=15 \mathrm{~cm}, b=2 \mathrm{dm}=20 \mathrm{~cm}, c=18 \mathrm{~cm}$, се димензиите на квадарот. Плоштината на квадарот е $\mathrm{P}=2 \cdot a \cdot b+2 \cdot a \cdot c+2 \cdot b \cdot c ; \mathrm{P}=2 \cdot 15 \cdot 20+$ $+2 \cdot 15 \cdot 18+2 \cdot 20 \cdot 18 ; \quad \mathrm{P}=1860 \mathrm{~cm}^{2}$. Нека $a=17 \mathrm{~cm}$ е работ на коцката. Плоштината на коцката е: $P=6 \cdot \mathrm{a}^{2} ; P=6 \cdot 17^{2} ; P=1734 \mathrm{~cm}^{2}$. Бидејќи е $1734<1860$, следува дека коцката има помала плоштина од квадарот.
V-2. Збирот иа два броја е 200. Ако првиот се намали двапати, а вториот се зголеми за 80, се добиваат два броја чиј збир пак е 200. Кои се тие бросви?
Решение: Нека $a$ и $b$ се бараните броеви. Тогаш $a+b=200$. Ако бројот $a$ се намали двапати се добива $\frac{a}{2}$, па имаме $\frac{a}{2}+b+80=200$. Бидејќи вкупниот збир не е променет следува дека $\frac{a}{2}=80$, односно $a=160, b=200-160=40$.
V-3. Оградеи двор со правоаголин форма има должина 124 метри и ширина 85 метри. Во дворот, на растојание 2 метри од оградата, се засадени декоративни дріва на растојание 3 метри едно од друго. Колку дрва се засадени ако во секое теме од правоагхолникот засадено дрво?
Решение: Дрвата се засадени
124
Црт. 1
по страните на правоаголник со должина $124-2-2=20 \mathrm{~m}$ и ширина $85-22=$ $=81 \mathrm{~m}$. По должина има $120: 3=40$ дрва, по ширина има $81: 3=27$ дрва. Вкупно се засадени $2 \cdot 40+2 \cdot 27=134$ дрва.
V-4 За писмена вежба по математика зададени се три задачи. Секој ученик решил барем една задача, а никој не ја решил третата. Првата задача ја решиле 27 ученици, втората 29 ученици, а 20 ученици ги решиле првата и втората задача. Колку учепици ја работеле писмената вежба?
Решение: Бројот на учениците кои ја решиле само првата задача е $27-20=7$, а само втората задача е $29-20=9$. Според тоа писмена вежба работеле $7+9+20=36$ ученици.
VI-1. Синот и ќерката заедно имале 28 години. Синот имал $\frac{2}{11}$, а ќерката $\frac{5}{11}$ од годините на таткото.
Колку години имал таткото, а колку синот?
Решение: Нека таткото имал $\mathrm{x}$ години. Тогаш, синот имал $\frac{2}{11} \mathrm{x}$, а керката $\frac{5}{11} \mathrm{x}$ години. Имаме: $\frac{2}{11} x++\frac{5}{11} x=28$. Следува дека таткото има $(x=44)$ години, а синот има $\frac{2}{11} \cdot 44=8$ години.
VI-2. Во бројот 123456789101112...598599600 одреди ја 1203-та цифра.
Решение: Девет едноцифрени броеви - 9 цифри; деведесет двоцифрени броеви - $90 \cdot 2=180$ цифри.. За трицифрените броеви остануваат $1203 \cdot 180 \cdot 9=$ $=1014$ цифри . Трицифрени броеви кее има 1014:3 = 338 . Значи 338-от (трицифрен) број е $99+338=437$, т.е. 1203 -та цифра е 7 .
VI-3. Во остроаголен рамнокрак триаголиик $\mathbf{A B C}$ ( $\overline{\mathbf{A C}}=\overline{\mathbf{B C}}$ ), симетралата на аголот при темето $A$ и висината повлечена од истото теме зафаќаат згол од $12^{\circ}$. Пресметај ги аглите на триаголникот ABC.
Решение: Случај 1) Според црт. 2.1: $\angle \mathrm{DAB}=\frac{\alpha}{2}-12^{\circ}$. Од $\triangle \mathrm{ABD}: \frac{\alpha}{2}-12^{\circ}+\alpha=$ $=90^{\circ} ; \alpha=68^{\circ}$. Третиот агол е $180^{\circ}-2 \cdot 68^{\circ}=44^{\circ}$. Случај 2) Според дрт. 2.2: $\angle \mathrm{DAB}=\frac{\alpha}{2}+12^{\circ}$. Од $\triangle \mathrm{ABD}: \frac{\alpha}{2}+12^{\circ}+\alpha=90^{\circ} ; \alpha=52^{\circ}$.
Црт. 2.2
B
Црт. 2.1
Третиот агол е $180^{\circ}-2 \cdot 52^{\circ}=76^{\circ}$. Значи, постојат два триаголници (две решенија) што ги исполнуваат условите на задачата.
VI-4. Дадени се три неколинеарни точки А, В и С. Конструирај права $p$ во истата рамнина, така што растојанијата од точките $A$, В и С до правата $\boldsymbol{p}$ да бидат еднакви меfу себе. Објасни ја ковструкцијата.
Решение: Бараната права треба да биде на растојание $d$ од правата $A B$ и од точката C(црт. 3). Значи, бараната права е паралелна с правата $A B$ и се наоға на растојание $d$ од неа. Бидејки растојанието од точката С до бараната права е исто така еднакво на $d$, следува дека ба-
раната права е скметрала на отсечката $\mathrm{C}_{1}$ која е нормална на правата $A B$ и $\mathrm{C}_{1} \in \mathrm{AB}$. Постојат уште два случаи, односно уште две прави со ова својство.
VII-1. Ако кон пронзводот на два последователни природни броја се додаде поголемиӧт од нив се добива квадратот на поголемиот број. Докажи!
Решение: Нека $\mathrm{x}$ и $\mathrm{x}+1$ се два последователии природни броја. Од условот имаме: $x(x+1)+x+1=x^{2}+x+x+1=x^{2}+2 x+1=(x+1)^{2}$, а ова е квадратот на поголемиот број.
VII-2. Tрапезот ABCD има крак $\overline{\mathrm{AD}}=6 \mathrm{~cm}$. Растојаноето од средишната точка $\mathbf{P}$ на кракот BC до кракот AD e $7 \mathrm{~cm}$. Пресметај ја плоштината на трапезот. ABCD.
Решение: Низ средишната точка на кракот ВС (црт.4) повлекуваме права $p \| A D$. Правата $p$ ја сече основата $\mathrm{AB}$ во точката $\mathrm{N}$, a продолжението на основата CD во точката M.
Црт. 4
Четириаголникот ANMD е паралелограм со висина $\overline{\mathrm{PQ}}=7 \mathrm{~cm}$ и основа $\overline{\mathrm{AD}}=6 \mathrm{~cm}$. Бидејки $\triangle \mathrm{NBP} \cong \triangle \mathrm{MCP}$ (според признакот $\mathrm{ACA}$ ), следува дека $\mathrm{P}_{\text {AscD }}=\mathrm{P}_{\text {NNDD }}=\overline{\mathrm{AD}} \cdot \overline{\mathrm{PQ}}=6 \mathrm{~cm} \cdot 7 \mathrm{~cm}=42 \mathrm{~cm}^{2}$.
VII-3. Едно парче хартија е исечено на 5 дела. Потоа некои од тие делови пак се исечени на по 5 дела итн. Овая постапка е повторена конечен број пати. Дали е можно на овој начин да се добијат 1997 парчища хартија?
Решетие: На почетокот има едно парче хартија. Со првото сечење се добиени 5 парчиња, односно бројот на парчината хартија е згалемен за 4. Ако едно од овие 5 парчиња се исече на 5 дела кее œе добијат вкутно 9. парчина, односно бројот на парчињата хартија е зголемен пак за 4. Ако оваа постапка продогки при секое сечење, Бројот на парчињата кке се зголемува за 4. Така̉ се добива низата броеви 1, $5,9,13$,... Секкј член од оваа низа при делење со 4 дава остаток 1. Бидејки бројот. 1997 три делење со 4 дава остаток $1(1997=4 \cdot 499+1$ ), заклучуваме дека е можно да с добијат 1997 парчиња хартија.
VII-4. Ако едниот остар агол во правоаголен триаголник е $15^{\circ}$, тогаї неговата хипотенуза е 4 пати поголема од висината што и́ одговара. Докаки!
Решение: Познато е деха техишната линија кон хипотевузата е еднаква на половината од хипотенузата, т.е. $\overline{\mathrm{CE}}=\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{BE}}$. Надворешниот агал BEC (црт. 5) на рамнокракнот триаголник ACE e $30^{\circ}$. Bo
C
Црт. 5 правоаголниот триаголних ECD стравата CD која е наспроти аголот од $30^{\circ}$, е половива од хипотенузата. Значм $\overline{\mathrm{CD}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{CE}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}}=\frac{1}{4} \overline{\mathrm{AB}}$, т.е. $\overline{\mathrm{AB}}=4 \cdot \overline{\mathrm{CD}}$.
е делива co \&. Докамки!
Решение: Нека двата непарви природни броја се броевите $2 m+1$ и $2 n+1$ (каде $m, n \in \mathbb{N}$ ) се двата непарин природии броја. Разликата на овве два ороја е $(2 m+1)^{2}-(2 n+1)$. Имаме: $(2 m+1)^{2}-(2 n+1)^{2}=4 m^{2}+4 m+1-4 n^{2}-4 n-1=$ $=4 m(m+1)-4 n(n+1)$. Сехој производ во горната разлика е делив со 8 , бидејки содржи множител 4 како и производ на последователни природин броеви.
## VIII-2. Даден е триаголник со
ochoвa $20 \mathrm{~cm}$ и висuna $15 \mathrm{~cm}$. Сo права паралелна со основата на триаголникот е отсечен триаголник со плошттия $24 \mathrm{~cm}^{2}$. Одреди на кое растојаиие се ияоѓa правята од основата.Решение: За односот на плоштините P и $\mathrm{P}$ ва слични триаголвади со висини $h$ п $h_{1}$ имаме: P:P. $=h^{2}: h_{1}^{2}$, или според црт.6: $\quad \mathrm{P}: \mathrm{P}_{1}=\overline{\mathrm{DC}}^{2}: \overline{\mathrm{PC}}^{2}$.
Црт. 6
$\overline{\mathrm{PC}}^{2}=\frac{\overline{\mathrm{DC}}^{2} \cdot \mathrm{P}_{1}}{\mathrm{P}}$ или $\overline{\mathrm{PC}}^{2}=\frac{15^{2} \cdot 24}{150} ; \overline{\mathrm{PC}}=6 \mathrm{~cm}$. Следи $\overline{\mathrm{DP}}=15-6=9 \mathrm{~cm}$. Правата е на растојание $9 \mathrm{~cm}$ од основата.
VIII-3. Даден е правоаголен триаголиик АBC ( $\angle \mathrm{C} \Rightarrow 90^{\circ}$ ), со катета $\overline{\mathrm{BC}}=30 \mathrm{~cm}$. Над катетата $\mathrm{AC}$, земена како дијаметар, е опинана полукрушница, која хипотенузата ја сече во точката D. Ако тетивата $\overline{C D}=24 \mathrm{~cm}$, пресметај ја должината на полукружницата.
Решение: Триаголникот CAD (црт. 7) е правоаголен (според Талесовата теоремa). Bo $\triangle B B C$, $\overline{\mathrm{BD}}=\sqrt{\overline{\mathrm{BC}}^{2}-\overline{\mathrm{CD}}^{2}}=\sqrt{30^{2}-24^{2}}=$ $=18 \mathrm{~cm}$
$\triangle B C D \sim \triangle C A D$, бидејкии $\angle \mathrm{BCD}=$
нормални краци. Следува дека $\overline{\mathrm{BC}}: \overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{CA}}: \overline{\mathrm{CD}}$ или $30: 18=$ $=\overline{C A}: 24$, na $\overline{C A}=2 r=40$,
Црт. 7 $r=20 \mathrm{~cm} . \mathrm{L}=r \pi=20 \pi \approx 62,8 \mathrm{~cm}$.
VIII-4. Tројца работливии, A, B и C, змедио, за 1 чес может да завривтт едита работа. Iosuвто е дска секој од иив шстата рабитта миже да ја завррин за цел број чвстви. Прртые, реботникот В рабіоти пикіроо од
може да ја заприт секпј од инв сам?
Решение: Нека работникот А сам ја завршува работата за а часа. работникот B, за $b$ часа, работникот C за с часа. За 1 час работникот A сам завршува $\frac{1}{a}$ од ра6отата, ра6отникот B, $\frac{1}{b}$, а ра6отникот С. $\frac{1}{c}$. Од условот имаме: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1 \ldots$ (*). при што $I<a<b<c$. Равенството (*) е исполнето само за $a=2, b=3, c=6$.
|