File size: 14,117 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 | # VII РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ
Задачите и решенијата се скенирани од книгата<br>Регионални натпревари по математика 83-95<br>Подготвена од Боривое Миладиновиќ
## V одделение
1. Место буква стави цифра - иста буква значи иста цифра. $\overline{\text { labcde }} \cdot 3=\overline{\operatorname{abcdel}}$.
2. Плоштината на еден двор, што има форма на правоаголник е 10 ари. Должината на едната страна е $25 \mathrm{~m}$. Да се огради дворот потребно е на секои 5 метри да се постави по еден столб. Колку столбови се потребни за оградување на дворот?
3. За $2 \mathrm{~kg}$ сливи и $3 \mathrm{~kg}$ јаболка платено е 6900 денари, а за $4 \mathrm{~kg}$ сливи и $7 \mathrm{~kg}$ јаболка 4200 денари. Колку чини еден килограм сливи, а колку еден килограм јаболка?
4. На правата р на цртежот определи точка М така што растојанието $\overline{\mathrm{AM}}+\overline{\mathrm{MB}}$ да биде најмало.
## $\mathbf{V}$ ourenemes
1. Azo секоја размाчна бухве е некоја цмфре тогаш:
| labcode $\cdot 3=\overline{\text { abcodel }}$ <br> labbcd7$\cdot 3=3=$ abcd 71 | $\in=7,6=д е ј k и 3.7=21$, <br> $d=5$, баддекки $3.5=15$ n |
| :---: | :---: |
| labces7 $\cdot 3=a$ | ejk: $3 \cdot 5=15$ и $5+2$ |
|  | бмдејkn 3-4=12 |
2. Плошттната на правоаголникот е: $\mathrm{P}=\mathrm{a} . \mathrm{b}$ т.c. 1000 - 25 . След\#\# $д-40 \mathrm{~m}$. Переместарот на правоатолнпкот e: $\mathrm{L}=2(\mathrm{a}+\mathrm{b})=130 \mathrm{~m}$. Потребннот број на столбопп е $130: \mathrm{s}=26$.
$3.2 \mathrm{~kg}$ слнве в $3 \mathrm{~kg}$ јаболка чинат 6900 денари.
$4 \mathrm{~kg}$ сливи п $6 \mathrm{~kg}$ јабалка чпнат $6900 \cdot 2=13800$ денари.
$4 \mathrm{~kg}$ слнве и $7 \mathrm{~kg}$ јаболха чднат 15300 денару.
Од вторшот п третпот заклучок се добива дека еден хилограм јаболка чвнит 15300-13800=1500 денарн. Еден килограм слиаи чинни ( $6900-3 \cdot 1500$ ):2=1200 денари.
4. Ja наołaue точката $A_{1}$ спметрична на А во однос на правата р. Оттука следува дека $\overline{A M}=\overline{A_{1} \mathrm{M}}$. Точката M е бараната точка, бидејки $\overline{A_{1} B}$ в е најмалото растојание од $\mathrm{A}_{1}$ до B. Бидејки $\overline{\mathrm{AM}}=\overline{\mathrm{A}_{1} \mathrm{M}}$, следува дека $\overline{\mathrm{AM}}+\overline{\mathrm{MB}}=\overline{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}}$ е најмалото растојанне.
## VI одделепие
1. Одреди ги $x \in Z$ и $y \in Z$ ако $e|x| \cdot|y|=12$.
2. На цртежот дадено е $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}$ и $\overline{\mathrm{AE}}=\overline{\mathrm{AD}}$. Докажи дека $\overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{CE}}$.
3. На состанок на пионерскиот совет на едно училиште биле присутни 12 членови. Отсутни биле $\frac{1}{7}$ од вкупниот број. Колу членови броел пионерскиот совет?
4. Во рамнокракиот триаголник $\mathrm{ABC}(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BC}})$, со периметар $22 \mathrm{~cm}$, повлечена е медијана $\mathrm{AA}_{1}$. Периметрите на триаголниците $\mathrm{ABA}_{1}$ и $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{C}$ соодветно се $17 \mathrm{~cm}$ и $19 \mathrm{~cm}$. Да се определат должините на страните на триаголникот ABC.
## VI одлелепмее
1. Корнстиме дека $|x| \cdot|y|=\{x \cdot y \mid=12$. Решенисто र̆e бпде сатге можнн парови ( $x, y$ ) чшj провзвод е 12 нли -12 т.е. $((x, y) \mid x \cdot y=12$ клा $x \cdot y=12$ п $x, y \in Z\}$.
2. Tр аагалвицвте ABD в ACE се сестадни (впды цртех), бидејки $\overline{\mathrm{AE}}=\overline{\mathrm{AD}}, \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}$ и $\angle \mathrm{BAC}$ км е заедничкм.
Од складноста на трнаголнндрте следува деха $\overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{CE}}$.
3. Ако бнле отсутни $\frac{1}{7}$, тогаш присутни 6 иле $\frac{6}{7}$ од вкупниот број. Нека $x$ е бројот на сите членови, тогаш
$$
\frac{6}{7} x=12 \text {, r.e. } x=\frac{12 \cdot 7}{6}=14
$$
4. Види: VIII р.н. VII/2.
## VII одделение
1. За која вредност на $x$ изразот $(3 x-4) \cdot(7 x+8)-1,5 x(24 x+4)-5(1-2 x)$ е негативен ?
2. Еден работник ја исполнува нормата за 6 часа, друг за 5 часа, а трет за 4,5 часа. Работејќи заедно тие изработиле за еден час вкупно 795 предмети. По колку предмети изработил секој од нив ?
3. Во кружница $k$ повлечен е радиус OP и тетива $\mathrm{AB}$ која е симетрала на дадениот радиус. Докажи дека АВ е страна на рамнострани триаголник впишан во кружницата.
4. Во рамнокракиот трапез $\mathrm{ABCD}(\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{BC}}=6 \mathrm{~cm}$ ), а дијагоналата ја дели средната линија на делови од $2 \mathrm{~cm}$ и $5 \mathrm{~cm}$. Одреди:
a) периметар на трапезот?
б) аглите на трапезот?
## VII одделение
1. Види: III р.н. VII/2.
2. За I час првнот исполнува $\frac{1}{6}$, вториот $\frac{1}{5}$, а третиот $\frac{1}{4,5}=\frac{2}{9}$ од нормата. Нека $x$ се вкупно предмети што тие треба да ги изработат. За еден час тие ќе изработат: $\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{2}{9}\right) \cdot x=795 ; x=795 \cdot \frac{90}{30}=1350$.
Првиот изработнл: $1350: 6=225$, вторнот: $1350: 5=270$, " третиот: $1350: 4,5=300$.
3. Од $\overline{\mathrm{OB}}=\mathrm{r}, \overline{\mathrm{OD}}=\frac{\mathrm{r}}{2}$ (во правоаголниот трнаголннк катетата наспроти аголот од $30^{\circ}$ е еднаква на половина од хипотенузата) следува дека $\angle \mathrm{DBO}=30^{\circ}$, а $\angle \mathrm{BOD}=60^{\circ}$. Од истн причинн н $\angle \mathrm{DAO}=30^{\circ}$, а $\angle A O D=60^{\circ}$, т.е. $\angle A O B=1200$. Централниот агол $B O C=1200$, како надворешен агол на триаголникот BOD. Од истн прнчнии н аголот $\mathrm{AOC}=120^{\circ}$. Aко централните агли се еднакви, тогаш се еднакви и нивните соодветни периферни агли, т.е.
$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=60^{\circ}, \triangle \mathrm{ABC}$ е рамностраи.
4. Бидејки MN е средна линнја на трапезот, тогаш MP е средна линија на триаголникот $\mathrm{ADC}$, т.e. $\mathrm{b}=\overline{\mathrm{DC}}=2 \overline{\mathrm{MP}}=4 \mathrm{~cm}$. $\mathrm{PN}$ е средна линија на трнаголникот $\mathrm{ABC}$, т.е. $\mathrm{a}=\overline{\mathrm{AB}}=2 \overline{\mathrm{PN}}=10 \mathrm{~cm}$.
a) Периметарот на трапезот $\mathrm{L}=\mathrm{a}+\mathrm{b}+2 \mathrm{c}=10+4+2 \cdot 6=26 \mathrm{~cm}$.
6) Ако повлечеме $\mathrm{CC}_{1} \| \mathrm{AD}$, тогаш трнаголннкот $\mathrm{C}_{1} \mathrm{BC}$ е рамностран, бидејки $\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{C}_{1} \mathrm{C}}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{a} \overline{\mathrm{C}_{1} \mathrm{~B}}=\mathrm{a}-\mathrm{b}=6 \mathrm{~cm}$. Тогаш острите аглн на тралезот се $60^{\circ}$, а тапите 1200 .
## VIII одделение
1. Докажи дека ако природниот број $n$ не е делив со 5 , тогаш $n^{2}+1$ или $n^{2}-1$ e делив со 5 .
2. Возот влегол во тунел за 15 секунди. До излегувањето од тунелот на последниот вагон од возот, поминале уште 30 секунди. Колку е долг возот и со каква брзина се движел ако тунелот бил долг 300 метри ?
3. Во триаголник $\mathrm{ABC}$ бисектриса на аголот $\mathrm{A}$ ја сече страната $\mathrm{BC}$ во точката D. Низ D е повлечена права паралелна со $A C$, којашто AB ја сече во точката E. Низ точката E е повлечена права паралелна со $\mathrm{BC}$, којашто $\mathrm{AC}$ ја сече во точката F. Докажи дека $\overline{\mathrm{AE}}=\overline{\mathrm{CF}}$.
4. Пресметај ја плоштината на делтоид со страни 16 и $20 \mathrm{~cm}$, а дијагоналата што не е негова оска на симетрија е $20 \mathrm{~cm}$.
## VIII одделение
1. Ако природниот број не е делив со 5 , тогаш остатоците при тоа делење се $1,2,3$ и 4. Во тој случај бројот: $n=5 k+1, n=5 k+2, n=5 k+3$ н $n=5 k+4 ; k \in N$. Со замена за секое п во дадените изразн нмаме:
I0 $3 \mathrm{a} \mathbf{n}=5 \mathbf{k}+1$ :
$$
\begin{aligned}
& n^{2}+1=(5 k+1)^{2}+1=25 k^{2}+10 k+2 \text { не е делнв со } 5 . \\
& n^{2}-1=(5 k+1)^{2}-1=25 k^{2}+10 k=5 k(5 k+2) \text { е делив cos }
\end{aligned}
$$
За останатите случаи се нспитува на ист начин.
2. Бидејќи возот влегол во тунелот за 15 секунди. а до нзлегувањето помннале уште 30 секунди, тогаш должината на возот с два пати помала од должината на тунелот, т.е. $150 \mathrm{~m}$. Брзината на возот е: $\mathrm{v}=\frac{150 \mathrm{~m}}{15 \mathrm{~s}}=10 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\frac{10}{1000}=36 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.
3. Бидејќи $A D$ е снметрала на аголот Bo темето А. следува дека $\angle 1=\angle 2$. Аголот $\angle 1=\angle 3$, како наизменични агли на трансверзала. Оттука следува дека $\angle 2=\angle 3$. т.е. триаголникот AED e рамнокрак и $\overline{\mathrm{AE}}=\overline{\mathrm{DE}}$. Четириаголникот FCDE е паралелограм по конструкција. т.е. $\overline{\mathrm{DE}}=\overline{\mathrm{CF}}$.
4. Страните на делтоидот се $\overline{\mathrm{AB}}=20 . \overline{\mathrm{AD}}=16$ и $\overline{\mathrm{AC}}=20 \mathrm{~cm}$. Триаголникот $\mathrm{ABC}$ е рамностран и неговата плоштина е: $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{a}^{2} \sqrt{3}}{4}=\frac{20^{2} \sqrt{3}}{4}=100 \sqrt{3}$.
Плошгтината на $\triangle \mathrm{ADC}$ е: $\mathrm{P}_{2}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}} \cdot \overline{\mathrm{DO}}$;
$\overline{\mathrm{DO}}=\sqrt{\overline{\mathrm{AD}}^{2}-\left(\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}\right)^{2}}=\sqrt{16^{2}-10^{2}} ; \overline{\mathrm{DO}}=2 \sqrt{39}$.
$P_{2}=\frac{1}{2} 20 \cdot 2 \sqrt{39} ; P_{2}=20 \sqrt{39}$. Плоштината на дел-
тоидот $\mathrm{e}: \mathrm{P}=(100 \sqrt{3}+20 \sqrt{39}) \mathrm{cm}^{2}$.
B
|