File size: 18,594 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 | # II РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ
Задачите и решенијата се скенирани од книгата<br>Регионални натпревари по математика 83-95<br>Подготвена од Боривое Миладиновиќ
## V одделение
1. Дадена е кружница $\mathrm{k}(0 ; 24 \mathrm{~mm}$ ). Точката $\mathrm{M}$ е оддалечена од центарот $\mathrm{O}$ за $40 \mathrm{~mm}$. Определи го најголемото и најмалото растојание од точката $\mathrm{M}$ до кружницата. Направи цртеж.
2. Дадени се множествата $\mathrm{E}=\{1,2,3\}, \mathrm{F}=\{4,5,6\}$ и $\mathrm{G}=\{7,8\}$. Утврди дали се вистинити следниве искази:
a) $G x(E \cap F)=(G x E) \cap(G x F)$;
б) $G x(E \backslash F)=(G x E) \backslash(G x F)$. 8. Збирот на шест последователни природни броеви е 1287. Кои се тие бро-
еви?
3. Колку ламарина е потребно да се направи олук во форма на квадар чии димензии се $12 \mathrm{~cm}, 2 \mathrm{dm}$ и $3 \mathrm{dm}$ ?
$V$ oдreлемие
1. Најблиската и најодалечената точка на кружницата од точката $М$ се точките $\mathrm{A}$ и $\mathrm{B}$, во кон правата МО ја сече хружницата. $\overline{\text { MA }}=\overline{\text { MO}}-\overline{A O} ; \overline{\text { MA }}=40-24=16 \mathrm{~mm}$ $\overline{\mathrm{MB}}=\overline{\mathrm{MO}}+\overline{\mathrm{OB}}=40+24=64 \mathrm{~mm}$.
2. Дадени се множествата: $E=\{1,2,3\}, F=\{4,5,6\}$ и $\mathrm{G}=\{7,8\}$.
a) $E \cap F=\varnothing ; G \times(E \cap F)=\{7,8\} \times \varnothing=\varnothing$;
$\operatorname{GxE}=\{7,8\} \times\{1,2,3\}=\{(7,1) ;(7,2) ;(7,3) ;(8,1) ;(8,2) ;(8,3)\}$
$\mathrm{GxF}=\{7,8\} \times\{4,5,6\}=\{(7,4) ;(7,5) ;(7,6) ;(8,4) ;(8,5) ;(8,6)\}$
(GXE)n(GxF) $\varnothing$.
б) $\mathrm{EFF}=\{1,2,3\} \backslash 4,5,6\}=\{1,2,3\}$
$\operatorname{Gx}(\mathrm{EY})=\{7,8\} \times\{1,2,3\}=\{(7,1) ;(7,2) ;(7,3) ;(8,1) ;(8,2) ;(8,3)\}$
$(\operatorname{GxE})(\mathrm{GPF})=\{(7,1),(7,2),(7,3),(8,1),(8,2),(8,3)\}$.
Според тоа двете равенства се точни.
3. $x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)=1287$;
$6 x+15=1287$;
$6 \mathrm{x}=1287-15=1272$
$\mathrm{x}=1272: 6=212$.
Тие броевн се: $212,213,214,215,216,217$.
4. Бараната ламарина претставува обвнвката на олук во форма на квадар. Плоштината $M=2(a c+b c)$. Бидејќи $\mathrm{a}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{~b}=20 \mathrm{~cm}, \mathrm{c}=300 \mathrm{~cm}$, имаме:
$M=2(12 \cdot 300+20 \cdot 300)=19200 \mathrm{~cm}^{2}=192 \mathrm{dm}^{2}$.
## VI одделение
1. Еден автомобил за 3 часа поминал $320 \mathrm{~km}$. Првиот час поминал 0,325 од овој пат, а вториот час 0,75 од преостанатиот дел од патот. Колкав пат поминал автомобилот третиот час ?
2. Две отсечки со заедничка внатрешна точка се поделени така што поголемиот дел на првата отсечка два пати е поголем од поголемиот дел на втората отсечка, а помалиот дел на другата отсечка три пати е поголем од помалиот дел на првата отсечка. Првата отсечка е за $3 \mathrm{~cm}$ подолга од втората. Колку се долги тие две отсечки ако помалиот дел од првата отсечка за $2 \mathrm{~cm}$ е покус од помалиот дел на втората отсечка?
3. Сашко, Јован и Биљана заработиле заедно 4000 денари. Заработувачките на Сашко и Јован се однесуваат како $7 \frac{1}{2}: 1 \frac{3}{4}$. Биљана заработила $\frac{13}{30}$ од Сашковата заработувачка. Колку заработил секој од нив ?
4. Над кракот на рамнокрак триаголник конструиран е рамностран триаголник. Периметарот на така добиената фигура е $26 \mathrm{~cm}$. Одреди ги страните на тие триаголници, ако кракот на рамнокракиот триаголник е за $2 \mathrm{~cm}$ подолг од неговата основа.
## VI одделенне
1. Првиот час автомобилот помннал $320 \cdot 0,325=104 \mathrm{~km}$, вториот ( $320-320-0,325) \cdot 0,75=$ $=162 \mathrm{~km}$, а третиот час $320-(104+162)=54 \mathrm{~km}$.
2. Од условот на задачата имаме: $\overline{\mathrm{AM}}=2 \overline{\mathrm{CM}}$; $\overline{\mathrm{DM}}-\overline{\mathrm{BM}}=2 \mathrm{~cm}$;
$\overline{\mathrm{DM}}=3 \overline{\mathrm{BM}}, \overline{\mathrm{AB}}-\overline{\mathrm{CD}}=3 \mathrm{~cm} ., \mathrm{OA} \overline{\mathrm{DM}}=3 \overline{\mathrm{BM}}$ и
$\overline{\mathrm{DM}}-\overline{\mathrm{BM}}=2$ cregh $了 \overline{\mathrm{BM}}-\overline{\mathrm{BM}}=2 ; 2 \overline{\mathrm{BM}}=2$; $\widehat{B M}=1 \mathrm{~cm} A \overline{D M}=3 \mathrm{~cm}$.
$\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AM}}+\overline{\mathrm{MB}}=\overline{\mathrm{AM}}+1=2 \overline{\mathrm{CM}}+1$
$\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{CM}}+\overline{\mathrm{MD}}=\overline{\mathrm{CM}}+3.0 \mathrm{~A} \overline{\mathrm{AB}}-\overline{\mathrm{CD}}=3$ имаме
$2 \overline{\mathrm{CM}}+1-(\overline{\mathrm{CM}}+3)=3 \Rightarrow \overline{\mathrm{CM}}=3+3-1=5 \mathrm{~cm}$.
$\overline{\mathrm{AB}}=2 \cdot 5+1=11 \mathrm{~cm} . \overline{\mathrm{CD}}=5+3=8 \mathrm{~cm}$.
3. Ако С, Ј и 6 се првите букви на нмината на Сашка, Јован и Биљана, тогаші иквните заработувачки се: $\mathrm{C}: \mathrm{J}=7 \frac{1}{2}=1 \frac{3}{4}$. Со користене вs својствата пна пропорипја, истата ја заменуваме co:C: $7 \frac{1}{2}=\mathrm{J}: 1 \frac{3}{4}=\mathrm{k} ; \mathrm{C}: 7 \frac{1}{2}=\mathrm{k}$ т.e. $\mathrm{C}=\frac{15}{2} \mathrm{k} ; \mathrm{J}: 1 \frac{3}{4}=\mathrm{k}$ т.e. $\mathrm{J}=\frac{7}{4} \mathrm{k}$. Биљана ќе заработи $\frac{13}{30}$ од заработувачката на Сашко т.е. $\mathrm{B}=\frac{13}{30} \cdot \frac{15}{2} \mathrm{k}=\frac{13}{4} \mathrm{k}$.
Бидејки тие вхупно заработкле 4000 денари, тогапи $\frac{15}{2} k+\frac{7}{4} k+\frac{13}{4} k=4000$, од каде добиваме $\frac{50}{4} \mathrm{k}=4000 ; \mathrm{k}=320$. Сашко заработнл $\frac{15}{2} \cdot 320=2400$ денярн.
Іован заработил $\frac{7}{4} \cdot 320=560$ денари.
Биљавка зарайотита $\frac{13}{4} \cdot 320=1040$ денари.
4. Бараната фигура е четирнвголникот ABMC чни первметар е: $\mathrm{L}=\mathrm{a}+3 \mathrm{~b}=26$. Бидејки b=a+2, тогаш: $a+3(a+2)=26$;
$a+3 a+6=26$; $4 a=20$;
$\mathrm{a}=5 \mathrm{~cm}$ и $\mathrm{b}=7 \mathrm{~cm}$.
## VII одделенне
1. Една пумпа за вода дава $72 \mathrm{~m}^{3}$ вода за 4 часа и 12 минути. За колку време ќе даде $2140 \mathrm{~m}^{3}$ вода?
2. Дадени се полиномите: $A=2 x^{2}-3 x+4 ; B=x^{2}-2 x-3 ; c=3 x^{2}-8 x+5$. Одреди ја вредноста на $\mathrm{x}$ ако $2 \mathrm{~A}-\mathrm{B}-\mathrm{C}=0$.
3. Да се конструира трапез ако збирот од основите $\mathrm{a}+\mathrm{b}=12$, висината $\mathrm{h}=5 \mathrm{~cm}$ и аглите на поголемата основа се $\alpha=75^{\circ}$ и $\beta=45^{\circ}$.
4. Во рамнокрак триаголник основата е $\frac{4}{7}$ од кракот. Ако секоја од страните на триаголникот се зголеми за $\frac{1}{7}$ од кракот, периметарот на новодобиениот триаголник ќе биде $42 \mathrm{~cm}$. Одреди ги страните на тој триаголник.
## VII oдлеление
1. I начин: Ако за $4 \frac{1}{5}$ часа пумпата да木а $72 \mathrm{~m}^{3}$ вода. тогаш за 1 час ке даде $72: 4 \frac{1}{5}=17 \frac{1}{7} \mathrm{~m}^{3}$, а $2140 \mathrm{~m}^{3}$ вода кее даде за $2140: 17 \frac{1}{7}=124 \frac{5}{6}$ часа. т.е. за 124 часа и 50 мйнути.
II начни: Задачата може да се реши и со тримена на пропорција.
$$
\uparrow \begin{array}{r}
72 \mathrm{~m}^{3} \\
2140 \mathrm{~m}^{3}
\end{array} \uparrow \begin{aligned}
& 4 \text { чaca } 12 \mathrm{mrH} . \\
& \times \text { чaca }
\end{aligned}
$$
$$
x: 4 \frac{1}{5}=2140: 72: \quad x=\frac{2140 \cdot 4 \frac{1}{5}}{72}=124 \text { часа и } 50 \text { мнн. }
$$
2. Ако да่демите полиноми ти замениме шо условот. ќ́ добиеме:
$2\left(2 x^{2}-3 x+4\right)-\left(x^{2}-2 x-3\right)-\left(3 x^{2}-8 x+5\right)=0 \Leftrightarrow 4 x^{2}-6 x+8-x^{2}+2 x+3-3 x^{2}+8 x-5=0 \Leftrightarrow 4 x-6=0 \Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$.
## 3. 1 - pemenue:
Amยлиза: Да претпоставиме дека задачата е решена т.е. дека трапезот ABCD е конструиран. На правяте AB и DC ти определуваме точкнте $\mathrm{M}$ и N. така што $\overline{\mathrm{BM}}=\overline{\mathrm{CN}}=$ b. На тој начин е добнен трапезот ABCD. за кој е познато : $\overline{A M}=a+b . \angle D A B=750 . \angle \mathrm{NMB}=450$ и $\overline{\mathrm{DD}_{1}}=\mathrm{h}$. т.е. трапезот може да се конструира. Темето С
е на средина на страната DN, a темето B кее то добиеме како пресек на правата AM и правата повлечена низ темето С паралелиа со правата MN .
## Koneтpycunga :
Во точките А в М на отсечката $\overline{\mathrm{AM}}=\mathrm{a}+\mathrm{b}$ ги конструвраме аглите $\alpha$ и $\beta$, а од пронзволна точка $D_{1}$ на АМ повлекуваме нормала на која ја нанесуваме висината $h$. Од крајната точка на висината помлекуваме права паралелна $\infty$ АМ која ги сече краците на аглите $\alpha$ и $\beta$ во точките D и N. На средината на DN е точката C, низ која повлекуваме права паралелиа со кракот MN, што ја сече правата AM во-точката B.
Доназ: Елементите на трапезот одговараат на конетрукцијата.
## II - pemenne:
Апмлма: Да претпоставиме дека задачата е решена, т.е. дека трапезот ABCD е конструиран.
Средната линија на трапезот $\overline{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}$. Ннз средните точки М и N на краците на трапезот, конструирани се аглите $\alpha$ и $\beta$. Краците на аглите гн сечат паралелните прави р и q. коп се на
растојание на дадената висниа. Пресечните точхи се темиња на трапезот.
Конструкцијата извршн ја сам.
## 4. Нека а е основата, a b кракот на триаголникот.
кои го задоволуваат условот $\mathrm{a}=\frac{4}{7}$. Ако $\mathrm{al}_{\text {в }}$ b। се страните на новнот трнаголник, шгто се зголеми за $\frac{1}{7}$ од кракот $b$, тогат $a_{1}=a+\frac{1}{7} b=\frac{4}{7} b+\frac{1}{7} b=\frac{5}{7} b$. $b_{1}=b+\frac{1}{7} b=\frac{8}{7}$. Периметарот на щовиот траголних e: $\mathrm{L}=\mathrm{a}_{1}+2 \mathrm{~b}_{1}=42 \mathrm{~cm}$;$\frac{5}{7} b+2 \cdot \frac{8}{7} b=42$, од каде добнваме дека:
$3 b=42 ; b=14 \mathrm{~cm} \quad \mathrm{a}=\frac{4}{7} \cdot 14=8 \mathrm{~cm}$.
## VIII одделение
1. Дадена е функцијата $y=(k-2) \cdot x+2 \cdot x-5$. Опредеди го параметарот $k$ така што:
a) графикот на функцијата да поминува низ точката $M(3,4)$;
б) за најдената вредност на $k$ одреди ја плоштината на триаголникот што го образуваат графикот на функцијата и координатните оски.
2. Бројот 1440 реаздели го на три дела така што тие се однесуваат како 2:3:4.
3. Конструирај кзадрат што е еквивалентен на делтоид, чии дијагонали се долги $\mathrm{d}_{1}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{~d}_{2}=7 \mathrm{~cm}$.
4. Во правоаголен триаголник $\mathrm{ABC}(\mathrm{AC} \perp \mathrm{BC}$ ) со должина на страните $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ и с е впишана кружница со радиус $r$. Докажи дека $r=\frac{a+b-c}{2}$.
## VIII oдтелепве
1. а) Ако ти заменнме координатуте на точката $x=3$ и $y=4$ во дадената функщва, тorau $4=(k-2) \cdot 3+2 \cdot 3-5 \Leftrightarrow 3 k=9 \Leftrightarrow k=3$.
6) За $k=3$ фуикцрјата е $y=3 x-5$, чиј график e претставен на цртежот. Бараннот трнаголннк е правоаголен со катети $b=5$ и а за која $3 a-5=0$, T.e. $a=\frac{5}{3} \cdot p=\frac{1}{2} a \cdot b=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{5}{3}=\frac{25}{6}$
2. Нека деловите a, b и с се со з6ир 1440, a a:b:c=2:3:4. Од дадената пропорцвја имаме $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{k}{4} a=2 k ; b=3 k ; c=4 k .2 k+3 k+4 k=1440 \Leftrightarrow 9 k=1440 \Leftrightarrow k=160$. 234 Деловнте се: $a=320, b=480$ п $c=640$.
3. Aвапмва: Бндејки квадратот е екркватентен со делтондот, тоа значи дека неговата плоштяна е:
$\mathrm{P}=\frac{\mathrm{d}_{1} \mathrm{~d}_{2}}{2}=\frac{6 \cdot 7}{2}=21 \mathrm{~cm}^{2}$. Страната а на квадраратот е катета на правоаголниот трнаголник со хипотенуза $5 \mathrm{~cm}$ в катета $2 \mathrm{~cm}$.
Кошструкцада Конструвраме правоаголен трнаголник $\mathrm{ABC}$ оо катета $\overline{\mathrm{AC}}=2 \mathrm{~cm}$ и хнпотенуза $\overline{\mathrm{AB}}=5$ $\mathrm{cm}$. Катетата a $=\overline{\mathrm{BC}}$ е страна на бараниот квадрат BCMN .
Доказ: Квадратот BCMN е бараннот, бидејки ието вата плошттна е: $\mathrm{P}^{-2}{ }^{2}=5^{2}-2^{2}=21 \mathrm{~cm}^{2}$.
Дескусмја: Задачата вма едннствено решение, бидејки со хипотенузата с и катетата b ( $>$ b) трнаголникот $\mathrm{ABC}$ е еднозначно определен.
4. Нека а и b се катети, а с хипотенузата на правоаголниот трнаголннк. Бидејки радиусот на кружницата е нормален на страната во допщрната точка, следува четирнаголникот $\mathrm{CB}_{1} \mathrm{OA}_{1}$ е квадрат со страна r. $\overline{\mathrm{AB}_{1}}=\mathrm{b}-\mathrm{r}$ и $\overline{\mathrm{BA}_{1}}=\mathrm{a}-\mathrm{r}$. Страните на триаголннкот се тангенти на кружницата . Според тoa: $\overrightarrow{\mathrm{AC}_{1}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}_{1}}=b-r$; $\overline{\mathrm{BC}_{1}}=\overline{\mathrm{BA}_{1}}=\mathrm{a}-\mathrm{r} ; \mathrm{c}=\overline{\mathrm{AC}_{1}}+\overline{\mathrm{BC}_{1}}=b-r+a-r$;
$c=b+a-2 r$ т.e. $r=\frac{a+b-c}{2}$.
|