File size: 17,324 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 | # Úlohy domácího kola kategorie $\mathrm{C}$
1. Pro libovolné trojciferné čislo určíme jeho zbytky při dělení čisly 2, 3, 4, ..., 10 a získaných devět čisel pak sečteme. Zjistěte nejmenši možnou hodnotu takového součtu.
ŘEŠENí. Označme $S(n)$ součet uvedených zbytků trojciferného čísla $n$. Vysvětlíme, proč $S(n) \geqq 3$.
- Pro liché $n$ je $S(n) \geqq 5$ (uvažte zbytky při dělení sudými čísly $2,4,6,8$, 10). Dále tedy necht $n$ je sudé.
- Pokud $4 \nmid n$, tak $S(n) \geqq 4$ ( $n$ dává při dělení čísly 4 a 8 zbytek aspoň 2 ). Necht̀ $n$ je dále dělitelné čtyřmi.
- Pokud $8 \nmid n, \operatorname{tak} S(n) \geqq 4$ (zbytek 4 při dělení číslem 8 ). Proto necht̉ je dále $n$ dělitelné osmi.
- Pokud $3 \nmid n$, tak $S(n) \geqq 3$ ( $n$ dává při dělení čísly $3,6,9$ zbytek aspoň 1 ). Necht́ je dále $n$ dělitelné osmi a třemi.
- Pokud $9 \nmid n$, tak $S(n) \geqq 3$ (zbytek aspoň 3 při dělení číslem 9 ). Necht dále $8 \mid n$ a $9 \mid n$.
- Pokud $5 \nmid n, \operatorname{tak} S(n) \geqq 3$ (zbytek aspoň 1 při dělení číslem 5 a zbytek aspoň 2 při dělení číslem 10).
Předpokládejme proto, že $5|n, 8| n$ a $9 \mid n$. Pak přicházejí do úvahy už jen čísla 360 a 720 , pro něž $S(360)=3$ a $S(720)=9$. Tím je nerovnost $S(n) \geqq 3$ dokázaná. Zároveň jsme zjistili, že $S(n)=3$ např. pro $n=360$. (Je také $S(840)=3$.)
JINÉ ŘEŠENí. Uvažujme jen ten případ, kdy číslo $n$ není dělitelné nejvýše dvěma z čísel $2,3, \ldots, 10$ (jinak $S(n) \geqq 3$ ). Pokud je tento „nedělitel" jediný, je to nutně číslo 7 (musí to být prvočíslo, jehož dvojnásobek je větší než 10), takže $360 \mid n$. Pokud jsou takoví „nedělitelé“ dva, musí to být některá z dvojic 5 a 10,8 a 9,7 a 8,7 a 9,4 a 8 . V každém případě $6 \mid n$, takže snadno ukážeme, že jeden z obou kladných zbytků je větší než 1 , tedy $S(n) \geqq 3$.
NÁVODNÉ ÚLOHY:
1. Jaké jsou všechny možné součty zbytků čísla po dělení čísly 3,6 a 9 ?
2. Najděte všechna čtyřmístná čísla, která po dělení čísly $4,5,6,7$ a 8 dávají zbytky
a) $1,1,1,1,1$;
b) $3,4,5,6,7$;
c) $1,1,1,4,1$.
ROZŠIŘUJÍCÍ ÚLOHA:
Určete všechna pěticiferná čísla $A$ s následující vlastností: zapíšeme-li za sebou (zleva doprava) zbytky, které dává číslo $A$ po dělení čisly $2,3,4,5$ a 6 , dostaneme opět původní číslo $A$. [11 311 (45-C-S-3)]
2. Najděte všechny trojúhelniky $A B C$, pro které platí $a+v_{a}=b+v_{b}$ při obvyklém označení stran a výšek trojúhelniku.
ŘEŠENí. Pro obsah $S$ trojúhelníku $A B C$ platí
$$
S=\frac{a \cdot v_{a}}{2}=\frac{b \cdot v_{b}}{2}
$$
Po dosazení do dané rovnosti dostaneme rovnost $a+\frac{2 S}{a}=b+\frac{2 S}{b}$. Jednoduchou úpravou odtud dále plyne $a-b=2 S \frac{a-b}{a b}$, neboli $(a-b)(a b-2 S)=0$. Je tedy bud' $a=b$ (a tedy $v_{a}=v_{b}$ ), nebo $S=\frac{a b}{2}$ ( $\mathrm{tj} \cdot v_{a}=b$, úhel $A C B$ je pravý a $\left.v_{b}=a\right)$. Snadno se přesvědčíme, že oba případy vyhovují.
Podmínce úlohy vyhovují všechny rovnoramenné trojúhelníky se základnou $A B$ a všechny pravoúhlé trojúhelníky s přeponou $A B$ (a žádné jiné).
NÁVODNÉ ÚLOHY:
1. Určete všechny trojúhelníky $A B C$, pro jejichž obsah $S$ platí $8 S^{2}=b^{2} c^{2}$.
2. Určete všechny trojúhelníky $A B C$, v nichž pro velikosti stran a výšek platí
a) $a+\frac{1}{v_{a}}=c+\frac{1}{v_{c}} ;$
b) $a+\frac{1}{v_{c}}=c+\frac{1}{v_{a}}$.
[a) $a=c$; b) $a=c$ nebo $S=\frac{1}{2}$.]
ROZŠIŘUJÍcí ÚLOHA:
Je dáno přirozené číslo $n$. Určete všechny trojúhelníky $A B C$, pro něž platí
$$
a^{n}+v_{a}^{n}=c^{n}+v_{c}^{n} .
$$
[Jedině trojúhelníky, v nichž $a=c$, anebo jež mají pravý úhel při vrcholu $B$.]
3. Sto dětí se rozdělilo do tří družstev $A, B$ a $C$. Poté, co jedno dítě přestoupilo $z A$ do $B$, jedno $z B$ do $C$ a jedno $z C$ do $A$, se prümérná hmotnost dětí zvýšila $v$ družstvu $A$ o $120 \mathrm{~g}$, $v$ družstvu $B$ o $130 \mathrm{~g}$, zatímco $v$ družstvu C se snižila o $240 \mathrm{~g}$. Kolik dětí bylo v jednotlivých družstvech?
ŘEŠEní. Označme $a, b$ a $c$ po řadě počty dětí v družstvech $A, B$ a $C$, dále neché $\bar{a}, \bar{b}$ a $\bar{c}$ je po řadě průměrná hmotnost ( $\mathrm{v}$ gramech) dětí $\mathrm{v}$ družstvech $A, B$ a $C$ před výměnou. Nakonec označme $a_{1}, b_{1}$ a $c_{1}$ po řadě hmotnost (v gramech) dítěte, které přestoupilo z $A$ do $B$, z $B$ do $C$ a z $C$ do $A$.
Celková hmotnost dětí v družstvu $A$ byla pred výměnou $a \cdot \bar{a}$. Z podmínky v zadání sestavíme následující rovnici
$$
\frac{a \cdot \bar{a}-a_{1}+c_{1}}{a}=\bar{a}+120 .
$$
Po jednoduché úpravě vyjde
$$
-a_{1}+c_{1}=120 a \text {. }
$$
Obdobně dostaneme i
$$
-b_{1}+a_{1}=130 b \quad \text { a } \quad-c_{1}+b_{1}=-240 c
$$
Sečtením těchto tří rovnic dostaneme (po vydělení deseti a dalších úpravách)
$$
\begin{aligned}
12 a+13 b & =24 c=24(100-a-b), \\
36 a+37 b & =2400, \\
36(a+b)+b & =2400=36 \cdot 66+24 .
\end{aligned}
$$
Z podmínky $0<b<100$ a poslední rovnice vyplývá, že mohou nastat jen tři následující případy:
a) $a+b=66, b=24$;
b) $a+b=65, b=60$;
c) $a+b=64, b=96$.
A zřejmě jen prvé dva vedou k přípustným řešením $(a>0)$. Ještě ověříme, zda obě získaná řešení skutečně vyhovují podmínkám úlohy. $V$ případě a) máme $a=42, b=24, c=34 ; c_{1}-a_{1}=5040$ a $a_{1}-b_{1}=3120$, zatímco v prípadě $\left.\mathrm{b}\right)$ máme $a=5, b=60, c=35 ; c_{1}-a_{1}=600$ a $a_{1}-b_{1}=7800$. Tyto výsledky zřejmě mohou odpovídat reálné situaci.
Odpověd': Počty dětí v družstvech $A, B, C$ byly po řadě bud' $42,24,34$, anebo $5,60,35$.
## NÁVODNÉ ÚLOHY:
1. V oboru přirozených čísel řešte rovnici
a) $7 x+8 y=163$;
b) $7 x+8 y=1998$.
[a) $x=21-8 s, y=2+7 s, s \in\{0,1,2\}$; b) $x=282-8 s, y=3+7 s$, $s \in\{0,1, \ldots, 35\}$.]
2. Průměrná výška skupiny děvčat je $165 \mathrm{~cm}$. Když k nim přibyla Jana, jejíž výška je menší než $2 \mathrm{~m}$, zvětšila se průměrná výška ve skupině na $171 \mathrm{~cm}$. Kolik nejméně a kolik nejvýše děvčat může být po jejím příchodu ve skupině? [Nejméně 2, nejvýše 5.]
ROZŠIŘUJÍCÍ ÚLOHA:
Opravte číslo na pravé straně jedné z rovnic $x+2 y=43,2 x+y=50, x+y=30$, $x-y=4$ tak, aby opravená soustava měla řešení $\mathrm{v}$ oboru reálných čísel. Napište opravenou soustavu a její řešení. $[2 x+y=47, x=17, y=13(38-\mathrm{C}-\mathrm{S}-2)]$
4. Uvnitř daného pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku $A B C$ s přeponou $A B$ zvolíme libovolně bod $X$. Sestrojíme přimky $p$ a q, které procházeji
úsečku $K L$, na přímce q úsečku $M N$. Určete všechny body $X$, pro které platí $|K L|=2 \cdot|M N|$.
Obr. 1
Obr. 2
ŘEŠENí. Označme $R$ průsečík přímky $p$ s výškou $C D$ trojúhelníku $A B C$ (obr.1) a $M$ průsečík přímky $q$ s preponou $A B$. Předpokládejme, že bod $N$ leží na straně $A C$ (případ, kdy leží na straně $B C$, vyřešíme díky souměrnosti trojúhelníku $A B C$ podle osy $C D$ analogicky). Protože $|K L|=2 \cdot|R C|$, požadovaná rovnost $|K L|=2 \cdot|M N|$ platí, právě když $|R C|=|M N|$, tj. právě když $M R \| N C$, tj. právě když $M D R X$ je čtverec. Proto $D X$ je osa úhlu $A D C$ kolmá na $A C$, a tedy $X$ leží uvnitř úsečky $D E$, kde $E$ je střed strany $A C$, neboli uvnitř střední přičky trojúhelníku $A B C$ rovnoběžné $\mathrm{s} B C$. $\mathrm{Z}$ uvedeného je jasné, že každý vnitřní bod této přičky vyhovuje zadání (krajní body $D$ a $E$ nevyhovují, protože nás zajímají jen body $X$ uvnitř trojúhelníku $A B C$ ). Obdobně pro bod $N$ na straně $B C$ dostaneme vnitřek střední přičky $D F$ (obr. 1).
Odpověd: Hledanou množinu tvoří všechny vnitřní body dvou středních přiček trojúhelníku $A B C$, jež jsou rovnoběžné s jeho odvěsnami.
JINÉ ŘEŠENí. Trojúhelník $A B C$ doplňme na čtverec $A E B C$ (obr. 2). Hledáme ty body $X$ uvnitř trojúhelníku $A B C$, pro něž popsané přímky $p$ a $q$ vytínají na čtverci $A E B C$ dvě shodné úsečky $K L$ a $N N^{\prime}$. Pak ale musí být trojúhelníky $K L C$ a $N^{\prime} N A$ dva shodné rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky, to znamená, že přímky $p$ a $q$ jsou souměrně sdružené podle osy strany $A C$ čtverce, tj. bod $X$ leží na této ose. Podobně pro bod $N$ ležící na straně $B C$ dostaneme, že bod $X$ musí ležet na ose strany $B C$.
NÁVODNÉ ÚLOHY:
1. Necht $S$ je střed strany $A B$ rovnostranného trojúhelníku $A B C$ se stranou $a=|B C|=10 \mathrm{~cm}$. Označme $X$ takový bod trojúhelníku $A B C$, který je od přímek $C S$ a $A B$ vzdálený po řadě $2 \mathrm{~cm}$ a $3 \mathrm{~cm}$. Ved’me bodem $X$ rovnoběžky s $A B$ a $C S$. Ty protnou obvod trojúhelníku $A B C$ ve čtyřech bodech. Vypočítejte obsah čtyřúhelníku určeného těmito čtyřmi body. $\left[(15 \sqrt{3}-9) \mathrm{cm}^{2}\right]$
2. Je dán ostroúhlý trojúhelník $A B C$ a jeho libovolný bod $X$. Bodem $X$ ved'me přímku kolmou na $A C$ a její průsečík se stranou $A C$ označme $M$. Její druhý průsečík s obvodem trojúhelníku $A B C$ označme $N$. Popište všechny ty body $X$, pro něž platí $|M X|=|N X|$. [Sjednocení úseček $A U$ a $C U$, kde $U$ je střed výšky z vrcholu $B$ na stranu $A C$.]
$$
\begin{aligned}
7[x]+2 y & =117,4 \\
5 x+2[y] & =91,9
\end{aligned}
$$
$k d e[a]$ je tzv. celá část reálného čisla $a, t j$. celé číslo, pro které platí $[a] \leqq$ $\leqq a<[a]+1$. Např́klad $[3,7]=3 a[-3,7]=-4$.
ŘEŠENí. Necht $x-[x]=x_{0}$ a $y-[y]=y_{0}$, kde $x_{0}, y_{0}\left(0 \leqq x_{0}, y_{0}<1\right)$ jsou tzv. zlomkové části čísel $x, y$. Daná soustava tak přejde na tvar
$$
\begin{aligned}
& 7[x]+2[y]=117,4-2 y_{0} \\
& 5[x]+2[y]=91,9-5 x_{0} .
\end{aligned}
$$
V obou rovnicích musí být na pravých stranách celá čísla, proto $y_{0}$ může nabývat pouze hodnot 0,2 nebo 0,7 . Rozeberme oba tyto př́ípady:
a) Necht $y_{0}=0,2$, tedy $[y]=\frac{117-7[x]}{2}$.
Odečtením rovnic dostáváme $2[x]=25,1+5 x_{0}$. Protože $0 \leqq 5 x_{0}<5$, může $[x]$ nabývat pouze hodnot 13,14 a 15 . Aby bylo $[y]$ celé, musí být $[x]$ navíc liché číslo. Potom dostáváme
| $[x]$ | $x_{0}$ | $[y]$ | $x$ | $y$ |
| :---: | :--- | :---: | :---: | :---: |
| 13 | 0,18 | 13 | 13,18 | 13,2 |
| 15 | 0,98 | 6 | 15,98 | 6,2 |
b) Necht $y_{0}=0,7$, tedy $[y]=\frac{116-7[x]}{2}$.
Odečtením rovnic dostáváme $2[x]=24,1+5 x_{0}$. Protože $0 \leqq 5 x_{0}<5$, může $[x]$ nabývat pouze hodnot 13 a 14 . Aby bylo $[y]$ celé, musí být $[x]$ navíc sudé číslo. Potom dostáváme
| $[x]$ | $x_{0}$ | $[y]$ | $x$ | $y$ |
| :--- | :--- | :---: | :---: | :---: |
| 14 | 0,78 | 9 | 14,78 | 9,7 |
Soustava má tři řešení: $x=13,18, y=13,2 ; x=15,98, y=6,2$ a $x=14,78$, $y=9,7$.
JINÉ ŘEŠENÍ. Z první rovnice dané soustavy plyne, že zlomková část čísla $y$ je bud' 0,2 , nebo 0,7 . Podobně $\mathrm{z}$ druhé rovnice usoudíme, že zlomková část čísla $x$ je rovna bud' číslu $0,18(=0,9: 5)$, nebo číslu $0,18+0,2 k$ pro vhodné $k \in\{1,2,3,4\}$. Jedna (z desíti) možností tedy je, že $x=[x]+0,18$ a $y=[y]+$ $+0,2$. Tehdy po dosazení dostaneme pro (celočíselné) neznámé $[x],[y]$ soustavu $7[x]+2[y]=117,5[x]+2[y]=91$, která má jediné řešení $[x]=[y]=13$. Podobně se posoudí ostatních devět možností, v sedmi z nich vyjde pro neznámé $[x],[y]$ soustava bez celočíselných řešení. Celou diskusi lze poněkud zkrátit, a to tak, že nejprve obecně dosadíme $x=[x]+0,18+0,2 k$ a $y=[y]+0,2+0,5 j$ (kde $k \in\{0,1,2,3,4\}$ a $j \in\{0,1\})$, vypočteme $[x]=13+\frac{1}{2}(k-j)$ a $[y]=13+j-$ $-2 k+\frac{1}{4}(k+j)$, odkud už snadno určíme vyhovující dvojice $(k, j):(0,0),(4,0)$ a $(3,1)$.
## NÁVODNÉ ÚLOHY:
1. Načrtněte grafy funkcí (na intervalu $\langle-10,10\rangle$ )
$$
y=[x], \quad y=[2 x], \quad y=[x-6,3], \quad y=x+[x], \quad y=x \cdot[x] .
$$
2. V oboru kladných reálných čísel řešte rovnici
a) $x+[x]=68,5$
b) $x \cdot[x]=68,5$;
c) $x+[x]=97$;
d) $x \cdot[x]=97$.
[a) $x=34,5$; b) $x=8,5625$ - nejprve vysvětlete, proč $8<x<9$; c) a d) nemá řešení.]
ROZŠIŘUJÍcí ÚLOHY:
1. Najděte aspoň jednu dvojici celých čísel $a, b$ tak, aby pro každé celé číslo $x$ platilo
$$
\left[\frac{x+a}{5}\right]+\left[\frac{x+b}{5}\right]=\left[\frac{2 x}{5}\right]
$$
[Např. $a=0, b=2(40-\mathrm{B}-\mathrm{S}-2)$.
2. Je funkce $y=x^{2}-\left[x^{2}\right]$ periodická? Pokud ano, určete její periodu. [Není.]
3. Sestrojte deltoid se stranami $12 \mathrm{~cm}$ a $13 \mathrm{~cm}$, který je svými úhlopřičkami rozdělen na čtyři trojúhelníky, jež jsou čtyřmi stěnami nějakého čtyřstěnu. Zhotovte papírový model tohoto čtyřstěnu.
ŘEŠENí. Na obr. 3 je znázorněn výchozí deltoid, na obr. 4 sít odpovídajícího čtyřstěnu. Z pravoúhlých trojúhelníků plynou pro úseky $x, y$ a $z$ úhlopřiček deltoidu nerovnosti
$$
12>x, \quad 12>y, \quad 13>z>y .
$$
Obr. 3
Obr. 4
Nutně tedy musí být trojúhelník $T_{1}$ shodný s trojúhelníkem $A E D(A B$ a $A D$ jsou nejdelší ze všech stran uvažovaných trojúhelníků). Mohou nastat dva případy:
a) Necht $k=z$ a $m=x$ (obr. 5). V tom případě se musí shodovat trojúhelníky se stranami $x, y, 12$ a $x, z, n$. Protože $y<z$, musí být $n=y$ a $z=12$. Potom $x=\sqrt{13^{2}-z^{2}}=5$.
Obr. 5
Obr. 6
Obr. 7
Sít pak bude mít tvar uvedený na obr. 6 a kýžený čtyřstěn $A E B V$ zřejmě
existuje: dostaneme ho tak, že trojúhelník $A E V$ otočíme kolem přímky $A E$ o $90^{\circ}$ (tělesová výška z vrcholu $V$ bude ležet ve stěně $A V E$ ).
Konstrukce odpovídajícího deltoidu je zřejmá, např.
1. $\triangle A B E$; podle věty sss: $|A B|=13 \mathrm{~cm},|B E|=5 \mathrm{~cm}$ a $|E A|=12 \mathrm{~cm}$.
2. $\triangle E B C$; podle věty $S s u:|\Varangle C E B|=90^{\circ},|B C|=12 \mathrm{~cm}$ a $C \notin \overrightarrow{E A}$.
3. $D ; E$ je střed úsečky $D B$.
b) Necht $k=x$ a $m=z$ (obr.7). Pak se ale musí rovnoramenné trojúhelníky o stranách $z, z, n$ a $x, x, n$ shodovat $\mathrm{s}$ pravoúhlým trojúhelníkem s odvěsnami $x, y$ a přeponou 12 . Odtud plyne $x=y=z$ a $m=n=12$, což je ve sporu s nerovnostmi $(*)$.
Úloha má tedy jediné řešení popsané v části a).
## NÁVODNÉ ÚLOHY:
1. Na nitce je zavěšeno kmitající závaží. Síř̌a rozkmitu je $56 \mathrm{~cm}$, výškový rozdíl mezi nejnižší a nejvyšší polohou závaží je $8 \mathrm{~cm}$. Vypočítejte délku $r$ závěsu. $[r=53 \mathrm{~cm}]$
2. Řešte původně zadanou úlohu (pro deltoid) pro a) čtverec se stranou $12 \mathrm{~cm}$, b) obdélník se stranami $12 \mathrm{~cm}$ a $13 \mathrm{~cm}$, c) kosočtverec se stranou $12 \mathrm{~cm}$, d) kosodélník se stranami $12 \mathrm{~cm}$ a $13 \mathrm{~cm}$.
## ROZŠIŘUJÍCÍ ÚLOHY:
1. Jeník rozřezal konvexní papírový mnohostěn na jednotlivé stěny (podél hran) a poslal je Frantíkovi. Frantík opět z těchto stěn slepil konvexní mnohostěn. Je možné, že Janův a Františkův mnohostěn nebyly shodné? [Uvažte např. těleso, které dostanete spojením dvou shodných jehlanů s pravidelnou podstavou, které však nejsou pravidelné (kolmý průmět jejich vrcholu nepadne do středu podstavy).]
2. Nad stranami ostroúhlého trojúhelníku $A B C$ jsou zvnějšku sestrojeny půlkružnice. Označme po řadě $K, L, M$ průsečíky prodloužených výšek trojúhelníku z vrcholů $A, B, C$ s těmito půlkružnicemi. Dokažte, že obrazec $A M B K C L$ tvoří plášt čtyřstěnu (trojbokého jehlanu s podstavou $A B C$ ). $[46-\mathrm{B}-\mathrm{I}-6]$
|