File size: 21,144 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 | 49. ročník matematické olympiády, III. kolo kategorie A
Bílovec, 9.-12. dubna 2000
1. Necht’ $n$ je přirozené čislo. Dokažte, že součet $4 \cdot 3^{2^{n}}+3 \cdot 4^{2^{n}}$ je dělitelný třinácti, právě když $n$ je sudé.
Řešení. Označme $a_{n}=4 \cdot 3^{2^{n}}+3 \cdot 4^{2^{n}}$. Ukážeme nejprve, že pro každé přirozené číslo $n$ je rozdíl $a_{n+2}-a_{n}$ dělitelný třinácti. Po úpravách obdržíme rovnost
$$
a_{n+2}-a_{n}=4 \cdot\left(81^{2^{n}}-3^{2^{n}}\right)+3 \cdot\left(256^{2^{n}}-4^{2^{n}}\right) .
$$
Položme ve známém vzorci
$$
A^{p}-B^{p}=(A-B)\left(A^{p-1}+A^{p-2} B+\ldots+B^{p-1}\right),
$$
který platí pro každé přirozené $p$ a pro libovolná dvě reálná čísla $A$ a $B$, nejprve $p=2^{n}, A=81$, $B=3$ a poté $p=2^{n-1}, A=256^{2}, B=4^{2}$. Protože je $81-3=78=13 \cdot 6$ a také $256^{2}-4^{2}=$ $=(256-4)(256+4)=252 \cdot 260=13 \cdot 20 \cdot 252$, jsou oba sčítanci na pravé straně rovnosti (1) čísla dělitelná 13. Je proto také rozdíl $a_{n+2}-a_{n}$ dělitelný 13 . Číslo $a_{1}$ není dělitelné 13 , nebot $a_{1}=84=13 \cdot 6+6$, kdežto číslo $a_{2}$ číslem 13 dělitelné je $\left(a_{2}=1092=13 \cdot 84\right)$. Užitím principu matematické indukce již snadno zjistíme, že $a_{n}$ je dělitelné 13 , právě když $n$ je sudé. Tím je důkaz hotov.
Jiné řešení. Sestavme tabulku zbytků při dělení čísla $a_{n}=4 \cdot 3^{2^{n}}+3 \cdot 4^{2^{n}}$ třinácti.
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | $\ldots$ |
| :---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | :---: |
| $3^{2^{n}}$ | 9 | 3 | 9 | 3 | 9 | $\ldots$ |
| $4^{2^{n}}$ | 3 | 9 | 3 | 9 | 3 | $\ldots$ |
| $4 \cdot 3^{2^{n}}$ | 10 | 12 | 10 | 12 | 10 | $\ldots$ |
| $3 \cdot 4^{2^{n}}$ | 9 | 1 | 9 | 1 | 9 | $\ldots$ |
| $a_{n}$ | 6 | 0 | 6 | 0 | 6 | $\ldots$ |
Zbytky obou čísel tvaru $N^{2^{n}}$ určujeme rekurentně pomocí rovností $N^{2^{n+1}}=N^{2^{n}} \cdot N^{2^{n}}=\left(N^{2^{n}}\right)^{2}$. Protože $3^{2}=9$ a $9^{2}=81 \equiv 3(\bmod 13)$, vidíme, že v druhém i třetím řádku tabulky se pravidelně střídá trojka s devítkou, zbytky čísla $a_{n}$ při dělení třinácti se tedy (vzhledem k číslu $n$ ) rovněž opakují s periodou 2. Č́slo $a_{n}$ je tedy dělitelné třinácti, právě když $n$ je sudé.
2. Je dán rovnoramenný trojúhelník $A B C$ se základnou $A B$. Na jeho výšse $C D$ je zvolen bod $P$ tak, že kružnice vepsané trojúhelníku $A B P$ a čtyř́́helníku PECF jsou shodné; přitom bod $E$ je prưsečík přimky $A P$ se stranou $B C$ a $F$ prưsečík přímky $B P$ se stranou $A C$. Dokažte, že $i$ kružnice vepsané trojúhelníkưm ADP a BCP jsou shodné.
(J. Šimša, K. Horák)
Řešení. Protože přímka $C D$ je osou souměrnosti dvou vrcholových úhlů $A P B$ a $E P F$, leží střed $I_{1}$ kružnice vepsané trojúhelníku $A B P$ na úsečce $D P$ a zároveň střed $I_{2}$ kružnice vepsané čtyřúhelníku $P E C F$ leží na úsečce $C P$ (obr.1). Navíc platí $\left|I_{1} P\right|=\left|I_{2} P\right|$, nebot obě zmíněné kružnice jsou shodné. Středy $O_{1}, O_{2}$ kružnic vepsaných trojúhelníkům $A D P$ a $B C P$ (obr. 2) pak leží po řadě na úsečkách $A I_{1}, B I_{2}$, nebot polopřímky $A I_{1}$ a $B I_{2}$ jsou osy odpovídajících úhlo̊ $D A P$ a $C B P$. $\mathrm{Z}$ rovnosti $\left|I_{1} P\right|=\left|I_{2} P\right|$ navíc plyne, že trojúhelníky $A P I_{1}$ a $B P I_{2}$ mají stejný obsah, protože se rovnají i příslušné výšky $|A D|=|B D|$.
Označme $r_{1}, r_{2}$ poloměry kružnic vepsaných trojúhelníkům $A D P$ a $B C P$. Vyjádříme-li pomocí nich oba zmíněné obsahy $(S(X Y Z)$ značí obsah trojúhelníku $X Y Z$ ), dostaneme
$$
\begin{aligned}
& S\left(A P I_{1}\right)=S\left(A O_{1} P\right)+S\left(O_{1} P I_{1}\right)=\frac{1}{2} \cdot|A P| \cdot r_{1}+\frac{1}{2} \cdot\left|I_{1} P\right| \cdot r_{1}=\frac{r_{1}}{2}\left(|A P|+\left|I_{1} P\right|\right) \\
& S\left(B P I_{2}\right)=S\left(B O_{2} P\right)+S\left(O_{2} P I_{2}\right)=\frac{1}{2} \cdot|B P| \cdot r_{2}+\frac{1}{2} \cdot\left|I_{2} P\right| \cdot r_{2}=\frac{r_{2}}{2}\left(|B P|+\left|I_{2} P\right|\right) .
\end{aligned}
$$
Obr. 1
Obr. 2
Vzhledem k tomu, že $S\left(A P I_{1}\right)=S\left(B P I_{2}\right),\left|I_{1} P\right|=\left|I_{2} P\right|$ a $|A P|=|B P|$, plyne odtud $r_{1}=r_{2}$, což jsme měli dokázat.
Jiné řešení. Vzhledem k souměrnosti trojúhelníku $A B C$ podle osy $C D$ stačí dokázat, že se shodují kružnice vepsané trojúhelníkům $B D P$ a $B P C$.
Vnější společné tečny shodných kružnic vepsaných úhelníkům $A B P$ a $P E C F$ jsou rovnoběžné se střednou $C D$, tedy kolmé na přímku $A B$. Uvažujme tu z nich, která protíná úsečky $A D, P F$ a polopřímku opačnou $C B$. Tyto průsečíky označme po řadě $D^{\prime}, P^{\prime}, C^{\prime}$ (obr.3). Ve stejnolehlosti, která zobrazí trojúhelník $B D^{\prime} C^{\prime}$ na trojúhelník $B D C$, odpovídají trojúhelníkům $B D^{\prime} P^{\prime}$ a $B P^{\prime} C^{\prime}$ trojúhelníky $B D P$ a $B P C$. Protože kružnice vepsaná čtyřúhelníku $P E C F$ je zároveň vepsána i trojúhelníku $B P^{\prime} C^{\prime}$ a kružnice vepsaná trojúhelníku $A B P$ je zároveň vepsána trojúhelníku $B D^{\prime} P^{\prime}$ a obě uvedené kružnice jsou dle předpokladu shodné, jsou shodné i jejich obrazy ve zmíněné stejnolehlosti, tedy kružnice vepsané trojúhelníkům $B D P$ a $B P C$.
Obr. 3
3. V rovině je dáno 2000 shodných trojúhelníkư o obsahu 1, které jsou obrazy téhož trojúhelníku $v$ rüzných posunutich. Každý z těchto trojúhelnikư obsahuje těžiště všech zbývajicích. Dokažte, že obsah sjednocení těchto trojúhelníků je menši než $\frac{22}{9}$.
(P. Calábek)
Řešení. Necht trojúhelník $A B C$ o obsahu 1 je vzorem všech 2000 trojúhelníků $A_{k} B_{k} C_{k}, k \in$ $\in\{1,2, \ldots, 2000\}$, v různých posunutích. Obsahuje-li každý z těchto trojúhelníků těžiště všech zbývajících, plyne z řešení úlohy $49-\mathrm{A}-\mathrm{I}-4$, že průnikem všech těchto trojúhelníku je trojúhelník $A_{0} B_{0} C_{0}$, který je podobný trojúhelníku $A B C$, přičemž jeho strany $A_{0} B_{0}, B_{0} C_{0}, C_{0} A_{0}$ jsou po řadě rovnoběžné se stranami $A B, B C, C A$ a pro poměr podobnosti $\lambda$ navíc platí $\lambda \in\left\langle\frac{1}{3} ; 1\right\rangle$.
Je-li $A_{k} B_{k} C_{k}(k \in\{1,2, \ldots, 2000\})$ libovolný z daných trojúhelníků, je trojúhelník $A_{0} B_{0} C_{0}$ jeho částí, proto leží vrchol $A_{k} \mathrm{v}$ polorovině $B_{0} C_{0} A_{0}$ ve vzdálenosti nejvýše $v_{a}$ od hraniční přímky $B_{0} C_{0}$, kde $v_{a}$ je velikost výšky trojúhelníku $A B C$ př́slušné vrcholu $A$. Na druhou stranu je i vzdálenost strany $B_{k} C_{k}$ od vrcholu $A_{0}$ nejvýše $v_{a}$. Protože navíc trojúhelník $A_{0} B_{0} C_{0}$ obsahuje těžiště všech takovýchto trojúhelníků $A_{k} B_{k} C_{k}$, nemůže být vzdálenost strany $B_{k} C_{k}$ od strany $B_{0} C_{0} \| B_{k} C_{k}$ větší než $\frac{1}{3} v_{a}$. Vzdálenost vrcholu $A_{0}$ od strany $B_{0} C_{0}$ je $\lambda v_{a}$, dohromady je tedy vzdálenost obou rovnoběžných přímek $B_{k} C_{k}, B_{0} C_{0}$ nejvýše $\min \left(\frac{1}{3}, 1-\lambda\right) \cdot v_{a}$. Vidíme, že všechny dané trojúhelníky leží uvnitř pásu omezeného dvěma rovnoběžkami $a_{0}\left\|a_{1}\right\| B_{0} C_{0}$ (obr. 4), jejichž vzdálenost od $B_{0} C_{0}$ je $v_{a}$ a $\min \left(\frac{1}{3}, 1-\lambda\right) \cdot v_{a}$. Analogické tvrzení můžeme vyslovit i pro další dva směry $C_{0} A_{0}$ a $A_{0} B_{0}$. Sjednocení všech daných trojúhelníků musí tedy ležet v průniku všech tří odpovídajících pásů.
Obr. 4
Obr. 5
Rozlišíme nyní dva případy podle toho, čemu se rovná $\min \left(\frac{1}{3}, 1-\lambda\right)$.
1. Necht $\frac{1}{3} \leqq \lambda<\frac{2}{3}$. Průnikem odpovídajících tří pásů je šestiúhelník, který vznikne z trojúhelníku $T$ určeného trojicí přímek $\left(a_{1}, b_{1}, c_{1}\right)$ odstraněním tří trojúhelníčkư $T_{a}, T_{b}, T_{c}$ určených trojicemi přímek $\left(a_{0}, b_{1}, c_{1}\right),\left(a_{1}, b_{0}, c_{1}\right)$ a $\left(a_{1}, b_{1}, c_{0}\right)$. V obr. 5 jsou vyznačeny některé poměrné vzdálenosti vzhledem $\mathrm{k}|A B|$, s jejichž pomocí zjistíme, že trojúhelník $T$ je podobný trojúhelníku $A B C$ s poměrem podobnosti $1+\lambda$ a trojúhelníky $T_{a}, T_{b}, T_{c}$ jsou podobné trojúhelníku $A B C$ s poměrem podobnosti $\lambda-\frac{1}{3}$. Z vypočtených poměrư je zároveň zřejmé, že pro $\lambda=\frac{1}{3}$ se trojúhelníky $T_{a}, T_{b}$, $T_{c}$ stáhnou do jediného bodu, takže uvedený šestiúhelník se zredukuje na trojúhelník $T$.
Pro obsah $S(\lambda)$ vyznačeného útvaru tak pro $\lambda<\frac{2}{3}$ platí
$$
\begin{aligned}
S(\lambda) & =(1+\lambda)^{2}-3\left(\lambda-\frac{1}{3}\right)^{2}= \\
& =-2 \lambda^{2}+4 \lambda+\frac{2}{3}=-2(\lambda-1)^{2}+\frac{8}{3}<\frac{8}{3}-2 \cdot \frac{1}{9}=\frac{22}{9}
\end{aligned}
$$
Obr. 6
odpovídající trojúhelník $T$ je podobný trojúhelníku $A B C$ s poměrem podobnosti $3-2 \lambda$ a trojúhelníky $T_{a}, T_{b}, T_{c}$ jsou podobné trojúhelníku $A B C \mathrm{~s}$ poměrem podobnosti $1-\lambda$ (v tomto případě se šestiúhelník zredukuje na trojúhelník $T$ pro $\lambda=1$ ).
Pro obsah $S(\lambda)$ v tomto případě platí
$$
\begin{aligned}
S(\lambda) & =(3-2 \lambda)^{2}-3(1-\lambda)^{2}= \\
& =\lambda^{2}-6 \lambda+6=(\lambda-3)^{2}-3 \leqq \frac{49}{9}-3=\frac{22}{9}
\end{aligned}
$$
s rovností pro $\lambda=\frac{2}{3}$.
Zjistili jsme, že sjednocení všech trojúhelníků $A_{k} B_{k} C_{k}(k=1,2, \ldots, 2000)$ je pro $\lambda \neq \frac{2}{3}$ částí rovinného útvaru, jehož obsah je menší než $\frac{22}{9}$. Pro $\lambda=\frac{2}{3}$ je pak částí šestiúhelníku s obsahem $\frac{22}{9}$. Strana tohoto šestiúhelníku, která leží např. na přímce $a_{0}$, může obsahovat jen konečně mnoho vrcholů $A_{i}$ daných trojúhelníků $A_{i} B_{i} C_{i}$, takže v šestiúhelníku určitě najdeme trojúhelníček kladného obsahu, který do uvažovaného sjednocení nepatří. Obsah sjednocení uvažovaných trojúhelníků je proto i v tomto případě menší než $\frac{22}{9}$. Tím je důkaz hotov.
4. Pro které kvadratické funkce $f(x)$ existuje taková kvadratická funkce $g(x)$, že kořeny rovnice $g(f(x))=0$ jsou čtyři rüzné po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti a současně $i$ kořeny rovnice $f(x) g(x)=0$ ?
(P. Černek)
Řešení. Ze zadání plyne, že každá z rovnic $f(x)=0, g(x)=0$ má dva reálné kořeny, přitom všechny čtyři kořeny obou uvažovaných rovnic jsou navzájem různé. Označme $x_{1}, x_{2}$ kořeny rovnice $f(x)=0$. Platí tedy $f(x)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$, kde $a$ je reálné číslo, $a \neq 0$. Císlo $x_{1}$ je podle zadání rovněž kořenem rovnice $g(f(x))=0$, platí tudíž $g\left(f\left(x_{1}\right)\right)=g(0)=0$. Odtud vyplývá, že rovnice $g(x)=0$ má jeden kořen 0 . Označme $b(b \neq 0)$ druhý kořen této rovnice. Je tedy $g(x)=c x(x-b)$, kde $c$ je reálné číslo, $c \neq 0$. Čísla 0 a $b$ jsou podle zadání rovněž kořeny rovnice $g(f(x))=0$ :
$$
g(f(0))=c f(0)(f(0)-b)=0 \quad \text { a } \quad g(f(b))=c f(b)(f(b)-b)=0 \text {. }
$$
Jelikož čísla 0 a $b$ nemohou být kořeny rovnice $f(x)=0$, plyne odtud $f(0)=f(b)=b$.
Na číselné ose jsou proto jak body 0 a $b$, tak i body $x_{1}$ a $x_{2}$ souměrně sdružené podle $x$-ové souřadnice vrcholu paraboly $y=f(x)$. Ćísla $0, b, x_{1}$ a $x_{2}$ (tvořící dle zadání aritmetickou posloupnost) mohou tedy být uspořádána dvěma způsoby:
volbě indexů), tudíž
$$
b=f(0)=a\left(-\frac{b}{3}\right)\left(-\frac{2 b}{3}\right)=\frac{2 a b^{2}}{9}
$$
takže $b=\frac{9}{2 a}$ a
$$
f(x)=a\left(x-\frac{3}{2 a}\right)\left(x-\frac{3}{a}\right)=a x^{2}-\frac{9}{2} x+\frac{9}{2 a} .
$$
- Čísla 0 a $b$ leží uvnitř intervalu s krajními body $x_{1}$ a $x_{2}$. Pak $x_{1}=-b$ a $x_{2}=2 b$ (při vhodné volbě indexů), tudíž
$$
b=f(0)=a b(-2 b)=-2 a b^{2}
$$
takže $b=-\frac{1}{2 a} \mathrm{a}$
$$
f(x)=a\left(x-\frac{1}{2 a}\right)\left(x+\frac{1}{a}\right)=a x^{2}+\frac{1}{2} x-\frac{1}{2 a} .
$$
Závěr: Úloze vyhovují všechny kvadratické funkce $f$ tvaru
$$
f(x)=a x^{2}-\frac{9}{2} x+\frac{9}{2 a} \quad \text { nebo } \quad f(x)=a x^{2}+\frac{1}{2} x-\frac{1}{2 a}
$$
kde $a$ je libovolné nenulové reálné číslo.
5. Monika zhotovila papírový model trojbokého jehlanu, jehož podstavou byl pravoúhlý trojúhelník. Když model rozřízla podél odvěsen podstavy a podél těžnice jedné ze stěn, vznikl po rozvinutí do roviny čtverec o straně a. Určete objem tohoto jehlanu.
(P. Leischner)
Řešení. Označme $A B C D$ uvažovaný jehlan s podstavou $A B C$, kde $|\Varangle A C B|=90^{\circ}$. Podle textu úlohy byl model rozříznut podél obou odvěsen $A C$ a $B C$ podstavy a dále podél těžnice z vrcholu $D$ jedné ze stěn $B C D, A C D$. Při řezu podél těžnice ve stěně $A B D$ by totiž nebylo možné rozvinout model do roviny. Bez újmy na obecnosti předpokládejme dále, že řez je veden podél těžnice $D E$ ve stěně $A C D$ (obr. 7), kdy po rozvinutí do roviny vznikne útvar s hranicí $B C A E_{2} D E_{1} C_{1} B$ a pravým úhlem u vrcholu $C$ (obr. 8). Protože tento útvar je čtverec (označme ho $\mathcal{C}$ ), jsou úhly $A E_{2} D$ a $D E_{1} C_{1}$ pravé (žádný z nich nemůže být přímý, nebot jejich součet je $180^{\circ}$ ). Proto je těžnice $D E$ trojúhelníku $A C D$ zároveň jeho výškou a body $E_{1}, E_{2}$ jsou vrcholy čtverce $\mathcal{C}$.
Obr. 7
Obr. 8
Kdyby vrcholy $E_{1}$ a $E_{2}$ ćtverce $\mathcal{C}$ byly sousední, z rovnosti $\left|E_{1} C_{1}\right|=\left|E_{2} A\right|$ a z toho, że $\mathcal{C}$ má vrchol $C$, by plynulo, že $\mathcal{C}=C E_{2} E_{1} B$, a tak $|B C|=\left|B E_{1}\right|$, což ale odporuje rovnosti $|B C|=\left|B C_{1}\right|$ (obr. 9). Tak jsme (sporem) dokázali, že vrcholy $E_{1}$ a $E_{2}$ čtverce $\mathcal{C}$ nejsou sousední, proto $\mathrm{k}$ vrcholům $\mathcal{C}$ patří (kromě bodů $E_{1}, E_{2}$ a $C$ ) nutně bod $D$ (z úseku $E_{2} D E_{1}$ hranice $B C A E_{2} D E_{1} C_{1} B$ ).
Popsané body rozdělují hranici čtverce $\mathcal{C}=C E_{2} D E_{1}$ na úseky, jejichž délky jsou vyznačeny na obr. 8 pomocí výhodného označení $x=\frac{1}{3} a$. Délky ostatních hran jehlanu spočteme podle Pythagorovy věty:
$$
\begin{gathered}
|D C|=|D A|=\sqrt{(3 x)^{2}+(x)^{2}}=x \sqrt{10} \\
|D B|=\sqrt{(3 x)^{2}+(2 x)^{2}}=x \sqrt{13}, \quad|A B|=x \sqrt{5}
\end{gathered}
$$
Abychom zjistili objem jehlanu $A B C D$, potřebujeme určit velikost jeho tělesové výšky.
Označíme-li $F$ střed hrany $A B$, vidíme, že hrana $A C$ je kolmá na rovinu $E F D$, nebot $A C \perp B C \| E F$ a $A C \perp D E$. Rovina $E F D$ je tedy kolmá na základnu $A B C$.
Tělesová výška jehlanu je proto výškou (z vrcholu $D$ ) trojúhelníku $D E F$. Protože $D F$ tvoří těžnici trojúhelníku $A B D$, ze známého vzorce pro velikost těžnice dostaneme
$$
2|D F|^{2}=|D A|^{2}+|D B|^{2}-\frac{1}{2}|A B|^{2}=\frac{41}{2} x^{2}
$$
Obr. 9
takže strany trojúhelníku $D E F$ mají délky $|D F|=\frac{1}{2} x \sqrt{41},|D E|=3 x$ a $|E F|=\frac{1}{2}|B C|=\frac{1}{2} x$. Podle Heronova vzorce je obsah $S$ takového trojúhelníku roven
$$
\begin{aligned}
S & =\frac{x^{2}}{4} \sqrt{\left(3+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{41}}{2}\right)\left(3+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{41}}{2}\right)\left(3+\frac{\sqrt{41}}{2}-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{41}}{2}+\frac{1}{2}-3\right)}= \\
& =\frac{x^{2}}{16} \sqrt{(7+\sqrt{41})(7-\sqrt{41})(5+\sqrt{41})(\sqrt{41}-5)}=\frac{x^{2} \sqrt{2}}{2},
\end{aligned}
$$
a tak má jeho výška $v$ z vrcholu $D$ velikost $v=\frac{2 S}{|E F|}=2 x \sqrt{2}$. Objem $V$ jehlanu $A B C D$ je proto roven
$$
V=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}|A C| \cdot|B C| \cdot v=\frac{2 \sqrt{2}}{3} x^{3}=\frac{2 \sqrt{2}}{81} a^{3} .
$$
Závěr: Objem uvažovaného jehlanu je $\frac{2 \sqrt{2}}{81} a^{3}$.
## Poznámka.
Ze čtverce lze popsaným způsobem čtyřstěn $A B C D$ požadovaných vlastností vytvořit, když je součet dvou ze tří předpokládaných stěnových úhlů při vrcholu $D$ větší než úhel třetí. Protože jejich součet je $90^{\circ}$, stačí ověřit, že každý z těchto tří úhlů je menší než $45^{\circ}$. Nerovnost $|\Varangle C D B|<45^{\circ}$ je zřejmá, zbylé dvě nerovnosti jsou důsledkem výpočtů, podle kterých $\cos |\Varangle A D B|=\frac{9}{\sqrt{130}}>\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\operatorname{atg}|\Varangle C D A|=\operatorname{tg}\left(2\left|\Varangle C_{1} D E_{1}\right|\right)=\frac{3}{4}<1$.
6. Najděte všechna čtyřmístná čísla $\overline{a b c d}$ ( $v$ desitkové soustavě), pro něž platí rovnost
$$
\overline{a b c d}+1=(\overline{a c}+1)(\overline{b d}+1) .
$$
Řešení. Rovnost $1000 a+100 b+10 c+d+1=(10 a+c+1)(10 b+d+1)$ lze upravit na tvar
$$
100 a(9-b)+10 a(9-d)+10 b(9-c)+c(9-d)=0 .
$$
Přitom každý ze čtyř sčítanců na levé straně je nezáporné celé číslo, proto bude tato rovnost splněna, právě když bude každý z nich roven nule. Protože je $a>0$, musí být $b=d=9$ a následně i $c=9$. V tom případě rovnici vyhovuje libovolná číslice $a, a \in\{1,2, \ldots, 9\}$. Řešením úlohy jsou tedy právě všechna následující čtyřmístná čísla: 1999, 2999, 3999, 4999, 5999, 6999, 7999, 8999 a 9999 .
# 49. ročník matematické olympiády, III. kolo kategorie A
Bílovec, 10. dubna 2000
1. Neché $n$ je přrirozené číslo. Dokažte, že součet $4 \cdot 3^{2^{n}}+3 \cdot 4^{2^{n}}$ je dělitelný třinácti, právě když $n$ je sudé.
2. Je dán rovnoramenný trojúhelník $A B C$ se základnou $A B$. Na jeho výšce $C D$ je zvolen bod $P$ tak, že kružnice vepsané trojúhelníku $A B P$ a čtyřúhelníku $P E C F$ jsou shodné; přitom bod $E$ je pri̊sečík přímky $A P$ se stranou $B C$ a $F$ průsečík přímky $B P$ se stranou $A C$. Dokažte, že i kružnice vepsané trojúhelníkům $A D P$ a $B C P$ jsou shodné.
3. V rovině je dáno 2000 shodných trojúhelníkư o obsahu 1 , které jsou obrazy téhož trojúhelníku v různých posunutích. Každý z těchto trojúhelníků obsahuje těžiště všech zbývajících. Dokažte, že obsah sjednocení těchto trojúhelníků je menší než $\frac{22}{9}$.
# 49. ročník matematické olympiády, III. kolo kategorie A
Bílovec, 11. dubna 2000
4. Pro které kvadratické funkce $f(x)$ existuje taková kvadratická funkce $g(x)$, že kořeny rovnice $g(f(x))=0$ jsou čtyři různé po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti a současně i kořeny rovnice $f(x) g(x)=0$ ?
5. Monika zhotovila papírový model trojbokého jehlanu, jehož podstavou byl pravoúhlý trojúhelník. Když model rozřízla podél odvěsen podstavy a podél těžnice jedné ze stěn, vznikl po rozvinutí do roviny čtverec o straně $a$. Určete objem tohoto jehlanu.
6. Najděte všechna čtyřmístná čísla $\overline{a b c d}$ (v desítkové soustavě), pro něž platí rovnost
$$
\overline{a b c d}+1=(\overline{a c}+1)(\overline{b d}+1) .
$$
|