File size: 11,996 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 | # Сојузен натпревар 1989
## Седмо одделение
1. Третина од стоката е продадена по цена која е за $10 \%$ поголема од планираната, а половина од стоката е продадена за $15 \%$ поефтино од планираната цена. Со колку проценти над планираната цена е продаден остатокот од стоката, ако на крајот е наплатен износ кој би се добил ако вкупното количество стока е продадено по планираната цена?
Решение. Нека $x$ е процентот по кој преостаната стока треба да се продаде над планираната цена. Тогаш $\frac{1}{3} \cdot 1,1+\frac{1}{2} \cdot 0,85+\frac{1}{6} x=1$, од каде добиваме $x=1,25$, што значи дека преостанатата стока се продавала по $25 \%$ повисока цена.
2. Определи ги сите трицифрени броеви, кои се запишани со различни цифри, такви што трицифрфениот број е делив со 7 и збирот на неговите цифри е делив со 7.
Решение. Нека бараниот број е $x=\overline{a b c}$. Тогаш
$$
x=100 a+10 b+c=7(14 a+b)+(2 a+3 b+c)
$$
па затоа $7 \mid(a+b+c)$ и $7 \mid(2 a+3 b+c)$. Според тоа, 7 е делител на разликата $(2 a+3 b+c)-2(a+b+c)=b-c$. Сега, од условот дека цифрите $a, b, c$ мора да се различни следува дека единствени броеви кои го задоволуваат условот на задачата се 518, 581, 329 и 392.
3. Во триаголникот $A B C$ страната $A B$ е најдолга. На страната $A B$ земени се точки $D$ и $E$ такви што $A D=A C$ и $B E=B C$. Определи го $\measuredangle A C B$ ако $\measuredangle E C D=20^{\circ}$.
Решение. Да означиме $\measuredangle B C D=x$ и $\measuredangle A C E=y$ (направи цртеж). Од рамнокракиот триаголник $B C E$ добиваме $2\left(20^{\circ}+x\right)=180^{\circ}-\measuredangle E B C$, а од рамнокракиот триаголник $A C D$ имаме $2\left(20^{\circ}+y\right)=180^{\circ}-\measuredangle C D A$. Со собирање на последните две равенства наоѓаме
$$
2\left(20^{\circ}+x+y+20^{\circ}\right)=180^{\circ}+\left(180^{\circ}-\measuredangle C D A-\measuredangle E B C\right)
$$
односно
$$
2\left(\measuredangle A C B+20^{\circ}\right)=180^{\circ}+\not A C B, \text {,.e. } \angle A C B=140^{\circ}
$$
4. Дадена е кружница $k$ и точка $P$ во истата рамнина. Конструирај права $p$ која минува низ точката $P$ и ја сече кружницата $k$ во точки $A$ и $B$ такви што збирот $P A+P B$ е најголем. Образложи ја коснтрукцијата во секој од трите случаи: $P$ е на кружницата, $P$ е во кружницата и $P$ е надвор од кружницата.
Решение. Ќе го разгледаме одделно секој од наведените случаи.
Ако точката $P$ е во кружницата или на кружницата, тогаш важи $P A+P B=A B$, а овој збир ќе биде најголем кога $A B$ е дијаметар на кружницата, т.е. кога правата $P$ минува низ нејзиниот центар.
Нека точката $P$ е надвор од кружницата и нека $p_{1}$ е произволна права низ $P$ која ја сече кружницата, на пример во точките $A_{1}$ и $B_{1}$. Со $S$ да ја означиме средината на отсечката $A_{1} B_{1}$. Тогаш
$$
P A_{1}+P B_{1}=P A_{1}+\left(P A_{1}+A_{1} S+S B_{1}\right)=2 P A_{1}+2 A_{1} S=2 P S
$$
Овој збир ќе биде најголем ако $S \equiv O$, т.е. ако правата $p$ минува низ центарот на кружницата.
5. Нека $M$ е произволна точка во внатрешноста на даден триаголник $A B C$. Докажи:
a) $\angle A M B>\angle A C B$,
б) $A M+M B<A C+C B$.
Решение. а) Нека правата $A M$ ја сече страната $B C$ на триаголникот во точката $N$. Бидејќи $\measuredangle A M B$ е надворешен агол за триаголникот $M N B$, а $\measuredangle M N B$ е надворешен агол за триаголникот $A N C$, добиваме
$$
\measuredangle A M B>\measuredangle M N B>\measuredangle A C N=\measuredangle A C B
$$
б) Во триаголникот $M N B$ важи $M N+N B>M B$, па затоа
$$
A N+N B=A M+M N+N B>A M+M B
$$
Слично, во триаголникот $A C N$ важи $A C+C N>A N$, па затоа
$$
A C+C B=A C+C N+N B>A N+N B
$$
Конечно, од (1) и (2) следува $A M+M B<A C+C B$, што и требаше да се докаже.
## Осмо одделение
1. Четири ученици Амир, Борис, Цветко и Дарко собирале стара хартија. Заедно собрале $288 \mathrm{~kg}$ хартија. Колку килограми собрал секој од нив, ако се знае дека Амир собрал $36 \mathrm{~kg}$ повеќе од Борис, односно $\frac{3}{4}$ од количеството кое заедно го собрале Борис и Цветко, а Дарко собрал два пати повеке од Цветко?
Решение. Со $a, b, c, d$ да ги означиме количествата хартија кои ги собрале наведените ученици. Тогаш
$$
a=b+36, a=\frac{3}{4}(b+c), d=2 c, a+b+c+d=288
$$
Од $b+36=\frac{3}{4}(b+c)$ добиваме $b=3 c-144$, потоа $a=3 c-108$ и ако замениме во $a+b+c+d=288$ имаме
$$
(3 c-108)+(3 c-144)+c+2 c=288
$$
од каде наоѓаме $c=60$, а потоа $b=36, a=72$ и $d=120$.
2. Дали е можно збирот $1+2+3+\ldots+p$ за некој природен број да завршува со цифрите 1989 ?
Решение. Цифрата на единиците на производот на два последователни природни броја може да биде: 0,2 или 6 . Сега, ако збирот
$$
1+2+3+\ldots+p=\frac{p(p+1)}{2}
$$
завршува на цифрите 1989 , тогаш производот на двата последователни природни броја $p$ и $p+1$ треба да завршува на цифрата 8 , што не е можно. Значи, дадениот збир не може да завршува на цифрите 1989.
3. Збирот на цифрите на бројот $X$ е $Y$, а збирот на цифрите на бројот $Y$ е $Z$. Ако $X+Y+Z=60$, определи го бројот $X$.
Решение. Лесно се проверува дека бројот $X$ мора да биде двоцифрен (ако е едноцифрен, тогаш збирот $X+Y+Z$ ќе биде помал од 60 , а ако
е трицифрен овој збир ќе биде поголем од 60). Нека $X=10 a+b$, каде $a$ и $b$ се цифри. Тогаш $Y=a+b$ и
$$
Z= \begin{cases}a+b, & a+b \leq 9 \\ a+b-0, & a+b>9\end{cases}
$$
Во првиот случај $60=X+Y+Z=12 a+3 b$, т.е. $4 a+b=20$, од каде добиваме $(a, b) \in\{(4,4),(5,0),(3,8)\}$. Последната од наведените можности отпаѓа, бидејќи во тој случај $a+b=3+8>9$. Во вториот случај добиваме $60=X+Y+Z=12 a+3 b-9$, т.е. $4 a+b=23$, од каде наоѓаме $(a, b) \in\{(4),,(5,3)\}$, но последниот пар пак отпаѓа бидјќи во тој случај $a+b=5+3<9$. Значи, бараните броеви се 44,50 и 47.
4. Даден е квадрат и 9 различни прави во неговата рамнина. Секоја од овие прави го дели квадратот на два трапези чии плоштини се однесуваат како $2: 3$. Докажи дека меѓу дадените прави постојат три кои минуваат низ иста точка.
Решение. Дадениот квадрат да го означиме со $A B C D$ и да разгледаме една од дадените прави $p_{1}$. Ако $P_{1}$ и $P_{2}$ се плоштините на трапезите на кои правата $p_{1}$ го дели дадениот квадрат, а $m_{1}$ и $m_{2}$ нивните средни линии, тогаш бидејќи висините на двата трапеза се еднакви од условот на задачата следуа $P_{1}: P_{2}=m_{1}: m_{2}=2: 3$. Според тоа,
правата $p_{1}$ минува низ една од точките $P, Q, R, S$ кои се добиваат кога средните линии на квадратот се поделат во однос $2: 3$ (види цртеж). Но, во случајов имаме 4 точки и 9 прави, па од принципот на Дирихле следува дека најмалку три прави минуваат низ иста точка.
5. Во рамнината на триаголникот $A B C$ дадена е права $p$, која го сече триаголникот $A B C$. Ако $A_{1}, B_{1}, C_{1}, T_{1}$ се подножјата на нормалите повлечени од $A, B, C, T$ соодветно на правата $p$ ( $T$ е тежиште на триаголникот $A B C$ ), докажи дека
$$
A A_{1}+B B_{1}+C C_{1}=3 T T_{1}
$$
Решение. Нека $M$ е средина на страната $A B$ на дадениот триаголник и $N$ е точка на правата $C M$
(различна од $T$ ) таква што $M N=T M$. Бидејќи тежиштето $T$ ја дели средната линија во однос $2: 1$, следува дека $C T=T N$. Нека $M$ и $N$ се подножјата на нормалите од $M$ и $N$ на правата $p$. Од трапезот $C C_{1} N_{1} N$ добиваме
$$
C C_{1}+N N_{1}=2 T T_{1}
$$
од трапезот $T T_{1} N_{1} N$ добиваме
$$
T T_{1}+N N_{1}=2 M M_{1}
$$
а од трапезот $A A_{1} B_{1} B$ добиваме
$$
A A_{1}+B B_{1}=2 M M_{1}
$$
Од послените три равенства следува:
$$
A A_{1}+B B_{1}=T T_{1}+N N_{1}=T T_{1}+\left(2 T T_{1}-C C_{1}\right)=3 T T_{1}-C C_{1}
$$
т.е.
$$
A A_{1}+B B_{1}+C C_{1}=3 T T_{1}
$$
|