File size: 11,820 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 | # Сојузен натпревар 1987
## Седмо одделение
1. Докажи дека за секој трицифрен број важи следново тврдење: или бројот е делив со 3, или двоцифрен број, односно едноцифрен број, составен од неговите цифри е делив со 3 .
Решение. Ако некоја од цифрите на произволен трицифрен број е делива со 3, тогаш тврдењето на задачата е докажано. Нека претпоставиме дека ниту една од цифрите $x, y, z$ не е делива со 3. Тогаш или остатоците од делењето на цифрите $x, y, z$ се меѓусебно еднакви или кај две цифри остатоците се различни. Ако остатоците се еднакви, тогаш збирот $x+y+z$ е делив со 3 , што значи дека бројот е делив со 3. Ако два остатоци, на пример кај цифрите $x$ и $y$, се различни, тогаш тие во некој редослед се еднакви на 1 и 2, што значи дека збирот $x+y$ е делив со 3, па затоа двоцифрениот број $\overline{x y}$ е делив со 3 .
2. Броевите 12 и 60 имаат интересно својство: нивниот производ е еднаков на нивниот десеткратен збир. Определи ги сите вакви парови природни броеви.
Решение. Нека $x$ и $y$ се бараните броеви. Тогаш $x y=10(x+y)$, од каде последователно добиваме
$$
\begin{aligned}
& x y-10 x-10 y=0 \\
& x y-10 x-10 y+100=100 \\
& (x-10)(y-10)=100
\end{aligned}
$$
Но, $100=1 \cdot 100=2 \cdot 50=4 \cdot 25=5 \cdot 20=10 \cdot 10$, па од последната равенка лесно се добива дека бараните броеви се: 11 и 110 , или 12 и 60 , или 14 и 35 , или 15 и 30 , или 20 и 20 .
3. Некој трицифрен број се зголемува за 45 ако цифрите на единиците и десетките ги заменат местата, а истиот број се намалува за 270 ако цифрите на стотките и десетките ги заменат местата. Што ќе се случи со овој број, ако цифрите на единиците и стотките ги заменат местата? Решение. Нека $100 x+10 y+z$ е дадениот трицифрен број. Со замена на местата на цифрите на десетките и едниците добиваме
$$
100 x+10 y+z+45=100 x+10 z+y \text {, т.е. } y-z+5=0
$$
Со замена на местата на цифрите на стотките и десетките добиваме
$$
100 x+10 y+z-270=100 y+10 x+z \text {, т.e. } x-y-3=0
$$
Со собирање на равенствата $y-z+5=0$ и $x-y-3=0$, го добиваме равенството $x-z=-2$. Со замена на местата на цифрите на стотките и единиците добиваме:
$$
100 x+10 y+z-(100 z+10 y+x)=99(x-z)=99(-2)=-198
$$
што значи дека бројот ќе се зголеми за 198.
4. Во рамнокрак триаголник $A B C$ со основа $A B$, отсечката $C D$ е висина спуштена кон основата. Ако $M$ е произволна точка од кракот $B C$, докажи дека разликата на отсечките $C A$ и $C M$ е поголема од разликата на отсечките $D A$ и $D M$.
Решение. Од $C A=C B$ следува
$$
C A-C M=C B-C M=B M
$$
Од триаголникот $B D M$, според неравенството на триаголник добиваме $B M>|D B-D M|$, цртеж десно. Меѓутоа, $C D$ е висина повлечена кон основата на рамнокракиот триаголниок $A B C$, па затоа $D A=D B$. Според тоа,
$$
C A-C M=B M>|D B-D M|=|D A-D M|
$$
т.е. $C A-C M>|D A-D M|$ шо и требаше да се докаже.
5. Дадена се точка $C$ и прави $p$ и $q$ кои се сечат. Конструирај триаголник $A B C$ за кој правата $p$ е симетрала на внатрешниот агол $\alpha$, а правата $q$ е симетрала на внатрешниот агол $\beta$. (Точката $C$ и правите $p$ и $q$ избери ги така што задачата ќе има решение).
Решение. Анализа. Нека $A B C$ е триаголникот во кој $p$ и $q$ се симетрали на аглите $\alpha$ и $\beta$, цртеж десно. Тогаш точката $C^{\prime}$, симетрична на $C$ во однос на $p$ припаѓа на правата $A B$, а на
оваа права припаѓа и точката $C^{\prime \prime}$, симетрична на $C$ во однос на $q$. Конструкиија. Ги конструираме точките $C^{\prime}$ и $C^{\prime \prime}$ симетрични на точката $C$ во однос на правите $p$ и $q$, соодветно. Ја повлекуваме
правата $C^{\prime} C^{\prime \prime}$ и во пресекот на оваа права со правите $p$ и $q$ ги наоѓаме темињата $A$ и $B$.
Доказот непосредно следува од анализата и конструкцијата. Деталите од доказот, како и дискусијата ги оставаме на читателот за вежба.
## Осмо одделение
1. За кои вредности на $x, y, z$ изразот $x^{2}+y^{2}+z^{2}-12 y-14 z+90$ има најмала вредност? Определи ја таа вредност.
Решение. Последователно добиваме
$$
\begin{aligned}
x^{2}+y^{2}+z^{2}-12 y-14 z+90 & =x^{2}+y^{2}-12 y+z^{2}-14 z+90 \\
& =x^{2}+(y-6)^{2}+(z-7)^{2}+5 \geq 5
\end{aligned}
$$
Според тоа, најмалата можна вредност на дадениот израз е 5 и истата се достигнува за $x=0, y=6, z=7$.
2. Ако $a^{2}+a+1=0$, определи ја вредноста на изразот
$$
a^{1987}+\frac{1}{a^{1987}}
$$
Решение. Ако $a^{2}+a+1=0$, тогаш $a \neq 1$, па затоа даденото равенство го помножиме со $a-1$ добиваме $(a-1)\left(a^{2}+a+1\right)=0$, т.е. $a^{3}-1=0$, што значи $a^{3}=1$. Според тоа, $a^{1987}=\left(a^{3}\right)^{662} a=1^{662} a=1 \cdot a=a$, па затоа
$$
a^{1987}+\frac{1}{a^{1987}}=a+\frac{1}{a}
$$
Но од условот $a^{2}+a+1=0$, последователно добиваме $a^{2}+1=-a$ и ако поделиме со $a$ наоѓаме $a+\frac{1}{a}=-1$. Конечно,
$$
a^{1987}+\frac{1}{a^{1987}}=a+\frac{1}{a}=-1
$$
3. Збирот на сите природни броеви од 1 до $n$ е еднаков на трицифрен број со еднакви цифри. Колку природни броеви се собрани?
Решение. Од условот на задачата добиваме
$$
\begin{aligned}
& 1+2+3+\ldots+n=\overline{k k k} \\
& \frac{n(n+1)}{2}=111 k
\end{aligned}
$$
$$
n(n+1)=222 k=2 \cdot 3 \cdot 37 k
$$
Левата страна на последното равенство е производ на два последователни броја, а во десната страна еден од множителите е бројот 37, кој е прост број. Според тоа, вториот множител може да биде 36 или 38. Но, бројот 38 не е делив со 3 , па затоа вториот множител е 36 , при што $k=6$. Значи, $n(n+1)=36 \cdot 37$, од каде заклучуваме дека се собрани првите 36 природни броеви и е добиен збирот 666.
4. Во правоаголник $A B C D$ со страни $A B=10 \mathrm{~cm}$ и $B C=5 \mathrm{~cm}$ е впишана полукружница со дијаметар $A B$. Во кој однос полукружницата ја дели дијагоналата на правоаголникот?
Решение. Нека $E$ е пресечната точка на дијагоналата $A C$ со полкружницата $k$ (цртеж десно). Тогаш $\measuredangle A E B=$ $90^{\circ}$, како агол над дијаметарот $A B$. Правоаголните триаголници $A B E$ и $B C E$ се слични, бидејќи имаат еднак-
ви остри агли . Затоа
$$
A E: E C=A B: B C=10: 5=2: 1
$$
5. Нека $A B C D$ е произволен конвексен четириаголник со плоштина 3 . На страната $A B$ се земени точки $M$ и $N$ такви што $A M=M N=N B$, а на страната $C D$ се земени точки $P$ и $Q$ такви што $C P=P Q=Q D$. Докажи дека четириаголникот $M N P Q$ има плоштина 1.
Решение. Триаголниците $A N Q$ и $N M Q$ имаат еднакви основи, $A M=M N$ и заедничка соодветна висина, па затоа имаат еднакви плоштини (на цртежот означени со $P^{\prime}$ ). Од слични причини еднакви се и плоштините на триаголниците $C P N$ и $P Q N$ кои се означени со $P^{\prime \prime}$.
Според тоа, плоштината на четириаголникот $M N P Q$ е еднаква на $P^{\prime}+P^{\prime \prime}$. Ќе докажеме дека збирот на плоштините на триаголниците $A D Q$ и $B C N$ е еднаков на третина од плоштината на четириаголникот $A B C D$, т.е. дека е еднаква на 1. Навистина, триаголникот $A D Q$ има три пати помала основа од триаголникот $A C D$, па како нивните
висини се еднакви добиваме дека $P_{A D Q}=\frac{1}{3} P_{A C D}$. Аналогно се докажува дека $P_{B C N}=\frac{1}{3} P_{A B C} \cdot$ Според тоа,
$$
P_{A D Q}+P_{B C N}=\frac{1}{3} P_{A C D}+\frac{1}{3} P_{A B C}=\frac{1}{3} P_{A B C D}=1
$$
Според тоа, $P_{A N C Q}=2$, т.е. $2 P^{\prime}+2 P^{\prime \prime}=2$, од каде следува $P^{\prime}+P^{\prime \prime}=1$, односно $P_{M N P Q}=P^{\prime}+P^{\prime \prime}=1$.
|