File size: 10,867 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 | # Сојузен натпревар 1966
## III година
1. Определи четирицифрен број кој е квадрат на природен број и кај кој првите две цифри и последните две цифри се еднакви.
Решение. Од условот на задачата следува
$$
\overline{a a b b}=1100 a+11 b=11(100 a+b)=k^{2}, \quad k \in \mathbb{Z}
$$
што значи дека $100 a+b=11 l^{2}, l \in \mathbb{Z}$, каде $a, b \in\{1,2, \ldots, 9\}$. Со непосредна поверка се добива дека единствена можност е $l=8, a=7, b=4$.
Навистина $88^{2}=7744$.
2. Докажи дека волумените на тетраедрите кои имаат еден заеднички триедар се однесуваат како производите на нивните рабови кои минуваат низ темето на заедничкиот триедар.
Решение. Нека се $S A B C$ и $S A_{1} B_{1} C_{1}$ тетраедрите за кои се исполнети условите на задачата и нека $\gamma=\measuredangle B S C=\measuredangle B_{1} S C_{1}$, а $\varphi$ е аголот меѓу правата $S A$ и рамнината $B S C$ (цртеж десно). Висините на тетраедрите $S A B C$ и $S A_{1} B_{1} C_{1}$ од темињаsа $A$ и $A_{1}$ соодветно се еднакви на $S A \sin \varphi$ и $S A_{1} \sin \varphi$. Волумените на овие тетра-
едри се
$$
\begin{aligned}
& V_{S A B C}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} S B \cdot S C \sin \gamma S A \sin \varphi \\
& V_{S A_{1} B_{1} C_{1}}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} S B_{1} \cdot S C_{1} \sin \gamma S A_{1} \sin \varphi
\end{aligned}
$$
па оттука следува
$$
\frac{V_{S A B C}}{V_{S A_{1} B_{1} C_{1}}}=\frac{S B \cdot S C \cdot S A}{S B_{1} \cdot S C_{1} \cdot S A_{1}}
$$
3. Определи ги сите вредности $x$ кои припаѓаат на интервалот $[0,2 \pi]$ за кои е точно неравенството
$$
2\left(\cos ^{2} x-\sqrt{3} \sin ^{2} x\right)>(\sqrt{3}-1) \sin ^{2} 2 x
$$
Решение. Дадената неравенка е еквивалентна на неравенката
$$
2(\sqrt{3}-1) \sin ^{4} x+(1-3 \sqrt{3}) \sin ^{2} x+1>0
$$
Со $y_{1}, y_{2}\left(y_{1}<y_{2}\right)$ да ги означиме решенијата на квадратната равенка
$$
2(\sqrt{3}-1) y^{2}+(1-3 \sqrt{3}) y+1=0
$$
Лесно се проверува дека за нив важи $0<y_{1}<1<y_{2}$. Ако се земе предвид дека $0 \leq \sin ^{2} x \leq 1$, добиваме дека дадената неравенка е задоволена за $0 \leq \sin ^{2} x<y_{1}$, односно за $|\sin x|<\sqrt{y_{1}}$. Според тоа, вредностите $x \in[0,2 \pi]$ кои ја задоволуваат неравенката се:
$$
0 \leq x<\arcsin \sqrt{y_{1}}, \pi-\arcsin \sqrt{y_{1}}<x<\pi+\arcsin \sqrt{y_{1}}, 2 \pi-\arcsin \sqrt{y_{1}}<x \leq 2 \pi
$$
## 4. Реши го системот равенки
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y+z=1 \\
a x+b y+c z=d \\
a^{2} x+b^{2} y+c^{2} z=d^{2}
\end{array}\right.
$$
каде $a, b, c$ се реални параметри такви што $a \neq b \neq c \neq a$.
Решение. При дадените услови системот има единствено решение
$$
x=\frac{(d-b)(d-c)}{(a-b)(a-c)}, \quad y=\frac{(d-a)(d-c)}{(b-a)(b-c)}, \quad z=\frac{(d-a)(d-b)}{(c-a)(c-b)}
$$
5. Кружниците K' и K" надворешно се допираат, а нивната надворешна заедничка тангента ги допира во точките $A_{1}$ и $A_{2}$. Нека $C_{1}$ и $C_{2}$ се соодветно центрите на $K^{\prime}$ и $K^{\prime \prime}$ и нека $E$ е пресек на заедничката надворешна и заедничката внатрешна тангента на овие кружници.
a) Докажи дека триаголникот $C_{1} E C_{2}$ е правоаголен.
б) Ако кружниците $K^{\prime}$ и $K^{\prime \prime}$ и отсечката $A_{1} A_{2}$ ротираат околу правата $C_{1} C_{2}$, тогаш отсечката $A_{1} A_{2}$ опишува омотач на потсечен конус, а кружниците $K^{\prime}$ и K" опишуваат сфери. Определи ја плоштината $M$ на потсечениот конус.
в) Ако радиусите $r_{1}$ и $r_{2}$ на добиените сфери се променливи, а нивниот збир $r_{1}+r_{2}=a$ е константен,определи ја максималната можна вредност на плоштината $M$.
Решение. а) Со $B$ да ја означиме допирната точка на двете кружници и со $D$ средината на отсечката $C_{1} C_{2}$ (види цртеж). Отсечките $E A_{1}, E B, E A_{2}$ се еднакви меѓу себе и нивната должина да ја означиме со $x$. Отсечката $E D$ е средна отсечка на трапезот $A_{1} C_{1} C_{2} A_{2}$, па затоа е еднаква на полузбирот на основите
$$
E D=\frac{r_{1}+r_{2}}{2}=C_{1} D=D C_{2}
$$
Затоа точката $E$ припаѓа на кружницата над дијаметар $C_{1} C_{2}$, па $\measuredangle C_{1} E C_{2}$ е прав.
б) Со $F_{1}$ и $F_{2}$ да ги означиме центрите на основите на добиениот потсечен конус, а со $R_{1}$ и $R_{2}$ нивните радиуси. Во трапезот $F_{1} F_{2} A_{2} A_{1}$ отсечката $E B$ е средна линија, па затоа $R_{1}+R_{2}=2 x$. Плоштината на омотачот на конусот е
$$
M=2 x \pi\left(R_{1}+R_{2}\right)=4 \pi x^{2}
$$
Од сличноста на триаголниците $E B C_{1}$ и $C_{2} B E$ следува $r_{1} r_{2}=x^{2}$, па затоа $M=4 \pi r_{1} r_{2}$
в) Бидејќи
$$
M=4 \pi r_{1} r_{2} \leq 4 \pi\left(\frac{r_{1}+r_{2}}{2}\right)^{2}=\pi a^{2}
$$
и равенство важи ако и само ако $r_{1}=r_{2}$, па бараната максимална вредност е $\pi a^{2}$ и се добива кога потсечениот конус преминува во цилиндар.
## IV година
1. Ако $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ се решенија на равенката $x^{3}-1=0$, докажи дека за секој природен број $n$ е исполнето равенството
$$
x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+x_{3}^{n}=x_{1}^{n} x_{2}^{n}+x_{2}^{n} x_{3}^{n}+x_{3}^{n} x_{1}^{n}
$$
Решение. Имаме
$$
\begin{aligned}
& x_{1}=1, \quad x_{2}=\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3} \\
& x_{3}=\cos \frac{4 \pi}{3}+i \sin \frac{4 \pi}{3} \\
& x_{1} x_{2}=x_{2}, \quad x_{1} x_{3}=x_{3}, \quad x_{2} x_{3}=x_{1}
\end{aligned}
$$
Оттука директно следува бараното равенство.
2. Дадени се по три црни топчиња нумерирани со броевите 1 и 2 и по 6 бели топчиња нумерирани со броевите 1,2 и 3. На колку начини може да наредат во низа девет топчиња, така што меѓу нив има 3 црни и 6 бели топчиња?
Решение. Бараниот број е еднаков на $\binom{9}{3} 2^{3} 3^{6}=489888$, бидејќи еместа на кои ќе се наоѓаат црните топчиња мпоже да се изберат на $\binom{9}{3}$ начини, потоа на секое
од тие три места можеме црното топче да го ставиме на два начини, а на секое од преостанатите 6 места бело топше можеме да ставиме на 3 начини.
3. Докажи дека дропката $\frac{3 n+1}{2 n^{2}+n}$, каде $n$ е природен број, не може да се скрати.
Решение. Трена да докажеме дека броевите $n$ и $3 n+1$ се заемно прости, а исто така и броевите $2 n+1$ и $3 n+1$. Имаме
$$
\begin{aligned}
& (n, 3 n+1)=(n, 3 n+1-3 n)=(n, 1)=1 \\
& (2 n+1,3 n+1)=(2 n+1,3 n+1-2 n-1)=(2 n+1, n)=(2 n+1-2 n, n)=(1, n)=1
\end{aligned}
$$
4. Нека $x_{1}$ е произволен реален број, а $x$ е таков реален број за кој важи $\left|x-x_{1}\right| \leq \frac{1}{100}$.
a) Докажи дека разликата на вредностите на функцијата $\sin x$ во точките $x$ и $x_{1}$ не е поголема од $\frac{1}{100}$.
б) Дали за функцијата $\sin x^{2}$ може да се определи интервал $\Delta=\left(x_{1}-\delta, x_{1}+\delta\right)$ така што
$$
\left|\sin x^{2}-\sin x_{1}^{2}\right| \leq \frac{1}{100}, \text { за секој } x \in \Delta
$$
каде $\delta$ е конечен позитивен број кој не зависи од $x_{1}$ ?
Решение. а) Користејќи го познатото неравенство $|\sin t| \leq|t|, t \in \mathbb{R}$, добиваме
$$
\left|\sin x-\sin x_{1}\right|=2\left|\sin \frac{x-x_{1}}{2} \cos \frac{x+x_{1}}{2}\right| \leq 2\left|\frac{x-x_{1}}{2}\right|=\left|x-x_{1}\right| \leq \frac{1}{100}
$$
б) Одговорот е негативен. Имено, да земеме $x_{1}=\sqrt{n \pi}, n \in \mathbb{N}$. Бидејќи
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}+n \pi}-\sqrt{n \pi}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{\frac{\pi}{2}+n \pi}+\sqrt{n \pi}}=0
$$
за доволно големо $n$ ќе важи $\sqrt{\frac{\pi}{2}+n \pi}-\sqrt{n \pi}<\delta$, за било кој однапред зададен $\delta>0$. Значи, ако избереме $x=\sqrt{\frac{\pi}{2}+n \pi}$, ќе важи $x \in \Delta$ и
$$
\left|\sin x^{2}-\sin x_{1}^{2}\right|=\left|\sin \left(\frac{\pi}{2}+n \pi\right)-\sin n \pi\right|=1>\frac{1}{100}
$$
|