File size: 10,816 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 | # Сојузен натпревар 1961
## III година
1. Ако $x_{1}$ и $x_{2}$ се решенија на равенката $x^{2}+k x+1=0$, определи ги оние вредности на $k$ за кои е точно неравенството
$$
\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{x_{1}}\right)^{2}>2
$$
Решение. Од Виетовите формули следува $x_{1}+x_{2}=-k, x_{1} x_{2}=1$. Понатаму:
$$
\begin{aligned}
\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{x_{1}}\right)^{2} & =\frac{x_{1}^{4}+x_{2}^{4}}{\left(x_{1} x_{2}\right)^{2}}=\left(\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}\right)^{2}-2 x_{1}^{2} x_{1}^{2} \\
& =\left(k^{2}-2\right)^{2}-2=k^{2}\left(k^{2}-4\right)+2
\end{aligned}
$$
Од претходните равенства следува дека неравенството (1) важи ако и само ако $k^{2}>4$,т.е. ако и само ако $k(-\infty,-2) \cup(2,+\infty)$.
2. Определи ја најголемата вредност на изразот
$$
\log _{2}^{4} x+12 \log _{2}^{2} x \cdot \log _{2}\left(\frac{8}{x}\right)
$$
ако променливата $x$ се менува на интерваот $[1,64]$.
Решение. Нека $\log _{2} x=1$. Забележуваме дека $t$ расте од 0 до 6 кога $x$ расте од 1 до 64. Понатаму,
$$
\begin{aligned}
\log _{2}^{4} x+12 \log _{2}^{2} x \cdot \log _{2}\left(\frac{8}{x}\right) & =\log _{2}^{4} x+12 \log _{2}^{2} x \cdot\left(3-\log _{2} x\right) \\
& =t^{4}-12 t^{3}+36 t^{2}=(t(t-6))^{2}
\end{aligned}
$$
Функцијата $f(t)=t(t-6)$ прима негативни вредности за $0<t<6$ и достигнува минимум во точката $t=3$. Затоа максимумот на дадениот израз е еднаков на $(f(3))^{2}=81$.
3. Прав цилиндар и конус имаат заедничка основа, а врвот на конусот се наоѓа во средината на другата основа на цилиндарот. Определи го аголот меѓу изводницата на конусот и оската на цилиндарот ако односот на плоштините на цилиндарот и конусот е 7:4.
Решение. Нека $r$ и $h$ се соодветно радиусот на основата на цилиндарот и неговата висина. Тогаш плоштините на цилиндарот и конусот соодветно се:
$$
P_{1}=2 \pi r h+2 r^{2} \pi, \quad P_{2}=r \pi \sqrt{r^{2}+h^{2}}+r^{2} \pi
$$
Од условот $\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{7}{4}$ последователно добиваме:
$$
\begin{aligned}
& 8 h+8 r=7 \sqrt{r^{2}+h^{2}}+7 r \\
& 48 r^{2}-16 r h-15 h^{2}=0 \\
& 48\left(\frac{r}{h}\right)^{2}-16 \frac{r}{h}-15=0
\end{aligned}
$$
и конечно $\frac{r}{h}=\frac{3}{4}$. Ако со $\varphi$ го означиме бараниот агол (види цртеж), тогаш $\operatorname{tg} \varphi=\frac{r}{h}=\frac{3}{4}$, па затоа $\varphi=\operatorname{arctg} \frac{3}{4}$.
4. Страните на триаголникот $A B C$ се $a, b$ и $c$, при што $a<b<c$. Над нив се конструирани слични правоаголници, така што плоштината на правоаголникот над страната с е поголема од збирот на плоштините на другите два правоаголници за плоштина на квадратот чија страна е $m$. Определи ги вторите страни на конструираните правоаголници.
Решение. Нека $k c$ е висината на правоаголникот конструиран над страната со должина $c$, при што $k>0$. Постојат следниве четири можности за висините на правоаголниците кои се конструирани соодветно над страните со должини $a$ и $b$ :
$$
\text { 1) } k a, k b \text {; 2) } k a, \frac{b}{k} \text {; 3) } \frac{a}{k} \text {, kb; 4) } \frac{a}{k}, \frac{b}{k} \text {. }
$$
Доволно е во секој од овие случаи да се определи вредноста на коефициентот $k$. Условот на задачата во наведените случаи го добива видот:
1) $k c^{2}=k a^{2}+k b^{2}+m^{2}$,
2) $k c^{2}=k a^{2}+\frac{b^{2}}{k}+m^{2}$,
3) $k c^{2}=\frac{a^{2}}{k}+k b^{2}+m^{2}$,
4) $k c^{2}=\frac{a^{2}}{k}+\frac{b^{2}}{k}+m^{2}$.
Ако $c^{2}>a^{2}+b^{2}$, тогаш во случајот 1) го добиваме решението $k=\frac{m^{2}}{c^{2}-a^{2}-b^{2}}$. Во случаите 2), 3) и 4) $k$ е позитивно решение на следниве равенки:
$$
\begin{aligned}
& \left(c^{2}-a^{2}\right) k^{2}-m^{2} k-b^{2}=0 \\
& \left(c^{2}-b^{2}\right) k^{2}-m^{2} k-a^{2}=0 \\
& c^{2} k^{2}-m^{2} k-a^{2}-b^{2}=0
\end{aligned}
$$
Според тоа, ако $c^{2}>a^{2}+b^{2}$,тогаш постојат четири решенија, а ако $c^{2} \leq a^{2}+b^{2}$, тогаш постојат три решенија.
## IV година
1. Дадена е низата $a_{n}=\frac{c^{2}+n-2}{2}, n \in \mathbb{N}$.
a) Определи го збирот $S_{n}$ на првите $n$ членови.
б) Докажи дека броителот на збирот $S_{c}$ е делив со 25 ако $c=10 k+1$, каде $k$ е природен број.
Решение. а) Имаме:
$$
S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}=\sum_{k=1}^{n} \frac{c^{2}+k-2}{2}=n \frac{c^{2}-2}{2}+\frac{1}{2}(1+2+\ldots+n)=\frac{n}{4}\left(2 c^{2}+n-3\right)
$$
б) Ако $c=10 k+1$, тогаш броителот на $S_{c}$ е еднаков на
$$
(10 k+1)\left(2(10 k+1)^{2}+10 k+1-3\right)=25 k(10 k+1)(8 k+2)
$$
2. Докажи дека збирот на квадратите на растојанијата од произволна точка на кружницата до сите темиња на рамностраниот триаголник впишан во таа кружница е константен.
Решение. Без ограничување на општоста можеме да земеме дека опишаната кружница $k$ е кружница со радиус $r$ и центар во координатниот почеток, а темињата на рамностраниот триаголник се точките $A, B, C$ со координати, соодветно: $\left(\frac{r}{2}, \frac{r \sqrt{3}}{2}\right),(-r, 0),\left(\frac{r}{2},-\frac{r \sqrt{3}}{2}\right)$. Произволна точка $X$ на кружницата $k$ има координати (rx,ry), каде $x^{2}+y^{2}=1$. Тогаш:
$$
\begin{aligned}
X A^{2}+X B^{2}+X C^{2} & =\left(r x-\frac{r}{2}\right)^{2}+\left(r y-\frac{r \sqrt{3}}{2}\right)^{2}+(r x+r)^{2}+r^{2} y^{2}+\left(r x-\frac{r}{2}\right)^{2}+\left(r y+\frac{r \sqrt{3}}{2}\right)^{2} \\
& =3\left(x^{2}+y^{2}\right) r^{2}+3 r^{2}=6 r^{2} .
\end{aligned}
$$
3. Определи го параметарот $\lambda$ така што растојанието од центарот на кружницата
$$
x^{2}+y^{2}+4 x-4 y-17=0
$$
до правата $x-(\lambda+2) y-\lambda-4=0$ е еднакво на $\frac{5}{\sqrt{2}}$. Тангентите кои го допираат кружницата во пресечните точки со дадената права и самата права формираат триаголник. Определи ја плоштината на пресекот на опишаниот круг околу тој триаголник и дадениот круг. (За $\lambda$ земи го целобројното решение.)
Решение. Равенката на кружницата $k$ можеме да ја запишеме во видот
$$
(x+2)^{2}+(y-2)^{2}=25
$$
Центарот на кружницата е тоќката $O(-2,2)$. Равенката
$$
\frac{|-2-2(\lambda+2)-\lambda-4|}{\sqrt{1+(\lambda+2)^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{2}}
$$
има две решенија $\lambda_{1}=5$ и $\lambda_{2}=-\frac{15}{7}$. Правата $x-7 y-9=0$ ја сече кружницата $k$ во точките $A(2,-1)$ и $B(-5,-2)$, види цртеж. Равенките на тангентите на кружницата $k$ во точките $A$ и $B$, соодветно се:
$$
y+1=\frac{4}{3}(x-2) \text { и } y+2=-\frac{3}{4}(x+5)
$$
Пресечната точка на овие тангенти е $C(-1,-5)$. Да забележиме дека четириаголникот $A O B C$ е квадрат со страна 5. Бараната плоштна е еднаква на
$$
\frac{5^{2} \pi}{4}+\frac{1}{2}\left(\frac{50}{4} \pi-25\right)=\frac{25}{2}(\pi-1)
$$
4. Докажи дека позитивните реални броеви $a, b$ и с може да се должини на страни на триаголник ако и само ако неравенството $a^{2} p+b^{2} q>c^{2} p q$ важи за секои парови позитивни реални броеви $p$ и $q$ чиј збир е еднаков на 1.
Решение. Прво да забележиме дека позитивните броеви $a, b, c$ може да се должини на страни на триаголник ако и само ако
$$
a+b>c, b+c>a, c+a>b
$$
Да означиме
$$
p=x, q=1-x, a^{2} p+b^{2} q-c^{2} p q=f(x)=c^{2} x^{2}+\left(a^{2}-b^{2}-c^{2}\right) x+b^{2}
$$
Дискриминантата на триномот $f(x)$ е:
$$
D=\left(a^{2}-b^{2}-c^{2}\right)^{2}-4 b^{2} c^{2}=-(a+b+c)(a+b-c)(a+b-c)(b+c-a)
$$
Неравенството $f(x)>0$ важи за секој рален број $x$ ако и само ако $D<0$,т.е.ако и само ако важи
$$
(a+b-c)(a+b-c)(b+c-a)>0
$$
Лесно се гледа дека за позитивни броеви $a, b, c$ може да биде негативен најмногу еден од броевите $a+b-c, b+c-a, c+a-b$. Неравенството (1) важи ако и само ако
$$
a+b>c, b+c>a, c+a>b
$$
|