File size: 30,154 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 | # Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
## 61. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije
Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017
## Naloge za 1. letnik
Čas reševanja: 45 minut.
B1. Dano je število $n=100 \ldots 001$, zapisano z 2017 ničlami in 2 enkama.
(a) Ali je število $n$ deljivo z 11 ?
(b) Ali je število $n$ deljivo s 101?
(c) Ali je število $n$ deljivo $\mathrm{1001}$ ?
B2. Poišči vse pare realnih števil $x$ in $y$, ki rešijo sistem enačb
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{x-4 y}+\frac{2}{x+y-5} & =0 \\
\frac{2}{x^{2}-4 y^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}-5} & =0
\end{aligned}
$$
## 61. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije
Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017
## Naloge za 2. letnik
## Čas reševanja: 45 minut.
B1. Naj bo $A B C$ tak ostrokotni trikotnik, da oglišči $A$ in $B$ ter središči trikotniku očrtane in včrtane krožnice ležijo na isti krožnici. Dokaži, da na tej krožnici leži tudi višinska točka trikotnika $A B C$.
(20 točk)
B2. Poišči vse realne rešitve enačbe
$$
\sqrt{x+4}+\sqrt{2 x+1}+\sqrt{4 x+2}=\sqrt{3-x}
$$
## 61. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije
Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017
## Naloge za 3. letnik
## Čas reševanja: 45 minut.
B1. Dani sta točki $A$ in $B$ ter krožnica $\mathcal{K}$ s premerom $A B$. Na daljici $A B$ izberemo točko $T$ različno od $A$ in $B$. Pravokotnica na daljico $A B$ skozi točko $T$ naj seka krožnico $\mathcal{K} \mathrm{v}$ točkah $M$ in $N$. Označimo $|A T|=x,|T B|=y$ in $|T N|=z$. Izračunaj vrednost izraza
$$
\frac{\log _{y} z+\log _{x} z}{\log _{x} z \log _{y} z}
$$
B2. Naj bo $\sin \alpha+\sin \beta=1$ in $\cos \alpha+\cos \beta=-\sqrt{3}$.
(a) Izračunaj vrednost izraza $\cos (\alpha-\beta)$.
(b) Poišči vse pare realnih števil $\alpha$ in $\beta$, ki ustrezajo danima enačbama.
## 61. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije
Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017
## Naloge za 4. letnik
## Čas reševanja: 45 minut.
B1. Najmanj kolikokrat moramo hkrati vreči dve pošteni igralni kocki, da bo verjetnost, da bomo vsaj enkrat na obeh kockah hkrati vrgli enako število pik, večja od $\frac{1}{2}$ ?
(20 točk)
B2. Dano je zaporedje $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ z začetnima členoma $a_{1}=4$ in $a_{2}=16$, za katerega je $\log _{2}\left(\log _{2} a_{1}\right), \log _{2}\left(\log _{2} a_{2}\right), \log _{2}\left(\log _{2} a_{3}\right), \ldots$ aritmetično zaporedje. Dokaži, da je
$$
\log _{2}\left(\log _{2}\left(4 a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)\right)=n+1
$$
za vsa naravna števila $n$.
(20 točk)
## 61. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije
Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017
Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna $\mathbf{2 0}$ točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $v$ uradni rešitvi.
## Rešitve za 1. letnik
B1. (a) Uporabimo pravilo za deljivost z 11. Naravno število $\overline{a_{k} \ldots a_{3} a_{2} a_{1}}$, kjer so $a_{i}$ števke, je deljivo z 11 natanko tedaj, ko je število $a_{1}-a_{2}+a_{3}-\ldots+(-1)^{k+1} a_{k}$ deljivo z 11. Ker
$$
1-\underbrace{0+0-0+\ldots+0-0}_{2017 \text { ničel }}+1=2
$$
ni deljivo z 11, tudi število $n$ ni deljivo z 11 .
## Zapisano ali uporabljeno pravilo za deljivost z 11 .2 točki
Izračun $a_{1}-a_{2}+a_{3}-\ldots+(-1)^{2019+1} a_{2019}=2$ 3 točke Odgovor 1 točka(b) Uporabimo obrazec $x^{m}+y^{m}=(x+y)\left(x^{m-1}-x^{m-2} y+\ldots-x y^{m-2}+y^{m-1}\right)$, kjer je $m$ liho število, da zapišemo
$$
\begin{aligned}
n & =10^{2018}+1=\left(10^{2}\right)^{1009}+1=\left(10^{2}+1\right)\left(\left(10^{2}\right)^{1008}-\left(10^{2}\right)^{1007}+\ldots-10^{2}+1\right)= \\
& =101 \cdot\left(\left(10^{2}\right)^{1008}-\left(10^{2}\right)^{1007}+\ldots-10^{2}+1\right)
\end{aligned}
$$
Sledi, da je število $n$ deljivo s 101 .
Zapisan ali uporabljen obrazec za razcep vsote $x^{m}+y^{m} \ldots \ldots \ldots . .3$ točke
Razcep števila $n \mathbf{V}\left(10^{2}+1\right)\left(\left(10^{2}\right)^{1008}-\left(10^{2}\right)^{1007}+\ldots-10^{2}+1\right) \ldots \ldots .3$ točke
Zapis produkta $101 \cdot\left(\left(10^{2}\right)^{1008}-\left(10^{2}\right)^{1007}+\ldots-10^{2}+1\right) \ldots \ldots \ldots . . . .1$ točka
Odgovor . ..............................................................................................
(c) Število $n$ ni deljivo s 1001, saj je $1001=7 \cdot 11 \cdot 13$ in po točki (a) število $n$ ni deljivo z 11 .
$$
\begin{aligned}
& \text { Razcep } 1001 \text { na prafaktorje } \\
& 2 \text { točki } \\
& \text { Utemeljen odgovor } \\
& 2 \text { točki }
\end{aligned}
$$
2. način.
(a) Število $n$ pisno delimo z 11.
```
10000000 \ldots.01: 11 = 90909
100
100
1...
```
Opazimo, da se v vsaki naslednji vrstici vodilna števka 1 premakne za 2 mesti v desno. Ker ima število $n$ liho mnogo ničel, dobimo na zadnjem koraku račun
$$
\begin{gathered}
101: 11=9, \\
2 \text { ost. }
\end{gathered}
$$
kar pomeni, da število $n$ ni deljivo z 11 .
## Pravilen zapis pisnega deljenja s količnikom 3 točke
Zapisan zadnji korak deljenja (101:11) 2 točki
Odgovor 1 točka
(b) Število $n$ pisno delimo s 101.
```
100000000 \ldots.01:101=990099
910
1000
910
1.,
```
Opazimo, da se v lihih vrsticah vodilna števka 1 vsakič premakne za 4 mesta v desno. Ker ima število $n$ natanko $2017=504 \cdot 4+1$ ničel, dobimo na zadnjem koraku račun $101: 101=1$. Ostanek je 0 , torej je število $n$ deljivo s 101 .
Utemeljen in zapisan zadnji korak deljenja ............................... 4 točke $\qquad$
(c) Število $n$ pisno delimo s 1001.
```
1000000000000 \ldots.01:1001=999000999
9910
9010
10000
9910
9010
1...
```
Opazimo, da se v vsaki tretji vrstici vodilna števka 1 vsakič premakne za 6 mest v desno. Ker ima število $n$ natanko $2017=336 \cdot 6+1$ ničel, dobimo na zadnjem koraku 101, kar je ostanek deljenja. Število $n$ torej ni deljivo s 1001.
Pravilen zapis pisnega deljenja s količnikom ..... 1 točka
Utemeljen in zapisan zadnji korak deljenja ..... 2 točki
Odgovor ..... 1 točka
B2. Odpravimo ulomke, da dobimo
$$
\begin{aligned}
3(x+y-5)+2(x-4 y) & =0 \\
2\left(x^{2}+y^{2}-5\right)+\left(x^{2}-4 y^{2}\right) & =0
\end{aligned}
$$
in obe enačbi poenostavimo do
$$
\begin{array}{r}
5 x-5 y-15=0 \\
3 x^{2}-2 y^{2}-10=0
\end{array}
$$
Iz prve enačbe izrazimo $x=y+3$. Ko slednje vstavimo v drugo enačbo, dobimo $y^{2}+18 y+17=0$. Levo stran enačbe razstavimo, da dobimo $(y+1)(y+17)=0$. Rešitvi sta $y=-1$ in $y=-17$. V prvem primeru iz zveze $x=y+3$ dobimo $x=2$, $\mathbf{v}$ drugem pa $x=-14$. Z obema rešitvama naredimo preizkus in ugotovimo, da v primeru $x=2$, $y=-1$ ulomka $\frac{2}{x^{2}-4 y^{2}}$ in $\frac{1}{x^{2}+y^{2}-5}$ nista definirana. Edina rešitev sistema je torej par $x=-14, y=-17$.
Zapis sistema enačb brez ulomkov .....................................................................................................
## 61. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije
Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017
Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna 20 točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $v$ uradni rešitvi.
Rešitve za 2. letnik
B1.
Označimo z $O, I$ in $H$ zaporedoma središče očrtane krožnice, središče včrtane krožnice in višinsko točko trikotnika $A B C$. Kote trikotnika označimo kot običajno z $\alpha, \beta$ in $\gamma$. Ker je $\Varangle B A I=\frac{\alpha}{2}$ in $\Varangle I B A=\frac{\beta}{2}$, je $\Varangle A I B=180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}$. Po izreku o središčnem in obodnem kotu za očrtano krožnico velja $\Varangle A O B=2 \gamma$. Trikotnik $A B C$ je ostrokoten, zato točki $O$ in $I$ ležita znotraj trikotnika $A B C$. Iz koncikličnosti točk $A, B, O$ in $I$ zato sledi $\Varangle A O B=\Varangle A I B$ oziroma $2 \gamma=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}$. Od tod izračunamo $\gamma=60^{\circ}$.
Ker je trikotnik $A B C$ ostrokoten, tudi točka $H$ leži znotraj trikotnika. Iz definicije višinske točke sledi $\Varangle B A H=90^{\circ}-\beta$ in $\Varangle H B A=90^{\circ}-\alpha$, torej je $\Varangle A H B=180^{\circ}-$ $\left(90^{\circ}-\beta\right)-\left(90^{\circ}-\alpha\right)=\alpha+\beta=180^{\circ}-\gamma$. Ker je $\gamma=60^{\circ}$, sledi $\Varangle A H B=120^{\circ}=$ $\Varangle A I B=\Varangle A O B$. Točke $A, H, I, O$ in $B$ torej res vse ležijo na isti krožnici.
Pregledno narisana in označena skica ..... 4 točke
Ugotovitev, da je $\Varangle B A I=\frac{\alpha}{2}$ in $\Varangle I B A=\frac{\beta}{2}$ ..... 1 točka
Izračun $\Varangle A I B=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}$ 1 točka
Uporaba zveze med središčnim in obodnim kotom nad istim lokom
$(\Varangle A O B=2 \gamma$ ). ..... 1 točka
Utemeljena ugotovitev, da vse tri točke ležijo v notranjosti trikotnika. ..... 3 točke
Utemeljena ugotovitev, da je $\Varangle A I B=\Varangle A O B$ ..... 2 točki
Izračun $\gamma=60^{\circ}$. ..... 1 točka
Ugotovitev, da je $\Varangle B A H=90^{\circ}-\beta$ in $\Varangle H B A=90^{\circ}-\alpha$ ..... 1 točka
Izračun $\Varangle A H B=180^{\circ}-\gamma$ ..... 2 točki
Izračun $\Varangle A H B=120^{\circ}=\Varangle A I B=\Varangle A O B$ ..... 2 točki
Utemeljen sklep, da točke $A, H, I, O$ in $B$ ležijo na isti krožnici. ..... 2 točki
B2. Enačbo preoblikuejmo v
$$
\sqrt{2 x+1}+\sqrt{x+4}=\sqrt{3-x}-\sqrt{4 x+2}
$$
jo kvadriramo
$$
(2 x+1)+2 \sqrt{2 x+1} \sqrt{x+4}+(x+4)=(3-x)-2 \sqrt{3-x} \sqrt{4 x+2}+(4 x+2)
$$
in poenostavimo, da dobimo
$$
\sqrt{2 x+1} \sqrt{x+4}=-\sqrt{3-x} \sqrt{4 x+2}
$$
Ko enačbo še enkrat kvadriramo in poenostavimo, dobimo kvadratno enačbo
$$
6 x^{2}-x-2=0
$$
Po formuli za kvadratno enačbo dobimo rešitvi $x_{1}=-\frac{1}{2}$ in $x_{2}=\frac{2}{3}$. Za obe rešitvi naredimo preizkus. Prva rešitev res ustreza enačbi, druga pa ne, saj dobimo $2 \sqrt{\frac{14}{3}}+$ $\sqrt{\frac{7}{3}}=\sqrt{\frac{7}{3}}$. Edina rešitev enačbe je torej $x=-\frac{1}{2}$.
Zapis enačbe $\sqrt{2 x+1}+\sqrt{x+4}=\sqrt{3-x}-\sqrt{4 x+2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .1$ točka
Pravilno kvadriranje enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 točke
Kvadriranje in preureditev enačbe $\mathbf{v} 6 x^{2}-x-2=0$. ..................... 2 točki
Razcep kvadratne enačbe. ...........................................................................................................
Zapis obeh rešitev $x_{1}=-\frac{1}{2}$ in $x_{2}=\frac{2}{3}$. .................................................................................
2. način. Na enak način kot v prvi rešitvi dobimo
$$
\sqrt{2 x+1} \sqrt{x+4}=-\sqrt{3-x} \sqrt{4 x+2}
$$
Vidimo, da je leva stran enačbe večja ali enaka 0 , desna pa manjša ali enaka 0 . Torej morata biti obe strani enaki 0 , kar je možno le pri $x=-\frac{1}{2}$.
Zapis enačbe $\sqrt{2 x+1}+\sqrt{x+4}=\sqrt{3-x}-\sqrt{4 x+2}$ ..... 1 točka
Pravilno kvadriranje enačbe ..... 4 točke
Zapis enačbe $\sqrt{2 x+1} \sqrt{x+4}=-\sqrt{3-x} \sqrt{4 x+2}$. ..... 5 točk
Ugotovitev, da je leva stran enačbe večja ali enaka 0 ,
desna pa manjša ali enaka 0 . ..... 2 točki
Sklep: $(2 x+1)(x+4)=0$ in $(3-x)(4 x+2)=0$ ..... 2 točki
Zapis rešitev $x_{1}=-\frac{1}{2}$ in $x_{2}=-4$. ..... 1 točka
Zapis rešitev $x_{3}=-\frac{1}{2}$ in $x_{4}=3$. ..... 1 točka
Izključitev rešitev $x=-4$ in $x=3$ ..... 2 točki
Zapis rešitve $x=-\frac{1}{2}$ ..... 2 točki
3. način. Opazimo, da je $4 x+2=2(2 x+1)$, zato lahko enačbo preoblikujemo $\mathrm{v}$
$$
(1+\sqrt{2}) \sqrt{2 x+1}=\sqrt{3-x}-\sqrt{x+4}
$$
Enačbo kvadriramo in preoblikujemo, da dobimo
$$
(3+2 \sqrt{2}) x+\sqrt{2}-2=-\sqrt{3-x} \sqrt{x+4}
$$
Še enkrat kvadriramo in preuredimo do
$$
(18+12 \sqrt{2}) x^{2}+(-3-2 \sqrt{2}) x-6-4 \sqrt{2}=0
$$
Opazimo, da enačbo lahko krajšamo s $3+2 \sqrt{2}$, da dobimo
$$
6 x^{2}-x-2=0
$$
Kot v prvi rešitvi ugotovimo, da ima ta enačba rešitvi $-\frac{1}{2}$ in $\frac{2}{3}$, od katerih pa le prva reši začetno enačbo.
Zapis enačbe $(1+\sqrt{2}) \sqrt{2 x+1}=\sqrt{3-x}-\sqrt{x+4} . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$.
Pravilno kvadriranje enačbe. ...........................................................................
Zapis enačbe $(3+2 \sqrt{2}) x+\sqrt{2}-2=-\sqrt{3-x} \sqrt{x+4} . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . .4$ točke
Preureditev enačbe $\mathbf{v}(18+12 \sqrt{2}) x^{2}+(-3-2 \sqrt{2}) x-6-4 \sqrt{2}=0$. . . . . . 1 točka
Razcep kvadratne enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 točki
Zapis rešitev $x_{1}=-\frac{1}{2}$ in $x_{2}=\frac{2}{3}$. ........................................... 2 točki
4. način. Enačbo preoblikeujemo v
$$
\sqrt{2 x+1}+\sqrt{4 x+2}=\sqrt{3-x}-\sqrt{x+4}
$$
Po kvadriranju dobimo
$$
6 x+3+2 \sqrt{2 x+1} \sqrt{4 x+2}=7-2 \sqrt{3-x} \sqrt{x+4}
$$
kar spet nekoliko preoblikujemo v
$$
\sqrt{2 x+1} \sqrt{4 x+2}+\sqrt{3-x} \sqrt{x+4}=2-3 x
$$
Enačbo zopet kvadriramo in po preoblikovanju dobimo
$$
2 \sqrt{2 x+1} \sqrt{4 x+2} \sqrt{3-x} \sqrt{x+4}=2 x^{2}-19 x-10
$$
Še zadnjič kvadriramo in preoblikujemo do
$$
36 x^{4}-12 x^{3}-23 x^{2}+4 x+4=0
$$
Levo stran lahko razstavimo kot $(2 x+1)^{2}(3 x-2)^{2}$, torej ima ta enačba rešitvi $x=-\frac{1}{2}$ in $x=\frac{2}{3}$. Kot v prvi rešitvi preverimo, da le prva od teh dveh vrednosti reši začetno enačbo.
Pravilno kvadriranje enačbe. .............................................................................................
Zapis enačbe $\sqrt{2 x+1} \sqrt{4 x+2}+\sqrt{3-x} \sqrt{x+4}=2-3 x$. .................... 5 točk
Preureditev enačbe $\mathbf{v} 2 \sqrt{2 x+1} \sqrt{4 x+2} \sqrt{3-x} \sqrt{x+4}=2 x^{2}-19 x-10$. . . $\mathbf{1}$ točka
Zapis enačbe $36 x^{4}-12 x^{3}-23 x^{2}+4 x+4=0$. .....................................................
Razcep enačbe. ..........................................................................................................................
Zapis rešitve $x=-\frac{1}{2}$....................................................... 2 točki
5. način. Enačbo preoblikujemo v
$$
\sqrt{x+4}+\sqrt{4 x+2}=\sqrt{3-x}-\sqrt{2 x+1}
$$
ter jo nato kvadriramo. Dobimo
$$
5 x+6+2 \sqrt{x+4} \sqrt{4 x+2}=x+4-2 \sqrt{3-x} \sqrt{2 x+1}
$$
kar preoblikujemo v
$$
\sqrt{x+4} \sqrt{4 x+2}+\sqrt{3-x} \sqrt{2 x+1}=-1-2 x
$$
Enačbo še enkrat kvadriramo in po preoblikovanju dobimo
$$
2 \sqrt{x+4} \sqrt{4 x+2} \sqrt{3-x} \sqrt{2 x+1}=2 x^{2}-19 x-10
$$
Od tu dalje postopamo kot v četrti rešitvi, da dobimo pridemo do edine rešitve enačbe, ki je $x=-\frac{1}{2}$.
Zapis enačbe $\sqrt{x+4}+\sqrt{4 x+2}=\sqrt{3-x}-\sqrt{2 x+1} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka
Pravilno kvadriranje enačbe. .....................................................................................
Zapis enačbe $\sqrt{x+4} \sqrt{4 x+2}+\sqrt{3-x} \sqrt{2 x+1}=-1-2 x$. ................. 5 točk
Preureditev enačbe $\mathbf{v} 2 \sqrt{x+4} \sqrt{4 x+2} \sqrt{3-x} \sqrt{2 x+1}=2 x^{2}-19 x-10$. . . 1 točka
Razcep enačbe. ............................................................................................
Zapis rešitev $x_{1}=-\frac{1}{2}$ in $x_{2}=\frac{2}{3}$. ..........................................................................
## 61. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije
Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017
Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna 20 točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $v$ uradni rešitvi.
## Rešitve za 3. letnik
B1.
Po Talesovem izreku o kotu v polkrogu je trikotnik $A B N$ pravokoten s pravim kotom pri $N$. Po višinskem izreku v pravokotnem trikotniku zato velja $z^{2}=x y$. Dan izraz zapišemo kot vsoto dveh ulomkov
$$
\frac{\log _{y} z+\log _{x} z}{\log _{x} z \log _{y} z}=\frac{1}{\log _{x} z}+\frac{1}{\log _{y} z}
$$
in nato uporabimo formulo za zamenjavo osnove logaritma $\log _{a} b=\frac{\log b}{\log a}$, da dobimo
$$
\frac{1}{\log _{x} z}+\frac{1}{\log _{y} z}=\frac{1}{\frac{\log z}{\log x}}+\frac{1}{\frac{\log z}{\log y}}=\frac{\log x}{\log z}+\frac{\log y}{\log z}=\log _{z} x+\log _{z} y
$$
Upoštevamo formulo za vsoto logaritmov in zvezo $z^{2}=x y$, da dobimo
$$
\log _{z} x+\log _{z} y=\log _{z}(x \cdot y)=\log _{z} z^{2}=2
$$
Torej je
$$
\frac{\log _{y} z+\log _{x} z}{\log _{x} z \log _{y} z}=2
$$
Ugotovitev, da je trikotnik $A B N$ pravokoten s pravim kotom pri $N$ ..... 2 točki
Zapis ali uporaba zveze $z^{2}=x y$. ..... 4 točke
Zapis izraza $\frac{\log _{y} z+\log _{x} z}{\log _{x} z \log _{y} z}$ kot $\frac{1}{\log _{x} z}+\frac{1}{\log _{y} z}$ ..... 3 točke
Izračun $\frac{1}{\log _{x} z}+\frac{1}{\log _{y} z}=\log _{z} x+\log _{z} y$ ..... 5 točk
Zapis ali uporaba zveze $\log _{z} x+\log _{z} y=\log _{z}(x \cdot y)$ ..... 3 točke
Izračun $\log _{z}(x \cdot y)=\log _{z} z^{2}$ ..... 2 točki
Izračun $\log _{z} z^{2}=2$ ..... 1 točka
B2. (a) Adicijski izrek za kosinus nam da $\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta$. Dani enačbi kvadriramo, da dobimo
$$
\begin{array}{r}
\sin ^{2} \alpha+2 \sin \alpha \sin \beta+\sin ^{2} \beta=1 \\
\cos ^{2} \alpha+2 \cos \alpha \cos \beta+\cos ^{2} \beta=3
\end{array}
$$
Dobljeni enačbi sedaj seštejemo in upoštevamo zvezo $\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$, da dobimo
$$
1+2(\sin \alpha \sin \beta+\cos \alpha \cos \beta)+1=4
$$
od tod sledi $\sin \alpha \sin \beta+\cos \alpha \cos \beta=1$ oziroma $\cos (\alpha-\beta)=1$.
(b) Ker je $\cos (\alpha-\beta)=1$, sledi $\alpha-\beta=2 k \pi$ oziroma $\alpha=\beta+2 k \pi, k \in \mathbb{Z}$. Torej je $\cos \alpha=\cos (\beta+2 k \pi)=\cos \beta$ in podobno $\sin \alpha=\sin \beta$. Ko to upotevamo $\mathrm{v}$ obeh danih enačbah, iz njiju izrazimo $\sin \beta=\frac{1}{2}$ in $\cos \beta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Od tod sklepamo, da je $\beta=\frac{5 \pi}{6}+2 n \pi, n \in \mathbb{Z}$. Torej je $\alpha=\frac{5 \pi}{6}+2 n \pi+2 k \pi=\frac{5 \pi}{6}+2(n+k) \pi$. Če označimo $k+n=m$, lahko zapišemo $\alpha=\frac{5 \pi}{6}+2 m \pi, m \in \mathbb{Z}$. Danima enačbama torej ustrezajo vsi pari $\alpha=\frac{5 \pi}{6}+2 m \pi, \beta=\frac{5 \pi}{6}+2 n \pi$, kjer sta $m$ in $n$ poljubni celi števili.
(a) Zapis ali uporaba adicijskega izreka. 3 točke Kvadriranje enačb. 2 točki
Zapis ali uporaba zveze $\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$ ..... 1 točka
Zapis enačbe $1+2(\sin \alpha \sin \beta+\cos \alpha \cos \beta)+1=4$ ..... 2 točki
Preoblikovanje enačbe $\mathbf{v} \cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta=1$ ..... 2 točki
(b) Zapis rešitve $\alpha-\beta=2 k \pi$. ..... 1 točka
Ugotovitev, da je $\cos \alpha=\cos \beta$ in $\sin \alpha=\sin \beta$. ..... 2 točki
Ugotovitev, da je $\sin \beta=\frac{1}{2}$ in $\cos \beta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.... ..... 2 točki
Izračun $\beta=\frac{5 \pi}{6}+2 n \pi, n \in \mathbb{Z}$ ..... 1 točka
Izračun $\alpha=\frac{5 \pi}{6}+2 n \pi+2 k \pi=\frac{5 \pi}{6}+2(n+k) \pi$... ..... 2 točki
Zapis rešitev $\alpha=\frac{5 \pi}{6}+2 m \pi, \beta=\frac{5 \pi}{6}+2 n \pi$, kjer $m, n \in \mathbb{Z}$ ..... 2 točki
(Če tekmovalec izpusti $m, n \in \mathbb{Z}$ se mu 1 točka odšteje)
## 61. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije
Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017
Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna $\mathbf{2 0}$ točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $v$ uradni rešitvi.
## Rešitve za 4. letnik
B1. Moč algebre dogodkov pri metu dveh kock je $6 \cdot 6=36$. Hkrati lahko na obeh kockah pade isto število pik na 6 načinov. Verjetnost, da na obeh kockah pade isto število pik, če kocki vržemo enkrat, je torej enaka $p=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
Denimo, da kocki vržemo $n$-krat. Naj bo $A$ dogodek, da vsaj enkrat na obeh kockah pade enako število pik. Verjetnost nasprotnega dogodka $\bar{A}$, da nikoli ne pade enako število pik, je enaka $P(\bar{A})=(1-p)^{n}=\left(\frac{5}{6}\right)^{n}$. Verjetnost dogodka $A$ je zato enaka $P(A)=1-P(\bar{A})=1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}$. Želimo, da je ta verjetnost večja od $\frac{1}{2}$, zato mora veljati
$$
1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}>\frac{1}{2}
$$
Vrednost izraza $1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}$ je pri $n=1,2,3,4, \ldots$ zaoredoma enaka $\frac{1}{6}, \frac{11}{36}, \frac{91}{216}, \frac{671}{1296}, \ldots$ Prvič je vrednost večja od $\frac{1}{2}$ pri $n=4$, zato moramo kocki vreči vsaj 4 -krat.
Ugotovitev, da je moč algebre dogodkov 36 ...................................................................
Izračunana vrednost izraza $1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}$ za $n=1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots . .$.
Izračunana vrednost izraza $1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}$ za $n=2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka
B2. Zaporedje $\log _{2}\left(\log _{2}\left(a_{n}\right)\right)$ je aritmetično z začetnima členoma $\log _{2}\left(\log _{2} 4\right)=\log _{2} 2=1$ in $\log _{2}\left(\log _{2} 16\right)=\log _{2} 4=2$, torej je $\log _{2}\left(\log _{2} a_{n}\right)=n$. Od tod sledi $\log _{2} a_{n}=2^{n}$ in zato $a_{n}=2^{2^{n}}$. S pomočjo formule za vsoto geometrijskega zaporedja izračunamo
$$
4 a_{1} a_{2} \ldots a_{n}=2^{2} 2^{2^{1}} 2^{2^{2}} 2^{2^{3}} \ldots 2^{2^{n}}=2^{1+1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{n}}=2^{1+\left(2^{n+1}-1\right)}=2^{2^{n+1}}
$$
od koder sledi $\log _{2}\left(\log _{2}\left(4 a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)\right)=\log _{2}\left(\log _{2}\left(2^{2^{n+1}}\right)\right)=\log _{2}\left(2^{n+1}\right)=n+1$.
Izračun $\log _{2}\left(\log _{2} 4\right)=\log _{2} 2=1$ in $\log _{2}\left(\log _{2} 16\right)=\log _{2} 4=2 \ldots \ldots \ldots$. . . . . 2 točki
Preoblikovanje produkta $4 a_{1} a_{2} \ldots a_{n} \mathbf{V} 2^{1+1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{n}} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .4$ točke
Zapis ali uporaba formule za vsoto $n$ členov geometrijskega zaporedja . 1 točka
Zapisana ali uporabljena zveza $\log _{2}\left(2^{2^{n+1}}\right)=2^{n+1} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots$ točki
2. način. Kot v prvi rešitvi izpeljemo $\log _{2}\left(\log _{2} a_{n}\right)=n$ oziroma $\log _{2} a_{n}=2^{n}$. Po formuli za logaritem produkta je
$$
\begin{gathered}
\log _{2}\left(\log _{2}\left(4 a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)\right)=\log _{2}\left(\log _{2} 4+\log _{2} a_{1}+\log _{2} a_{2}+\ldots+\log _{2} a_{n}\right)= \\
=\log _{2}\left(2+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{n}\right)
\end{gathered}
$$
Ker je vsota geometrijskega zaporedja $1+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{n}$ enaka $2^{n+1}-1$, sledi $\log _{2}\left(\log _{2}\left(4 a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)\right)=\log _{2}\left(2^{n+1}\right)=n+1$.
Izračun $\log _{2}\left(\log _{2} 4\right)=\log _{2} 2=1$ in $\log _{2}\left(\log _{2} 16\right)=\log _{2} 4=2 \ldots \ldots$. . . . . . . 2 točki
Zapis $\log _{2}\left(\log _{2}\left(4 a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)\right)=\log _{2}\left(\log _{2} 4+\log _{2} a_{1}+\log _{2} a_{2}+\ldots+\log _{2} a_{n}\right) \ldots 3$ točke Zapis $\log _{2}\left(\log _{2} 4+\log _{2} a_{1}+\ldots+\log _{2} a_{n}\right)=\log _{2}\left(2+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{n}\right) \ldots \ldots .2$ točki
Zapis ali uporaba formule za vsoto $n$ členov geometrijskega zaporedja . 1 točka
Izračun $\log _{2}\left(2^{n+1}\right)=n+1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
|