File size: 20,740 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 | # Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
## 62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije
Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018
## Naloge za 1. letnik
Čas reševanja: 45 minut.
B1. Poišči vsa realna števila $x$, ki rešijo neenačbo
$$
\frac{|x-3|+x}{x+1}<1
$$
B2. Pokaži, da je izraz $2^{2 n+3}+3^{n+2} \cdot 7^{n}$ deljiv s 17 za vsako naravno število $n$.
## 62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije
Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018
## Naloge za 2. letnik
## Čas reševanja: 45 minut.
B1. Poišči vsa cela števila $z$, za katera je tudi $\frac{5 z^{2}+3}{z-1}$ celo število.
(20 točk)
B2. Dana sta dva enako dolga vektorja $\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}$ in $\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}$, kjer sta $\vec{a}$ in $\vec{b}$ neničelna vektorja, za katera velja $|\vec{a}|=\sqrt{3}|\vec{b}|$.
(a) Izračunaj velikost kota med vektorjema $\vec{a}$ in $\vec{b}$.
(b) Izračunaj velikost kota med vektorjema $\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}$ in $\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}$.
## 62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije
Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018
## Naloge za 3. letnik
## Čas reševanja: 45 minut.
B1. Poišči vsa naravna števila $n$, za katera je
$$
\frac{100 n^{5}-n^{4}-50 n^{3}+2 n^{2}-290 n-2}{n^{2}-2}
$$
celo število.
(20 točk)
B2. Poišči vsa realna števila $x$, ki rešijo enačbo
$$
\sqrt{\log _{2} x}-\log _{2}(\sqrt{2} x)+\frac{5}{2}=0
$$
## 62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije
Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018
## Naloge za 4. letnik
## Čas reševanja: 45 minut.
B1. Poišči vsa realna števila $x$, za katera je vrednost funkcije
$$
f(x)=\sqrt{\frac{15 x^{2}+2}{3 x^{2}+5}}
$$
celo število.
(20 točk)
B2. Naj bodo $x, y$ in $z$ zaporedni členi geometrijskega zaporedja. Dokaži, da velja
$$
(x+y+z)(x-y+z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
$$
## 62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije
Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018
Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna $\mathbf{2 0}$ točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $\mathbf{v}$ uradni rešitvi.
## Rešitve za 1. letnik
B1. Obravnavamo dva primera.
Če je $x \geq 3$, je $|x-3|=x-3$, torej dobimo neenakost $\frac{2 x-3}{x+1}<1$, ki jo preoblikujemo do $\frac{x-4}{x+1}<0$. Imamo dve možnosti, bodisi je $x-4>0$ in $x+1<0$ ali pa je $x-4<0$ in $x+1>0$. V prvem primeru nimamo rešitev, saj sledi protislovje $4<x<-1$. $\mathrm{V}$ drugem primeru pa dobimo $-1<x<4$. Z upoštevanjem pogoja $x \geq 3$, dobimo rešitve $3 \leq x<4$ oziroma $x \in[3,4)$.
Če pa je $x<3$, je $|x-3|=-(x-3)$. V tem primeru dobimo neenakost $\frac{3}{x+1}<1$, ki jo preoblikujemo do $\frac{2-x}{x+1}<0$. Spet imamo dve možnosti, bodisi je $2-x>0$ in $x+1<0$ ali pa je $2-x<0$ in $x+1>0$. V prvem primeru sledi $x<-1$, v drugem primeru pa $x>2$. $Z$ upoštevanjem pogoja $x<3$, dobimo rešitve $x<-1$ in $2<x<3$ oziroma $x \in(-\infty,-1) \cup(2,3)$.
Skupna rešitev je torej $x \in(-\infty,-1) \cup(2,3) \cup[3,4)=(-\infty,-1) \cup(2,4)$.
Ločevanje primerov $x \geq 3$ ali $x<3$ (zapis ali uporaba) ...................... točka
Reševanje naloge, ko je $x \geq 3$ :
Zapis neenačbe $\frac{2 x-3}{x+1}<1$..................................................................................
Zapis rešitev $x \in\{\}$...............................................................................................................
Zapis možnosti $x-4<0$ in $x+1>0$............................................................................
Upoštevanje pogoja $x \geq 3$ in zapis končne rešitve $x \in[3,4) \ldots \ldots \ldots \ldots$.
Reševanje naloge, ko je $x<3$ :
Zapis rešitev $x<-1$..........................................................................................................
Upoštevanje pogoja $x<3$ in zapis končne rešitve $x \in(-\infty,-1) \cup(2,3) \ldots 1$ točka
Zapis skupne rešitve $x \in(-\infty,-1) \cup(2,3) \cup[3,4)=(-\infty,-1) \cup(2,4) \ldots \ldots 1$ točka
B2. Naj bo $n$ poljubno naravno število. Dani izraz preoblikujemo
$$
2^{2 n+3}+3^{n+2} \cdot 7^{n}=2^{3} \cdot 2^{2 n}+3^{2} \cdot 3^{n} \cdot 7^{n}=8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 21^{n}=17 \cdot 4^{n}+9 \cdot\left(21^{n}-4^{n}\right)
$$
Ker je prvi člen večkratnik števila 17 , zadošča dokazati, da je $21^{n}-4^{n}$ deljivo s 17 . Slednje sledi iz enakosti
$$
21^{n}-4^{n}=(21-4)\left(21^{n-1}+21^{n-2} \cdot 4+\ldots+21 \cdot 4^{n-2}+4^{n-1}\right)
$$
Preoblikovanje izraza v $2^{3} \cdot 2^{2 n}+3^{2} \cdot 3^{n} \cdot 7^{n}$
3 točke
Zapis izraza kot $8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 21^{n}$ 4 točke
Preoblikovanje izraza v $17 \cdot 4^{n}+9 \cdot\left(21^{n}-4^{n}\right)$ .4 točke
Razcep izraza $21^{n}-4^{n}$ .4 točke
Argumentiran sklep o deljivosti izraza s 17 5 točk
2. način. Kot pri prvi rešitvi izraz preoblikujemo do $8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 21^{n}$. Ker je ostanek števila 21 pri deljenju s 17 enak 4 , ima število $8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 21^{n}$ pri deljenju s 17 enak ostanek kot število $8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 4^{n}=17 \cdot 4^{n}$. Ker je slednje deljivo s 17 je tudi prvotno število deljivo s 17 .
Preoblikovanje izraza $\mathbf{v} 2^{3} \cdot 2^{2 n}+3^{2} \cdot 3^{n} \cdot 7^{n}$ 3 točke Zapis izraza kot $8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 21^{n}$ 4 točke Argumentiran sklep, da ima izraz $8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 21^{n}$ pri deljenju s 17 enak ostanek kot izraz $17 \cdot 4^{n}$ 10 točk
Sklep, da je izraz deljiv s 17 3 točke
## 62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije
Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018
Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna $\mathbf{2 0}$ točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $v$ uradni rešitvi.
## Rešitve za 2. letnik
B1. Izraz $\frac{5 z^{2}+3}{z-1}$ najprej preoblikujemo
$$
\frac{5 z^{2}+3}{z-1}=5 z+\frac{5 z+3}{z-1}=5 z+5+\frac{8}{z-1}
$$
Ker je $z$ celo število, mora biti tudi $\frac{8}{z-1}$ celo število. To pomeni, da mora biti $z-1$ en od deliteljev števila 8 . Delitelji števila 8 so $-8,-4,-2,-1,1,2,4$ in 8 , zato je $z \in\{-7,-3,-1,0,2,3,5,9\}$.
Ugotovitev, da mora biti $\frac{8}{z-1}$ celo število .........................................................
B2. (a) Vektorja $\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}$ in $\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}$ sta enako dolga, zato je $\left|\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}=\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}$. Kot med vektorjema $\vec{a}$ in $\vec{b}$ označimo s $\varphi$ in poračunamo
$$
\left|\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}=\left(\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right) \cdot\left(\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right)=\frac{1}{9} \vec{a} \cdot \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{b}=\frac{1}{9}|\vec{a}|^{2}+\frac{2}{3}|\vec{a}||\vec{b}| \cos \varphi+|\vec{b}|^{2}
$$
Podobno dobimo še
$$
\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}=\frac{4}{9}|\vec{a}|^{2}+\frac{4}{3}|\vec{a}||\vec{b}| \cos \varphi+|\vec{b}|^{2}
$$
Ker morata biti ta dva izraza enaka, sledi
$$
\frac{1}{3}|\vec{a}|^{2}+\frac{2}{3}|\vec{a}||\vec{b}| \cos \varphi=0
$$
Od tod z upoštevanjem zveze $|\vec{a}|=\sqrt{3}|\vec{b}|$ izrazimo $\cos \varphi=-\frac{|\vec{a}|}{2|\vec{b}|}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, torej je $\varphi=\frac{5 \pi}{6}$.
Ugotovitev $\left|\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}=\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}$
1 točka
Izračun $\left|\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}=\frac{1}{9}|\vec{a}|^{2}+\frac{2}{3}|\vec{a}||\vec{b}| \cos \varphi+|\vec{b}|^{2}$ .3 točke
Izračun $\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}=\frac{4}{9}|\vec{a}|^{2}+\frac{4}{3}|\vec{a}||\vec{b}| \cos \varphi+|\vec{b}|^{2}$ 2 točki
Zapis enakosti $\frac{1}{3}|\vec{a}|^{2}+\frac{2}{3}|\vec{a}||\vec{b}| \cos \varphi=0$ 1 točka Izračun $\cos \varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 2 točki Zapis rešitve $\varphi=\frac{5 \pi}{6}$ 1 točka.
(b) Kot med vektorjema $\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}$ in $\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}$ označimo z $\alpha$. Tedaj je
$$
\cos \alpha=\frac{\left(\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right) \cdot\left(\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right)}{\left|\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|}=\frac{\frac{2}{9}|\vec{a}|^{2}+\vec{a} \cdot \vec{b}+|\vec{b}|^{2}}{\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}}
$$
saj je po predpostavki $\left|\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|=\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|$. Z upoštevanjem enakosti (1), zveze $|\vec{a}|=\sqrt{3}|\vec{b}|$ in rezultata $\varphi=\frac{5 \pi}{6}$ iz točke (a) dobimo
$$
\cos \alpha=\frac{\frac{2}{9}|\vec{a}|^{2}+|\vec{a}||\vec{b}| \cos \varphi+|\vec{b}|^{2}}{\frac{4}{9}|\vec{a}|^{2}+\frac{4}{3}|\vec{a}||\vec{b}| \cos \varphi+|\vec{b}|^{2}}=\frac{\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{2}+1\right)|\vec{b}|^{2}}{\left(\frac{4}{3}-2+1\right)|\vec{b}|^{2}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}
$$
Od tod dobimo $\alpha=\frac{\pi}{3}$.
Zapis $\cos \alpha=\frac{\frac{2}{9}|\vec{a}|^{2}+\vec{a} \cdot \vec{b}+|\vec{b}|^{2}}{\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}}$ ..... 4 točke
Izračun $\cos \alpha=\frac{1}{2}$ ..... 5 točk
Zapis rešitve $\alpha=\frac{\pi}{3}$ ..... 1 točka
## 62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije
Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018
Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna $\mathbf{2 0}$ točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $v$ uradni rešitvi.
## Rešitve za 3. letnik
B1. Če polinom $100 n^{5}-n^{4}-50 n^{3}+2 n^{2}-290 n-2$ delimo s polinomom $n^{2}-2$, dobimo rezultat $100 n^{3}-n^{2}+150 n$ in ostanek $10 n-2$. Torej je
$$
\frac{100 n^{5}-n^{4}-50 n^{3}+2 n^{2}-290 n-2}{n^{2}-2}=100 n^{3}-n^{2}+150 n+\frac{10 n-2}{n^{2}-2}
$$
To število bo celo natanko tedaj, ko bo $\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ celo število. Opazimo, da je za $n>10$ števec tega ulomka manjši od imenovalca in oba sta pozitivna, zato je $0<\frac{10 n-2}{n^{2}-2}<1$. $\mathrm{V}$ tem primeru $\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ ni celo število. Torej mora biti $n \leq 10$. Izračunamo vrednost izraza $\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ za prvih 10 naravnih števil in opazimo, da dobimo celo število le, ko je $n=1,2,3,10$.
Izračunan količnik $100 n^{3}-n^{2}+150 n$ ..... 2 točki
Izračunan ostanek $10 n-2$ ..... 2 točki
Zapis $\frac{100 n^{5}-n^{4}-50 n^{3}+2 n^{2}-290 n-2}{n^{2}-2}=100 n^{3}-n^{2}+150 n+\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ ..... 1 točka
Ugotovitev, da mora biti $\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ celo število ..... 4 točke
Ugotovitev, da za $n>10$ ulomek $\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ ni celo število ..... 3 točke
Izračunana vrednost izraza $\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ za prvih deset naravnih števil ..... 3 točke
Zapisana rešitev $n=1,2,3,10$ ..... 5 točk
B2. Z upoštevanjem zveze $\log _{2}(\sqrt{2} x)=\log _{2} \sqrt{2}+\log _{2} x=\frac{1}{2}+\log _{2} x$ dano enačbo preoblikujemo v
$$
\sqrt{\log _{2} x}-\log _{2} x+2=0
$$
Uvedemo novo spremenljivko $t=\sqrt{\log _{2} x}$, da dobimo kvadratno enačbo
$$
t-t^{2}+2=0
$$
Enačbo preoblikujemo $\mathrm{v} t^{2}-t-2=0$ in levo stran razstavimo $(t-2)(t+1)=0$, da dobimo rešitvi $t=-1$ in $t=2$. Prva rešitev odpade, saj mora biti $t \geq 0$, iz druge rešitve pa dobimo enačbo $\sqrt{\log _{2} x}=2$, od koder poračunamo $x=2^{4}=16$.
Preoblikovanje enačbe $\mathbf{v} \sqrt{\log _{2} x}-\log _{2} x+2=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točke
Vpeljava nove spremenljivke oz. ugotovitev, da je enačba razcepna . . . . . 3 točke
Razcep kvadratne enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 točki
Rešitvi $t=-1$ in $t=2$ oz. $\sqrt{\log _{2} x}=-1$ in $\sqrt{\log _{2} x}=2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$.
Ugotovitev, da rešitev $t=-1$ oz. $\sqrt{\log _{2} x}=-1$ odpade ..................... 2 točki
## 62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije
Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018
Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna 20 točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $v$ uradni rešitvi.
## Rešitve za 4. letnik
B1. Izraz pod korenom preoblikujemo
$$
f(x)=\sqrt{\frac{15 x^{2}+2}{3 x^{2}+5}}=\sqrt{5-\frac{23}{3 x^{2}+5}}
$$
Ker je $\frac{23}{3 x^{2}+5} \geq 0$, je $\frac{15 x^{2}+2}{3 x^{2}+5} \leq 5$ in zato velja $0 \leq f(x) \leq \sqrt{5}$ za vsa realna števila $x$. Tako imamo le tri možnosti $f(x)=0, f(x)=1$ ali $f(x)=2$.
Enačba $\sqrt{\frac{15 x^{2}+2}{3 x^{2}+5}}=0$ nima realnih rešitev, saj $15 x^{2}+2$ ne more biti enako 0 za nobeno realno število $x$. Enačbo $\sqrt{\frac{15 x^{2}+2}{3 x^{2}+5}}=1$ kvadriramo in odpravimo ulomke, da dobimo $15 x^{2}+2=3 x^{2}+5$. Od tod izrazimo $x^{2}=\frac{1}{4}$ oziroma $x= \pm \frac{1}{2}$. Podobno iz enačbe
Vrednost fukcije $f(x)$ je celo število takrat, ko je $x= \pm \frac{1}{2}$ ali $x= \pm \sqrt{6}$.
Sklep, da je korenjenec vedno pozitiven, saj je $x$ realno število ..... 1 točka
Preoblikovanje korenjenca do oblike $5-\frac{23}{3 x^{2}+5}$ ..... 2 točki
Ugotovitev, da je $0 \leq f(x) \leq \sqrt{5}$ za vsa realna števila $x$ ..... 2 točki
Sklep, da je $f(x)=0, f(x)=1$ ali $f(x)=2$ ..... 3 točke
Preoblikovanje enačbe $f(x)=0$ do $15 x^{2}+2=0$ ..... 1 točka
Sklep, da enačba $f(x)=0$ nima realnih rešitev ..... 1 točka
Preoblikovanje enačbe $f(x)=1$ do $15 x^{2}+2=3 x^{2}+5$ ..... 1 točka
Enačba $f(x)=1$ ima rešitvi $x= \pm \frac{1}{2}$ ..... 2 točki
Preizkus rešitev ..... 2 točki
Preoblikovanje enačbe $f(x)=2$ do $15 x^{2}+2=12 x^{2}+20$ ..... 1 točka
Enačba $f(x)=2$ ima rešitvi $x= \pm \sqrt{6}$ ..... 2 točki
Preizkus rešitev ..... 2 točki
2. način. Naj bo $f(x)=n$, kjer je $n \geq 0$ celo število. Enakost kvadriramo, da dobimo $\frac{15 x^{2}+2}{3 x^{2}+5}=n^{2}$. Odpravimo ulomke in enačbo preuredimo do $\left(15-3 n^{2}\right) x^{2}=5 n^{2}-2$. Ker je $15-3 n^{2} \neq 0$ za vsa cela števila $n$, lahko enačbo delimo z $15-3 n^{2}$, da dobimo
$$
x^{2}=\frac{5 n^{2}-2}{15-3 n^{2}}
$$
Torej mora biti $\frac{5 n^{2}-2}{15-3 n^{2}} \geq 0$. Število $n=0$ očitno ne ustreza temu pogoju, za $n \geq 1$ pa je $5 n^{2}-2>0$, zato mora biti tudi $15-3 n^{2}>0$. Od tod sledi $n^{2}<5$ oziroma $n \leq 2$. Imamo torej le dve možnosti, $n=1$ ali $n=2$. Pri $n=1$ dobimo $x^{2}=\frac{1}{4}$ oziroma
$x= \pm \frac{1}{2}$, pri $n=2$ pa dobimo $x^{2}=6$ oziroma $x= \pm \sqrt{6}$. Preizkus pokaže, da so vse rešitve res prave.
Zapis enačbe $f(x)=n$, kjer je $n \geq 0$ celo število ..... 1 točka
Preoblikovanje enačbe do $\left(15-3 n^{2}\right) x^{2}=5 n^{2}-2$ ..... 1 točka
Utemeljen sklep, da je $\frac{5 n^{2}-2}{15-3 n^{2}} \geq 0$ ..... 3 točke
Ugotovitev, da število $n=0$ ne ustreza temu pogoju ..... 2 točki
Ugotovitev, da za $n \geq 1$ velja $5 n^{2}-2>0$ ..... 1 točka
Sklep $15-3 n^{2}>0$ ..... 1 točka
Sklep $n^{2}<5$ oziroma $n \leq 2$ ..... 1 točka
Preverjanje možnosti $n=1$ ..... 1 točka
Rešitev $x^{2}=\frac{1}{4}$ oziroma $x= \pm \frac{1}{2}$ ..... 2 točki
Preizkus rešitev ..... 2 točki
Preverjanje možnosti $n=2$ ..... 1 točka
Rešitev $x= \pm \sqrt{6}$ ..... 2 točki
Preizkus rešitev ..... 2 točki
B2. Ker so $x, y$ in $z$ zaporedni členi geometrijskega zaporedja, velja $y^{2}=x z$. Levo stran enakosti zmnožimo in poenostavimo
$(x+y+z)(x-y+z)=x^{2}-x y+x z+x y-y^{2}+y z+x z-y z+z^{2}=x^{2}+2 x z-y^{2}+z^{2}$.
Z upoštevanjem zveze $x z=y^{2}$ dobimo
$$
x^{2}+2 x z-y^{2}+z^{2}=x^{2}+2 y^{2}-y^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}
$$
kar je desna stran dane enakosti. S tem je enakost dokazana.
Preoblikovanje leve strani enakosti do $x^{2}+2 x z-y^{2}+z^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . .3$ točke
Preoblikovanje $x^{2}+2 x z-y^{2}+z^{2}=x^{2}+2 y^{2}-y^{2}+z^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točke
Preoblikovanje $x^{2}+2 y^{2}-y^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Sklep, da je leva stran enakosti enaka desni ................................... 4 točke
2. način. Ker so $x, y$ in $z$ zaporedni členi geometrijskega zaporedja, jih lahko zapišemo v obliki $x=a, y=a q$ in $z=a q^{2}$, kjer je $q$ kvocient zaporedja. Slednje vstavimo v levo stran enakosti in jo poenostavimo
$$
\begin{aligned}
(x+y+z)(x-y+z) & =\left(a+a q+a q^{2}\right)\left(a-a q+a q^{2}\right)=a^{2}\left(1+q+q^{2}\right)\left(1-q+q^{2}\right)= \\
& =a^{2}\left(1-q+q^{2}+q-q^{2}+q^{3}+q^{2}-q^{3}+q^{4}\right)=a^{2}\left(1+q^{2}+q^{4}\right)
\end{aligned}
$$
ter $\mathrm{v}$ desno stran enakosti
$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}+a^{2} q^{2}+a^{2} q^{4}=a^{2}\left(1+q^{2}+q^{4}\right)
$$
Ker sta rezultata enaka, je s tem enakost dokazana.
Upoštevanje $x=a, y=a q$ in $z=a q^{2}$ ..... 4 točke
Preoblikovanje leve strani enakosti do $\left(a+a q+a q^{2}\right)\left(a-a q+a q^{2}\right)$ ..... 2 točki
Preoblikovanje leve strani enakosti do $a^{2}\left(1+q^{2}+q^{4}\right)$ ..... 4 točke
Preoblikovanje desne strani enakosti do $a^{2}+a^{2} q^{2}+a^{2} q^{4}$ ..... 2 točki
Preoblikovanje desne strani enakosti do $a^{2}\left(1+q^{2}+q^{4}\right)$ ..... 4 točke
Sklep, da je leva stran enakosti enaka desni ..... 4 točke
|