File size: 31,734 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 | # Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
## Naloge za 1. letnik
Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo.
A1. Peter redi na kmetiji konje in krave. Število konjev je bilo enako številu krav in večje od 0. Potem je Peter dokupil nekaj krav in število krav se je povečalo za $50 \%$. Zdaj predstavlja število konjev le $30 \%$ števila vseh živali. Koliko konjev ima Peter na kmetiji?
(A) 8
(B) 9
(C) 10
(D) Neko drugo število
(E) Naloga nima rešitve
A2. Največ koliko notranjih kotov $n$-kotnika je lahko večjih od $180^{\circ}$ ?
(A) $n-1$
(B) $n-2$
(C) $n-3$
(D) $n-4$
(E) $n-5$
A3. Število, katerega kub je $2012^{12}$, smo pomnožili s kvadratom števila $2012^{11}$. Katero število smo dobili?
(A) $2012^{58}$
(B) $2012^{26}$
(C) $2012^{88}$
(D) $2012^{15}$
(E) $2012^{12}$
B1. Dan je trikotnik $A B C$. Označimo z $D$ presečišče simetrale kota $\Varangle B A C$ in stranice $B C$ ter z $E$ presečišče simetrale kota $\Varangle C B A$ in stranice $A C$. Denimo, da velja $|C D|=|C E|$. Dokaži, da je tedaj trikotnik $A B C$ enakokrak.
B2. Poišči vsa naravna števila $n$ in praštevila $p$, za katera je $\sqrt{n+\frac{p}{n}}$ naravno število.
B3. Lara in Sara bosta na pravokoten list papirja narisali $n$ ravnih črt, pri čemer bosta črte risali izmenično, vsaka po eno. Vsaka črta bo vzporedna enemu izmed robov lista in bo potekala od roba do roba. Nobena črta ne sme sovpadati z robom ali že narisano črto. Na koncu bo torej list papirja razdeljen na nekaj pravokotnikov. Če bo število teh pravokotnikov liho, bo zmagala Lara, če pa bo sodo, bo zmagala Sara. V odvisnosti od $n$ in od tega, kdo začne, določi, kdo ima zmagovito strategijo.
## Naloge za 2. letnik
Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo.
A1. V krog s premerom 4 včrtamo kvadrat, v dobljeni kvadrat včrtamo krog, v tega spet kvadrat in postopek ponavljamo. Kolikšen je premer četrtega kroga?
(A) $\frac{1}{\sqrt{2}}$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) 1
(D) $\sqrt{2}$
(E) $2 \sqrt{2}$
A2. Kolikšna je vsota vseh realnih števil, ki rešijo enačbo $|x-2011|+|x-2012|=3$ ?
(A) 2011
(B) 2012
(C) 2013
(D) 4021
(E) 4023
A3. Kateri točki ležita na grafu linearne funkcije $y=b x+1$, kjer je $b$ neko neničelno realno število?
(A) $(0,1)$ in $\left(\frac{1}{b}, 0\right)$
(B) $(0, b)$ in $\left(-\frac{1}{b}, 0\right)$
(C) $(0,1)$ in $(b, 0)$
(D) $(0,1)$ in $\left(-\frac{1}{b}, 0\right)$
(E) $\left(0,-\frac{1}{b}\right)$ in $(1,0)$
B1. Naj bo $A B C$ pravokotni trikotnik s pravim kotom pri $C$. Dane so takšne točke $K, L$ in $M$ na stranicah $C A, A B$ in $B C$, da je kot $\Varangle M L K$ pravi in velja $|K C|=|K L|$. Dokaži, da sta simetrali kotov $\Varangle A K L$ in $\Varangle L M B$ vzporedni.
B2. Poišči vsa naravna števila $n$ in praštevila $p$, za katera je $\sqrt{n}+\frac{p}{\sqrt{n}}$ kvadrat naravnega števila.
B3. Jure je v vrsto postavil 2012 črnih frnikol. Najprej je vsako tretjo frnikolo v vrsti zamenjal z rdečo frnikolo. Nato je vsako peto frnikolo v vrsti zamenjal z rumeno frnikolo. Nazadnje je vsako sedmo črno frnikolo $v$ vrsti zamenjal $z$ modro frnikolo. Koliko črnih frnikol mu je na koncu ostalo v vrsti?
## Naloge za 3. letnik
Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo.
A1. Dan je $4 \mathrm{~cm}$ visok valj, katerega polmer je $1 \mathrm{~cm}$. Od točke $P$ na spodnji osnovni ploskvi do točke $Q$, ki leži na zgornji osnovni ploskvi točno nad točko $P$, napnemo po plašču valja vrvico tako, da se enkrat ovije okoli valja. Koliko centimetrov je dolga najkrajša vrvica, ki jo lahko napnemo na tak način?
(A) $2 \pi$
(B) $4 \pi$
(C) $\pi \sqrt{2}$
(D) $2 \sqrt{\pi^{2}+4}$
(E) $\sqrt{2 \pi^{2}+4}$
A2. Med spodnjimi funkcijami poišči tisto, ki zavzame vrednost 0 natančno dvakrat.
(A) $f(x)=\sin x-1$
(B) $f(x)=\left|x^{2}-1\right|-2$
(C) $f(x)=e^{x}-1$
(D) $f(x)=|2 x-1|$
(E) $f(x)=x-1$
A3. Koliko je vsota velikosti kotov, označenih na sliki, če je $\varphi=$ $77^{\circ}$ ?
(A) $283^{\circ}$
(B) $360^{\circ}$
(C) $385^{\circ}$
(D) $437^{\circ}$
(E) Ni mogoče določiti.
B1. Naj bo $A B$ najdaljša stranica tetivnega štirikotnika $A B C D$. Naj simetrali kotov $\Varangle D C B$ in $\Varangle A D C$ sekata štirikotniku $A B C D$ očrtano krožnico še v točkah $E$ in $F$. Označimo z $G$ presečǐče premic $C E$ in $D F$ ter s $H$ presečišče premic $A E$ in $B F$. Dokaži, da se premici $E F$ in $G H$ sekata pod pravim kotom.
B2. Poišči vsa naravna števila $n$ in praštevila $p$, za katera je $\sqrt[3]{n+\frac{8 p}{n}}$ naravno število.
B3. Poišči vsa realna števila $x$, ki rešijo enačbo
$$
\cos \left(\pi \sin ^{2} x\right)+\sin \left(\pi \cos ^{2} x\right)=1
$$
## Naloge za 4. letnik
Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo.
A1. Koliko polinomov pete stopnje, katerih vsi koeficienti so enaki 1 ali -1 , ima ničlo v 1 ?
(A) 5
(B) 10
(C) 15
(D) 20
(E) 24
A2. Jakob bere knjigo s 630 stranmi. Prvi dan je prebral tretjino knjige. Vsota števil, ki so označevala strani, ki jih je Jakob prebral drugi dan, je bila 4410. Koliko strani je Jakobu ostalo do konca knjige? (Knjiga se začne s stranjo, označeno s številom 1.)
(A) 210
(B) 211
(C) 230
(D) 390
(E) 400
A3. Andrej začne svoj sprehod v točki $A$ in ga konča pri babici $\mathrm{v}$ točki $B$, pri čemer lahko hodi le po narisanih poteh (glej sliko). (Točke $A, O$ in $B$ so kolinearne, daljica $A O$ je polmer največje polkrožnice, $|A O|=|C B|=1, C B$ pa je pravokotna na $A B$.) Kaj oblikuje najkrajšo pot?
(A) lok $A N B$
(B) lok $A O$ in lok $O B$
(C) daljica $A C$ in daljica $C B$
(D) daljica $A N$ in lok $N B$
(E) daljica $A M$ ter loka $M O$ in $O B$
B1. Naj bo $M$ razpolovišče stranice $B C$ kvadrata $A B C D$ in naj bo $P$ pravokotna projekcija točke $C$ na daljico $D M$. Dokaži, da je trikotnik $D A P$ enakokrak z vrhom pri $A$.
B2. Poišči vsa naravna števila $n$ in praštevila $p$, za katera je $\sqrt[3]{n}+\frac{p}{\sqrt[3]{n}}$ kvadrat naravnega števila.
B3. Naj bo $a$ realno število, večje od 1 . Seštej neskončno vrsto
$$
a^{\ln \frac{1}{a^{0}}}+a^{\ln \frac{1}{a^{1}}}+a^{\ln \frac{1}{a^{2}}}+\ldots
$$
## 56. matematično tekmovanje <br> srednješolcev Slovenije <br> Regijsko tekmovanje, 28. marec 2012
## Rešitve za 1. letnik
V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Da bi se izognili morebitnemu negativnemu končnemu dosežku, se vsakemu tekmovalcu prizna začetne 3 točke.
| A1 | A2 | A3 |
| :---: | :---: | :---: |
| E | C | B |
## Utemeljitve:
A1. Denimo, da je bilo na začetku na kmetiji $x$ krav in $x$ konjev. Ko se je število krav povečalo za $50 \%$, je bilo na kmetiji $x+\frac{1}{2} x=\frac{3}{2} x$ krav. Torej je bil delež konjev enak $x /\left(x+\frac{3}{2} x\right)=\frac{2}{5}$, kar je $40 \%$ in ne $30 \%$. Pravilen odgovor je torej (E).
A2. Odgovor je $n-3$. S skice je razvidno, da je lahko $n-3$ notranjih kotov $n$-kotnika večjih od $180^{\circ}$.
Vsota notranjih kotov poljubnega $n$-kotnika je enaka $(n-2) \cdot 180^{\circ}$. Če bi bilo vsaj $n-2$ notranjih kotov večjih od $180^{\circ}$, potem bi bila vsota notranjih kotov večja od $(n-2) \cdot 180^{\circ}$, kar pa je protislovje.
A3. Število $2012^{4}$ smo pomnožili z $\left(2012^{11}\right)^{2}$ in dobili $2012^{4} \cdot 2012^{22}=2012^{26}$.
B1. $A$
Označimo presečišče premic $A D$ in $B E$ z $F$. Tedaj je premica $C F$ simetrala kota $\Varangle A C B$. Trikotnika $C F D$ in $C F E$ se ujemata v dveh stranicah in kotu med njima, torej sta skladna. Zato sta kota $\Varangle C D F$ in $\Varangle F E C$ enaka. Trikotnika $A D C$ in $B E C$ se ujemata v eni stranici in priležnima kotoma, torej sta skladna. Zato sta kota $\Varangle D A C$ in $C B E$ enaka. Od tod očitno sledi, da je trikotnik $A B C$ enakokrak z vrhom pri $C$.
Utemeljitev skladnosti trikotnikov $C F D$ in $C F E$ ..... 2 točki
Skladnost kotov $\Varangle C D F$ in $\Varangle F E C$ ..... 1 točka
Utemeljitev skladnosti trikotnikov $A D C$ in $B E C$ ..... 1 točka
Utemeljitev, da je trikotnik $A B C$ enakokrak ..... 2 točki
2. način. Označimo $|B C|=a,|C A|=b,|A B|=c$ in $|C D|=|C E|=x$. Ker je premica
$A D$ simetrala kota $\Varangle B A C$, velja $\frac{b}{c}=\frac{x}{a-x}$. Ker je premica $B E$ simetrala kota $\Varangle C B A$,
velja $\frac{a}{c}=\frac{x}{b-x}$. Od tod sledi $b(a-x)=c x=a(b-x)$ oziroma $b a-b x=a b-a x$, torej
$a=b$. To pa ravno pomeni, da je trikotnik $A B C$ enakokrak z vrhom pri $C$.
Zapis razmerja $\frac{b}{c}=\frac{x}{a-x}$ ..... 2 točki
Zapis razmerja $\frac{a}{c}=\frac{x^{2}}{b-x}$ ..... 2 točki
Enačba $b(a-x)=c x=a(b-x)$ ..... 1 točka
Izračun $a=b$ ..... 1 točka
B2. Označimo $\sqrt{n+\frac{p}{n}}=k$, kjer je $k$ naravno število, torej $n+\frac{p}{n}=k^{2}$. Od tod sledi, da $n$ deli $p$. Ker je $p$ praštevilo, mora biti $n=1$ ali $n=p$. V obeh primerih dobimo enačbo $1+p=k^{2}$ oziroma $p=(k+1)(k-1)$. Od tod sledi, da mora biti $k=2$, torej $p=3$. Dobimo rešitvi $n=1, p=3$ in $n=3, p=3$.
Sklep, da $n$ deli $p$ ..... 2 točki
Ugotovitev, da je $n=1$ ali $n=p$ ..... 1 točka
Zapis enačbe $p=(k-1)(k+1)$ ..... 1 točka
Sklep, da je $k=1$ oz. $p=3$ ..... 1 točka
Zapis obeh rešitev ..... 1 točka
(Če tekmovalec samo zapiše obe rešitvi, mu priznajte 1 točko.)
B3. Če je $n$ lih, zmaga Sara, neglede na to, kdo začne. Če pa je $n$ sod, zmaga tisti, ki ne začne. Denimo, da je na koncu na listu papirja $p$ navpičnih in $r$ vodoravnih črt, kjer je $p+r=n$. Potem je list papirja razdeljen na $(p+1)(r+1)$ pravokotnikov. Če je $n$ lih, potem je eno od števil $p$ in $r$ liho, torej je $(p+1)(r+1)$ sodo število. V tem primeru torej zmaga Sara, neglede na to, kdo je začel in kako sta igrali. Naj bo sedaj $n$ sod. Naj bo po $n-1$ potezah na papirju narisanih $s$ navpičnih in $t$ vodoravnih črt, pri čemer je $s+t=n-1$. Ker je $n-1$ liho število, sta števili $s$ in $t$ različnih parnosti. Ko bo narisana še zadnja črta, bo papir razdeljen bodisi na $(s+1) t$ bodisi na $s(t+1)$ pravokotnikov. Ker sta števili $s$ in $t$ različnih parnosti, sta tudi števili $(s+1) t=s t+t$ in $s(t+1)=s t+s$ različnih parnosti. Tisti, ki je zadnji na potezi, se torej lahko odloči, ali bo na koncu število pravokotnikov liho ali sodo, torej lahko zmaga in to neglede na to, kako je igra potekala pred tem. Če je $n$ sod torej zmaga tisti, ki je zadnji na potezi oziroma tisti, ki ne začne.
Ugotovitev in utemeljitev, da pri lihem $n$ vedno zmaga Sara ................ 2 točki
Razmislek za $n-1$ potez .............................................................................. Ugotovitev, da pri sodem $n$ zadnji igralec odloča o sodem oz. lihem številu pravokotnikov
2 točki
## Rešitve za 2. letnik
V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Da bi se izognili morebitnemu negativnemu končnemu dosežku, se vsakemu tekmovalcu prizna začetne 3 točke.
| A1 | A2 | A3 |
| :---: | :---: | :---: |
| $\mathrm{D}$ | $\mathrm{E}$ | $\mathrm{D}$ |
Utemeljitve:
A1. Razmerje premerov zaporednih dveh krogov je enako razmerju med diagonalo in stranico kvadrata, torej $\sqrt{2}$. Torej je razmerje premerov med prvim in četrtim krogom enako $(\sqrt{2})^{3}=2 \sqrt{2}$. Premer četrtega kroga je zato enak $\frac{4}{2 \sqrt{2}}=\sqrt{2}$.
A2. Taki števili sta samo dve, to sta 2010 in 2013. Njuna vsota je enaka 4023.
A3. Od omenjenih točk, le točki $(0,1)$ in $\left(-\frac{1}{b}, 0\right)$ vedno ustrezata enačbi.
B1.
Naj bosta $K^{\prime}$ in $L^{\prime}$ presečišči stranice $A B$ s simetralama kotov $\Varangle A K L$ in $\Varangle L M B$. Trikotnika $K M C$ in $K M L$ se ujemata v dveh stranicah in kotu nasproti daljši izmed teh dveh stranic, zato sta skladna. Torej je premica $K M$ simetrala kotov $\Varangle L K C$ in $\Varangle C M L$. Od tod sledi, da sta kota $\Varangle K^{\prime} K M$ in $\Varangle K M L^{\prime}$ prava. Od tod trditev naloge očitno sledi.
Skladnost trikotnikov $K M C$ in $K M L$ 2 točki
Sklep, da je $K M$ simetrala kotov $\Varangle L K C$ in $\Varangle C M L$ 1 točka Uporaba izreka o pravokotnosti simetrale notranjega in simetrale zunanjega kota 2 točki
Končni sklep
B2. Označimo $\sqrt{n}+\frac{p}{\sqrt{n}}=k^{2}$, kjer je $k$ naravno število. Enačbo kvadriramo, da dobimo $n+2 p+\frac{p^{2}}{n}=k^{4}$. Od tod sledi, da $n$ deli $p^{2}$. Ker je $p$ praštevilo, mora biti $n=1, n=p$ ali $n=p^{2}$. Če je $n=p$, dobimo enačbo $p+2 p+p=k^{4}$ oziroma $4 p=k^{4}$. Od tod sledi, da mora biti $k$ sod in zato $p$ deljiv s 4, kar pa ni mogoče. Če je $n=1$ ali $n=p^{2}$, dobimo enačbo $1+2 p+p^{2}=k^{4}$ oziroma $1+p=k^{2}$, torej $p=(k-1)(k+1)$. Od tod sledi, da mora biti $k=2$, torej $p=3$. Dobimo rešitvi $n=1, p=3$ in $n=9, p=3$.
Kvadriranje začetne enačbe ..... 1 točka
Ugotovitev, da $n$ deli $p^{2}$ ..... 1 točka
Zapis vseh treh možnosti za $n$ ..... 1 točka
Sklep, da $n$ ne more biti enak $p$ ..... 1 točka
Zapis enačbe $p(k-1)(k+1)$ za $n=1$ ali $n=p^{2}$ ..... 1 točka
Zapis obeh rešitev ..... 1 točka
(Če tekmovalec samo zapiše obe rešitvi, mu priznajte 1 točko.)
2. način. Označimo $\sqrt{n}+\frac{p}{\sqrt{n}}=k^{2}$, kjer je $k$ naravno število. Enačbo pomnožimo s $\sqrt{n}$, da dobimo $n+p=k^{2} \sqrt{n}$. Od tod sledi, da mora biti $n$ kvadrat naravnega števila. $\mathrm{V}$
začetno enačbo vstavimo $n=m^{2}$, kjer je $m$ naravno število, da dobimo $m+\frac{p}{m}=k^{2}$.
Od tod sledi, da $m$ deli $p$. Ker je $p$ praštevilo, mora biti $m=1$ ali $m=p . \mathrm{V}$ obeh
primerih dobimo enačbo $1+p=k^{2}$, torej $p=(k-1)(k+1)$. Od tod sledi, da mora biti
$k=2$, torej $p=3$. Dobimo rešitvi $n=1, p=3$ in $n=9, p=3$.
Množenje enačbe $\sqrt{n}+\frac{p}{\sqrt{n}}=k^{2} \mathbf{s} \sqrt{n}$ ..... 1 točka
Ugotovitev, da je $n=m^{2}$ ..... 1 točka
Zapis enačbe $m+\frac{p}{m}=k^{2}$ ..... 1 točka
Ugotovitev, da $m$ deli $p$ ..... 1 točka
Zapis obeh možnosti za $m$ ..... 1 točka
Zapis obeh rešitev ..... 1 točka
(Če tekmovalec samo zapiše obe rešitvi, mu priznajte 1 točko.)
B3. Označimo frnikole po vrsti s številkami od 1 do 2012. Izračunajmo najprej koliko črnih frnikol je bilo v vrsti po drugem koraku. Jure je zamenjal natanko tiste črne frnikole,
katerih številka je deljiva s 3 ali 5 . Ker je $2012=670 \cdot 3+2=402 \cdot 5+2=134 \cdot 15+2$,
je teh frnikol natanko $670+402-134=938$. Torej po drugem koraku je bilo v vrsti še
1074 črnih frnikol. Ker je $1074=153 \cdot 7+3$, je v tretjem koraku Jure zamenjal 153 črnih
frnikol. Na koncu mu je v vrsti ostalo $1074-153=921$ črnih frnikol.
Izračunano število frnikol po prvem koraku (2012-670) ..... 1 točka
Izračunano število frnikol po drugem koraku (2012-670-402+134) ..... 2 točki
Izračunano število frnikol, ki jih je zamenjal v tretjem koraku (153) ..... 2 točki
Izračunano končno število črnih frnikol ..... 1 točka
## Rešitve za 3. letnik
V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Da bi se izognili morebitnemu negativnemu končnemu dosežku, se vsakemu tekmovalcu prizna začetne 3 točke.
| A1 | A2 | A3 |
| :---: | :---: | :---: |
| $\mathrm{D}$ | $\mathrm{B}$ | $\mathrm{A}$ |
Utemeljitve:
A1. Če cilinder prerežemo po navpičnici $P Q$ in razgrnemo, dobimo pravokotnik z dolžinama stranic $4 \mathrm{~cm}$ in $2 \pi \mathrm{cm}$. Naloga potem sprašuje po dolžini najkrajše poti med nasprotnima ogliščema pravokotnika. Ta je enaka dolžini diagonale, torej $\sqrt{(2 \pi)^{2}+4^{2}}=$ $2 \sqrt{\pi^{2}+4} \mathrm{~cm}$.
A2. Graf funkcije pod (A) seka $x$-os neskončnokrat, graf funkcije pod (B) seka $x$-os $\mathbf{v}$ točkah $(\sqrt{3}, 0)$ in $-\sqrt{3}, 0$, graf funkcije pod (C) seka $x$-os le $\mathrm{v}$ točki $(0,0)$, graf funkcije pod (D) seka $x$-os le $\mathbf{v}$ točki $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$, graf funkcije pod (E) pa seka $x$-os le $\mathrm{v}$ točki $(1,0)$. Torej je pravilen odgovor (B).
A3. Dodatno označimo še kot $\varphi$. Z upoštevanjem dejstva, da je vsota notranjih kotov pri dveh ogliščih v trikotniku enaka zunanjemu kotu pri tretjem oglišču, zaporedoma sklepamo, da je vsota kotov na skici enaka vsoti kotov na naslednjih skicah:
Vsota kotov označenih na skici je torej $2 \cdot 180^{\circ}=360^{\circ}$, vsota prvotno označenih kotov pa je $360^{\circ}-\varphi=360^{\circ}-77^{\circ}=283^{\circ}$.
B1.
Ker so točke $C, D, E$ in $F$ konciklične, sta kota $\Varangle F D C$ in $\Varangle F E C$ enaka. Ker so točke $A, E, F$ in $D$ konciklične, sta kota $\Varangle A D F$ in $\Varangle H E F$ enaka. Torej sta kota $\Varangle H E F$ in $\Varangle F E G$ enaka. Na podoben način pokažemo tudi, da sta kota $\Varangle G F E$ in $\Varangle E F H$ enaka. Trikotnika $E F G$ in $E F H$ se ujemata v eni stranici in priležnima kotoma, torej sta skladna. Zato velja $|E G|=|E H|$, torej je trikotnik $H G E$ enakokrak z vrhom pri $E$. Od tod pa sledi, da se premici $E F$ in $G H$ res sekata pod pravim kotom.
Skladnost kotov $\Varangle F D C$ in $\Varangle F E C$ 1 točka
Skladnost kotov $\Varangle A D F$ in $\Varangle H E F$ in skladnost kotov $\Varangle H E F$ in $\Varangle F E G \mathbf{. 1}$ točka Skladnost kotov $\Varangle G F E$ in $\Varangle E F H$ 1 točka
Skladnost trikotnikov $E F G$ in $E F H$ 2 tocki
Sklep, da se $E F$ in $G H$ sekata pod pravim kotom 1 točka
B2. Označimo $\sqrt[3]{n+\frac{8 p}{n}}=k$, kjer je $k$ naravno število, torej $n+\frac{8 p}{n}=k^{3}$. Od tod sledi, da $n$ deli $8 p$. Ker je $p$ praštevilo, mora biti $n=1, n=2, n=4, n=8, n=p, n=2 p$, $n=4 p$ ali $n=8 p$. Če je $n=1$ ali $n=8 p$, dobimo enačbo $1+8 p=k^{3}$ oziroma $8 p=(k-1)\left(k^{2}+k+1\right)$. Ker je $k^{2}+k+1$ liho naravno število, mora biti $k-1=8$ in $p=k^{2}+k+1$, torej $p=91$, kar pa ni praštevilo. Če je $n=2$ ali $n=4 p$, dobimo enačbo $2+4 p=k^{3}$. Od tod sledi, da mora biti $k$ sod, zato je desna stran deljiva s 4 , leva pa ne. Če je $n=4$ ali $n=2 p$, dobimo enačbo $4+2 p=k^{3}$. Od tod sledi, da mora biti $k$ sod, torej je desna stran deljiva s 4 , zato mora biti tudi $p$ sod, torej $p=2$. Od tod dobimo rešitev $n=4, p=2$. Če je $n=8$ ali $n=p$, dobimo enačbo $8+p=k^{3}$ oziroma $p=(k-2)\left(k^{2}+2 k+4\right)$. Od tod sledi, da mora biti $k=3$, torej $p=19$. Od tod dobimo rešitvi $n=8, p=19$ in $n=19, p=19$.
Zapis enačbe $n+\frac{8 p}{n}=k^{3}$ in ugotovitev, da $n$ deli $8 p \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka
Ugotovitev, da možnosti $n=1$ ali $n=8 p$ ne rešita enačbe . . . . . . . . . . 1 točka Ugotovitev, da možnosti $n=2$ ali $n=4 p$ ne rešita enačbe . . . . . . . . . . 1 točka Sklep, da iz $n=4$ ali $n=2 p$ dobimo rešitev $n=4$ in $p=2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$. Sklep, da iz $n=8$ ali $n=p$ dobimo rešitvi $n=8, p=19$ in $n=19, p=19 \ldots \mathbf{1}$ točka (Če tekmovalec samo zapiše vse tri rešitve, mu priznajte 1 točko.)
B3. Označimo $y=\pi \sin ^{2} x$. Ker je $\sin \left(\pi \cos ^{2} x\right)=\sin \left(\pi\left(1-\sin ^{2} x\right)\right)=\sin \left(\pi-\pi \sin ^{2} x\right)=$ $\sin \left(\pi \sin ^{2} x\right)$, dobimo enačbo $\cos y+\sin y=1$. Ker je $\cos y+\sin y=\sin y+\sin \left(\frac{\pi}{2}-y\right)=$ $2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{2 y-\frac{\pi}{2}}{2}=1$, sledi $\cos \left(y-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, kar nam da $y=\frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{4}+2 k \pi$. Ker pa je $y=\frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{4}+2 k \pi=\pi \sin ^{2} x \in[0, \pi]$, je lahko le $k=0$. Torej je $y=0$ ali $y=\frac{\pi}{2}$. Če je $y=0$, je $x=n \pi$, kjer je $n$ celo število. Za $y=\frac{\pi}{2}$, pa mora biti $\sin ^{2} x=\frac{1}{2}$, kar nam da $\sin x= \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ oz. $x=\frac{\pi}{4}+n \frac{\pi}{2}$, kjer je $n$ celo število.
Uvedba nove neznanke in pretvorba enačbe $\mathbf{v} \cos y+\sin y=1 \ldots \ldots \ldots .1$ točka
Sklep, da je $k=0$. ..........................................................................................................
Zapis obeh družin rešitev pri $y=0$ in $y=\frac{\pi}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ (1+1) točka (Če tekmovalec samo zapiše vse rešitve, mu priznajte 2 točki.)
## Rešitve za 4. letnik
V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Da bi se izognili morebitnemu negativnemu končnemu dosežku, se vsakemu tekmovalcu prizna začetne 3 točke.
| A1 | A2 | A3 |
| :---: | :---: | :---: |
| D | E | D |
Utemeljitve:
A1. Vrednost polinoma v točki 1 je enaka vsoti vseh koeficientov polinoma. Ker mora biti ta vrednost enaka 0 , morajo biti natanko trije koeficienti enaki 1 , trije pa enaki -1 . Število iskanih polinomov je torej $\binom{6}{3}=20$.
A2. Prvi dan je prebral 210 strani. Če je drugi dan prebral $n$ strani, je bila vsota številk teh strani enaka $211+212+213+\ldots+(210+n)=210 n+\frac{n(n+1)}{2}$. Torej mora biti $210 n+\frac{n(n+1)}{2}=4410$. Od tod sledi $210 n \leq 4410$ oziroma $n \leq 20$. Pri $n=20$ je $210 n+$ $\frac{n(n+1)}{2}=4410$, torej je drugi dan prebral 20 strani, ostalo pa mu je še $630-210-20=400$ strani.
A3.
B1. $A$
Naj bo $N$ razpolovišče stranice $C D$ in $R$ presečišče premic $D P$ in $A N$. Potem je $\Varangle D R A=180^{\circ}-\Varangle A D R-\Varangle N A D=180^{\circ}-\Varangle A D R-\Varangle M D C=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$. Torej je premica $R N$ vzporedna premici $P C$ in ker je $|D N|=|N C|$, sledi $|D R|=|R P|$. Torej sta trikotnika $D R A$ in $P R A$ skladna, saj se ujemata v dveh stranicah in vmesnem kotu. Torej je $|D A|=|A P|$.
## 2. način.
Naj premica skozi $P$ vzporedna stranici $A B$ seka stranici $A D$ in $B C$ v točkah $E$ in $F$, premica skozi $P$ vzporedna stranici $A D$ pa naj seka stranici $A B$ in $C D$ v točkah $G$ in $H$. Naj bo dolžina stranice kvadrata enaka $a$. Potem je ploščina trikotnika $D M C$ enaka $\frac{1}{2} a \frac{a}{2}=\frac{1}{2}|D M||C P|$. Po Pitagorovem izreku je $|D M|=\sqrt{a^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2} a$, torej je $|C P|=\frac{a^{2}}{2|D M|}=\frac{a}{\sqrt{5}}$. Po Pitagorovem izreku je $|D P|=\sqrt{a^{2}-|C P|^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{5}}=$ $\frac{2 a}{\sqrt{5}}$ in $|P M|=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}-|C P|^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{5}}=\frac{a}{2 \sqrt{5}}$. Ploščina trikotnika $D P C$ je torej enaka $\frac{1}{2} a|H P|=\frac{1}{2}|D P||P C|=\frac{a^{2}}{5}$, zato je $|H P|=\frac{2}{5} a$ oziroma $|P G|=a-|H P|=$ $\frac{3}{5} a$. Podobno je ploščina trikotnika $C P M$ enaka $\frac{1}{2} \frac{a}{2}|P F|=\frac{1}{2}|P M||P C|=\frac{a^{2}}{20}$, zato je
$|P F|=\frac{1}{5} a$ oziroma $|A G|=|P E|=a-|P F|=\frac{4}{5} a$. Po Pitagorovem izreku sledi $|A P|=\sqrt{|A G|^{2}+|P G|^{2}}=a=|A D|$. Torej je trikotnik $D A P$ enakokrak z vrhom pri $A$.
Izračun $|D M|=\frac{\sqrt{5}}{2} a$ in $|C P|=\frac{a}{\sqrt{5}}$ ..... 2 točki
Izračun $|D P|=\frac{2 a}{\sqrt{5}}$ in $|P M|=\frac{a}{2 \sqrt{5}}$ ..... 1 točka
Izračun $|H P|=\frac{2}{5} a$ in $|P G|=\frac{3}{5} a$ ..... 1 točka
Izračun $|P F|=\frac{a}{5}$ in $|A G|=\frac{4}{5} a$ ..... 1 točka
Sklep $|A P|=a=|A D|$ ..... 1 točka
B2. Označimo $\sqrt[3]{n}+\frac{p}{\sqrt[3]{n}}=k^{2}$, kjer je $k$ naravno število. Enačbo potenciramo na 3 , da dobimo $n+3 p \sqrt[3]{n}+3 \frac{p^{2}}{\sqrt[3]{n}}+\frac{p^{3}}{n}=k^{6}$, kar lahko prepišemo $\mathrm{v} n+3 p k^{2}+\frac{p^{3}}{n}=k^{6}$. Od tod sledi, da $n$ deli $p^{3}$. Ker je $p$ praštevilo, mora biti $n=1, n=p, n=p^{2}$ ali $n=p^{3}$. Če je $n=p$ ali $n=p^{2}$, dobimo enačbo $p+3 p k^{2}+p^{2}=k^{6}$. Od tod sledi, da mora biti $k$ deljiv s $p$, zato je desna stran deljiva s $p^{2}$, leva pa ne. Ostaneta nam še možnosti $n=1$ in $n=p^{3}$, ki ju vstavimo $\mathrm{v}$ začetno enačbo in dobimo $1+p=k^{2}$, torej $p=(k-1)(k+1)$. Od tod sledi, da mora biti $k=2$, torej $p=3$. Dobimo rešitvi $n=1, p=3$ in $n=27$, $p=3$.
Kubiranje začetne enačbe ..... 1 točka
Zapis kubirane enačbe kot $n+3 p k^{2}+\frac{p^{3}}{n}=k^{6}$ in ugotovitev, da $n$ deli $p^{3}$.. 1 točka
Zapis vseh možnosti za $n$. ...................................................................................................
Ugotovitev, da pri $n=p$ ali $n=p^{2}$ ne dobimo rešitve $\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka
Zapis obeh rešitev, ko je $n=1$ ali $n=p^{3}$ ..... 2 točki
(Če tekmovalec samo zapiše obe rešitvi, mu priznajte 1 točko.)
2. način. Označimo $\sqrt[3]{n}+\frac{p}{\sqrt[3]{n}}=k^{2}$, kjer je $k$ naravno število. Enačbo pomnožimo $\mathrm{s}$ $k^{2} \sqrt[3]{n}$ oziroma $\sqrt[3]{n^{2}}$, da dobimo enačbi $k^{2} \sqrt[3]{n^{2}}+k^{2} p=k^{4} \sqrt[3]{n}$ in $n+p \sqrt[3]{n}=k^{2} \sqrt[3]{n^{2}}$. Ti dve enačbi seštejemo in nekoliko preuredimo, da dobimo $n+k^{2} p=\left(k^{4}-p\right) \sqrt[3]{n}$. Od tod sledi, da mora biti $n$ kub naravnega števila. $\mathrm{V}$ začetno enačbo vstavimo $n=m^{3}$, kjer je $m$ naravno število, da dobimo $m+\frac{p}{m}=k^{2}$. Od tod sledi, da $m$ deli $p$. Ker je $p$ praštevilo, mora biti $m=1$ ali $m=p$. $\mathrm{V}$ obeh primerih dobimo enačbo $1+p=k^{2}$, torej $p=(k-1)(k+1)$. Od tod sledi, da mora biti $k=2$, torej $p=3$. Dobimo rešitvi $n=1, p=3$ in $n=27, p=3$.
Preureditev $\mathbf{v} n+k^{2} p=\left(k^{4}-p\right) \sqrt[3]{n} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Sklep, da je $n$ kub naravnega števila ......................................................................
Zapis enačbe $m+\frac{p}{m}=k^{2}$ in ugotovitev, da $m$ deli $p \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka
Zapis obeh možnosti za $m$ in zapis obeh rešitev ................................ 2 točki
(Če tekmovalec samo zapiše obe rešitvi, mu priznajte 1 točko.)
B3. Velja
$$
a^{\ln \frac{1}{a}}=\left(e^{\ln a}\right)^{-\ln a}=\left(\frac{1}{e}\right)^{(\ln a)^{2}}
$$
Ker je $a \neq 1$, je $\ln a \neq 0$, torej $(\ln a)^{2}>0$. Zato je $\left(\frac{1}{e}\right)^{(\ln a)^{2}}<1$, saj je $\frac{1}{e}<1$, torej $a^{\ln \frac{1}{a}}<1$. Velja $a^{\ln \frac{1}{a^{n}}}=a^{n \ln \frac{1}{a}}=\left(a^{\ln \frac{1}{a}}\right)^{n}$. Torej je dana vsota vsota geometrijskega zaporedja $\mathrm{z}$ začetnim členom 1 in koeficientom $a^{\ln \frac{1}{a}}<1$. Zato je ta vsota enaka $\frac{1}{1-a^{\ln \frac{1}{a}}}$.
Izračun vsote ........................................................................................................
}
|