File size: 30,575 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 | # Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
## Naloge za 1. letnik
Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo.
A1. V tovarni so posodobili opremo in produktivnost je zrasla za $25 \%$. Ko so odpustili nekaj delavcev, se je produktivnost zmanjšala za $20 \%$. Za koliko $\%$ se je po obeh spremembah spremenila produktivnost $\mathrm{v}$ tej tovarni?
(A) Zmanjšala za $5 \%$
(B) Zmanjšala za 2,5\%
(C) Zmanjšala za 2 \%
(D) Se ni spremenila
(E) Povečala za $5 \%$
A2. Kolikšna je vrednost zmnožka $x \cdot y$, če je $3^{x}=a$ in $a^{y}=81$ ?
(A) 4
(B) 3
(C) 12
(D) 0
(E) 1
A3. Na sliki je narisano, kako je tekel zajec, ko ga je v megli lovil volk. Najprej je tekel proti vzhodu, potem se je obrnil desno, čez nekaj časa je zavil levo in kmalu še enkrat levo. Po zadnjem zavoju je zajec zopet tekel proti vzhodu. Koliko je velik kot pri drugem zavoju?
(A) $98^{\circ}$
(B) $96^{\circ}$
(C) $88^{\circ}$
(D) $90^{\circ}$
(E) $92^{\circ}$
B1. Naj bosta $a$ in $b$ pozitivni realni števili, katerih zmnožek je 1, vsota njunih kvadratov pa je 4. Izračunaj vrednost izraza $a^{-3}+b^{-3}$. Rezultat naj bo natančen.
B2. Pravokotnik smo s tremi daljicami razdelili na štiri dele, tako kot je prikazano na sliki. Nato smo nastale štiri like na novo zložili v kvadrat. Koliko je obseg nastalega kvadrata? (6 točk)
B3. Ko je tretješolec Benjamin računal vsoto $1+2+3+\ldots+2012$, je izpustil nekaj členov in dobil napačno vsoto, ki je bila deljiva z 2011. Anika je pri računanju vsote $A=1+2+3+\ldots+2013$ izpustila povsem enake člene kot Benjamin in dobila napačno vsoto $N$, ki je bila deljiva z 2014. Kolikšno je razmerje vsot $\frac{N}{A}$ ?
## Naloge za 2. letnik
Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo.
A1. Če so na blagajni kina odprte tri blagajne, morajo obiskovalci za nakup vstopnic čakati 15 min. Za koliko minut se skrajša čakalni čas, če odprejo še dve blagajni?
(A) 3
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 10
A2. Naj bo $x=2^{2013}$. Koliko je vrednost izraza
$$
x-\sqrt{x^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x} ?
$$
enaka
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) $2^{2013}$
(E) 2
A3. V trikotniku $A B C$ se simetrali kota $\Varangle B A C$ in kota $\Varangle C B A$ sekata v točki $T$. Označimo z $\gamma$ velikost kota $\Varangle A C B$. Koliko je velik kot $\Varangle A T B$ ?
(A) $2 \gamma$
(B) $180^{\circ}-\gamma$
(C) $360^{\circ}-4 \gamma$
(D) $60^{\circ}+\gamma$
(E) $90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}$
B1. Poišči vsa naravna števila $n$ oblike $n=\overline{23 a b 16 c}$, ki imajo same različne števke in so deljiva z 9 in 11. Tu so $a, b$ in $c$ števke.
B2. Naj bo $O$ izhodišče koordinatnega sistema. Točko $A\left(\frac{5}{2},-\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)$ zavrtimo okoli $O$ za $2013 \pi \mathrm{v}$ točko $B$. Točko $B$ prezrcalimo čez simetralo lihih kvadrantov v točko $C$. Izračunaj velikost kota $\Varangle A O C$.
B3. Dokaži, da za poljubni realni števili $a$ in $b$ velja neenakost
$$
\left(a+a b-b^{2}\right)^{2}+a b^{2}(a+2) \geq 0
$$
Kdaj velja enakost?
## Naloge za 3. letnik
Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo.
A1. Za funkcijo $f$ je $3 f(x)+f(-x)=4 \sin x \cos x$ za vsako realno število $x$. Poišči pravilni zapis funkcije $f$.
(A) $\sin x$
(B) $\cos x$
(C) $\cos x \sin x$
(D) $\sin 2 x$
(E) $\cos 2 x$
A2. V kvadrat s stranico 2 narišemo dva polkroga, katerih premera sta stranici kvadrata, kot kaže slika. Kolikšna je ploščina neosenčenega dela kvadrata?
(A) $\frac{\pi}{2}$
(B) 2
(C) $\frac{3}{2}+\frac{\pi}{4}$
(D) $\frac{3 \pi}{4}-\frac{1}{2}$
(E) $\frac{3 \pi}{4}$
A3. V čredi so jeleni in košute. Košute predstavljajo $55 \%$ črede, njihova masa pa predstavlja $45 \%$ mase celotne črede. Kolikšno je razmerje med povprečno maso jelena in povprečno maso košute?
(A) $\frac{81}{40}$
(B) $\frac{3}{2}$
(C) $\frac{121}{81}$
(D) $\frac{11}{9}$
(E) $\frac{6}{5}$
B1. Poišči vse celoštevilske rešitve enačbe $m^{4}+2 n^{2}=9 m n$.
B2. Poišči vsa realna števila $x$, ki zadoščajo enačbi
$$
\log _{\sin x}\left(\frac{1}{2} \sin 2 x\right)=2
$$
B3. Naj bo $A B C D E F$ pravilni šestkotnik, $P$ razpolovišče stranice $A B$ in $R$ razpolovišče stranice $E F$, kot je prikazano na sliki. Kolikšno je razmerje med ploščino štirikotnika $A P R F$ in ploščino štirikotnika $B C D P$ ? (6 točk)
## Naloge za 4. letnik
Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo.
A1. V posodi imamo 10 kroglic, treh različnih barv: modre, rumene in zelene. V vrsto jih lahko postavimo na 360 različnih načinov. Največ koliko modrih kroglic je lahko v posodi?
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
A2. Za funkcijo $f$ vemo, da je $f(x)=x^{2}+1$. Koliko je $\frac{f(f(x)+x)}{f(x)}$ ?
(A) $x^{2}+x+1$
(B) $x^{2}+2 x+2$
(C) $x^{2}+1$
(D) $x^{2}+2 x+1$
(E) $x^{2}+x$
A3. Poltraka iz oglišča $A$ enotskega kvadrata $A B C D$ razdelita pravi kot na tri enako velike kote. Eden izmed poltrakov seka stranico $B C$ v točki $T$. Koliko je dolga daljica $B T$ ?
(A) $\frac{1}{2}$
(B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
(C) $\frac{1}{3}$
(D) $\frac{\sqrt{3}}{3}$
(E) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B1. Poišči vse četverice neničelnih števk $a, b$, $c$ in $d$, za katere velja $\overline{a b 20}-\overline{13 c d}=\overline{c d a b}$.
B2. Dokaži, da je vsak tangenten štirikotnik, katerega diagonali se sekata pod pravim kotom, deltoid.
B3. Žan je zapisal zaporedje štirih pozitivnih realnih števil. Prvi člen zaporedja je bilo število 3, zadnji člen pa število 9. Prvi trije členi so oblikovali geometrijsko zaporedje, zadni trije členi pa aritmetično zaporedje. Določi vse štiri člene Žanovega zaporedja.
## 57. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije
## Regijsko tekmovanje, 4. april 2013
## Rešitve za 1. letnik
V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Da bi se izognili morebitnemu negativnemu končnemu dosežku, se vsakemu tekmovalcu prizna začetne 3 točke.
| 1 | 2 | 3 |
| :--- | :--- | :--- |
| $\mathrm{D}$ | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{E}$ |
Utemeljitve:
A1. Če so na začetku v tovarni izdelali $x$ izdelkov, potem so po posodobitvi opreme izdelali $\frac{125}{100} \cdot x$ izdelkov, po odpuščanju pa $\frac{80}{100} \cdot \frac{125}{100} \cdot x=x$ izdelkov. Število končnih izdelkov se torej ni spremenilo. Pravilen odgovor je $D$.
A2. Ker je $81=a^{y}=\left(3^{x}\right)^{y}=3^{x y}$, je $x y=4$. Pravilen odgovor je torej $A$.
A3. Prvi in zadnji del poti zajca sta si vzporedni. Če dorišemo vzporednico še skozi drugi zavoj, je zaradi vzporednosti $\alpha=44^{\circ}$ in $\beta=180^{\circ}-132^{\circ}=48^{\circ}$. Kot pri drugem zavoju je torej enak $\alpha+\beta=92^{\circ}$. Pravilen odgovor je $E$.
B1. Ker je $a^{2}+b^{2}=4$ in $a b=1$, je $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2 a b=4+2=6$ oziroma $a+b=\sqrt{6}$, saj sta $a$ in $b$ pozitivni števili. Sledi
$$
\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}=\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3} b^{3}}=\frac{(a+b)^{3}-3 a b(a+b)}{a^{3} b^{3}}=\frac{6 \sqrt{6}-3 \cdot 1 \cdot \sqrt{6}}{1}=3 \sqrt{6}
$$
Vstavljeni podatki in izračunan končni rezultat . .................................................
B2. Privzemimo oznake s skice. Po Pitagorovem izreku je $y=$ $\sqrt{15^{2}-9^{2}}=\sqrt{144}=12$. Iz podobnosti obeh levih pravokotnih trikotnikov sledi $\frac{x}{5}=\frac{y}{15}$ oziroma $x=\frac{y}{3}=4$. Pravokotnik ima torej stranici dolgi 9 in 16 , torej je njegova ploščina 144. Torej bo tudi ploščina kvadrata enaka 144. Zato bo stranica kvadrata
dolga 12, obseg kvadrata pa bo 48 .
Izračunan $y=12$ 1 točka
Izračunan $x=4$ 2 točki
Ugotovitev, da sta stranici pravokotnika dolgi 9 in 16 1 točka Izračunana ploščina kvadrata 1 točka Izračunan obseg kvadrata 1 točka
B3. Označimo vsoto členov, ki jih Benjamin izpustil z $x$. Ker je $1+2+3+\ldots+2012=$ $\frac{2012 \cdot 2013}{2}=1006 \cdot 2013$, je Benjamin za rezultat dobil $1006 \cdot 2013-x$. Torej obstaja nenegativno celo število $m$, da je $1006 \cdot 2013-x=2011 m$. Ker je $A=1+2+3+\ldots+$ $2013=\frac{2013 \cdot 2014}{2}=2013 \cdot 1007$, je Anika za rezultat dobila $N=2013 \cdot 1007-x$. Torej obstaja nenegativno celo število $n$, da je $2013 \cdot 1007-x=2014 n$. Če iz obeh enakosti izrazimo $x$ in rezultata izenačimo, dobimo $1006 \cdot 2013-2011 m=2013 \cdot 1007-2014 n$ oziroma $2014 n-2011 m-2013=0$. Slednjo enakost lahko preuredimo v $2011(n-m)=$ $2013-3 n$. Ker je $2014 n=2013 \cdot 1007-x \leq 2013 \cdot 1007$, je $n \leq \frac{2013 \cdot 1007}{2014}<1007$. Torej je $-1008<2013-3 n \leq 2013$. Hkrati je $2013-3 n$ deljivo s 3 in iz enakosti sledi, da je deljivo tudi z 2011. Edina možnost je torej $2013-3 n=0$ oziroma $n=671$. Od tod izračunamo $\frac{N}{A}=\frac{2014 n}{2013 \cdot 1007}=\frac{2014 \cdot 671}{2013 \cdot 1007}=\frac{2}{3}$.
Zapis Benjaminovega rezultata kot večkratnika števila 2011 2 točki
Zapis Anikinega rezultata kot večkratnika števila 2014 1 točka
Zapis enačbe $2014 n-2011 m-2013=0$ 1 točka Ugotovitev, da je $n=671$ 1 točka
(Če tekmovalec razmerje le zapiše, se mu priznata 2 točki.)
## Rešitve za 2. letnik
V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Da bi se izognili morebitnemu negativnemu končnemu dosežku, se vsakemu tekmovalcu prizna začetne 3 točke.
| 1 | 2 | 3 |
| :--- | :--- | :--- |
| C | B | E |
Utemeljitve:
A1. Če so odprte 3 blagajne je čakalni čas 15 min. Če je odprta 1 blagajna je čakalni čas 3 -krat daljši, torej 45 min. Če je odprtih 5 blagajn, je čakalni čas $\frac{45}{5}=9$ min. Če odprejo še dve blagajni se torej čakalni čas skrajša za $15-9=6$ min. Pravilen odgovor je $C$.
A2. Ko izraz damo na skupni imenovalec in preuredimo, dobimo
$$
\frac{\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)+1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=\frac{\left(x^{2}-\left(x^{2}+1\right)\right)+1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=0 .
$$
Pravilen odgovor je $B$.
A3. Velja $\Varangle A T B=180^{\circ}-\Varangle B A T-\Varangle T B A=180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\alpha+\beta)$. Ker je $\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$, je $\alpha+\beta=180^{\circ}-\gamma$. Torej je $\Varangle A T B=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\gamma\right)=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}$. Pravilen odgovor je $E$.
B1. Število $n$ je deljivo z 99. Zapišemo lahko
$$
\begin{aligned}
n & =\overline{23 a b 1} \cdot 100+60+c=\overline{23 a b 1} \cdot 99+\overline{23 a b 1}+60+c= \\
& =\overline{23 a b 1} \cdot 99+\overline{23 a} \cdot 100+10 b+1+60+c= \\
& =(\overline{23 a b 1} \cdot 99+\overline{23 a}) \cdot 99+\overline{23 a}+10 b+c+61= \\
& =(\overline{23 a b 1} \cdot 99+\overline{23 a}) \cdot 99+230+a+10 b+c+61= \\
& =(\overline{23 a b 1} \cdot 99+\overline{23 a}+2) \cdot 99+a+10 b+c+93
\end{aligned}
$$
torej 99 deli $a+10 b+c+93$. Ker so $a, b$ in $c$ različne števke, ki niso enake $1,2,3$ ali 6 , je $a+10 b+c \geq 4+0+5=9$ in $a+10 b+c \leq 7+90+8=105$, torejje $102 \leq a+10 b+c+93 \leq 198$. Ker pa je $a+10 b+c+93$ deljivo z 99, mora biti $a+10 b+c+93=198$, od koder sledi $b=9$ in $\{a, c\}=\{7,8\}$. Imamo torej dve rešitvi, $n=2379168$ in $n=2389167$.
Zapis števila $n$ kot $k \cdot 99+a+10 b+c+93$................................ 2 točki Ocena $102 \leq a+10 b+c+93 \leq 198$ ali uporaba ocene pri zapisu rešitev .. 2 točki Zapis obeh rešitev . .................................................................................. (Če tekmovalec le zapiše obe rešitvi, dobi 1 točko.)
2. način. $\mathrm{Z}$ uporabo kriterija za deljivost $\mathrm{z} 9$ in 11, dobimo, da mora biti $2+3+a+b+$ $1+6+c=a+b+c+12$ deljivo z 9 in $2-3+a-b+1-6+c=a-b+c-6$ deljivo z 11 . Ker so $a, b$ in $c$ različne števke, ki niso enake $1,2,3$ ali 6 , je $a+b+c+12 \leq 9+8+7+12=36$ in
$a+b+c+12 \geq 0+4+5+12=21$, torej je $a+b+c+12$ lahko enako le 27 ali 36. Podobno je $a-b+c-6 \leq 9-0+8-6=11$ in $a-b+c-6 \geq 0-9+4-6=-11$, torej je $a-b+c-6$ lahko enako le $-11,0$ ali 11. Od tod sledi, da je $(a+b+c+12)-(a-b+c-6)=2 b+18$ lahko enako le $16,25,27,36,38,47$. Ker pa je $2 b+18$ sodo število med 18 in 36 , mora biti enako 36 , hkrati pa od tod sledi $a+b+c+12=36$ in $a-b+c-6=0$. Torej je $b=9$ in $a+c=15$. Ker sta $a$ in $c$ različni od $b$, mora biti $\{a, c\}=\{7,8\}$. Imamo torej dve rešitvi, $n=2379168$ in $n=2389167$.
Up. kriterija za deljivost $\mathbf{z} \mathbf{9}$ in ugotovitev, da je $a+b+c+12$ deljivo $\mathbf{z} \mathbf{9}$. $\mathbf{1}$ točka Up. kriterija za deljivost $\mathbf{z} 11$ in ugotovitev, da je $a-b+c-6$ je deljivo z $11 \ldots 1$ točka
Ugotovitev, da je $a+b+c+12$ lahko le 27 ali $36 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .$.
Zapis obeh rešitev ............................................................................................
(Če tekmovalec le zapiše obe rešitvi, dobi 1 točko.)
B2. Koordinati točke $B$ sta $\left(-\frac{5}{2}, \frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)$, koordinati točke $C$ pa $\left(\frac{5 \sqrt{3}}{2},-\frac{5}{2}\right)$. Vse tri točke ležijo na krožnici s središčem v $O$ in polmerom 5 . Iz vrednosti kotnih funkcij $\sin \left(-30^{\circ}\right)=-\frac{1}{2}$ in $\cos \left(-30^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ razberemo, da $O C$ oklepa s pozitivnim poltrakom abscisne osi kot $30^{\circ}$. Podobno iz $\sin \left(-60^{\circ}\right)=-\frac{1}{2}$ in $\cos \left(-60^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ sledi, da $O A$ oklepa s pozitivnim poltrakom abscisne osi kot $60^{\circ}$. Od tod izračunamo $\Varangle A O C=30^{\circ}$.
Zapis koordinat točke $B$
1 točka
Zapis koordinat točke $C$
1 točka
Ugotovitev, da ležijo točke $A, B$ in $C$ na krožnici s središčem $O$ in polmerom 5 1 točka
Utemeljena ugotovitev, da oklepa poltrak $O C$ s pozitivnim poltrakom abscisne osi kot $30^{\circ}$ 1 točka Utemeljena ugotovitev, da oklepa poltrak $O A$ s pozitivnim poltrakom abscisne osi kot $60^{\circ}$
2. način. Po formuli za razdaljo med dvema točkama izračunamo $|O A|=5,|O C|=5$ in $|A C|=\sqrt{25(2-\sqrt{3})}$. Od tod po kosinusnem izreku sledi
$$
\cos (\Varangle A O C)=\frac{|O A|^{2}+|O C|^{2}-|A C|^{2}}{2|O A||O C|}=\frac{25+25-25(2-\sqrt{3})}{100}=\frac{\sqrt{3}}{2},
$$
torej je $\Varangle A O C=30^{\circ}$.
Izračunani razdalji $|O A|$ in $|O C|$ ..... 1 točka
Izračunana razdalja $|A C|$ ..... 1 točka
Zapisan kosinusni izrek ..... 1 točka
Izračunan $\cos (\Varangle A O C)$ ..... 2 točki
Izračunan kot $\Varangle A O C$ ..... 1 točka
B3. Levo stran neenakosti zmnožimo, da dobimo $a^{2}+a^{2} b^{2}+b^{4}+2 a^{2} b-2 a b^{3}+a^{2} b^{2}$. Ta izraz lahko preoblikujemo $\mathrm{v} a^{2}(1+b)^{2}+b^{2}(b-a)^{2}$, od koder željena neenakost očitno sledi. Hkrati vidimo, da enakost velja natanko tedaj, ko je $a=b=0$ ali $a=b=-1$.
Zmnožena leva stran neenakosti 1 točka
Zapis leve strani neenakosti $\mathbf{v} a^{2}(1+b)^{2}+b^{2}(b-a)^{2}$ 2 točki
Sklep, da neenakost velja 1 točka
Sklep, da enakost velja natanko tedaj, ko je $a=b=0$ ali $a=b=-1$ 2 točki (Če tekmovalec le zapiše obe možnosti veljavne enakosti, dobi 1 točko.)
## Rešitve za 3. letnik
V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Da bi se izognili morebitnemu negativnemu končnemu dosežku, se vsakemu tekmovalcu prizna začetne 3 točke.
| 1 | 2 | 3 |
| :--- | :--- | :--- |
| $\mathrm{D}$ | $\mathrm{B}$ | $\mathrm{C}$ |
Utemeljitve:
A1. Iz enakosti izrazimo $f(x)=\frac{4}{3} \sin x \cos x-\frac{1}{3} f(-x)$. Če v enakost vstavimo $-x$ namesto $x$ in upoštevamo, da je sinus liha funkcija, cosinus pa soda funkcija, dobimo $f(-x)=$ $\frac{4}{3} \sin (-x) \cos (-x)-\frac{1}{3} f(x)=-\frac{4}{3} \sin x \cos x-\frac{1}{3} f(x)$. Ko slednje vstavimo v prvo enakost, dobimo $f(x)=\frac{4}{3} \sin x \cos x-\frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3} \sin x \cos x-\frac{1}{3} f(x)\right)=\left(\frac{4}{3}+\frac{4}{9}\right) \sin x \cos x+\frac{1}{9} f(x)$. Enakost preuredimo $\mathrm{v} \frac{8}{9} f(x)=\frac{16}{9} \sin x \cos x$. Od tod sledi $f(x)=2 \sin x \cos x=\sin 2 x$. Pravilen odgovor je $D$.
A2. Če na skici dorišemo obe diagonali, opazimo, da imajo kosi $A, B, C$ in $D$ enake ploščine. Ploščina neosenčenega dela kvadrata je zato enaka polovici ploščine kvadrata, to je $\frac{4}{2}=2$. Pravilen odgovor je $B$.
A3. Denimo, da je v čredi skupaj $x$ živali s skupno težo $y$. Potem je v čredi $\frac{55}{100} x$ košut $\mathrm{s}$ skupno težo $\frac{45}{100} y$ in $\frac{45}{100} x$ jelenov s skupno težo $\frac{55}{100} y$. Povprečna teža košute je torej $\frac{45}{100} y: \frac{55}{100} x=\frac{9 y}{11 x}$, povprečna teža jelena pa $\frac{55}{100} y: \frac{45}{100} x=\frac{11 y}{9 x}$. Povpreča teža jelena je torej $\frac{11 y}{9 x}: \frac{9 y}{11 x}=\frac{121}{81}$-krat večja od povprečne teže košute. Pravilen odgovor je $C$.
B1. Če je par $(m, n)$ rešitev enačbe, potem je rešitev enačbe tudi par $(-m,-n)$, zato lahko predpostavimo, da je $m$ nenegtiven. Enačbo preoblikujemo v $2 n^{2}-9 m n+m^{4}=0$ in jo pogledamo kot kvadratno enačbo v $n$. Njena diskriminanta je $81 m^{2}-8 m^{4}$. Če naj ima kvadratna enačba celoštevilsko rešitev, mora biti njena diskriminanta popoln kvadrat. Torej je $81-8 m^{2}$ popoln kvadrat. V posebnem mora biti $81-8 m^{2} \geq 0$, torej je $m \leq 3$. Preverimo lahko, da je $81-8 m^{2}$ popoln kvadrat za $m=0, m=2$ in $m=3$. Pri $m=0$ je rešitev kvadratne enačbe $n=0$, pri $m=2$ sta rešitvi $n=1$ in $n=8$, pri $m=3$ pa je edina celoštevilska rešitev $n=9$. Vse celoštevilske rešitve enačbe so torej pari $(-3,-9),(-2,-8),(-2,-1),(0,0),(2,1),(2,8)$ in $(3,9)$.[^0]
B2. Ker mora biti osnova logaritma pozitivna in različna od 1 , je $\sin x>0$ in $\sin x \neq 1$. Poleg tega mora biti $\frac{1}{2} \sin 2 x>0$, saj je logaritem definiran le za pozitivna števila. Če to velja, lahko z upoštevanjem definicije logaritma enačbo preoblikujemo v ekvivalentno enačbo $\sin ^{2} x=\frac{1}{2} \sin 2 x=\sin x \cos x$ oziroma $\sin x(\sin x-\cos x)=0$. Ker mora biti $\sin x>0$, sledi $\sin x-\cos x=0$. Če bi bil $\cos x=0$, bi moral biti tudi $\sin x=0$, kar pa ni mogoče. Torej lahko delimo $\mathrm{s} \cos x$, da dobimo $\tan x=1$. Od tod dobimo rešitve $x=\frac{\pi}{4}+2 k \pi$ in $x=\frac{5 \pi}{4}+2 k \pi$, kjer je $k$ celo število. Toda $\sin \left(\frac{5 \pi}{4}+2 k \pi\right)=\sin \frac{5 \pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}<0$, torej so rešitve enačbe le $x=\frac{\pi}{4}+2 k \pi$, kjer je $k$ celo število.
Ugotovitvi $\sin x>0$ in $\sin x \neq 1$ ..... 1 točka
Ugotovitev, da mora biti $\frac{1}{2} \sin 2 x>0$ ..... 1 točka
Preoblikovanje enačbe $\mathbf{v} \sin ^{2} x=\sin x \cos x$ ..... 1 točka
Sklep, da je $\sin x-\cos x=0$ oz. $\tan x=1$ ..... 1 točka
Zapis samo pravilne rešitve enačbe ..... 2 točki
(Če tekmovalec nepravilne rešitve ne izključi, mu pri zapisu rešitev priznamo le
1 točko.)
B3. Označimo dolžino stranice pravilnega šestkotnika z $a$. Štirikotnik $A P R F$ je trapez $\mathrm{z}$ višino $\frac{1}{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}=\frac{a \sqrt{3}}{4}$, torej je njegova ploščina enaka $P_{A P R F}=\frac{a \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{|P R|+|A F|}{2}=$ $\frac{a \sqrt{3}\left(\frac{3}{2} a+a\right)}{8}=\frac{5 \sqrt{3} a^{2}}{16}$. Trikotnik $P B D$ ima stranico dolgo $|B D|=2 \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} a$ in višino $|P B|=\frac{a}{2}$, torej je njegova ploščina enaka $P_{P B D}=\frac{\frac{a}{2} \cdot \sqrt{3} a}{2}=\frac{\sqrt{3} a^{2}}{4}$. Trikotnik $B C D$ ima stranico dolgo $|B D|=\sqrt{3} a$ in višino $\frac{a}{2}$, torej je njegova ploščina spet enaka $P_{B C D}=$ $\frac{\sqrt{3} a^{2}}{4}$. Ploščina štirikotnika $B C D P$ je torej $P_{B C D P}=P_{P B D}+P_{B C D}=2 \cdot \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4}=\frac{\sqrt{3} a^{2}}{2}$. Razmerje med ploščinama je enako $\frac{P_{A P R F}}{P_{B C D P}}=\frac{5}{8}$.
Izračunano razmerje ploščin .......................................................................
## Rešitve za 4 . letnik
V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor eno točko odšteli. Da bi se izognili morebitnemu negativnemu končnemu dosežku, se vsakemu tekmovalcu prizna začetne 3 točke.
| 1 | 2 | 3 |
| :--- | :--- | :--- |
| $\mathrm{D}$ | $\mathrm{B}$ | $\mathrm{D}$ |
Utemeljitve:
A1. Označimo število modrih, rumenih in zelenih kroglic po vrsti z $m, r$ in $z$, kjer je $m+$ $r+z=10$. Te kroglice lahko v vrsto postavimo na $\frac{10!}{m!r \geq z!}$ različnih načinov. Torej je $\frac{10!}{m!r \mid z!}=360$. Slednjo enakost lahko preuredimo v $10 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot(m+1)=360 \cdot r!\cdot z!$. Od tod sledi $10 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot(m+1) \geq 360=10 \cdot 9 \cdot 4$, torej mora biti $m+1 \leq 8$ oziroma $m \leq 7$. Če imamo na primer $m=7, r=2$ in $z=1$, potem je $\frac{10!}{m!r!z!}=\frac{10!}{7!2!1!}=\frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{2}=360 . \mathrm{V}$ posodi je lahko največ 7 modrih kroglic. Pravilen odgovor je $D$.
A2. Če upoštevamo predpis funkcije $f$, dobimo $\frac{f(f(x)+x)}{f(x)}=\frac{\left(x^{2}+1+x\right)^{2}+1}{x^{2}+1}=\frac{x^{4}+2 x^{3}+3 x^{2}+2 x+2}{x^{2}+1}$. Ko polinoma zdelimo, dobimo rezultat $x^{2}+2 x+2$. Pravilen odgovor je torej $B$.
A3. Iz podatkov naloge izračunamo $\Varangle B A T=30^{\circ}$. Ker je $\tan (\Varangle B A T)=\frac{|T B|}{|A B|}$, sledi $|T B|=|A B| \tan 30^{\circ}=1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Pravilen odgovor je $D$.
B1. Enačbo prepišemo $\mathrm{v} \overline{c d a b}+\overline{13 c d}=\overline{a b 20}$. Ker sta $b$ in $d$ neničelni števki, iz enačbe za enice dobimo $b+d=10$. Slednje odštejemo na obeh straneh enačbe, da dobimo $\overline{c d a 0}+\overline{13 c 0}=\overline{a b 10}$, in nato enačbo delimo z 10, da dobimo $\overline{c d a}+\overline{13 c}=\overline{a b 1}$. Ker sta $a$ in $c$ neničelni števki, njuna vsota ne more biti enaka 1 , zato iz enačbe za enice sledi $a+c=11$. Slednje spet odštejemo na obeh straneh enačbe in enačbo delimo z 10, da dobimo $\overline{c d}+\overline{13}=\overline{a(b-1)}$, saj je $b-1 \geq 0$. Obravnavamo dve možnosti. Če je $d \leq 6$, potem mora biti $d+3=b-1$ in $c+1=a$. Iz vseh dobljenih enačb poračunamo, da je $a=6, b=7, c=5$ in $d=3$. Če pa je $d \geq 7$, potem mora biti $d+3=10+(b-1)$ in $c+1=a-1$. Toda $\mathrm{v}$ tem primeru iz enačb poračunamo $c=\frac{9}{2}$, kar pa je protislovje. Edina rešitev enačbe je torej $(a, b, c, d)=(6,7,5,3)$.
Ugotovitev, da je $b+d=10$
1 točka
Ugotovitev, da je $a+c=11$ 1 točka
Zapis enačbe $\overline{c d}+\overline{13}=\overline{a(b-1)}$ 1 točka
Obravnava možnosti $d \leq 6$ in zapis zvez med števkami ...................... 1 točka
Obravnava možnosti $d \geq 7$ in ugotovitev, da rešitev ni ..................... 1 točka (Če tekmovalec rešitev samo zapiše, dobi 1 točko.)
B2. Privzemimo oznake s skice. Po Pitagorovem izreku velja $a^{2}=x^{2}+y^{2}, b^{2}=y^{2}+z^{2}, c^{2}=z^{2}+w^{2}$ in $d^{2}=w^{2}+x^{2}$. Od tod sledi $a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$. Ker pa je štirikotnik tangenten, velja $a+c=b+d$. Če to enakost kvadriramo in upoštevamo enakost s kvadrati, dobimo $2 a c=2 b d$ oziroma $a c=b d$. Ko $\mathrm{v}$ to enakost vstavimo $a=b+d-c$, dobimo $c^{2}-(b+d) c+b d=0$, kar lahko razstavimo kot
$(c-b)(c-d)=0$. Torej je $c=b$ in zato $a=d$ ali pa $c=d$ in zato $a=b$. $\mathrm{V}$ obeh primerih je štirikotnik deltoid.
Pregledno narisana in označena skica ..... 1 točka
Zapisan Pitagorov izrek za stranice $a, b, c$ in $d$ ..... 1 točka
Ugotovitev, da je $a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$ ..... 1 točka
Sklep, da je $a+c=b+d$, ker je štirikotnik tangenten ..... 1 točka
Ugotovitev, da je $a c=b d$ ..... 1 točka
Utemeljen sklep, da je štirikotnik deltoid ..... 1 točka
B3. Označimo drugi in tretji člen Žanovega zaporedja z $x$ in $y$. Potem je $3, x, y$ geometrijsko zaporedje, zato velja $x^{2}=3 y$. Hkrati je $x, y, 9$ aritmetično zaporedje, zato je $2 y=x+9$. Iz druge enačbe izrazimo $y=\frac{x+9}{2}$. Ko slednje vstavimo $\mathrm{v}$ prvo enačbo in enačbo preuredimo, dobimo $2 x^{2}-3 x-27=0$ oziroma $(2 x-9)(x+3)=0$. Ker je $x$ pozitiven, je $x=\frac{9}{2}$. Od tod izračunamo še $y=\frac{27}{4}$. Žanovo zaporedje je torej $3, \frac{9}{2}, \frac{27}{4}, 9$.
Zapisano zaporedje ................................................................ 1 točka
(Če tekmovalec ni izključil rešitve $x=-3$, se mu 1 točka odšteje.)
[^0]: Ugotovitev, da zraven para $(m, n)$ enačbo reši tudi par $(-m,-n)$.......... 1 točka
Reševanje kvadratne enačbe glede na spremenljivko $n$ in izračun diskriminante 1 točka Ugotovitev, da mora biti diskriminanta nenegativna in popoln kvadrat .. 1 točka
Zapisanih vseh 7 parov rešitev ............................................................................ (Če tekmovalec samo zapiše vsaj 3 pare rešitev (in ne vseh rešitev), dobi 1 točko. Če tekmovalec samo zapiše vseh 7 parov rešitev, dobi 2 točki.)
|