File size: 30,417 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 | # Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
3. matematično tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih sol Ljubljana, 12. april 2003
## NALOGE ZA 1. LETNIK
1. Vemo, da je $A=\frac{a^{-2}-b^{-2}}{a^{-1}-b^{-1}}$
$$
\text { in } B=\left(\frac{a^{-1}}{a^{-1}-b^{-1}}-\frac{b^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}}\right) \cdot\left(a^{-1}-b^{-1}\right) \cdot\left(a^{-2}+b^{-2}\right)^{-1}
$$
Dokaži, da je $A=B^{-1}$.
2. Trije razredi so zbirali papir. Razred $A$ je zbral $20 \%$ več papirja kot razred $B$, razred $B$ pa $20 \%$ manj papirja kot razred $C$. Koliko kilogramov papirja so zbrali posamezni razredi, če je skupaj zbranih $759 \mathrm{~kg}$ papirja? Zapiši odgovor.
3. Točka $T(a+\sqrt{2}, \sqrt{2}-a)$ naj bo enako oddaljena od točk $A(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ in $B(\sqrt{2},-\sqrt{2})$.
a) Določi vrednost parametra $a$.
b) Izračunaj ploščino trikotnika $A B T$.
4. Naloga iz zbirke LILAVATI, indijskega matematika Bhaskare:
Za zmeraj isto sem ceno kupil zate teh osem rubinov, zatem smaragdov deset in nazadnje še biserov sto, ki nosiš jih zdaj na uhanih. $\check{C}$ e zberem skupaj po enega iz vrste vsake žlahtnih kamnov teh, bo njih cena le za kovance tri manjša, kot je polovica od sto.
O, vedro dekle, če si v računanju spretna dovolj, le bř̌ povej mi, koliko je kovancev tedaj vsak od teh kamnov me stal.
5. Dokaži, da vsota petih zaporednih naravnih števil ne more biti praštevilo.
Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.
Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.
Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.
3. matematično tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih sol Ljubljana, 12. april 2003
## NALOGE ZA 2. LETNIK
1. Poenostavi izraz
$$
\left(x+\sqrt[3]{3 \cdot \sqrt{\frac{x^{3}-1}{9}+\frac{x-x^{2}}{3}}}\right) \cdot(x-\sqrt{x-1})
$$
2. Dani sta premici z enačbama $(1-a) x-2 a y-2=0$ in $-2 x+a y-1=0$. Določi $a$ tako, da se bosta premici sekali na simetrali lihih kvadrantov.
3. V pravilnem šestkotniku $A B C D E F$ s stranico dolžine $a$ se nosilki stranic $A F$ in $D E$ sekata v točki $T$. Natančno izračunaj dolžino daljice $B T$.
4. Dan je trapez s podatki $a=7, b=4, c=3$ in $\beta=90^{\circ}$. Izračunaj kot med diagonalama trapeza na stotinko stopinje natančno.
5. Dani funkciji $f(x)=\frac{3-2 a}{a+5} x+\frac{2 a-1}{3-a}$ določi parameter $a$ tako, da bo graf funkcije sekal ordinatno os nad koordinatnim izhodiščem in da bo funkcija padajoča.
Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.
Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.
Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.
Za reševanje imaš na voljo 120 min.
3. matematično tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih sol Ljubljana, 12. april 2003
## NALOGE ZA 3. LETNIK
1. Poslovodja je nabavil puloverje in zanje plačal 960 tisočakov. V trgovini jih je prodajal po 12 tisočakov. Dobiček, ki ga je ustvaril pri prodaji vseh puloverjev, je bil enak znesku, ki ga je dal za 60 puloverjev. Koliko puloverjev je nabavil? Zapiši odgovor.
2. Reši sistem enačb $3^{x} \cdot 2^{y}=648$ in $\log _{3}(x-y)=0$.
3. Reši enačbo $\log _{x}(5 \cdot \sqrt{5})-\frac{5}{4}=\left(\log _{x} \sqrt{5}\right)^{2}$.
4. Zapiši enačbo polinoma 3. stopnje (lahko tudi v razstavljeni obliki), katerega graf poteka skozi točke $A(4,-5), B(-1,0), C(0,5)$ in $D(5,0)$. Skiciraj graf polinoma.
5. Poišči vse celoštevilske rešitve enačbe $x^{2}+73=y^{2}$.
Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.
Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.
Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.
Za reševanje imaš na voljo 120 min.
3. matematično tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih sol Ljubljana, 12. april 2003
## NALOGE ZA 4. LETNIK
1. Dana je funkcija $f(x)=\cos x-\sin x$.
a) Pokaži, da funkcija ni niti soda niti liha.
b) Pokaži, da je $f(x)=-\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$, in zapiši zalogo vrednosti.
2. Dokaži, da sestavljajo razlike kvadratov zaporednih naravnih števil aritmetično zaporedje.
3. Ženin in nevesta sta naročila trinadstropno torto iz treh enako visokih tort na med seboj povezanih in enako oddaljenih podstavkih. Razmik med sosednjima podstavkoma je bil $11 \mathrm{~cm}$, trinadstropna torta pa je bila visoka $30 \mathrm{~cm}$. Spodnja torta je bila največja, premer vsake naslednje pa je bil za $6 \mathrm{~cm}$ krajši od premera prejšnje.
S trinadstropno torto sta nahranila sebe in še 28 svatov. Upoštevaj, da je vsak v povprečju pojedel $24 \mathrm{dag}$ torte in da $77 \pi \mathrm{cm}^{3}$ torte tehta $10 \mathrm{dag}$. Kolik je bil polmer spodnje (največje) torte?
4. Poišči ničle funkcije $f(x)=\sqrt{1-\cos ^{2} 2 x}$ in nariši njen graf na intervalu $[-\pi, 2 \pi]$.
Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.
Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.
Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.
5. Na dveh šolah so neopravičene izostanke prikazali z grafikoni. Na prvi šoli (šoli $A$ ) so podatke prikazali z dvema histogramoma:
Na drugi šoli (šoli $B$ ), na kateri je 200 dijakov, so podatke prikazali s strukturnim krogom:
a) Za vsako šolo razvrsti podatke v ustrezno preglednico.
Šola $A$ :
| Razred | Število <br> dijakov | Neopr. <br> ure |
| :--- | :--- | :--- |
| $1 a$ | | |
| $1 b$ | | |
| $2 a$ | | |
| $3 a$ | | |
| $4 a$ | | |
| $4 b$ | | |
| | | |
Šola $B$ :
| Frekvenčni <br> razred | Odstotek | Število <br> dijakov | Povprečje <br> razreda | Zmnožek |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $0-4$ | | | | |
| $5-9$ | | | | |
| $10-14$ | | | | |
| $15-19$ | | | | |
| $20-24$ | | | | |
| | | | | |
b) Koliko znaša povprečno število neopravičenih ur na dijaka na posamezni šoli? Zapiši odgovor.
## Rešitve nalog in točkovnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovico možnih točk.
## Prvi letnik
1. Najprej poenostavimo izraz $A$ : $\frac{\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2} b^{2}}}{\frac{b-a}{a b}}=\frac{(b-a)(b+a)}{(b-a) a b}=\frac{b+a}{a b}$, nato pa še izraz $B$ : $\left(\frac{\frac{1}{a}}{\frac{b-a}{a b}}-\frac{\frac{1}{b}}{\frac{b+a}{a b}}\right) \cdot \frac{b-a}{a b} \cdot \frac{1}{\frac{b^{2}+a^{2}}{a^{2} b^{2}}}=\left(\frac{b}{b-a}-\frac{a}{b+a}\right) \cdot \frac{a b(b-a)}{b^{2}+a^{2}}=\frac{b^{2}+a b-a b+a^{2}}{(b-a)(b+a)} \cdot \frac{a b(b-a)}{b^{2}+a^{2}}=$ $\frac{a b}{b+a}$. Vidimo, da res velja $A=B^{-1}$.
Zapis: $A=\frac{\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2} b^{2}}}{\frac{b-a}{a b}}$ 1 točka
Zapis: $A=\frac{b+a}{a b}$ 1 točka
Poenostavljanje prvega oklepaja do oblike: $\frac{b}{b-a}-\frac{a}{a+b}$
1 točka
Zapis zveze: $\left(a^{-2}+b^{-2}\right)^{-1}=\frac{a^{2} b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$.
1 točka
Zapis: $B=\frac{a b}{b+a}$
1 točka
Sklep: $A=B^{-1}$
1 točka
2. Denimo, da je razred $C$ zbral $x$ kg papirja. Tedaj je razred $B$ zbral $0.8 x \mathrm{~kg}$ papirja, razred A pa $1.2 \cdot 0.8 \cdot x=0.96 x \mathrm{~kg}$ papirja. Velja $x+0.8 x+0.96 x=759$, od koder izračunamo $x=275$, nato pa še $0.8 x=220$ in $0.96 x=264$. Razred $A$ je zbral $264 \mathrm{~kg}$ papirja, razred $B$ $220 \mathrm{~kg}$ in razred $C 275 \mathrm{~kg}$ papirja.
Odgovor ........................................................................................................
3. Da bo točka $T$ enako oddaljena od točk $A$ in $B$, mora veljati $\sqrt{(a+\sqrt{2}+\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2}-a-\sqrt{2})^{2}}=$ $\sqrt{(a+\sqrt{2}-\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2}-a+\sqrt{2})^{2}}$, od koder dobimo $a^{2}+4 a \sqrt{2}+8+a^{2}=a^{2}+8-4 a \sqrt{2}+a^{2}$ oziroma $8 a \sqrt{2}=0$ in končno $a=0$.
Točke $A, B$ in $T$ so oglišča enakokrakega pravokotnega trikotnika $s$ katetama dolžine $2 \sqrt{2}$. Ploščina tega trikotnika je $\frac{2 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{2}}{2}=4$.
Zapis $\sqrt{(a+\sqrt{2}+\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2}-a-\sqrt{2})^{2}}=$
$\sqrt{(a+\sqrt{2}-\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2}-a+\sqrt{2})^{2}}$
.1 točka
Poenostavitev enakosti do oblike $8 a \sqrt{2}=0$ .1 točka
Izračun $a=0$
.1 točka
(b) Zapis obrazca za računanje ploščine trikotnika .1 točka Izračunana ploščina trikotnika: 4 .1 točka
4. Denimo, da je rubin stal $x$ kovancev, smaragd $y$ kovancev in biser $z$ kovancev. Prvi del naloge pove, da je $8 x=10 y=100 z$, od koder lahko izrazimo $x=\frac{25}{2} z$ in $y=10 z$. Besedilo drugega dela naloge prepišemo v enačbo $x+y+z=\frac{100}{2}-3$. Zapišemo torej lahko $\frac{25}{2} z+10 z+z=47$ in izrazimo $z=2$. Biser je stal 2 kovanca, smaragd 20 kovancev, rubin pa 25 kovancev.
Vpeljava neznank: $x$-rubin, $y$-smaragd, $z$-biser .......................................................................................
Izraženi dve neznanki z isto neznanko ..............................................................................
Vstavljanje izraženih neznank v enačbo .........................................................................................................
5. Če vzamemo pet zaporednih naravnih s̆tevil $n-2, n-1, n, n+1$ in $n+2$, je $n \geq 3$, vsota teh s̆tevil pa je $5 n$. S̆tevilo $5 n$ je za $n \geq 3$ sestavljeno.
Če vzamemo pet zaporednih naravnih s̆tevil $n, n+1, n+2, n+3$ in $n+4$, je $n \geq 1$, vsota teh števil pa je $5 n+10=5(n+2)$. Število $5(n+2)$ je za $n \geq 1$ sestavljeno, saj je $n+2 \geq 3$.
Sklep: produkt $5(n+2)$ je sestavljeno število.............................................................
ALI
Sklep: $5 n$ je sestavljeno število..............................................................................
## Drugi letnik
1. Izraz poenostavimo: $\left(x+\sqrt[3]{3 \cdot \sqrt{\frac{x^{3}-1}{9}+\frac{x-x^{2}}{3}}}\right) \cdot(x-\sqrt{x-1})=\left(x+\sqrt[3]{3 \cdot \sqrt{\frac{x^{3}-1+3 x-3 x^{2}}{9}}}\right)$. $(x-\sqrt{x-1})=\left(x+\sqrt[6]{(x-1)^{3}}\right) \cdot(x-\sqrt{x-1})=(x+\sqrt{x-1}) \cdot(x-\sqrt{x-1})=x^{2}-x+1$.
Razširjanje na skupni imenovalec $\sqrt[3]{3 \cdot \sqrt{\frac{x^{3}-1+3 x-3 x^{2}}{9}}}$
Sklep $\sqrt[6]{3^{2} \cdot \frac{x^{3}-1+3 x-3 x^{2}}{9}}$. .1 točka
Zapis $\sqrt[6]{(x-1)^{3}}$ .1 točka
Sklep $\sqrt[6]{(x-1)^{3}}=\sqrt{x-1}$
1 točka
Množenje oklepajev
1 točka
Rezultat $x^{2}-x+1$
1 točka
2. Če je $a=0$, sta premici med seboj vzporedni (njuni enačbi sta tedaj $x-2=0$ in $2 x+1=0$ ), zato privzemimo, da $a \neq 0$. Izrazimo $y=\frac{(1-a) x-2}{2 a}$ iz prve in $y=\frac{2 x+1}{a}$ iz druge enačbe. Izenačimo dobljeni desni strani $\frac{(1-a) x-2}{2 a}=\frac{2 x+1}{a}$ in enačbo preuredimo v $(-a-3) x=4$, od koder izrazimo $x=-\frac{4}{a+3}$, če je $a \neq-3$ (prepričamo se lahko, da predstavljata dani enačbi dve vzporedni premici, če upoštevamo $a=-3$ ). Izrazimo še ordinato presečišča: $y=\frac{a-5}{a(a+3)}$. Vsaka točka na simetrali lihih kvadrantov ima absciso enako ordinati, zato mora veljati $-\frac{4}{a+3}=\frac{a-5}{a(a+3)}$, od tod pa končno dobimo $a=1$.
Enačba simetrale $y=x$ 1 točka Pretvorba na sistem dveh enačb z dvema neznankama 1 točka
Pravilno reševanje sistama dveh enačb z dvema neznankama ... 3 točke Rešitev $a=1$ 1 točka
3. S skice razberemo, da je $|D T|=2 a,|B D|$ pa je enaka dolžini dveh višin enakostraničnega trikotnika s stranico $a$, torej $|B D|=a \sqrt{3}$. Dolžino daljice $B T$ izračunamo po Pitagorovem izreku: $|B T|=\sqrt{|D T|^{2}+|B D|^{2}}=$ $\sqrt{4 a^{2}+3 a^{2}}=a \sqrt{7}$.
Skica .1 točka
Pravilno kvadriranje zveze $|B T|^{2}=(a \sqrt{3})^{2}+(2 a)^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka
4. Označimo $\varphi=\angle B A C$ in $\varepsilon=\angle A B D=\angle B D C$. V pravokotnih trikotnikih $A B C$ in $B C D$ dobimo $\operatorname{tg} \varphi=\frac{4}{7}$ oziroma $\operatorname{tg} \varepsilon=\frac{4}{3}$, tako da je $\varphi=29.74^{\circ}$ in $\varepsilon=53.13^{\circ}$ ter $\angle A E B=97.13^{\circ}$. Kot med diagonalama je $82.87^{\circ}$.
Skica z označenim presečiščem diagonal $\mathrm{E}$ ter
5. Dana funkcija je padajoča, če velja $\frac{3-2 a}{a+5}<0$. Njen graf seka ordinatno os nad koordinatnim izhodiščem, če velja $\frac{2 a-1}{3-a}>0$. Prva neenačba je izpolnjena, če imata s̆tevec in imenovalec ulomka $\frac{3-2 a}{a+5}$ različna predznaka, to je za $a<-5$ ali za $a>\frac{3}{2}$. Druga neenačba je izpolnjena, če imata števec in imenovalec ulomka $\frac{2 a-1}{3-a}$ enaka predznaka, to je za $\frac{1}{2}<a<3$. Obe neenačbi sta izpolnjeni, če je $\frac{3}{2}<a<3$
## Tretji letnik
1. Denimo, da je poslovodja nabavil $x$ puloverjev po nabavni ceni $c$. Tedaj velja $x \cdot c=960000$ in $x \cdot 12000=960000+60 c$. Iz druge enačbe izrazimo $c=200 x-16000$ in vstavimo $\mathrm{v}$ prvo, ki jo preuredimo v kvadratno enačbo $200 x^{2}-16000 x-960000=0$, poenostavimo $\mathrm{v}$ $x^{2}-80 x-4800=0$ in razstavimo $(x-120)(x+40)=0$. Edina smiselna rešitev enačbe je $x=120$. Poslovodja je nabavil 120 puloverjev.
Izbira neznank: $x$ - št. puloverjev, $c$ - nabavna cena, $d$ - dobiček pri prodaji enega puloverja. .
Pravilno reševanje sistema enačb ......................................................................................................
Odgovor: Poslovodja je nabavil 120 puloverjev............................................................
2. Najprej iz $\log _{3}(x-y)=0$ sklepamo, da je $x-y=3^{0}=1$ oziroma $x=y+1$. Nato drugo enačbo zapišemo $3^{y+1} \cdot 2^{y}=648$ oziroma v obliki $3 \cdot 3^{y} \cdot 2^{y}=648$ in poenostavimo $\mathrm{v}$
$6^{y}=216=6^{3}$, od koder preberemo $y=3$ ter izračunamo še $x=4$.
Poenostavitev logaritemske enačbe $3^{0}=x-y \Rightarrow x=y+1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1+1$ točka Vstavljanje v drugo enačbo $3^{y+1} \cdot 2^{y}=648 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
3. Enačbo lahko poenostavimo v $\frac{3}{2} \log _{x} 5-\frac{5}{4}=\left(\frac{1}{2} \log _{x} 5\right)^{2}$. Če označimo $\log _{x} 5=t$ in enačbo poenostavimo, dobimo $t^{2}-6 t+5=0$, ki ima rešitvi $t_{1}=1$ in $t_{2}=5$. Iz $\log _{x} 5=1$ dobimo $x_{1}=5$, iz $\log _{x} 5=5$ pa $x^{5}=5$ oziroma $x_{2}=\sqrt[5]{5}$.
4. Točki $B$ in $D$ sta ničli polinoma, zato lahko zapišemo $y=a(x+1)(x-5)\left(x-x_{3}\right)$. Polinom seka ordinatno os v točki $C(0,5)$, torej je $5=a \cdot 1 \cdot(-5) \cdot\left(-x_{3}\right)$ oziroma $5 a x_{3}=5$, od koder dobimo $x_{3}=\frac{1}{a}$, saj je $a \neq 0$. Končno upoštevamo, da gre polinom skozi točko $A$, pa imamo $-5=a \cdot 5 \cdot(-1) \cdot\left(4-\frac{1}{a}\right)$ oziroma $a \cdot\left(4-\frac{1}{a}\right)=1$, od koder izrazimo $a=\frac{1}{2}$. Polinom ima enačbo $y=$ $\frac{1}{2}(x+1)(x-5)(x-2)$.
Zapis: $y=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)$
ali $y=a(x+1)(x-5)\left(x-x_{3}\right) \ldots \ldots \ldots .1$ točka
Točka $C$ - zapisana enac̆ba $a \cdot x_{3}=1 \ldots \ldots \ldots . .1$ točka
Točka $A$ - zapisana enac̆ba $1=4 a-a x_{3} \ldots \ldots .1$ točka
Rešitvi $a=\frac{1}{2}, x=2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka
Zapis polinoma: $y=\frac{1}{2}(x+1)(x-5)(x-2) \ldots .1$ točka
Skiciran graf
1 točka
5. Enačbo preoblikujemo v $y^{2}-x^{2}=73$ oziroma v $(y+x)(y-x)=73$. Število 73 je praštevilo, zato ga lahko razcepimo le na s̆tiri načine: $73 \cdot 1,1 \cdot 73,-73 \cdot(-1)$ in $-1 \cdot(-73)$. Tako pridemo do s̆tirih sistemov enačb, ki jih rešimo:
$$
\begin{array}{rrrr}
y+x=73 & y+x=-73 & y+x=1 & y+x=-1 \\
\frac{y-x=1}{y=37} & \frac{y-x=-1}{y=37} & \frac{y-x=73}{y=-37} & \frac{y-x=-73}{y=-37} \\
x=36 & x=-36 & x=-36 & x=36
\end{array}
$$
Sklepanje: $x$ in $y$ morata zadoščati enemu od štirih sistemov: ....................... 1 točka
$$
\begin{array}{llll}
y+x=73 & y+x=-73 & y+x=1 & y+x=-1 \\
y-x=1 & y-x=-1 & y-x=73 & y-x=-73
\end{array}
$$
Rešitve sistemov $(36,37),(-36,-37),(-36,37)$ in $(36,-37) \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots . . . . . . . . . . . . .$.
OPOMBA: zapisani samo trije pari .......................................................................................................................
zapisan en ali dva para .........................................................................................
## Četrti letnik
1. Ker se $f(-x)=\cos (-x)-\sin (-x)=\cos x+\sin x$ razlikuje od $f(x)$ in od $-f(-x)$, funkcija $f(x)$ ni niti soda niti liha.
Pišimo: $-\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}\left(\sin x \cos \frac{\pi}{4}-\cos x \sin \frac{\pi}{4}\right)=\cos x-\sin x=f(x)$. Ker je zaloga vrednosti funkcije $g(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ enaka $[-1,1]$, je zaloga vrednosti funkcije $f(x)$ enaka $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
(a) Dokaz in pravilen sklep 2 točki
(b) Uporaba adicijskega izreka, pravilen izračun in zapis funkcije $\ldots \ldots .1+1+1$ točka
2. Vzemimo zaporedni naravni s̆tevili $n$ in $n+1$. Razlika njunih kvadratov je enaka $(n+1)^{2}-$ $n^{2}=2 n+1$. Če $n$ povečamo za 1 (vzamemo naslednji zaporedni naravni števili), dobimo $((n+1)+1)^{2}-(n+1)^{2}=2(n+1)+1=2 n+3$ - razlika kvadratov dveh zaporednih naravnih števil se torej poveča za 2 . Ker to velja za katerakoli dva zaporedna para po dveh zaporednih naravnih števil, tvorijo dobljena števila aritmetično zaporedje.
Zapis zaporednih naravnih števil $n, n+1, n+2, n+3 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka
Poenostavitev prve razlike:
$(n+1)^{2}-n^{2}=(n+1+n)(n+1-n)=2 n+1$
1 točka
Poenostavitev naslednjih dveh razlik:
$(n+2)^{2}-(n+1)^{2}=(n+2+n+1)(n+2-n-1)=2 n+3$
$(n+3)^{2}-(n+2)^{2}=(n+3+n+2)(n+3-n-2)=2 n+5 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots$ točka
3. Torto je pojedlo 30 ljudi. Ker je vsak v povprečju pojedel 24 dag, je trinadstropna torta tehtala $30 \cdot 24=720$ dag. Njena prostornina je bila $\frac{77 \pi \cdot 720}{10}=5544 \pi \mathrm{cm}^{3}$.
Če je višina posamezne torte enaka $v$, razmik med posamezno torto in podstavkom nad njo pa $x$, velja $v+x=11$ in $3 v+2 x=30$. Iz teh dveh enačb izračunamo $v=8 \mathrm{~cm}$.
Polmere posameznih tort označimo z $r, r-3$ in $r-6$. Tedaj je $\pi r^{2} \cdot v+\pi(r-3)^{2} \cdot v+\pi(r-6)^{2}$.
$v=5544 \pi$. Enačbo lahko poenostavimo (upoštevamo, da je $v=8 \mathrm{~cm}$ ) v $3 r^{2}-18 r+45=693$ oziroma $r^{2}-6 r-216=0$ in razstavimo $(r-18)(r+12)=0$. Edina smiselna rešitev enačbe je $r=18$. Polmer spodnje (največje torte) je bil $18 \mathrm{~cm}$.
Masa torte: $T=n \cdot 24$ dag $=30 \cdot 24=720 \mathrm{dag}$... 1 točka Prostornina torte:
$$
\begin{gathered}
10 \mathrm{dag} \ldots \ldots \ldots . . . .77 \pi \mathrm{cm}^{3} \\
720 \mathrm{dag} \ldots \ldots \ldots . \ldots \mathrm{cm}^{3}
\end{gathered}
$$
Prostornina spodnje oblate: $V_{1}=\pi r^{2} v$
Prostornina druge oblate: $V_{2}=\pi(r-3)^{2} v$
Prostornina tretje oblate: $V_{3}=\pi(r-6)^{2} v$. . . 1 točka
Skupaj:
$V=V_{1}+V_{2}+V_{3}$
$V=\pi v\left(r^{2}+(r-3)^{2}+(r-6)^{2}\right)$
$V=\pi \cdot 8 \cdot\left(3 r^{2}-18 r+45\right)$
$V=\pi \cdot 8 \cdot 3 \cdot\left(r^{2}-6 r+15\right)$
$5544 \pi=\pi \cdot 24\left(r^{2}-6 r+15\right)$
1 točka
$231=r^{2}-6 r+15$
$r^{2}-6 r-216=0$
Rešitev $(r-18)(r+12)=0 \Rightarrow r=18 \mathrm{~cm}$
.1 točka
4. Najprej zapišemo $f(x)=\sqrt{1-\cos ^{2} 2 x}=\sqrt{\sin ^{2} 2 x}=|\sin 2 x|$. Ničle funkcije so $x=\frac{k \pi}{2}, k \in$ $\mathbb{Z}$.
Upos̆tevamo: $f(x)=\sqrt{1-\cos ^{2} 2 x}=\sqrt{\sin ^{2} 2 x} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1$ toc̆ka
Narisane ničle na grafu .................................................................................................................................
5. Najprej izpolnimo preglednici.
Šola $A$ :
| Razred | Stevilo <br> dijakov | Neopr. <br> ure |
| :--- | ---: | ---: |
| $1 a$ | 30 | 105 |
| $1 b$ | 28 | 80 |
| $2 a$ | 26 | 100 |
| $3 a$ | 27 | 85 |
| $4 a$ | 26 | 130 |
| $4 b$ | 23 | 110 |
| | 160 | 610 |
Šola $B$ :
| Frekvenčni <br> razred | Odstotek | Število <br> dijakov | Povprečje <br> razreda | Zmnožek |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $0-4$ | 34 | 68 | 2 | 136 |
| $5-9$ | 15 | 30 | 7 | 210 |
| $10-14$ | 28 | 56 | 12 | 672 |
| $15-19$ | 10 | 20 | 17 | 340 |
| $20-24$ | 13 | 26 | 22 | 572 |
| | | 200 | | 1930 |
Povprečno s̆tevilo neopravičenih ur na dijaka na šoli $A$ je $\bar{x}=\frac{105+80+100+85+130+110}{30+28+26+27+26+23}=\frac{610}{160}=$ 3.81, na soli $B$ pa $\bar{y}=\frac{68 \cdot 2+30 \cdot 7+56 \cdot 12+20 \cdot 17+26 \cdot 22}{200}=\frac{1930}{200}=9.65$.
Zapis tabele za šolo $A$ :
.1 točka
Izračunano število dijakov za solo $B$......................................................................
Povprečje za šolo $B$ :
Odgovor:
Na šoli $A$ je povprečno število neopravičenih ur na dijaka 3,81 , na s̆oli $B$ pa 9,65 . .
|