File size: 30,629 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 | # Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
4. državno tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol Maribor, 17. april 2004
## NALOGE ZA 1. LETNIK
1. Poenostavi:
$$
\frac{a^{3}-1}{1+\frac{1}{a-\frac{a}{a+1}}}
$$
2. V trgovini Moda je stal moški suknjič po $30 \%$ pocenitvi 24500 SIT. Pred koncem razprodaje so ga pocenili še za $20 \%$. Koliko tolarjev znaša razlika med začetno ceno in ceno po drugi pocenitvi?
V trgovini Obleka je imel tak suknjič enako začetno ceno kot v trgovini Moda. Pocenili so ga le enkrat in takoj prodajali po ceni, ki je veljala v trgovini Moda šele po drugi pocenitvi. Za koliko odstotkov so suknjič pocenili v trgovini Obleka?
Zapiši odgovora.
3. Reši sistem enačb:
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}\left(y+\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{5}(x+2) & =1,1 \\
x-2 y+4 & =\frac{1}{4}\left(2 x+3\left(y-\frac{1}{2}\right)\right)
\end{aligned}
$$
4. Dan je pravokotnik $A B C D$ z oglišči $A(-2,-1), B(1,-1), C(1,3), D(-2,3)$. Izračunaj koordinati središča $S$ in polmer $R$ pravokotniku očrtane krožnice. Nariši sliko.
5. Poišči največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik naslednjih izrazov:
$$
4^{x}-9^{x}, \quad 4^{x}+2 \cdot 6^{x}+9^{x}, 4^{x}+3 \cdot 6^{x}+2 \cdot 9^{x}, \quad 8^{x}+27^{x}
$$
Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.
Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.
Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.
4. državno tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
Maribor, 17. april 2004
## NALOGE ZA 2. LETNIK
1. Določi parameter $b$ tako, da bo linearna funkcija $3 x+(b-2) y+6=0$ naraščajoča.
2. Dani sta funkciji $f(x)=\frac{1}{2} x+1$ in $g(x)=-2 x+6$.
a) V kateri interval preslika funkcija $f$ interval $[-2,6]$ ?
b) Na katerem intervalu zavzame funkcija $f$ vrednosti od vključno -5 do vključno 0 ?
c) Za katere $x$ sta vrednosti $f(x)$ in $g(x)$ obe pozitivni?
3. Izračunaj vsoto kvadratov višin v trikotniku s podatki: $c=6 \mathrm{~cm}, v_{c}=4 \mathrm{~cm}$, $a=5 \mathrm{~cm}$. Nariši sliko.
4. Če zmnožek treh zaporednih naravnih števil $n-1, n$ in $n+1$ povečamo za srednje število, dobimo število med 3000 in 4000 . Določi ta števila.
5. Poenostavi izraz
$$
\frac{x^{0,5}+1}{x+x^{0,5}+1}: \frac{1}{x^{1,5}-1}
$$
Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.
Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.
Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.
Za reševanje imaš na voljo 120 min.
4. državno tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol Maribor, 17. april 2004
## NALOGE ZA 3. LETNIK
1. Določi $a$ tako, da bosta korena enačbe $a x^{2}+x^{2}+9 a x-x-9 a=0$ obratni števili.
2. Del procesa priprave polizdelkov je ohlajanje posebne zmesi surovin. Zmes izdelajo pri temperaturi $180^{\circ} \mathrm{C}$ in jo takoj nato ohlajajo v prostoru, kjer je stalna temperatura $20^{\circ} \mathrm{C}$. Ugotovili so, da lahko s formulo $T=a \cdot b^{t}+c$ izračunajo trenutno temperaturo $T$ zmesi po $t$ urah od začetka hlajenja $\mathrm{v}$ prostoru s stalno temperaturo $c$.
a) Določi konstanti $a$ in $b$, če veš, da ima zmes na začetku $(t=0)$ temperaturo $180^{\circ} \mathrm{C}$ in da ima po 1 uri hlajenja temperaturo $160^{\circ} \mathrm{C}$.
b) Koliko časa po izdelavi se zmes ohladi na $150^{\circ} \mathrm{C}$ ? Izračunaj do minute natančno. Zapiši odgovor.
3. V trikotniku je $\beta=74^{\circ} 18^{\prime}$ in $\gamma=38^{\circ} 46^{\prime}$ ter $|A C|-|A B|=2,5 \mathrm{~cm}$. Izračunaj dolžini stranic $|A B|$ in $|A C|$ ter rezultat zaokroži na dve mesti natančno. Nariši skico.
4. Osnovna ploskev pokončne prizme je deltoid, ki ima krajšo diagonalo dolgo e. Notranja kota deltoida z vrhoma v krajiščih daljše diagonale merita $90^{\circ}$ in $60^{\circ}$. Višina prizme je enaka daljši diagonali deltoida. Izrazi prostornino prizme z e. Rezultat naj bo točen.
5. Reši enačbo:
$$
\log \left(\frac{1}{x}\right) \cdot \log \left(\frac{4}{x}\right)=\frac{3}{4} \cdot(\log 4)^{2}
$$
Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.
Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.
Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.
Za reševanje imaš na voljo 120 min.
DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.
4. državno tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol Maribor, 17. april 2004
## NALOGE ZA 4. LETNIK
1. V razredu je 25 dijakov. Rok je računal, koliko točk je v povprečju dosegel posamezen dijak pri šolski nalogi. Najprej je izračunal povprečje 74,5 točk, a se je spomnil, da je pozabil upoštevati svoj dosežek. Ko ga je upošteval, je izračunal povprečje 75 točk. Koliko točk je dosegel Rok pri šolski nalogi? Zapiši odgovor.
2. Dana sta polinom $p(x)=x^{4}-3 x^{3}+a x^{2}$ in premica $y=b x+20$. Grafa obeh funkcij se sekata v točkah z abscisama $x=5$ in $x=-2$. Določi koeficienta $a$ in $b$ in zapiši obe funkciji.
3. Janez in Peter, ki sta drug od drugega oddaljena $450 \mathrm{~m}$, istočasno kreneta drug proti drugemu. Janez si je zakril oči in se premika počasi - v prvi minuti prehodi $5 \mathrm{~m}$, v vsaki naslednji minuti pa $15 \mathrm{~m}$ več kot v prejšnji. Peter prehodi v prvi minuti $100 \mathrm{~m}$, v vsaki naslednji minuti pa $10 \mathrm{~m}$ manj kot v predhodni. Čez koliko časa se bosta srečala? Zapiši odgovor.
4. Za racionalno funkcijo $f(x)=\frac{a x+b}{c x+1}$ velja: $f(1)=\frac{3}{4}, f(2)=1$ in $f(-1)=$ $-\frac{1}{2}$. Določi realne parametre $a, b$ in $c$ ter zapiši funkcijo $f(x)$. Zapis funkcije poenostavi.
5. Pokaži, da velja
$$
\frac{1-\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)-\sin ^{2}(\pi+x)}{\cos 6 \pi+\sin \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)}=-\cos x
$$
kjer je $x \neq 2 k \pi(k \in \mathbb{Z})$.
Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.
Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.
Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.
## Rešitve nalog in točkovnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi k rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovico možnih točk.
## Prvi letnik
1. Izraz poenostavimo:
$$
\frac{a^{3}-1}{1+\frac{1}{a-\frac{a}{a+1}}}=\frac{a^{3}-1}{1+\frac{1}{\frac{a^{2}}{a+1}}}=\frac{a^{3}-1}{\frac{a^{2}+a+1}{a^{2}}}=\frac{(a-1)\left(a^{2}+a+1\right) a^{2}}{a^{2}+a+1}=a^{2}(a-1)
$$
Poenostavljeno do oblike: $\frac{a^{3}-1}{1+\frac{1}{\frac{a^{2}}{a+1}}}$
Poenostavljeno do oblike: $\frac{a^{3}-1}{\frac{a^{2}+a+1}{a^{2}}}$
.1 točka
Odprava dvojnih ulomkov: $\frac{\left(a^{3}-1\right) a^{2}}{a^{2}+a+1}$. .
1 točka
Razstavljanje števca: $\frac{(a-1)\left(a^{2}+a+1\right) a^{2}}{\left(a^{2}+a+1\right)}$
1 točka
Krajšanje
1 točka
Rezultat: $a^{2}(a-1)$
1 točka
2. Če označimo začetno ceno suknjiča z $x$, velja $0,7 x=24500$, od koder izračunamo $x=35000$. Po drugi pocenitvi je suknjič stal $0,8 \cdot 24500=19600$ SIT. Razlika med začetno ceno in ceno po drugi pocenitvi je $35000-19600=15400$ SIT.
V trgovini Obleka so pocenili suknjič, ki je stal 35000 SIT, za 15400 SIT, to je za $\frac{15400}{35000}=$ $44 \%$.
Nastavljena enačba: $0,7 x=24500$ SIT 1 točka
Izračun: $x=35000$ SIT
Izračunana cena po ponovni pocenitvi: $24500 \cdot 0,8=19600$ SIT............................................
Razlika med začetno in končno ceno: $35000-19600=15400$ SIT................... 1 točka
Izračunan odstotek pocenitve v trgovini Obleka: $p=\frac{15400}{35000}=44 \% \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1$ točka
Odgovora .......................................................................................................
3. Najprej poenostavimo obe enačbi. Prvo preoblikujemo v $10 y+5 x-4 x-8=22$ oziroma $10 y+x=30$, drugo pa v $8 x-16 y+32=4 x+6 y-3$ oziroma $4 x-22 y=-35$. Sistem rešimo po eni izmed metod. Če uporabimo zamenjalni način, iz prve izrazimo $x=30-10 y$ in vstavimo v drugo enačbo: $4(30-10 y)-22 y=-35$. Odtod izrazimo $y=\frac{5}{2}$. Nato izračunamo $x=5$.
Poenostavitev prve enačbe: $10 y+x=30$. .1 točka
Pravilno reševanje sistema.......................................................................................
Rešitev sistema: $x=5, y=\frac{5}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1+1$ točka
4. Središče $S$ pravokotniku očrtane krožnice je hkrati razpolovišče diagonale $A C$, zato je $S\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2}, \frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$ oziroma $S\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$. S skice je razvidno, da je polmer $R$ enak polovici dolžine diagonale $A C$. Ker je $|A C|=$ $\sqrt{\left(x_{C}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{C}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{9+16}=5$, je $R=\frac{5}{2}$.
Skica
Izračunani koordinati središča: $S\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ 1 točka 1 točka
Sklep $R=\frac{1}{2} \cdot d(A, C)$ oziroma $R=\frac{1}{2} \cdot|A C|$.
1 točka
Zapis ali uporaba obrazca za razdaljo med točkama......................................................................................
Pravilno vstavljeni podatki v obrazec ........................................................................
5. Najprej razcepimo posamezne izraze: $4^{x}-9^{x}=\left(2^{x}+3^{x}\right)\left(2^{x}-3^{x}\right), 4^{x}+2 \cdot 6^{x}+9^{x}=\left(2^{x}+3^{x}\right)^{2}$, $4^{x}+3 \cdot 6^{x}+2 \cdot 9^{x}=\left(2^{x}+3^{x}\right)\left(2^{x}+2 \cdot 3^{x}\right)$ in $8^{x}+27^{x}=\left(2^{x}+3^{x}\right)\left(4^{x}-6^{x}+9^{x}\right)$. Vidimo, da je največji skupni delitelj $2^{x}+3^{x}$, najmanjši skupni večkratnik pa $\left(2^{x}+3^{x}\right)^{2}\left(2^{x}-3^{x}\right)\left(2^{x}+\right.$ $\left.2 \cdot 3^{x}\right)\left(4^{x}-6^{x}+9^{x}\right)$.
Razcep: $4^{x}+3 \cdot 6^{x}+2 \cdot 9^{x}=\left(2^{x}+3^{x}\right)\left(2^{x}+2 \cdot 3^{x}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Pravilen zapis $D$ in $v$
## Drugi letnik
1. Parameter $b$ ne sme biti enak 2 , sicer zapis $3 x+(b-2) y+6=0$ ne predstavlja funkcije. Za $b \neq 2$ lahko enačbo premice zapišemo v eksplicitni obliki: $y=\frac{-3}{b-2} x-\frac{6}{b-2}$. Linearna funkcija je naraščajoča, če je smerni koeficient pozitiven: $\frac{-3}{b-2}>0$. Števec ulomka $\frac{-3}{b-2}$ je negativen, zato bo vrednost ulomka pozitivna, če bo imenovalec negativen, torej $b-2<0$. Od tod dobimo rešitev $b<2$.
Zapis enačbe premice v eksplicitni obliki $y=\frac{-3}{b-2} x-\frac{6}{b-2}$ .1 točka
Zapis ali uporaba pogoja $k>0$ 1 točka
Pravilno reševanje neenačbe ....................................................................................................................
2. Funkcija $f$ je linearna naraščajoča. Izračunamo vrednost funkcije pri -2 in pri 6 , ki sta krajišči danega intervala. Dobljeni vrednosti $f(-2)=0$ in $f(6)=4$ sta krajišči intervala $[0,4]$, v katerega se preslika dani interval.
Da bi ugotovili, na katerem intervalu zavzame funkcija $f$ vrednosti od -5 do 0 , rešimo enačbi $\frac{1}{2} x+1=-5$ in $\frac{1}{2} x+1=0$. Rešitev prve je $x=-12$, rešitev druge pa $x=-2$. Iskani interval je $[-12,-2]$.
Vrednost $f(x)$ je pozitivna, če velja $\frac{1}{2} x+1>0$ oziroma $x>-2$, vrednost $g(x)$ pa je pozitivna, če velja $-2 x+6>0$ oziroma $x<3$. Obe sta pozitivni za $x \in(-2,3)$.
c) Zapis dveh neenačb: $\frac{1}{2} x+1>0$ in $-2 x+6>0$.....................................................
3. Ko narišemo sliko, opazimo, da imamo dva trikotnika $\mathrm{z}$ danimi podatki: $\triangle A B C_{1}$ in $\triangle A B C_{2}$. Oglejmo si najprej $\triangle A B C_{1}$. Iz $S=$ $\frac{c \cdot v_{c}}{2}=\frac{a \cdot v_{a}}{2}$ sledi $v_{a}=\frac{c \cdot v_{c}}{a}=4,8 \mathrm{~cm}$. Naj bo $x_{1}$ doľ̌ina pravokotne projekcije stranice $a$ na stranico $c$. Izračunamo jo po Pitagorovem izreku: $x_{1}=3 \mathrm{~cm}$. Ker je stranica $c$ dolga
$6 \mathrm{~cm}$, je tudi $c-x_{1}=3 \mathrm{~cm}$. Trikotnik $A B C_{1}$ je enakokrak in zato je $v_{b}=v_{a}=4,8 \mathrm{~cm}$. Vsota kvadratov višin je $v_{a}^{2}+v_{b}^{2}+v_{c}^{2}=62,08 \mathrm{~cm}^{2}$.
Oglejmo si še $\triangle A B C_{2}$. Ker so dolžini stranic $c$ in $a$ ter višina $v_{c}$ enake kot $\mathrm{v}$ trikotniku $\triangle A B C_{1}$, je tudi $v_{a}=4,8 \mathrm{~cm}$. Naj bo $x_{2}$ dolžina pravokotne projekcije stranice $a$ na podaljšek stranice $c$. Izračunamo jo po Pitagorovem izreku: $x_{2}=3 \mathrm{~cm}$. Dolžino stranice $b$ prav tako izračunamo po Pitagorovem izreku: $b=\sqrt{\left(c+x_{2}\right)^{2}+v_{c}^{2}}=\sqrt{81+16}=\sqrt{97}$. Nato iz $S=\frac{c \cdot v_{c}}{2}=\frac{b \cdot v_{b}}{2}$ izračunamo $v_{b}=\frac{c \cdot v_{c}}{b}=\frac{24}{\sqrt{97}} \mathrm{~cm}$. Končno imamo $v_{a}^{2}+v_{b}^{2}+v_{c}^{2}=$ $44,98 \mathrm{~cm}^{2}$.
Skica z označenimi podatki 1 točka
Izračunana $v_{a}=\frac{2 S}{a}=4,8 \mathrm{~cm}$. .1 točka
Izračun dolžine $b$ in $v_{b}$ za drugi trikotnik....................................................................
4. Najprej ugotovimo, da je $(n-1) n(n+1)+n=n^{3}$. Zapišemo neenačbo $3000<n^{3}<4000$. Sklepamo, da je $\sqrt[3]{3} 000<n$ oziroma $14,42<n$ in da je $n^{3}<4000$ oziroma $n<15,87$. Tako je $n=15$. Iskana zaporedna naravna števila so 14,15 in 16 .
Zapis $(n-1) n(n+1)+n$ ..... 1 točka
Ureditev zgornjega izraza do $=n^{3}$. . . ..... 1 točka
Zapis neenačbe $3000<n^{3}<4000$ ..... 1 točka
Sklepanje: $14,42<n<15,87$. . . ..... 1 točka
Rešitev $n=15$. . ..... 1 točka
Odgovor: Iskana števila so $14,15,16$. ..... 1 točka
5. Potence z racionalnimi eksponenti zapišemo s koreni. Tako je $\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}: \frac{1}{\sqrt{x^{3}}-1}=$ $\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1} \cdot \frac{\sqrt{x^{3}}-1}{1}$. Ulomka množimo in dobimo $\frac{\sqrt{x^{4}}+\sqrt{x^{3}}-\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1}$. Števec poenostavimo $\frac{x^{2}+x \sqrt{x}-\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1}$, nato pa preoblikujemo $\mathrm{v} \frac{(x-1)(x+1)+\sqrt{x}(x-1)}{x+\sqrt{x}+1}$ in izpostavimo skupni faktor v števcu: $\frac{(x-1)(x+1+\sqrt{x})}{x+\sqrt{x}+1}$. Po krajšanju dobimo $x-1$.
Poenostavitev števca: $x^{2}+x \sqrt{x}-\sqrt{x}-1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Izpostavljanje skupnega faktorja v števcu: $(x-1)(x+1)+\sqrt{x}(x-1) \ldots \ldots \ldots \ldots . .1$ točka
## Tretji letnik
1. Enačbo uredimo do oblike $x^{2}(a+1)+x(9 a-1)-9 a=0$. Korena enačbe $x_{1}$ in $x_{2}$ sta obratni števili, če velja $x_{1}=\frac{1}{x_{2}}$ ali $x_{1} \cdot x_{2}=1$. Upoštevamo obrazec $x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}$, pa imamo $\frac{-b-\sqrt{D}}{2 a} \cdot \frac{-b+\sqrt{D}}{2 a}=1$. Enačbo uredimo do oblike $b^{2}-D=4 a^{2}$ in uporabimo zvezo $D=b^{2}-4 a c$. Dobimo $a=c$, torej mora biti vodilni koeficient enak stalnemu členu. To za dano enačbo pomeni $a+1=-9 a$, kar prinese rešitev $a=-\frac{1}{10}$.
Ureditev enačbe: $x^{2}(a+1)+x(9 a-1)-9 a=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Upoštevanje obrazca: $x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Nastavljena enačba iz $x_{1}=\frac{1}{x_{2}} \Rightarrow \frac{2 a}{-b-\sqrt{D}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2 a} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka
2. Ker ima zmes na začetku temperaturo $180^{\circ}$, velja $180=a \cdot b^{0}+20$, od koder izračunamo $a=160$. Po 1 uri hlajenja ima zmes temperaturo $160^{\circ}$, zato velja $160=a \cdot b+20$, od tod pa dobimo $b=\frac{7}{8}$, če upoštevamo, da je $a=160$. Velja torej formula $T=160 \cdot\left(\frac{7}{8}\right)^{t}+20$.
Iz enačbe $150=160 \cdot\left(\frac{7}{8}\right)^{t}+20$ sledi $\frac{13}{16}=\left(\frac{7}{8}\right)^{t}$, odtod pa dobimo $t=\frac{\log \frac{13}{16}}{\log \frac{7}{8}}=1,555$, kar je 1 ura in 33 minut.
Zapis enačbe za $T=150,150=160 \cdot\left(\frac{7}{8}\right)^{t}+20 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Odgovor: Zmes se ohladi na $150^{\circ} \mathrm{C} 1$ uro in 33 minut po izdelavi. ................ 1 točka
3. Zvezo $c=b-2,5$ vstavimo v obrazec za sinusni izrek. Izrazimo $b=-\frac{2,5 \sin \beta}{\sin \gamma-\sin \beta}$ in izračunamo $b=7,1 \mathrm{~cm}$ ter $c=4,6 \mathrm{~cm}$.
Skica .1 točka
Zapis ali uporaba sinusnega izreka 1 točka
Zveza $c=b-2,5$ vstavljena v sinusni izrek.....................................................................
Izražen $b=-\frac{2,5 \sin \beta}{\sin \gamma-\sin \beta}$.
Pravilen izračun $b=7,1 \mathrm{~cm}$. . .
4. Prostornina prizme je $V=\frac{e \cdot f}{2} \cdot f$. Daljša diagonala je razdeljena na dela $f_{1}$ in $f_{2}$. Oba dela izrazimo z dolžino $e$ krajše diagonale. Pravokotni trikotnik $D B C$ je enakokrak, zato je $f_{2}=\frac{e}{2}$. Trikotnik $B D A$ je enakostraničen, zato je $f_{1}=\frac{e \sqrt{3}}{2}$, saj je to višina enakostraničnega trikotnika. Torej je dolžina diagonale $f$ enaka $\frac{e \sqrt{3}}{2}+\frac{e}{2}=\frac{e}{2}(\sqrt{3}+1)$. Prostornina prizme je
$\frac{e \cdot \frac{e}{2}(\sqrt{3}+1)}{2} \cdot \frac{e}{2}(\sqrt{3}+1)=\frac{e^{3}(2+\sqrt{3})}{4}$.
Izražena prostornina $V=\frac{e \cdot f}{2} \cdot f$ .1 točka
Izražena $f_{1}=\frac{e \sqrt{3}}{2}$.
.1 točka
$$
f_{2}=\frac{e}{2}
$$
Izražen $f=\frac{e \sqrt{3}}{2}+\frac{e}{2}=\frac{e}{2}(\sqrt{3}+1)$ .1 točka
Izračun $V=\frac{e \cdot \frac{e}{2}(\sqrt{3}+1)}{2} \cdot \frac{e}{2}(\sqrt{3}+1)=\frac{e^{3}(3+2 \sqrt{3}+1)}{8}$. .1 točka
Rezultat $V=\frac{e^{3}(2+\sqrt{3})}{4}$.
5. Najprej uporabimo pravilo za logaritmiranje količnika: $(\log 1-\log x) \cdot(\log 4-\log x)=$ $\frac{3}{4}(\log 4)^{2}$. Enačbo preuredimo v $(\log x)^{2}-\log x \cdot \log 4-\frac{3}{4}(\log 4)^{2}=0$. Izračunamo diskriminanto kvadratne enačbe $D=4(\log 4)^{2}$, ki ima rešitvi $(\log x)_{1}=\frac{3}{2} \log 4=\log 8$ in $(\log x)_{2}=$ $-\frac{1}{2} \log 4=\log \frac{1}{2}$. Iz teh rešitev dobimo rešitvi dane enačbe: $x_{1}=8$ in $x_{2}=\frac{1}{2}$.
Uporaba pravila za logaritmiranje količnika .............................................................................. Urejena kvadratna enačba: $(\log x)^{2}-\log x \cdot \log 4-\frac{3}{4}(\log 4)^{2}=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1$ točka
Izračunana diskriminanta $D=4(\log 4)^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Rešitvi kvadratne enačbe: $(\log x)_{1}=\log 8,(\log x)_{2}=\log \frac{1}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka
## Četrti letnik
1. Ker je vsak izmed 24 dijakov dosegel v povprečju 74,5 točke, so vsi skupaj dosegli $24 \cdot 74,5=$ 1788 točk. Ko je Rok upošteval tudi svoje točke, je izračunal povprečje 75 točk, zato je 25 dijakov doseglo skupaj $25 \cdot 75=1875$ točk. Razlika $1875-1788$ predstavlja število točk, ki jih je dosegel Rok. Rok je dosegel 87 točk.
Pri upoštevanju 24 nalog je vsota vseh točk $24 \cdot 74,5=1788 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots 2$ točki
Pri upoštevanju 25 nalog je vsota vseh točk $25 \cdot 75=1875 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Razlika je 87 točk..........................................................................................................................................
Odgovor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 točka
2. Abscise presečišč grafov obeh funkcij dobimo z rešitvijo enačbe $x^{4}-3 x^{3}+a x^{2}=b x+20$ oziroma $x^{4}-3 x^{3}+a x^{2}-b x-20=0$. Ker vemo, da sta rešitvi $x=5$ in $x=-2$, velja $625-375+25 a-5 b-20=0$ in $16+24+4 a+2 b-20=0$. Enačbi preuredimo v $25 a-5 b+230=0$ in $4 a+2 b+20=0$. Sistem ima rešitev $a=-8$ in $b=6$. Funkciji sta torej $p(x)=x^{4}-3 x^{3}-8 x^{2}$ in $y=6 x+20$.
Pravilno reševanje sistema .................................................................................................................
Zapisani funkciji $p(x)=x^{4}-3 x^{3}-8 x^{2}$ in $y=6 x+20 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka
3. Sestavimo preglednico, v kateri zapisujemo prehojeno pot v metrih.
| | Janez | Peter | O b a s k u p a j | |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: |
| v zadnji minuti | | | | |
| 1. minuta | 5 | 100 | 105 | 105 |
| 2. minuta | 20 | 90 | 110 | 215 |
| 3. minuta | 35 | 80 | 115 | 330 |
| 4. minuta | 50 | 70 | 120 | 450 |
Janez in Peter se bosta srečala čez 4 minute.
Nalogo lahko rešimo tudi drugače. Dolžine poti, ki jih prehodi Janez v zaporednih minutah, predstavljajo člene aritmetičnega zaporedja z $a_{1}=5$ in $d=15$. Podobno velja za Petrovo pot: $a_{1}=100, d=-10$. Vsota doľ̌in poti, ki jih prehodi Janez v času $t$ minut, je enaka $\frac{t}{2}(10+15(t-1))$, vsota dolžin poti, ki jih prehodi Peter, pa $\frac{t}{2}(200-(t-1) \cdot 10)$. Ker skupaj prehodita $450 \mathrm{~m}$, zapišemo enačbo $450=\frac{t}{2}(10+15(t-1))+\frac{t}{2}(200-(t-1) \cdot 10)$, ki jo uredimo v $t^{2}+41 t-180=0$. Pozitivna rešitev enačbe je $t=4$, kar pomeni, da se srečata čez 4 minute.
Odgovor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 točka
4. Upoštevamo zapisane pogoje in zapišemo enačbe $\frac{a+b}{c+1}=\frac{3}{4}, \frac{2 a+b}{2 c+1}=1$ in $\frac{-a+b}{-c+1}=-\frac{1}{2}$. Odpravimo ulomke in rešimo sistem treh enačb s tremi neznankami. Dobimo rě̌itev $a=$ $\frac{2}{3}, b=c=\frac{1}{3}$. Zapišemo funkcijo $f(x)=\frac{\frac{2}{3} x+\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} x+1}$ in zapis poenostavimo $f(x)=\frac{2 x+1}{x+3}$.
Nastavljene enačbe: $\frac{a+b}{c+1}=\frac{3}{4}, \frac{2 a+b}{2 c+1}=1, \frac{-a+b}{-c+1}=-\frac{1}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1$ točka Pravilno reševanje sistema
1 točka
Rešitev: $a=\frac{2}{3}, b=c=\frac{1}{3}$ $.1+1+1$ točka
Zapisana funkcija: $f(x)=\frac{2 x+1}{x+3}$
5. Najprej poenostavimo posamezne člene: $\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x, \sin (\pi+x)=-\sin x$ in $\mathrm{z}$ uporabo adicijskega izreka še $\sin \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)=-\cos x$. Ulomek zapišemo v obliki $\frac{1-\cos x-\sin ^{2} x}{1-\cos x}$. Upoštevamo zvezo $\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$ in dobimo $\frac{\cos ^{2} x-\cos x}{1-\cos x}$, nato pa v števcu izpostavimo skupni faktor in krajšamo: $\frac{-\cos x(1-\cos x)}{1-\cos x}=-\cos x$.
Izpostavljanje skupnega faktorja in krajšanje: $\frac{-\cos x(1-\cos x)}{1-\cos x} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots 1$ točka
|