File size: 20,582 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 | # Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
## 17. tekmovanje v znanju
matematike za dijake srednjih
tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017
## Naloge za 1. letnik
Čas reševanja: 45 minut.
1. Za realni števili $x$ in $y$, kjer $x \neq y$, poenostavi izraz
$$
\left(\left(\frac{2 x+y}{x-y}\right)^{3}+1\right) \cdot(x-y)^{3}:\left(9 x^{3}-9 y^{3}\right)
$$
in rezultat zapiši v obliki okrajšanega ulomka.
(10 točk)
2. Marko in France imata vsak svoj sadovnjak z jablanami in hruškami. France ima $20 \%$ manj jablan, a 7 hrušk več kot Marko. Skupaj imata 218 dreves. Naslednje leto namerava France na novo posaditi še 22 jablan in 24 hrušk, da bo imel jablan 1,5-krat toliko kot hrušk. Koliko ima letos vsak od njiju jablan in koliko hrušk?
(10 točk)
17. tekmovanje v znanju<br>matematike za dijake srednjih<br>tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017
Naloge za 2. letnik
Čas reševanja: 45 minut.
1. Premica poteka skozi presečišče premic $11 x+3 y-7=0,12 x+y-19=0$ in razpolovišče daljice s krajiščema $A(3,-2)$ in $B(-1,6)$. Zapiši enačbo te premice $\mathrm{v}$ vseh treh oblikah in jih poimenuj. Premico nariši.
(10 točk)
2. Za realno število $x$, kjer $x \notin\left\{0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 1,2\right\}$, poenostavi izraz
$$
\left(\frac{3 x^{-\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}-2 x^{-\frac{1}{3}}}-\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{4}{3}}-x^{\frac{1}{3}}}\right)^{-1}-\left(\frac{1-2 x}{3 x-2}\right)^{-1}
$$
in izračunaj njegovo vrednost za $x=\sqrt{3}$. Končni rezultat okrajšaj in po potrebi racionaliziraj imenovalec.
17. tekmovanje v znanju<br>matematike za dijake srednjih<br>tehniških in strokovnih šol<br>Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017
# Naloge za 3. letnik
Čas reševanja: 45 minut.
1. Dana je pravilna šeststrana piramida z dolžino osnovnega roba $a=10 \mathrm{~cm}$ in dolžino stranskega roba $s=13 \mathrm{~cm}$.
a) Natančno izračunaj površino piramide.
b) Natančno izračunaj ploščino osnega preseka piramide, ki nastane, če piramido presekamo z ravnino, ki poteka skozi vrh piramide in dve oglišči osnovne ploskve.
(10 točk)
2. Določi, za katere vrednosti parametra $x$ je definiran izraz $\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-2 x-1\right)-2$, in reši enačbo $\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-2 x-1\right)-2=0$.
17. tekmovanje v znanju<br>matematike za dijake srednjih<br>tehniških in strokovnih šol<br>Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017
Naloge za 4. letnik
Čas reševanja: 45 minut.
1. a) Reši neenačbo $x^{4}-2 x^{3}-4 x^{2}>6-5 x$.
b) Reši enačbo $x^{6}-5 x^{3}=14$.
2. Natančno izračunaj vrednost izraza $\left(\sin \frac{38 \pi}{3}\right)^{5}: 4^{\log _{2} 3-\log _{16} 256}$.
## 17. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017
## Rešitve nalog in točkovnik
(16. MAREC 2017,00:04)
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.
Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.
Oznaka ${ }^{\prime * \prime}$ pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.
## Prvi letnik
1. Kubiramo ulomek, tako da kubiramo števec posebej $(2 x+y)^{3}=8 x^{3}+12 x^{2} y+6 x y^{2}+y^{3}$ in imenovalec posebej $(x-y)^{3}=x^{3}-3 x^{2} y+3 x y^{2}-y^{3}$. Poiščemo skupni imenovalec izraza v oklepaju (npr. $x^{3}-3 x^{2} y+3 x y^{2}-y^{3}$ ), tako da število 1 razširimo na skupni imenovalec, ulomka seštejemo in uredimo dobljeni ulomek $\left(\frac{2 x+y}{x-y}\right)^{3}+1=\frac{9 x^{3}+9 x^{2} y+9 x y^{2}}{(x-y)^{3}}$.
Dobljeni ulomek pomnožimo z $(x-y)^{3}$ in dobimo $9 x^{3}+9 x^{2} y+9 x y^{2}$. Deljenje zapišemo $\mathrm{v}$ obliki ulomka in $\mathrm{v}$ števcu izpostavimo skupni faktor $9 x\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)$ ter razstavimo imenovalec $9(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)$. Ulomek okrajšamo in dobimo rezultat $\frac{x}{x-y}$.
2. Naj ima Marko $x$ jablan in $y$ hrušk. Potem ima France $0,8 x$ jablan in $y+7$ hrušk. Skupaj imata $1,8 x+2 y+7=218$ dreves, dobimo enačbo $1,8 x+2 y=211$. Naslednje leto bo imel France $0,8 x+22$ jablan in $y+31$ hrušk. Ker je jablan 1,5 -krat več kot hrušk, dobimo enačbo $0,8 x+22=1,5(y+31)$. Preoblikujemo v enačbo $1,6 x-3 y=49$. Rešitvi sistema dveh linearnih enačb z dvema neznankama ( $1,8 x+2 y=211$ in $1,6 x-3 y=49$ ) sta $x=85$ in $y=29$. To pomeni, da ima Marko 85 jablan in 29 hrušk, France pa 68 jablan in 36 hrušk.
Zapis ali uporaba števila jablan, npr. France ima $0,8 x$ ..... 1 točka
Zapis ali uporaba števila hrušk, npr. France ima $y+7$ ..... 1 točka
Zveza za vsoto vseh dreves $1,8 x+2 y=211$ ..... 2 točki
Zapis enačbe $0,8 x+22=1,5(y+31)$ ..... 1 točka
Preoblikovanje enačbe $1,6 x-3 y=49$ ..... 1 točka
Reševanje sistema enačb ..... 1* točka
Rešitev $x=85$ in $y=29$ ..... 1 točka
Zapisan odgovor (Marko) ..... 1 točka
Zapisan odgovor (France) ..... 1 točka
## 17. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017
## Rešitve nalog in točkovnik
(16. MAREC 2017,00:04)
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.
Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.
Oznaka ${ }^{\prime * \prime}$ pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.
## Drugi letnik
1. Po reševanju sistema enačb s katerokoli metodo dobimo presečišče $P(2,-5)$. Določimo razpolovišče daljice $A B: S(1,2)$. Izračunamo smerni koeficient $k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{2+5}{1-2}=-7$.
Vstavimo podatke v enačbo premice npr.: $y-y_{1}=k\left(x-x_{1}\right)$ in po ureditvi dobimo $y=-7 x+9$. Preoblikujemo jo še v preostali dve obliki. Premico narišemo.
Reševanje sistema enačb ..... $1^{*}$ točka
Zapis presečišča premic $P(2,-5)$ ..... $1+1$ točka
Zapis razpolovišča daljice $A B S(1,2)$ ..... 1 točka
Izračun smernega koeficienta $k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{2+5}{1-2}=-7$ ..... 1 točka
Vstavitev podatkov v enačbo premice ..... 1 točka
Zapis eksplicitne oblike enačbe premice $y=-7 x+9$ ..... 1 točka
Zapis implicitne oblike enačbe premice $7 x+y-9=0$ ..... 1 točka
Zapis odsekovne oblike enačbe premice $\frac{x}{\frac{9}{7}}+\frac{y}{9}=1$ ..... 1 točka
Narisana premica ..... 1 točka
2. V imenovalcu ulomka izpostavimo potenco $\mathrm{z}$ najmanjšim eksponentom $\left(\frac{3 x^{-\frac{1}{3}}}{x^{-\frac{1}{3}}(x-2)}-\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}(x-1)}\right)^{-1}-\left(\frac{1-2 x}{3 x-2}\right)^{-1}$, krajšamo ulomka, razširimo ulomek v oklepaju na skupni imenovalec in zapišemo obratno vrednost ulomkov $\left(\frac{(x-2)(x-1)}{2 x-1}\right)-\left(\frac{3 x-2}{1-2 x}\right)$. Za tem zopet določimo skupni imenovalec in skrčimo izraz. Tako dobimo ulomek $\frac{x^{2}}{2 x-1}$. Nato vstavimo za $x=\sqrt{3}$ in racionaliziramo imenovalec $\frac{3}{2 \sqrt{3}-1} \cdot \frac{2 \sqrt{3}+1}{2 \sqrt{3}+1}$. Dobimo rešitev $\frac{6 \sqrt{3}+3}{11}$.
## Izpostavitev potence $z$ najmanjšim eksponentom v vsakem od prvih dveh
ulomkov $1+1$ točka $\qquad$
Upoštevanje obratne vrednosti ulomkov $\left(\frac{1-2 x}{3 x-2}\right)^{-1}=\frac{3 x-2}{1-2 x}$ ..... 1 točka
Razširitev ulomkov na skupni imenovalec $2 x-1$ ..... 1 točka
Množenje ulomkov ....................................................................................................................
Opomba 1: Nalogo lahko rešujemo tudi tako, da potence z racionalnim eksponentom spremenimo v korene.
Opomba 2: Namesto izpostavljanja potence $\mathrm{z}$ najmanjšim eksponentom bi lahko za negativni eksponent dobili ulomek.
2. način.
$$
\begin{aligned}
& \left(\frac{3 x^{-\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}-2 x^{-\frac{1}{3}}}-\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{4}{3}}-x^{\frac{1}{3}}}\right)^{-1}-\left(\frac{1-2 x}{3 x-2}\right)^{-1}=\left(\frac{\frac{3}{\sqrt[3]{x}}}{(\sqrt[3]{x})^{2}-\frac{2}{\sqrt[3]{x}}}-\frac{\sqrt[3]{x}}{x \cdot \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x}}\right)^{-1}-\frac{3 x-2}{1-2 x}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& =\left(\frac{3}{x-2}-\frac{1}{x-1}\right)^{-1}-\frac{3 x-2}{1-2 x} \\
& =\left(\frac{2 x-1}{(x-2)(x-1)}\right)^{-1}-\frac{3 x-2}{1-2 x} \\
& =\frac{(x-2)(x-1)}{2 x-1}+\frac{3 x-2}{2 x-1}=\frac{x^{2}}{2 x-1} .
\end{aligned}
$$
Zapis potence s korenom $x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}$ ..... 1 točka
Upoštevanje obratne vrednosti ulomkov $\left(\frac{1-2 x}{3 x-2}\right)^{-1}=\frac{3 x-2}{1-2 x}$ ..... 1 točka
Razširitev na skupni imenovalec $\frac{(\sqrt[3]{x})^{3}-2}{\sqrt[3]{x}}$ ..... 1 točka
Delno korenjenje $\sqrt[3]{x^{4}}=x \cdot \sqrt[3]{x}$ ..... 1 točka
Krajšanje ulomkov ..... 1 točka
Preoblikovanje prvega člena do oblike $\left(\frac{2 x-1}{(x-2)(x-1)}\right)^{-1}$ ..... 1 točka
Izračun ulomka $\frac{x^{2}}{2 x-1}$ ..... 1 točka
Racionalizacija imenovalca po vstavitvi $x=\sqrt{3}$ ..... 1 točka
Množenje ulomkov ..... $1^{*}$ točka
Rešitev $\frac{6 \sqrt{3}+3}{11}$ ..... 1 točka
## 17. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017
## Rešitve nalog in točkovnik
(16. MAREC 2017,00:04)
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.
Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.
Oznaka ${ }^{\prime * \prime}$ pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.
## Tretji letnik
1.
a) S pomočjo Pitagorovega izreka izračunamo višino stranske ploskve piramide $v_{s}=12 \mathrm{~cm}$. S pomočjo formule za izračun ploščine osnovne ploskve $S_{o p}=\frac{6 a^{2} \sqrt{3}}{4}=\frac{6 \cdot 10^{2} \sqrt{3}}{4}=150 \sqrt{3}$ $\mathrm{cm}^{2}$ in ploščine plašča $S_{p l}=6 \cdot \frac{a \cdot v_{s}}{2}=6 \cdot \frac{10 \cdot 12}{2}=360 \mathrm{~cm}^{2}$ izračunamo površino piramide $P=(150 \sqrt{3}+360) \mathrm{cm}^{2}$.
Izračun višíne stranske ploskve piramide $v_{s}=12 \mathbf{c m}$ ..... 1 točka
Zapis ali uporaba formule za izračun ploščine osnovne ploskve $S_{o p}=\frac{6 a^{2} \sqrt{3}}{4}$ ..... 1 točka
Izračun $S_{o p}=150 \sqrt{3} \mathbf{c m}^{2}$ ..... 1 točka
Zapis ali uporaba formule za izračun ploščine plašča $S_{p l}=6 \cdot \frac{a \cdot v_{s}}{2}$ ..... 1 točka
Izračun $S_{p l}=360 \mathbf{c m}^{2}$ ..... 1 točka
Rešitev $P=(150 \sqrt{3}+360) \mathbf{c m}^{2}$ ..... 1 točka
b) Ugotovimo, da je osni presek piramide enakokraki trikotnik s stranicami $20 \mathrm{~cm}, 13 \mathrm{~cm}$ in 13 $\mathrm{cm}$. S pomočjo Pitagorovega izreka izračunamo višino trikotnika, ki je osni presek piramide $v_{o p}=\sqrt{69} \mathrm{~cm}$. Izračunamo ploščino osnega preseka $S_{o p}=\frac{2 a \cdot v_{o p}}{2}=\frac{20 \cdot \sqrt{69}}{2}=10 \sqrt{69} \mathrm{~cm}^{2}$.
Ugotovitev, da je osni presek piramide enakokraki trikotnik s stranicami $20 \mathbf{c m}, 13 \mathbf{c m}$ in $13 \mathbf{~ c m}$ 1 točka Zapis ali uporaba formule za izračun višine trikotnika, ki je osni presek piramide $v_{o p}=\sqrt{69} \mathbf{~ c m}$ 1 točka Zapis ali uporaba formule za izračun ploščine osnega preseka $S_{o p}=\frac{2 a \cdot v_{o p}}{2} \ldots .1$ točka Rešitev $S_{o p}=10 \sqrt{69} \mathbf{c m}^{2}$ 1 točka
2. Izraz je definiran za $x^{2}-2 x-1>0$. Rešimo kvadratno neenačbo in dobimo rešitev $D_{f}=(-\infty, 1-\sqrt{2}) \cup(1+\sqrt{2}, \infty)$. Enačbo $\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-2 x-1\right)-2=0$ preoblikujemo do oblike $\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-2 x-1\right)=2$. Enačbo rešimo po definiciji logaritma. Dobimo kvadratno enačbo $\frac{1}{4}=x^{2}-2 x-1$. Rešitvi kvadratne enačbe sta $x_{1}=\frac{5}{2}, x_{2}=-\frac{1}{2}$.
Zapis definicijskega območja $D_{f}=(-\infty, 1-\sqrt{2}) \cup(1+\sqrt{2}, \infty) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . .2$ točki
Reševanje enačbe . ...................................................................................................
## 17. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017
## Rešitve nalog in točkovnik
(16. MAREC 2017,00:04)
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.
Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.
Oznaka ${ }^{\prime * \prime}$ pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.
## Četrti letnik
1.
a) Uredimo neenačbo $x^{4}-2 x^{3}-4 x^{2}+5 x-6>0$. Rešimo enačbo $x^{4}-2 x^{3}-4 x^{2}+5 x-$ $6=0$ in zapišemo realni rešitvi enačbe $x_{1}=-2$ in $x_{2}=3$. Zapišemo rešitev neenačbe $x \in(-\infty,-2) \cup(3, \infty)$.
b) Uredimo enačbo $x^{6}-5 x^{3}-14=0$ in jo razcepimo $\left(x^{3}-7\right)\left(x^{3}+2\right)=0$. Zapišemo realni rešitvi enačbe $x_{1}=\sqrt[3]{7}$ in $x_{2}=-\sqrt[3]{2}$.
a) Ureditev neenačbe $x^{4}-2 x^{3}-4 x^{2}+5 x-6>0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Reševanje enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1^{*}$ točka
Reševanje enačbe $x^{3}-7=0$ in prva rešitev $x_{1}=\sqrt[3]{7} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Reševanje enačbe $x^{3}+2=0$ in druga rešitev $x_{2}=-\sqrt[3]{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka
2. Poenostavimo in izračunamo prvi del izraza:
$$
\left(\sin \frac{38 \pi}{3}\right)^{5}=\sin ^{5}\left(12 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right)=\sin ^{5}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{5}=\frac{9 \sqrt{3}}{32}
$$
Poenostavimo in izračunamo drugi del izraza:
$$
4^{\log _{2} 3-\log _{16} 256}=4^{\log _{2} 3}: 4^{\log _{16} 256}=2^{\log _{2} 9}: 4^{2}=\frac{9}{16}
$$
Izračunamo vrednost danega izraza:
$$
\frac{9 \sqrt{3}}{32}: \frac{9}{16}=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
Upoštevanje periodičnosti $\sin \left(\frac{38 \pi}{3}\right)=\sin \left(12 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right)=\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ ..... 1 točka
Izračun $\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 1 točka
Potenciranje $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{5}=\frac{9 \sqrt{3}}{32}$ ..... 1 točka
Upoštevanje deljenja potenc $4^{\log _{2} 3-\log _{16} 256}=4^{\log _{2} 3}: 4^{\log _{16} 256}$ ..... 1 točka
Zapis $4^{\log _{2} 3}=2^{\log _{2} 9}$ ..... 1 točka
Izračun $2^{\log _{2} 9}=9$ ..... 1 točka
Izračun $4^{\log _{16} 256}=4^{2}$ ..... 1 točka
Izračun $\frac{9}{16}$ ..... 1 točka
Množenje ulomkov $\frac{9 \sqrt{3}}{32} \cdot \frac{16}{9}$ ..... 1 točka
Rešitev $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ..... 1 točka
|