File size: 20,631 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 | # Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
## 18. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol <br> Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018 <br> Naloge za 1. letnik
Čas reševanja: 45 minut.
1. (a) V domu za starejše občane so praznovali rojstni dan najstarejše oskrbovanke. Pripravili so 15 litrov napitka iz domačega hruškovega soka, razredčenega z vodo, tako da je bilo v napitku $20 \%$ vode. Ker je bil še vedno presladek, so dolili še 5 litrov vode. Izračunaj delež naravnega soka v $\%$ v dobljenem napitku.
(b) V tem domu imajo na voljo skupaj 141 sob. 70 sob je enoposteljnih, ostale so dvo in troposteljne sobe. Če so vse sobe popolnoma zasedene, je v domu 240 oskrbovancev. Koliko imajo dvoposteljnih in koliko triposteljnih sob?
(10 točk)
2. Za realni števili $x$ in $y$, kjer $x \neq 0, y \notin\{-2,0,2\}$ in $x+y \neq 0$, poenostavi izraz:
$$
\frac{x y^{2018}+2 x y^{2017}}{y^{2016}-4 y^{2014}} \cdot\left(\left(\frac{x^{2}}{y^{3}}+x^{-1}\right):\left(x y^{-2}-\frac{1}{y}+x^{-1}\right)\right): \frac{(x-y)^{2}+4 x y}{1+\frac{y}{x}}-\frac{y^{2}+2 y}{y+2}
$$
Čas reševanja: 45 minut.
1. Dani sta točki $A(-2,1)$ in $B(1,-11)$ v pravokotnem koordinatnem sistemu.
(a) Določi koordinate točke $C$, ki leži na abscisni osi, da bo ploščina trikotnika $A B C$ enaka 64,5 .
(b) Graf linearne funkcije gre skozi točko $A$. Če bi bil smerni koeficient za 3 večji, bi šel graf skozi točko $B$. Določi predpis za to linearno funkcijo.
2. Poenostavi izraz:
$$
2\left(x y^{-1}-1\right)^{-p}\left(x^{2} y^{-2}-1\right)^{p}-\left(\frac{x+y}{y}\right)^{p}
$$
Za $x=-2, y=-\frac{1}{2}$ in $p=-3$ izračunaj vrednost izraza.
1. Dan je pravokotni trikotnik $A B C$ (pravi kot $\mathrm{v}$ oglišču $C$ ) s podatki $c=8 \mathrm{~cm}$ in $v_{c}=\sqrt{7}$ $\mathrm{cm}(a>b)$. Natančno izračunaj ploščino trikotnika, polmer trikotniku očrtanega kroga in dolžini katet.
(10 točk)
2. Dana je kvadratna funkcija $f$ s predpisom $f(x)=(m-1) x^{2}+m x+m$, kjer $m \neq 1$.
(a) Za $m=3$ izračunaj najmanjšo vrednost funkcije $f$.
(b) Poišči vsa realna števila $m$, da bo funkcija $f$ strogo negativna za vsak $x$.
Čas reševanja: 45 minut.
1. Zadnji člen geometrijskega zaporedja s količnikom 2 je 112, vsota vseh členov pa 217. Koliko členov tega zaporedja moramo sešteti? Izračunaj še prvi člen tega zaporedja.
(10 točk)
2. Dana je funkcija s predpisom $f(x)=\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}+1}$.
(a) Izračunaj ničle, pole, asimptoto in nariši graf funkcije $f$.
(b) Izračunaj presečiš̌ča grafa funkcije $f$ s premico $y=2$.
(c) Določi zalogo vrednosti funkcije $f$.
## 18. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018
## Rešitve za prvi letnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.
Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.
Oznaka '*' pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.
1.
(a) V 15 litrih soka je $20 \%$ od 15 litrov, torej 3 litri vode. Naravnega soka je torej 12 litrov v 20 litrih napitka, kar pomeni, da je delež naravnega soka $60 \%$.
(b) Ugotovimo, da je dvoposteljnih in troposteljnih sob skupaj 141-70 $=71$. Zapišemo $D+T=$ 71. Skupaj je v dvoposteljnih in troposteljnih sobah $2 D+3 T=170$ oskrbovancev. Rešimo sistem enačb in dobimo $D=43$ in $T=28$.
Izračun ali ugotovitev, da so prvotno v soku primešani 3 litri vode .................. 1 točka
Ugotovimo, da je dvoposteljnih in troposteljnih sob skupaj $141-70=71$........ 1 točka
Število oskrbovancev v dvoposteljnih in troposteljnih sobah je 170 ................ 1 točka
Zapis sistema enačb .................................................................................................................................................
Reševanje sisema enačb ............................................................................................................
Odgovor .................................................................................................. 1 točka
Opomba: Če izračuna, da je v napitku $80 \%$ soka, tudi dobi točko in prve alineje.
2. Števec prvega ulomka $x y^{2018}+2 x y^{2017}$ preoblikujemo $\mathrm{v} x y^{2017}(y+2)$, imenovalec $y^{2016}-$ $4 y^{2014}$ pa preoblikujemo v $y^{2014}(y-2)(y+2)$. Prvi ulomek okrajšamo in dobimo $\frac{x y^{3}}{y-2}$. Izraz $\frac{x^{2}}{y^{3}}+x^{-1}$ preoblikujemo v $\frac{x^{3}+y^{3}}{x y^{3}}$. Razstavimo vsoto kubov. Izraz $x y^{-2}-\frac{1}{y}+x^{-1}$ preoblikujemo $\mathrm{v} \frac{x^{2}-x y+y^{2}}{x y^{2}}$. Izraz $\frac{(x-y)^{2}+4 x y}{1+\frac{y}{x}}$ preoblikujemo v $\frac{x(x+y)^{2}}{x+y}=x(x+y)$. Zadnji ulomek razstavimo in
okrajšamo, dobimo $y$.
Prvi člen poenostavimo in dobimo $\frac{y^{2}}{y-2}$. Od tega izraza odštejemo $y$ in dobimo $\frac{2 y}{y-2}$.
Izpostavljanje $x y^{2018}+2 x y^{2017}=x y^{2017}(y+2)$ ..... 1 točka
Izpostavljanje in razstavljanje $y^{2016}-4 y^{2014}=y^{2014}\left(y^{2}-4\right)=y^{2014}(y-2)(y+2)$ ..... 1 točka
Preoblikovanje prvega ulomka $\mathbf{v} \frac{x y^{3}}{y-2}$ ..... 1 točka
Preoblikovanje $\left(\frac{x^{2}}{y^{3}}+x^{-1}\right) \mathbf{v} \frac{x^{3}+y^{3}}{x y^{3}}$ ..... 1 točka
Razstavljanje vsote kubov ..... 1 točka
Preoblikovanje $x y^{-2}-\frac{1}{y}+x^{-1} \mathbf{v} \frac{x^{2}-x y+y^{2}}{x y^{2}}$ ..... 1 točka
Preoblikovanje $\frac{(x-y)^{2}+4 x y}{1+\frac{y}{x}} \mathbf{v} \frac{x(x+y)^{2}}{x+y}=x(x+y)$ ..... 1 točka
Preoblikovanje $\frac{y^{2}+2 y}{y+2} \mathbf{v} y$ ..... 1 točka
Upoštevanje deljenja, krajšanje ulomkov, da iz prvega člena dobimo $\frac{y^{2}}{y-2}$ ..... 1 točka
Izračun $\frac{y^{2}}{y-2}-y=\frac{2 y}{y-2}$ ..... 1 točka
## 18. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018
## Rešitve za drugi letnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.
Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.
Oznaka '*' pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.
1.
(a) Iščemo absciso točke $C(x, 0)$. Uporabimo obrazec za izračun ploščine
$$
S=\frac{1}{2} \cdot o \cdot\left|\begin{array}{ll}
x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} \\
x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1}
\end{array}\right|
$$
vstavimo koordinate točk $A, B, C$ in pomnožimo z 2 da dobimo $129=o \cdot\left|\begin{array}{cc}3 & -12 \\ x+2 & -1\end{array}\right|$. Izračunamo determinanto in dobimo zvezo $129=o \cdot(12 x+21)$. Če je orientacija $o=+1$, dobimo rešitev $x_{1}=9$, če pa je orientacija $o=-1$, dobimo rešitev $x_{2}=-\frac{25}{2}$. Za točko $C$ tako dobimo dve možnosti $C_{1}=(9,0)$ in $C_{2}=\left(-\frac{25}{2}, 0\right)$.
(b) Ǐščemo linearno funkcijo $f(x)=k \cdot x+n$. Upoštevamo, da gre graf skozi točko $A$ in dobimo enačbo $1=-2 k+n$. Če je $k$ za 3 večji, gre graf skozi $B$ in dobimo enačbo $-14=$ $k+n$. Rešimo dobljeni sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama in dobimo $f(x)=$ $-5 x-9$.
Zapis ali uporaba obrazca za izračun ploščine $S=\frac{1}{2} \cdot o \cdot\left|\begin{array}{ll}x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1}\end{array}\right| \ldots \ldots .1$ točka
Preoblikovanje v enačbo $129=o \cdot(12 x+21)$ ali $129=|12 x+21| \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$.
Zapis ali uporaba enačbe za linearno funkcijo $f(x)=k \cdot x+n \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . .$.
Enačba, če je $k$ za 3 večji in gre graf skozi $B:-14=k+n \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots$.
Reševanje sistema enačb ..... 1 točka
Zapis $f(x)=-5 x-9$ ..... 1 točka
2. Uredimo prvi oklepaj $\left(x y^{-1}-1\right)^{-p}=\left(\frac{x}{y}-1\right)^{-p}=\left(\frac{x-y}{y}\right)^{-p}=\left(\frac{y}{x-y}\right)^{p}$ in drugi oklepaj $\left(x^{2} y^{-2}-1\right)^{p}=\left(\frac{x^{2}-y^{2}}{y^{2}}\right)^{p}$. Oklepaja pomnožimo med seboj, števec drugega oklepaja razstavimo in dobimo produkt $\left(\frac{y}{x-y}\right)^{p} \cdot\left(\frac{x^{2}-y^{2}}{y^{2}}\right)^{p}=\left(\frac{y}{x-y}\right)^{p} \cdot\left(\frac{(x-y)(x+y)}{y^{2}}\right)^{p}$. Ker je eksponent obeh oklepajev enak, damo v skupni oklepaj in okrajšamo $\left(\frac{y(x-y)(x+y)}{(x-y) y^{2}}\right)^{p}=\left(\frac{x+y}{y}\right)^{p}$. Dobimo izraz $2\left(\frac{x+y}{y}\right)^{p}-\left(\frac{x+y}{y}\right)^{p}$. Odštejemo in dobimo $\left(\frac{x+y}{y}\right)^{p}$. Vstavimo vrednosti za $x, y, p$ in dobimo rezultat $\frac{1}{125}$.
Zapis potence $\mathbf{z}$ negativnim eksponentom $x y^{-1}=\frac{x}{y}$ ..... 1 točka
Zapis v obliki ulomka $x y^{-1}-1=\frac{x-y}{y}$ ..... 1 točka
Zapis v obliki ulomka $x^{2} y^{-2}-1=\frac{x^{2}-y^{2}}{y^{2}}$ ..... 1 točka
Razstavljanje $x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$ ..... 1 točka
Krajšanje $\frac{y(x-y)(x+y)}{(x-y) y^{2}}=\frac{x+y}{y}$ ..... 2 točki
Poenostavljen izraz $2\left(\frac{x+y}{y}\right)^{p}-\left(\frac{x+y}{y}\right)^{p}=\left(\frac{x+y}{y}\right)^{p}$ 1 točka
Vstavljene vrednosti spremenljivk $x=-2, y=-\frac{1}{2}$ in $p=-3$. ..... 1* točka
Izračun $\frac{-2-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}=5$ ..... 1 točka
Rezultat $5^{-3}$ ali $\frac{1}{125}$ ..... 1 točka
# 18. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018
## Rešitve za tretji letnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.
Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.
Oznaka ${ }^{\prime * \prime}$ pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.
1. Ploščina trikotnika $A B C$ je $S=\frac{c \cdot v_{c}}{2}=\frac{8 \sqrt{7}}{2}=4 \sqrt{7} \mathrm{~cm}^{2}$. Polmer trikotniku očrtanega kroga je $R=\frac{c}{2}=4 \mathrm{~cm} . \mathrm{Z} x$ in $c-x$ označimo pravokotni projekciji katet na hipotenuzo $c$. Uporabimo višinski izrek $v_{c}^{2}=x(c-x)$. Dobimo kvadratno enačbo $x^{2}-8 x+7=0$. Rešitvi enačbe sta $x_{1}=7$ in $x_{2}=1$. Z uporabo Pitagorovega izreka za dolžini katet $a$ in $b$ dobimo $a^{2}=7^{2}+(\sqrt{7})^{2}$ in $b^{2}=1^{2}+(\sqrt{7})^{2}$. Izračunamo dolžini katet $a=\sqrt{56}=2 \sqrt{14} \mathrm{~cm}$ in $b=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$.
Izračun ploščine trikotnika $S=\frac{c \cdot v_{c}}{2}=\frac{8 \sqrt{7}}{2}=4 \sqrt{7} \mathbf{c m}^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Zapis kvadratne enačbe $x^{2}-8 x+7=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Rešitvi kvadratne enačbe sta $x_{1}=7, x_{2}=1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka
Uporaba Pitagorovega izreka $a^{2}=7^{2}+(\sqrt{7})^{2}, b^{2}=1^{2}+(\sqrt{7})^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ 1 1 točka
Izračun dolžine katet $a=\sqrt{56}=2 \sqrt{14} \mathbf{~ m}, b=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \mathbf{~ c m} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \mathbf{1} \mathbf{1}$ točka
2.
(a) Najmanjša vrednost kvadratne funkcije je pri $q=\frac{-D}{4 a}$. Izračunamo diskriminanto $D=-15$. Izračunamo najmanjšo vrednost $q=\frac{15}{8}$.
(b) Funkcija $f$ bo negativna za vsak $x$, ko bosta izpolnjena pogoja ( $m-1<0$ ) in $D<0$. Diskriminanta kvadratne funkcije $f$ je $D=m^{2}-4(m-1) m=-3 m^{2}+4 m$. Upoštevamo, da je $D<0$ in dobimo kvadratno neenačbo $-3 m^{2}+4 m<0$. Izračunamo rešitvi kvadratne neenačbe $-3 m^{2}+4 m=0$ in dobimo $m_{1}=0, m_{2}=\frac{4}{3}$. Rešitve kvadratne neenačbe so $m<0$ ali $m>\frac{4}{3}$. Upoštevamo pogoja $(m-1<0)$ in $D<0$ ter dobimo rezuiltat $m<0$.
Zapis ali upoštevanje $q=\frac{-D}{4 a}$ ..... 1 točka
Izračun diskriminante $D=-15$ ..... 1 točka
Izračun najmanjše vrednosti $q=\frac{15}{8}$ ..... 1 točki
Zapis ali upoštevanje ( $m-1<0$ ) in $D<0$ ..... 1 točki
Zapis ali upoštevanje $D=m^{2}-4(m-1) m=-3 m^{2}+4 m$ ..... 1 točka
Zapis ali upoštevanje $-3 m^{2}+4 m<0$ ..... 1 točka
Reševanje kvadratne neenačbe ..... $1^{*}$ točka
izračun $m_{1}=0, m_{2}=\frac{4}{3}$ ..... 1 točka
Zapis ali upoštevanje rešitev kvadratne neenačbe $m<0$ ali $m>\frac{4}{3}$ ..... 1 točka
Rezultat $m<0$ ..... 1 točka
## 18. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018
## Rešitve za četrti letnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.
Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.
Oznaka ${ }^{\prime * \prime}$ pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.
1. Po vstavitvi podatkov v splošni člen geometrijskega zaporedja dobimo $112=a_{1} \cdot 2^{n-1}$. Iz enačbe izrazimo prvi člen $a_{1}=\frac{112}{2^{n-1}}=\frac{224}{2^{n}}$. Vstavimo podatke $\mathrm{v}$ obrazec za izračun končne geometrijske vrste in dobimo $217=\frac{a_{1}\left(2^{n}-1\right)}{2-1}$. Vstavimo izražen prvi člen $217=\frac{224}{2^{n}}\left(2^{n}-1\right)$. Po ureditvi enačbe dobimo $\frac{224}{2^{n}}=7$. Preoblikujemo v enačbo $2^{n}=32$. Rešimo eksponentno enačbo $2^{5}=32$ in dobimo rešitev enačbe $n=5$. Sešteti moramo prvih pet členov geometrijskega zaporedja. Izračunamo prvi člen $a_{1}=\frac{112}{2^{4}}=\frac{224}{2^{5}}$ in dobimo rešitev enačbe $a_{1}=7$.
2.
(a) Funkcija ima dvojno ničlo v $x=1$. Pola nima. Vodoravna asimptota je $\mathrm{v} y=1$. Funkcija seka ordinatno os v točki $N(0,1)$. Narišemo graf funnkcije $f$.
(b) Zapišemo enačbo: $\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}+1}=2$. Po ureditvi dobimo enačbo: $x^{2}+2 x+1=0$. Dvojna rešitev te enačbe je $x=-1$. Zapišemo presečišče $P(-1,2)$.
(c) Zapišemo zalogo vrednosti funkcije $f$ : $Z_{f}=[0,2]$.
Ugotovitev, da funkcija nima pola ..............................................................................................................
Natančno narisan graf funkcije .................................................................................
Zapis enačbe $\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}+1}=2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Rešitev enačbe $x=-1$............................................................................................
Zapis presečišča funkcije s premico $P(-1,2)$........................................... 1 točka
|