File size: 25,253 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 | # Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
## 19. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol <br> Odbirno tekmovanje, 21. marec 2019
Ime in priimek:
## Naloge za 1. letnik
Čas reševanja: 45 minut.
1. Določi najmanjši skupni večkratnik in največji skupni delitelj izrazov:
$$
-3 x^{4}+24 x, \quad x^{3}-6 x^{2}+12 x-8, \quad a x^{2}-4 a x+4 a, \quad 3 b x^{2}-12 b
$$
(10 točk)
2. Izračunaj vrednost izraza $\left(-4 x y z^{-1}\right)^{-2}$, če so $x, y$ in $z$ neznanke $\mathrm{v}$ sistemu
$$
\begin{aligned}
& \frac{2}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-3 \\
& \frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=3 \\
& \frac{3}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}=4
\end{aligned}
$$
## 19. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol <br> Odbirno tekmovanje, 21. marec 2019
## Naloge za 2. letnik
1. Podani sta premica $p$ z enačbo $-x+2 y=1$ in premica $q$ z enačbo $-4 x+3 y=16$. Naj bo točka $A$ presečišče premice $p$ z osjo $x$, naj bo točka $B$ presečišče premice $q$ z osjo $x$, naj bo točka $C$ presečišče premic $p$ in $q$ ter naj bo točka $D$ pravokotna projekcija točke $C$ na os $x$.
a) Izračunaj in zapiši koordinate točk $A, B, C$ in $D$.
b) Izračunaj velikost notranjega kota $\beta$ v trikotniku $A B C$.
c) Izračunaj ploščino trikotnika $A B C$.
2. Dan je izraz
$$
X=\left(a+a^{-1}\right)^{-1}\left(a^{2}+3 a+2\right)\left(a^{2}-3 a+2\right)\left(a^{2}-4\right)^{-1}
$$
a) Izraz $X$ poenostavi in zapiši v obliki produkta.
(8 točk)
b) Izračunaj vrednost izraza $X$ za $a=-\frac{1}{3}$.
## 19. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol <br> Odbirno tekmovanje, 21. marec 2019
## Naloge za 3. letnik
| N1 | N2 |
| :--- | :--- |
| | |
| | |
1. Dan je trikotnik s stranicami $a=17 \mathrm{~cm}, b=8 \mathrm{~cm}$ in $c=15 \mathrm{~cm}$.
a) Izračunaj, kolikokrat je ploščina trikotniku očrtanega kroga večja od ploščine danega trikotnika. Rezultat zaokroži na celo število.
b) Izračunaj dolžino višine na stranico $a$. Rezultat naj bo točen.
c) Izračunaj velikost največjega kota danega trikotnika.
2. Dani sta funkciji $f(x)=\log _{3}(x+3)+1$ in $g(x)=\log _{3}(3 x)+1$.
a) Poišči absciso presečišča danih funkcij.
b) Izračunaj ničlo, začetno vrednost in zapiši enačbo asimptote za obe funkciji. Funkciji nariši v isti koordinatni sistem.
## 19. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol <br> Odbirno tekmovanje, 21. marec 2019
## Naloge za 4. letnik
1. a) Dani so prvi štirje členi neskončnega aritmetičnega zaporedja:
$$
-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{5}{2}, \frac{9}{2}
$$
Izračunaj, katero število je dvestoti člen tega zaporedja in kolikšna je vsota prvih dvestotih členov zaporedja.
b) Med števili $\frac{1}{2}$ in $\frac{9}{2}$ vrinemo tri števila, tako da dobimo geometrijsko zaporedje. Določi vse možne vrednosti vrinjenih členov. Vrednosti naj bodo točne. (6 točk)
2. Dan je izraz
$$
A=\frac{\frac{1}{2} \sin 2 x+\cos 2 x}{1-\tan x}
$$
Izračunaj vrednost izraza $A$, če je $\cos x=-\frac{4}{5}$ in $\frac{\pi}{2}<x<\pi$. Rezultat naj bo točen. (10 točk)
## 19. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
## Odbirno tekmovanje, 21. marec 2019
## Rešitve nalog in točkovnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.
Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.
Oznaka '*' pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.
## Prvi letnik
1.
Izraze zapišemo v obliki produkta $-3 x^{4}+24 x=-3 x\left(x^{3}-8\right)=-3 x(x-2)\left(x^{2}+2 x+4\right)$, $x^{3}-6 x^{2}+12 x-8=(x-2)^{3}, a x^{2}-4 a x+4 a=a(x-2)^{2}, 3 b x^{2}-12 b=3 b(x-2)(x+2)$. Ugotovimo, da je $D=x-2$ in $v=-3 a b x(x-2)^{2}(x+2)\left(x^{2}+2 x+4\right)$.
Izpostavljen skupni faktor $-3 x^{4}+24 x=-3 x\left(x^{3}-8\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Zapis v obliki produkta $-3 x\left(x^{3}-8\right)=-3 x(x-2)\left(x^{2}+2 x+4\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka
Upoštevanje obrazca ali izpostavljanje skupnih faktorjev v štiričleniku....................... 1 točka
Zapis v obliki produkta $x^{3}-6 x^{2}+12 x-8=(x-2)^{3} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Izpostavljen skupni faktor $a x^{2}-4 a x+4 a=a\left(x^{2}-4 x+4\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Zapis v obliki produkta $a\left(x^{2}-4 x+4\right)=a(x-2)^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Zapis najmanjšega skupnega večkratnika $v=-3 a b x(x-2)^{3}(x+2)\left(x^{2}+2 x+4\right) \ldots \ldots .1$ točka
2. Uvedemo nove neznanke $a=\frac{1}{x}, b=\frac{1}{y}, c=\frac{1}{z}$ in dobimo sistem enačb $2 a-b-c=$ $-3, a-b-c=3,3 a+2 b+2 c=4$, ki ga rešimo. Rešitev sistema je $a=2, b=3, c=-4$ in dobimo $x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{3}, z=-\frac{1}{4}$. Izračunamo $\left(-4 x y z^{-1}\right)^{-2}=\left(-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot\left(\frac{-1}{4}\right)^{-1}\right)^{-2}=\left(\frac{8}{3}\right)^{-2}=\frac{9}{64}$.
Uvedba novih neznank $a=\frac{1}{x}, b=\frac{1}{y}$ in $c=\frac{1}{z}$
1 točka
Zapis sistema z novimi neznankami...
1 točka
Reševanje sistema enačb
1 *točka
Rešitve preoblikovanega sistema $a=2, b=3, c=-4$
.3 točke
Rešitve prvotnega sistema enačb $x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{3}, z=-\frac{1}{4}$ (za dve pravilni rešitvi 1 * točka) . 2 točki
## 19. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
## Odbirno tekmovanje, 21. marec 2019
## Rešitve nalog in točkovnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.
Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.
Oznaka '*' pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.
## Drugi letnik
1. Presečišče premice $\mathrm{z}$ osjo $x$ ima $y$ koordinato 0 . Tako dobimo $A(-1,0)$ in $B(4,0)$. Rešimo sistem enačb za $p$ in $q$, da dobimo koordinate točke $C\left(-\frac{29}{5},-\frac{12}{5}\right)$. Točka $D$ ima koordinati $D\left(-\frac{29}{5}, 0\right)$. Kot $\beta$ iz trikotnika $A B C$ je hkrati zunanji kot pri oglišču $B$ v trikotniku $B D C$. Daljica $D C$ je dolga $\frac{12}{5}$, daljica $B D$ pa ima dolžino $\frac{29}{5}-4=\frac{9}{5}$. Trikotnik $D B C$ je pravokoten, velja $\tan \beta^{\prime}=\frac{\frac{12}{5}}{\frac{9}{5}}=\frac{4}{3}$ in dobimo $\beta \doteq 53,13^{\circ}$ in $\beta \doteq 126,87^{\circ}=126^{\circ} 52^{\prime}$.
Stranica $c$ v trikotniku $A B C$ ima dolžino 5. Ploščino trikotnika $A B C$ pa lahko izračunamo na več različnih načinov:
(a) Stranica $c$ v trikotniku $A B C$ ima dolžino 3. Daljica $D C$ je pravokotna na os $x$ in $\mathrm{s}$ tem na nosilko stranice $c \mathrm{v}$ trikotniku $A B C$. Daljica $D C$ je tako višina na stranico $c \mathrm{v}$ trikotniku $A B C$, njena dolžina je $\frac{12}{5}$. Ploščino trikotnika lahko izračunamo kot $S=\frac{c \cdot v_{c}}{2}=\frac{3 \cdot \frac{12}{5}}{2}=\frac{18}{5}=$ 3,6 .
(b) Stranica $a$ v trikotniku $A B C$ je hkrati hipotenuza v pravokotnem trikotniku $B D C$, po $\mathrm{Pi}-$ tagorovem izreku dobimo njeno dolžino 3. Isto dobimo z izračunom razdalje daljice $B C$. Ploščino trikotnika izračunamo kot $S=\frac{c \cdot a \cdot \sin \beta}{2}=\frac{3 \cdot 3 \cdot \sin 126,87^{\circ}}{2}=3,6$.
(c) Poleg $a=3$ in $c=3$ izračunamo še stranico $b$, torej dolžino daljice $A C$ :
$|A C|=\sqrt{\left(\frac{24}{5}\right)^{2}+\left(\frac{12}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{5}}=\frac{12 \sqrt{5}}{5} \doteq 5,37$. Sedaj lahko z uporabo Heronovega obrazca izračunamo ploščino trikotnika. $s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{15+6 \sqrt{5}}{5} \doteq 5,68$ in
$S=\sqrt{s \cdot(s-a) \cdot(s-b) \cdot(s-c)}=$
$\sqrt{\frac{15+6 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{6 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{6 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{15-6 \sqrt{5}}{5}}=\frac{18}{5}=3,6$.
(d) Ploščino trikotnika $A B C$ lahko izračunamo kot razliko ploščin trikotnika $A D C$ in trikotnika $B D C: S=\frac{\frac{12}{5} \cdot \frac{24}{5}}{2}-\frac{\frac{12}{5} \cdot \frac{9}{5}}{2}=3,6$.
Izračun in zapis $A(-1,0)$ .1 točka
Izračun in zapis $B(-4,0)$ 1 točka
Izračun in zapis $C\left(-\frac{29}{5},-\frac{12}{5}\right)$ 1 točka
Ugotovitev in zapis $D\left(-\frac{29}{5}, 0\right)$ 1 točka
Izračun ali zapis dolžin stranic $|C D|=\frac{12}{5}$ in $|B D|=\frac{9}{5}$ 1 točka
Zapis ali uporaba ustreznega obrazca za ploščino trikotnika $\left(\frac{c \cdot v_{0}}{2}, \frac{c \cdot b \cdot \sin \beta}{2}\right.$, Heron, ... . . 1 točka Izračun potrebnih količin..................................................................................................................................
2. Prvi faktor preoblikujemo v $\left(a+a^{-1}\right)^{-1}=\frac{a}{a^{2}+1}$.
V produktu $\left(a^{2}+3 a+2\right)\left(a^{2}-3 a+2\right)$ lahko vsak člen iz prvega oklepaja pomnožimo z vsakim členom iz drugega oklepaja. Hitrejša možnost pa je, da to preoblikujemo v produkt vsote in razlike istih členov in dobimo razliko kvadratov: $\left(a^{2}+3 a+2\right)\left(a^{2}-3 a+2\right)=\left(\left(a^{2}+2\right)+3 a\right)\left(\left(a^{2}+\right.\right.$ 2) $-3 a)=\left(a^{2}+2\right)^{2}-(3 a)^{2}=a^{4}+4 a^{2}+4-9 a^{2}=a^{4}-5 a^{2}+4$.
To s pomočjo Vietovega pravila razstavimo na $a^{4}-5 a^{2}+4=\left(a^{2}-1\right)\left(a^{2}-4\right)$.
Preoblikujmo še zadnji faktor $\left(a^{2}-4\right)^{-1}=\frac{1}{a^{2}-4}$. Vse to zmnožimo in dobimo $X=\frac{a}{a^{2}+1} \cdot\left(a^{2}-\right.$ 1) $\left(a^{2}-4\right) \cdot \frac{1}{a^{2}-4}=\frac{a}{a^{2}+1} \cdot\left(a^{2}-1\right)=\frac{a(a-1)(a+1)}{a^{2}+1}$. V poenostavljen izraz $X$ vstavimo $a=-\frac{1}{3}$ in dobimo $\frac{4}{15}$.
Zapisano ali uporabljeno $a^{-1}=\frac{1}{a}$ .1 točka
Poenostavljen prvi faktor, zapisan z ulomkom $\frac{a}{a^{2}+1}$ 1 točka
Zmnožen drugi in tretji faktor: $\left(a^{2}+3 a+2\right)\left(a^{2}-3 a+2\right)=a^{4}-5 a^{2}+4 \ldots \ldots \ldots \ldots 1^{*}+1$ točka Uporaba Vietovega pravila $a^{4}-5 a^{2}+4=\left(a^{2}-1\right)\left(a^{2}-4\right)$, lahko razstavljeno do $(a+1)(a+2)(a-1)(a-2)$ 1 točka
Preoblikovan zadnji faktor $\left(a^{2}-4\right)^{-1}=\frac{1}{a^{2}-4}$, lahko $v \frac{1}{(a+2)(a-2)} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ Množenje dobljenih faktorjev in krajšanje.....................................................................................................................
## 19. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
## Odbirno tekmovanje, 21. marec 2019
## Rešitve nalog in točkovnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.
Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.
Oznaka '*' pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.
## Tretji letnik
1.
a) S pomočjo Heronovega obrazca izračunamo ploščino trikotnika $s=\frac{a+b+c}{2}=20 \mathrm{~cm}, S_{t}=$ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=60 \mathrm{~cm}^{2}$. Izračunamo polmer trikotniku očrtanega kroga $R=$ $\frac{a b c}{4 S}=8,5 \mathrm{~cm}$. Ploščina očrtanega kroga $S_{k}=\pi r^{2}=226,98 \mathrm{~cm}^{2}$. Ploščino osenčenega kroga delimo s ploščino trikotnika in dobimo 3,78 . Ploščina kroga je 4 -krat večja od ploščine trikotnika.
b) S pomočjo formule za ploščino trikotnika izračunamo dolžino višine na želeno stranico $v_{a}=$ $\frac{2 S_{S}}{a}=\frac{120}{17} \mathrm{~cm}$.
c) Po dolžinah stranic ugotovimo, da je kot $\alpha$ največji kot v trikotniku. Uporabimo kosinusni izrek in izračunamo kot $\cos \alpha=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=0$ in $\alpha=90^{\circ}$.
Izračun polmera očrtanega kroga $R=\frac{a b c}{4 S_{t}}=8,5 \mathrm{~cm} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka
Zapis odgovora.......................................................................................................................................
Ugotovitev, da je $\alpha$ največji kot.......................................................................................................................
2.
a) Poiščemo absciso presečišča. Izenačimo funkciji $f(x)=g(x)$, ju vstavimo v enačbo in dobimo $\log _{3}(x+3)+1=\log _{3}(3 x)+1$. Enačbo uredimo in dobimo linearno enačbo $x+3=3 x$, katere rešitev je $x=\frac{3}{2}$.
b) Za funkcijo $f(x)=\log _{3}(x+3)+1$ izračunamo začetno vrednost $f(0)=\log _{3}(0+3)+1=$ 2. Izračunamo ničlo, tako da rešimo enačbo $0=\log _{3}(x+3)+1$, ki jo preoblikujemo $\mathrm{v}$ $\log _{3}(x+3)=-1$ in za tem s pomočjo definicije logaritma zapišemo enačbo $x+3=\frac{1}{3}$. Dobimo rešitev $x=-2 \frac{2}{3}$, ki je ničla funkcije $f$. Zapišemo enačbo asimptote $x=-3$.
Za funkcijo $g(x)=\log _{3}(3 x)+1$ ugotovimo, da začetna vrednost ne obstaja. Izračunamo ničlo, tako da rešimo enačbo $0=\log _{3}(3 x)+1$, jo preoblikujemo $\mathrm{v} \log _{3}(3 x)=-1$ in za tem uporabimo definicijo logaritma ter dobimo enačbo $3 x=\frac{1}{3}$. Dobimo rešitev $x=\frac{1}{9}$, ki je ničla funkcije $g$. Zapišemo enačbo asimptote $x=0$.
Narišemo oba grafa.
Izračun začetne vrednosti za funkcijo $f: f(0)=2$ ..... 1 točka
Izračun ničle funkcije $f: x=-2 \frac{2}{3}$.... ..... 1 točka
Narisan graf funkcije $f$ ..... 1 točka
Ugotovitev, da funkcija $g$ nima začetne vrednosti ... ..... 1 točka
Izračun dodatne točke za funkcijo $g: g(1)=2 \ldots$ ..... 1 točka
Izračun ničle funkcije $g: x=\frac{1}{9}$ ..... 1 točka
Narisan graf funkcije $g$ ..... 1 točka
Zapis ali upoštevanje $\log _{3}(x+3)+1=\log _{3}(3 x)+1$ ..... 1 točka
Zapis linearne enačbe $x+3=3 x$ ..... 1 točka
Izračun abscise presečišča $x=\frac{3}{2}$ ..... 1 točka
## 19. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
## Odbirno tekmovanje, 21. marec 2019
## Rešitve nalog in točkovnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.
Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.
Oznaka '*' pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.
## Četrti letnik
1.
a) Izračunamo diferenco aritmetičnega zaporedja $d=\frac{1}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)=2$. Izračunamo dvestoti člen zaporedja $a_{200}=a_{1}+(200-1) \cdot d=\frac{793}{2}$. Izračunamo vsoto prvih dvestotih členov $s_{200}=\frac{200}{2}\left(a_{1}+a_{2} 00\right)=\frac{200}{2}\left(-\frac{3}{2}+\frac{793}{2}\right)=39500$.
b) Med števili $\frac{1}{2}$ in $\frac{9}{2}$ vrinemo tri števila $a_{2}, a_{3}, a_{4}$. Dobimo zaporedje $\frac{1}{2}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \frac{9}{2}$. Število $\frac{9}{2}$ je peti člen geometrijskega zaporedja, zato velja enakost $a_{1} \cdot q^{4}=\frac{9}{2}$. Vstavimo $a_{1} \mathrm{v}$ enakost in dobimo $\frac{1}{2} \cdot q^{4}=\frac{9}{2}$. Ko odpravimo ulomke, dobimo enačbo $q^{4}=9$. Enačba ima dve rešitvi $q_{1}=\sqrt{3}, q_{2}=-\sqrt{3}$. Zapišemo obe rešitvi: $\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2} ; \quad-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2},-\frac{3 \sqrt{3}}{2}$.
```
Izračun \(d=\frac{1}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)=2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\)
```
```
Izračun \(s_{200}=\frac{200}{2}\left(a_{1}+a_{200}\right)=\frac{200}{2}\left(-\frac{3}{2}+\frac{793}{2}\right)=39500 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\)
```
```
```
```
```
```
Zapis rešitev \(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2} ; \quad-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2},-\frac{3 \sqrt{3}}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots\) točki
```
2. Uporabimo zvezo med kotnimi funkcijami $\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$ in dobimo $\sin ^{2} x=\frac{9}{25}$. Ker je $\frac{\pi}{2}<x<\pi$, je $\sin x=\frac{3}{5}$. Upoštevamo, da je $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, $\sin 2 x=2 \sin x \cos x$ in $\cos 2 x=$ $\cos ^{2} x-\sin ^{2} x$. Izračunana vrednost izraza $A=-\frac{4}{35}$.
Zapis ali upoštevanje $\cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=\frac{7}{25} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
|