File size: 33,196 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 | # Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
## NALOGE ZA PRVI LETNIK
Pred teboj sta dva sklopa nalog. Naloge od 1 do 6 prvega sklopa rešuješ tako, da na tem listu izmed predlaganih petih odgovorov izbereš pravilnega in ga vpišeš v preglednico pod ustrezno zaporedno številko. Le en odgovor je pravilen. Pravilni odgovor bo ovrednoten z dvema točkama, medtem ko ti bomo za vpisan nepravilni odgovor eno točko odšteli.
Naloge od 1 do 4 drugega sklopa rešuješ na priloženi papir. Rešitev vsake izmed teh nalog bo ocenjena z 0 do 6 točkami. Na liste, kjer boš reševal(a) naloge, se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno.
Čas za reševanje je 90 minut.
DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.
## I. DEL
A1. Vrednost produkta $\left(\frac{4}{7}\right)^{7} \cdot\left(\frac{7}{4}\right)^{5}$ je:
(A) $\frac{14}{8}$
(B) $\frac{16}{49}$
(C) $\frac{49}{16}$
(D) 1
(E) $\frac{8}{14}$
A2. Katero izmed navedenih števil je treba prišteti številu 888777666555 , da bo vsota deljiva s 6 ?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
A3. Vrednost izraza $5 \frac{7}{8}-3 \frac{2}{5}+3 \frac{11}{25}: 8 \frac{6}{10}-3 \frac{1}{2} \cdot\left(\frac{7}{2}\right)^{-1}$ je:
(A) $\frac{15}{8}$
(B) $2 \frac{1}{8}$
(C) $-1,2$
(D) $\frac{13}{4}$
(E) nič od navedenega
A4. V Singapuru je $\frac{3}{4}$ Kitajcev, $\frac{1}{6}$ Malajcev in $\frac{1}{20}$ Indijcev, prebivalcev ostalih ras pa je 85000 . Koliko milijonov prebivalcev ima Singapur?
(A) 1,6
(B) 2,55
(C) 4,2
(D) 6
(E) nič od navedenega
A5. Naj bo $3 a+6=b$ in $3 b=9 c$. Potem je $c-a$ :
(A) -2
(B) $\frac{1}{12}$
(C) 1
(D) 2
(E) 3
A6. Točka $A(1-\sqrt{2}, \pi-3)$ leži:
(A) v I. kvadrantu
(B) v II. kvadrantu
(C) v III. kvadrantu
(D) v IV. kvadrantu
(E) na abscisni osi
## II. DEL
B1. Za katere vrednosti realnega števila $a$ ima izraz $(a-0, \overline{3})(-3)+(-4 a)$ vrednost vsaj -6 ? Rešitev predstavite tudi grafično.
B2. Pri nakupu blaga za več kot 10000 SIT trgovina nudi $15 \%$ popusta. Koliko tolarjev prihrani gospa Mezgec, ki kupi tri majice po 2150 SIT, štiri pare nogavic po 680 SIT, pulover za 8980 SIT in ruto za 2450 SIT? Koliko znaša račun? Zapišite odgovora.
B3. Krona sirakuškega kralja Hieronima je bila narejena iz zlata in srebra. Njena teža je bila na zraku $10 \mathrm{kp}$, pod vodo pa $9 \frac{3}{8} \mathrm{kp}$. Zlato izgubi pod vodo $\frac{1}{19}$ svoje teže, srebro pa $\frac{1}{10}$ svoje teže. Koliko bi bilo težko zlato in koliko srebro v kroni, če bi tehtali na zraku? Zapišite odgovor.
B4. Dane so točke $A(4, y), B(-2,-3)$ in $C(-3,4)$. Določite neznano koordinato $y$ točke $A$ tako, da bo ploščina trikotnika $A B C$ enaka 25 .
## NALOGE ZA DRUGI LETNIK
Pred teboj sta dva sklopa nalog. Naloge od 1 do 6 prvega sklopa rešuješ tako, da na tem listu izmed predlaganih petih odgovorov izberes̆ pravilnega in ga vpišeš v preglednico pod ustrezno zaporedno številko. Le en odgovor je pravilen. Pravilni odgovor bo ovrednoten z dvema točkama, medtem ko ti bomo za vpisan nepravilni odgovor eno točko odšteli.
Naloge od 1 do 4 drugega sklopa rešuješ na priloženi papir. Rešitev vsake izmed teh nalog bo ocenjena z 0 do 6 točkami. Na liste, kjer bos̆ reševal(a) naloge, se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno.
Čas za reševanje je 90 minut.
DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.
## I. DEL
A1. Premica, dana z enačbo $4 x+7 y-3=0$,
(A) je naraščajoča
(B) je padajoča
(C) seka abscisno os pri $x=1$
(D) seka ordinatno os pri $y=-1$
(E) je vzporedna ordinatni osi
A2. Premica $a x+2 y-c=0$ je vzporedna osi $x$, če je vrednost parametra $a$ :
(A) -2
(B) 0
(C) 2
(D) negativna
(E) pozitivna
A3. Dolžine stranic trikotnika so $a=5, b=3$ in $c=4$. Kot $\alpha$ meri:
(A) $60^{\circ}$
(B) $89^{\circ}$
(C) $91^{\circ}$
(D) $180^{\circ}$
(E) nič od navedenega
A4. Iztegnjeni kot razpolovimo, polovico razdelimo na tretjine, tretjino na petine, petino na šestine. Šestina petine tretjine polovice iztegnjenega kota meri:
(A) $1^{\circ}$
(B) $2^{\circ}$
(C) $30^{\circ}$
(D) $1^{\prime}$
(E) $30^{\prime}$
A5. Rešitev enačbe $\sqrt[3]{x}+\sqrt{16}=\sqrt[3]{8}$ je:
(A) $x=-8$
(B) $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(C) $x=2$
(D) $x=8$
(E) nič od navedenega
A6. Če izraz $\frac{a^{-2} b^{-1}}{a^{-2} b^{-1}}: a^{-1} b$ poenostavimo, dobimo:
(A) 0
(B) $a b^{-1}$
(C) $a^{-1} b^{-1}$
(D) $a^{-1} b$
(E) $a b$
## II. DEL
B1. Natančno izračunajte razdaljo med točko $A(-1,-6)$ ter presečiščem premic $2 x+4 y-2=0$ in $x+3 y+1=0$. Rezultat delno korenite.
B2. Točke $A, B, C$ in $D$, ki razdelijo krožnico v razmerju $3: 5: 7: 3$, določajo tetivni štirikotnik. Narišite skico in izračunajte notranje kote nastalega štirikotnika.
B3. Rešite iracionalno enačbo:
$$
\sqrt{2+\sqrt{1+\sqrt{3 x+2}}}=2
$$
B4. Kvadratu, ki ima stranico dolgo $\sqrt{2} \mathrm{~cm}$, očrtamo krožnico. Nad vsako stranico kvadrata narišemo polkrožnico, ki leži izven kvadrata. Kolikšna je vsota ploščin likov, ki jih omejujejo narisane polkrožnice in očrtana krožnica?
## NALOGE ZA TRETJI LETNIK
Pred teboj sta dva sklopa nalog. Naloge od 1 do 6 prvega sklopa rešuješ tako, da na tem listu izmed predlaganih petih odgovorov izbereš pravilnega in ga vpišeš v preglednico pod ustrezno zaporedno številko. Le en odgovor je pravilen. Pravilni odgovor bo ovrednoten z dvema točkama, medtem ko ti bomo za vpisan nepravilni odgovor eno točko odšteli.
Naloge od 1 do 4 drugega sklopa rešuješ na priloženi papir. Rešitev vsake izmed teh nalog bo ocenjena z 0 do 6 točkami. Na liste, kjer boš reševal(a) naloge, se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno.
Čas za reševanje je 90 minut.
DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.
## I. DEL
A1. Dvomestno število ima $x$ desetic in $y$ enic. Števki zadoščata pogoju $3^{x}-3^{y}=6$. Katero število je to?
(A) 11
(B) 12
(C) 21
(D) 30
(E) Nobeno izmed navedenih.
A2. Enačba $\log \left(m^{2}-3 m\right)=1$ ima rešitvi:
(A) 0 in 3
(B) 5 in -2
(C) -5 in 2
(D) $\pm \frac{1}{2}$
(E) Enačba ni rešljiva.
A3. Dana je funkcija $f(x)=-x^{2}+7 x-12$. Katera izmed naslednjih trditev je pravilna?
(A) Funkcija $f(x)$ ima samo eno realno ničlo.
(B) Graf funkcije $f(x)$ je parabola, njena os simetrije je vzporedna z ordinatno osjo.
(C) Produkt obeh ničel funkcije $f(x)$ je 7 .
(D) Vsota obeh ničel funkcije $f(x)$ je 12 .
(E) Graf funkcije $f(x)$ ima vodoravno asimptoto.
A4. Na kateri sliki je graf kvadratne funkcije, katere vodilni koeficient je pozitiven, prosti člen pa negativen?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Na nobeni izmed narisanih.
A5. Dolžino kvadra povečamo za $25 \%$, širino za tretjino, višino pa zmanjšamo za $10 \%$. Za koliko odstotkov se poveča prostornina tega kvadra?
(A) 10
(B) 25
(C) 48
(D) 50
(E) 150
A6. Najmanj kolikšen mora biti premer debla, ki ima obliko valja, da iz njega lahko izdelamo tram, katerega presek je kvadrat s ploščino $162 \mathrm{~cm}^{2}$ ?
(A) $9 \mathrm{~cm}$
(B) $8 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$
(C) $1,8 \mathrm{dm}$
(D) $9 \mathrm{dm}$
(E) $4,5 \mathrm{~m}$
## II. DEL
B1. Na delovni akciji je bilo potrebno prepeljati 350 vozičkov materiala. Če bi vsak delavec prepeljal tri vozičke več, bi bilo potrebnih 15 delavcev manj. Koliko je bilo delavcev in koliko vozičkov je vsak prepeljal? Zapišite odgovor.
B2. Grafično rešite enačbo $2^{x+1}=-x^{2}+2$.
B3. Hlebec sira v obliki valja z višino $10 \mathrm{~cm}$ in premerom $30 \mathrm{~cm}$, razrežemo na 8 enakih kosov tako, kot režemo torto. Vsak kos posebej zavijemo v folijo. Za vsak kos porabimo $20 \%$ več folije, kot je površina kosa sira. Koliko $\mathrm{dm}^{2}$ folije bomo porabili za zavijanje sira? Rezultat zaokrožite na stotinko natančno. Zapišite odgovor.
B4. Rešite enačbo: $\log \left(4+2^{x+2}\right)=\log 4+\log \left(5 \cdot 2^{4-x}-1\right)$.
## NALOGE ZA ČETRTI LETNIK
Pred teboj sta dva sklopa nalog. Naloge od 1 do 6 prvega sklopa rešuješ tako, da na tem listu izmed predlaganih petih odgovorov izbereš pravilnega in ga vpišeš v preglednico pod ustrezno zaporedno številko. Le en odgovor je pravilen. Pravilni odgovor bo ovrednoten z dvema toc̆kama, medtem ko ti bomo za vpisan nepravilni odgovor eno točko odšteli.
Naloge od 1 do 4 drugega sklopa rešuješ na priloženi papir. Rešitev vsake izmed teh nalog bo ocenjena z 0 do 6 točkami. Na liste, kjer bos̆ reševal(a) naloge, se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno.
Čas za reševanje je 90 minut.
DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.
## I. DEL
A1. Dana je funkcija $f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x}$. Vrednost produkta $f\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ je enaka:
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) $\frac{\pi}{3}$
(E) 2
A2. Naj bosta $\alpha$ in $\beta$ ostra kota v pravokotnem trikotniku, ki ni enakokrak. Potem je $\sin (\alpha+\beta)$ enako:
(A) $-\cos 2 \alpha$
(B) $2 \cos ^{2} \alpha$
(C) $2 \sin ^{2} \beta$
(D) $\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta$
(E) 1
A3. Količnik geometrijskega zaporedja $\sqrt{2}+1, \frac{3}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}, 3 \sqrt{2}+3$ je:
(A) $-\sqrt{3}$
(B) 1
(C) $\frac{\sqrt{3}}{3}$
(D) $\sqrt{3}$
(E) 3
A4. Katera izmed trditev ne velja za zaporedje $1,-\frac{1}{4}, \frac{1}{16},-\frac{1}{64}, \ldots,\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}$ ?
(A) Zaporedje je omejeno.
(B) Zaporedje je padajoče.
(C) Zaporedje je geometrijsko.
(D) Zaporedje je navzdol omejeno.
(E) Vse navedene trditve veljajo.
A5. Katera izmed trditev ne velja za funkcijo $f(x)=x-4 x^{-1}$ ?
(A) Funkcija $f(x)$ je liha.
(B) Funkcija $f(x)$ je soda.
(C) Funkcija $f(x)$ je navzgor omejena.
(D) Funkcija $f(x)$ ima ničlo $x=4$.
(E) Vse navedene trditve veljajo.
A6. Na sliki je graf polinoma $p(x)$. Rešitev neenačbe $p(x) \leq 0$ je:
(A) $x \in(-1,0)$
(B) $x \in[-\infty,-1] \cup[0,1] \cup[0, \infty]$
(C) $x \in(-1,0) \cup\{1\}$
(D) $x \in[-1,0]$
(E) nič od navedenega
## II. DEL
B1. Izračunajte $531+535+539+543+\cdots+983+987$.
B2. Določite koeficient $a$ tako, da bosta premici, dani z enačbama $2 x+a y+3=0$ in $3 x-2 y-2=0$, oklepali kot $45^{\circ}$.
B3. Naj bo $p(x)=3 x^{3}-2 x^{2}-3$ in $q(x)=x+1$.
a) Izračunajte $3 p(-2)+2 q(3)$.
b) Zapišite vodilni člen polinoma $2(p(x))^{2}$.
c) Izračunajte $p(x) \cdot(q(x))^{2}$.
d) Delite $p(x)$ s $q(x)$.
B4. Narišite graf funkcije $f(x)=\frac{1+x}{1-x}$ in pokažite, da velja $f(-x)=\frac{1}{f(x)}$ za $x \neq \pm 1$.
## Rešitve nalog in točkovnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovico možnih točk.
## Prvi letnik
I. DEL
| Naloga | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
| :--- | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: |
| Odgovor | B | C | A | B | D | B |
A1. B
A2. Dano s̆tevilo je deljivo s 3. Da bo vsota deljiva s 6 , mora biti deljiva z 2 in s 3, zato moramo prišteti 3 .
A3. A
A4. Nastavimo enačbo $\frac{3}{4} x+\frac{1}{6} x+\frac{1}{20} x+85000=x$. Rešitev enačbe je 2550000 ali 2,55 milijona.
A5. Enakost $b=3 a+6$ uporabimo v drugi enakosti. Tako dobimo $3 a+6=3 c$, iz te zveze pa izrazimo $c-a=2$.
A6. B
II. DEL
B1. Po besedilu naloge zapišemo neenakost: $(a-0, \overline{3})(-3)+(-4 a) \geq-6$. Periodično decimalno število $0, \overline{3}$ zamenjamo $\mathrm{z}$ ulomkom $\frac{1}{3}$. Nato odpravimo oklepaje: $-3 a+1-4 a \geq-6$ in neenačbo uredimo $-7 a \geq-7$. Delimo $\mathrm{z}-7$ in dobimo rešitev $a \leq 1$.
Zapis neenačbe: $(a-0, \overline{3})(-3)+(-4 a) \geq-6 \ldots$ 1 točka
Zapis periodičnega števila z ulomkom $0, \overline{3}=\frac{1}{3}$ 1 točka Poenostavitev enačbe do oblike $-7 a \geq-7$ 1 točka
Rešitev $a \leq 1$
Grafična predstavitev 2 točki
B2. Artikli, ki jih je kupila gospa Mezgec, stanejo skupaj 20600 SIT. Ker je to več kot 10000 SIT, izračunamo 15 \% popusta, kar je 3090 SIT. Gospa Mezgec je torej prihranila 3090 SIT, saj je plačala le 17510 SIT.
Nastavitev računa in izračun: $3 \cdot 2150+4 \cdot 680+8980+2450=20600 \ldots \ldots . .1+1$ točka
Zapis: $0,15 \cdot 20600=3090$ SIT..........................................................................................................
Izračun $0,85 \cdot 20600=17510$ SIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1+1$ točka
Odgovor .............................................................................................................
B3. Denimo, da je bilo na zraku zlato težko $x \mathrm{kp}$, srebro pa $y \mathrm{kp}$. Tedaj velja: $x+y=10$ in $x-\frac{1}{19} x+y-\frac{1}{10} y=9 \frac{3}{8}$. Rešitvi sistema sta $x=7 \frac{11}{12} \mathrm{kp}$ in $y=2 \frac{1}{12} \mathrm{kp}$. Če bi tehtali na zraku, bi bilo zlato težko $7 \frac{11}{12} \mathrm{kp}$, srebro pa $2 \frac{1}{12} \mathrm{kp}$.
Vpeljava neznank: $x$ - teža zlata, $y$ - teža srebra ....................................................................................................
Pravilno reševanje sistema . . ......................................................................................................................
Rešitvi $x=7 \frac{11}{12} \mathrm{kp}, y=2 \frac{1}{12} \mathrm{kp} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Odgovor ...........................................................................................................
B4. Ploščina trikotnika je $\pm \frac{1}{2}\left(\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{3}-y_{1}\right)-\left(x_{3}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)\right)$, kjer predznak izberemo glede na orientacijo trikotnika. V našem primeru je $\pm \frac{1}{2}((-6)(4-y)-(-7)(-3-y))=25$, od koder dobimo rešitvi $y_{1}=5$ in $y_{2}=-95$.
Pravilno vstavljeni podatki v obrazec ..................................................................................... Pravilno zapisana in reševana enačba npr: $-24+6 y-21-7 y= \pm 50 \ldots \ldots \ldots . \ldots . .2$ točki
OPOMBA: Če je upoštevana samo ena orientacija (pozitivna ali negativna), se prizna 4 točke.
## Drugi letnik
I. DEL
| Naloga | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
| :--- | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | :---: |
| Odgovor | B | B | E | A | A | E |
A1. Iz eksplicitne oblike enačbe premice $y=-\frac{4}{7} x+\frac{3}{7}$ razberemo smerni koeficient $k=-\frac{4}{7}$. Funkcija je padajoča, ker je smerni koeficient negativen.
A2. Premica je vzporedna osi $x$, če je smerni koeficient enak nič. Tako mora biti $a=0$.
A3. Uporabimo kosinusni izrek za izračun kota $\alpha: \cos \alpha=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{9+16-25}{24}=0$. Torej je kot $\alpha$ pravi. Pravilen odgovor je E.
A4. Polovica iztegnjenega kota je $90^{\circ}$, tretjina tega je $30^{\circ}$, petina dobljenega je $6^{\circ}$ in šestina slednjega je $1^{\circ}$.
A5. Enačbo poenostavimo: $\sqrt[3]{x}+4=2$, pa še uredimo $\sqrt[3]{x}=-2$. Nazadnje še kubiramo in dobimo rešitev $x=-8$.
A6. Ulomek v izrazu okrajšamo in dobimo: $1: \frac{1}{a} \cdot b$, kar je enako $a b$.
## II. DEL
B1. Najprej poiščemo presečišče premic tako, da rešimo sistem dveh enačb z dvema neznankama: $2 x+4 y-2=0$ in $x+3 y+1=0$. Le-ta ima rešitev $x=5, y=-2$, torej je presečišče $P(5,-2)$. Z uporabo obrazca za razdaljo med točkama izračunamo $d(P, A)=2 \sqrt{13}$.
Pravilno reševanje sistema .......................................................................................
Zapis ali uporaba obrazca za razdaljo: $d(A, P)=\sqrt{(-1-5)^{2}+(-6+2)^{2}} \ldots \ldots .1$ točka
B2. Oglišča tetivnega štirikotnika $A B C D$ razdelijo krožnico v razmerju 3 : 5 : $7: 3$. Daljice, ki povezujejo središče krožnice $\mathrm{s}$ temi točkami, razdelijo polni kot v enakem razmerju. Tako je $\angle A S B=60^{\circ}, \angle B S C=100^{\circ}, \angle C S D=$ $140^{\circ}$ in $\angle D S A=60^{\circ}$. Sedaj lahko hitro poiščemo velikosti notranjih kotov štirikotnika, saj sta trikotnika $A B S$ in $D A S$ enakostranična, trikotnika $B C S$ in $C D S$ pa enakokraka s kotoma $40^{\circ}$ oziroma $20^{\circ}$ ob osnovnici. Notranji koti so torej $120^{\circ}, 100^{\circ}, 60^{\circ}$ in $80^{\circ}$.
Rešujemo lahko drugače: iz danega razmerja sklepamo, da so posamezni krožni loki dolgi $3 t, 5 t, 7 t$ in $3 t$. Obodni koti pri $A, B, C$ in $D$ pripadajo lokom $5 t+7 t=12 t, 7 t+3 t=10 t$, $3 t+3 t=6 t$ oziroma $3 t+5 t=8 t$, zato so njihove velikosti v razmerju 12:10:6:8 oziroma $6: 5: 3: 4$. Ker je vsota notranjih kotov s̆tirikotnika enaka $360^{\circ}$, je $6 v+5 v+3 v+4 v=360^{\circ}$, od tod pa dobimo $v=20^{\circ}$ in končno še notranje kote: $120^{\circ}, 100^{\circ}, 60^{\circ}$ in $80^{\circ}$.
Ustrezna skica ...................................................................................................................................
Sklep: $6 x+5 x+3 x+4 x=360^{\circ} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
B3. Zaporedoma kvadriramo in urejujemo: $2+\sqrt{1+\sqrt{3 x+2}}=4, \sqrt{1+\sqrt{3 x+2}}=2,1+$ $\sqrt{3 x+2}=4, \sqrt{3 x+2}=3,3 x+2=9$. Rešitev je $x=\frac{7}{3}$. Končno preverimo, da ta $x$ res zadošča enačbi.
Pravilno kvadriranje dane enačbe do oblike: $2+\sqrt{1+\sqrt{3 x+2}}=4 \ldots \ldots \ldots \ldots .1$ točka Ureditev enačbe $\sqrt{1+\sqrt{3 x+2}}=2$...................................................................................
Pravilno kvadriranje zgornje enačbe do oblike $1+\sqrt{3 x+2}=4 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka
Opravljen preizkus.................................................................................................
B4. Polmer kvadratu očrtane krožnice je enak polovici dolžine diagonale: $R=\frac{d}{2}=\frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}=1$. Polmer polkrožnice nad stranico kvadrata je $r=\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vsoto ploščin likov, ki jih omejujejo narisane polkrožnice in očrtana krožnica, dobimo tako, da od vsote ploščin kvadrata in polkrogov nad njegovimi stranicami odštejemo ploščino kvadratu očrtanega kroga. Imamo torej $S=a^{2}+4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \pi r^{2}-\pi R^{2}=\sqrt{2}^{2}+2 \cdot \pi \cdot \frac{1}{2}-\pi=2 \mathrm{~cm}^{2}$.
Zapis polmera kvadratu očrtanega kroga $R=\frac{d}{2}=\frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}=1 \mathrm{~cm} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1$ točka Zapis ploščine tega kroga: $S_{1}=\pi \mathrm{cm}^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka
Zapis polmera polkroga nad stranico kvadrata: $r=\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{~cm} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1$ točka
## Tretji letnik
I. DEL
| Naloga | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
| :--- | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: |
| Odgovor | C | B | B | A | D | C |
A1. C
A2. V enačbi nastopa logaritem z osnovo 10 , zato lahko zapišemo $10=m^{2}-3 m$. Enačbo uredimo: $m^{2}-3 m-10=0$, razstavimo in dobimo rešitvi $m_{1}=5, m_{2}=-2$.
A3. B
A4. A
A5. Nova dolžina je $1,25 d$, nova širina je $1 \frac{1}{3} \check{s}$ in nova višina je $0,9 v$. Nova prostornina je tako enaka $V_{1}=1,25 d \cdot 1 \frac{1}{3} \check{s} \cdot 0,9 v=1,50 \cdot d \cdot \check{s} \cdot v$, kar pomeni, da se prostornina poveča za $50 \%$.
A6. Iz ploščine kvadrata izračunamo dolžino stranice $a=9 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$. Premer debla mora biti vsaj enak dolžini diagonale kvadratnega preseka trama. Tako je $r=d=1,8 \mathrm{dm}$.
## II. DEL
B1. Denimo, da je $x$ število delavcev in $y$ število vozičkov. Po besedilu naloge zapišemo enačbi: $x \cdot y=350$ in $(y+3) \cdot(x-15)=350$. Rešimo sistem dveh enačb z dvema neznankama: iz prve lahko izrazimo $x=\frac{350}{y}$ in vstavimo v drugo enačbo. Dobimo $\left(\frac{350}{y}-15\right) \cdot(y+3)=350$, kar poenostavimo v $y^{2}+3 y-70=0$. Kvadratno enačbo razstavimo $(y-7)(y+10)=0$, od koder preberemo rešitvi $y=7$ in $y=-10$, pri čemer druga rešitev ni smiselna. Ko izračunamo še $x=50$, odgovorimo: sodelovalo je 50 delavcev in vsak je prepeljal 7 vozičkov.
Rešitvi $y=7, y=-10$ (druga ni smiselna) ..........................................................................
Odgovor: Sodelovalo je 50 delavcev in vsak je prepeljal 7 vozičkov.................... 1 točka
B2. Graf eksponentne funkcije poteka skozi točki $(0,2)$ in $(-1,1)$. Graf kvadratne funkcije ima teme $\mathrm{v}$ točki $(0,2)$ in ničli $x_{1}=-\sqrt{2}, x_{2}=\sqrt{2}$, gre pa tudi skozi točko $(-1,1)$. Iz narisanih grafov odčitamo rešitvi $x_{1}=0$ in $x_{2}=-1$.
Narisan graf eksponentne funkcije ............................................
Narisan graf kvadratne funkcije .................... 2 točki
Odčitani rešitvi: $x_{1}=0$ in $x_{2}=-1 \ldots \ldots \ldots .1+1$ točka
B3. Površina enega kosa sira je enaka $P_{1}=\frac{1}{8} \cdot 2 \pi r^{2}+\frac{1}{8} \cdot 2 \pi r+2 \cdot r \cdot v=594,375 \mathrm{~cm}^{2}$. Osem kosov sira ima osemkrat večjo površino $\stackrel{8}{P}=\left(\frac{1}{8} \cdot 2 \pi r^{2}+\frac{1}{8} \cdot 2 \pi r+2 \cdot r \cdot v\right) \cdot 8=47,55 \mathrm{dm}^{2}$. Upoštevamo še dodatnih $20 \%$, ki jih porabimo za folijo: $8 \cdot 1,2 \cdot P_{1}=57,06 \mathrm{dm}^{2} . \mathrm{Za}$ zavijanje sira bomo porabili $57,06 \mathrm{dm}^{2}$ folije.
Površina enega kosa sira je: $P=\frac{1}{8} \cdot 2 \pi r^{2}+\frac{1}{8} \cdot 2 \pi r+2 \cdot r \cdot v \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1+1+1$ točka
Odgovor: Za 8 kosov potrebujemo $57,06 \mathrm{dm}^{2}$ folije. .................................................. ALI
$P=594,38 \mathrm{~cm}^{2}$ 1 točka
Upoštevanje $20 \%$ 1 točka
Odgovor: Za 8 kosov potrebujemo $57,06 \mathrm{dm}^{2}$ folije.
1 točka
B4. Z antilogaritmiranjem dobimo $4+2^{x+2}=4 \cdot\left(5 \cdot 2^{4-x}-1\right)$. Ko odpravimo oklepaje, dobimo $4+2^{x+2}=20 \cdot 2^{4-x}-4$ oziroma $4+2^{x} \cdot 2^{2}=\frac{20 \cdot 2^{4}}{2^{x}}-4$, kar preoblikujemo v $2^{x}+\left(2^{x}\right)^{2}=5 \cdot 2^{4}-2^{x}$. Uvedemo novo neznanko $2^{x}=t$. Dobimo enačbo $t^{2}+2 t-80=0, \mathrm{ki}$ jo razstavimo na $(t+10)(t-8)=0$. Rešitev $t=-10$ ni ustrezna, saj potenca s pozitivno osnovo ne more imeti negativne vrednosti. Rešitev $t=8$ vstavimo $\mathrm{v} 2^{x}=t$ in dobimo $x=3$. Rezultat preverimo.
Rešitvi: $t_{1}=8$ in $t_{2}=-10$ (druga ni ustrezna).....................................................................................
Opravljen preizkus.................................................................................................
## Četrti letnik
## I. DEL
| Naloga | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
| :--- | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: |
| Odgovor | C | E | D | B | A | E |
A1. Izračunamo vrednost produkta $f\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\frac{\sin \frac{\pi}{3}}{1+\cos \frac{\pi}{3}} \cdot \frac{\sin \frac{2 \pi}{3}}{1+\cos \frac{2 \pi}{3}}=\frac{\left(\sin \frac{\pi}{3}\right)^{2}}{1-\cos ^{2} \frac{\pi}{3}}=$ $\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=1$
A2. Upoštevamo $\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$, pa je $\sin (\alpha+\beta)=1$.
A3. Izračunajmo količnik $q=\frac{3}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{6}-\sqrt{3})}=$
$$
\frac{3}{(2 \sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{6}-\sqrt{6})}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}
$$
A4. B
A5. A
A6. E
## II. DEL
B1. Izračunati je treba vsoto členov aritmetičnega zaporedja z diferenco 4. Prvi člen je 531, zadnji ( $n$-ti) pa 987. Iz enačbe za splošni člen aritmetičnega zaporedja izračunamo $n=115$. Uporabimo obrazec za vsoto $n$ členov aritmetičnega zaporedja in dobimo vsoto 87285 .
Sklep: $d=4$ .1 točka
Sklep: $a_{1}=531, a_{n}=987$ .1 točka
Rezultat $n=115$ 1 točka
Uporaba obrazca za vsoto $n$ členov aritmetičnega zaporedja ... .1 točka
Rezultat: $S_{115}=87285$
1 točka
B2. Enačbi premic zapišemo v eksplicitni obliki: $y=-\frac{2 x}{a}-\frac{3}{a}$ in $y=\frac{3 x}{2}-1$. Smerna koeficienta sta $k_{1}=\frac{-2}{a}$ in $k_{2}=\frac{3}{2}$. Uporabimo zvezo $\tan \alpha=\left|\frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1} \cdot k_{2}}\right|$ in dobimo enačbo $\left|\frac{3 a+4}{2 a-6}\right|=1$. Iz $\frac{3 a+4}{2 a-6}=1$ in $\frac{3 a+4}{2 a-6}=-1$ dobimo $a_{1}=-10$ oziroma $a_{2}=\frac{2}{5}$.
Zapis koeficientov $k_{1}=\frac{-2}{a}, k_{2}=\frac{3}{2}$
$1+1$ točka
Zapis ali uporaba $\left|\frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1} \cdot k_{2}}\right|=\tan \alpha$ 1 točka
Odprava absolutne vrednosti in zapis enačb: $\frac{3 a+4}{2 a-6}=1, \frac{3 a+4}{2 a-6}=-1$ .1 točka
Rezultat: $a_{1}=-10, a_{2}=\frac{2}{5}$
$1+1$ točka
B3. Vrednost izraza $3 p(-2)+2 q(3)$ izračunamo tako, da vstavimo izbrane vrednosti v $p(x)$ in $q(x)$. Dobimo -97. Vodilni člen polinoma $2(p(x))^{2}$ je $18 x^{6}$. Produkt $p(x) \cdot q(x)$ je enak $3 x^{5}+4 x^{4}-x^{3}-5 x^{2}-6 x-3$. Po osnovnem izreku o deljenju zapišemo $p(x)=$ $\left(3 x^{2}-5 x+5\right)(x+1)-8$.
Izračunana vrednost: $3 p(-2)+2 q(3)=-97 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka
Pravilno izračunan produkt $3 x^{5}+4 x^{4}-x^{3}-5 x^{2}-6 x-3 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točki
Pravilno opravljeno deljenje in rezultat $p(x)=\left(3 x^{2}-5 x+5\right)(x+1)-8 \ldots \ldots \ldots .2$ točki
B4. Ničla racionalne funkcije je $x=-1$, pol $x=1$, asimptota $y=-1$ in presečišče z ordinatno osjo $(0,1)$. S pomočjo teh ugotovitev lahko narišemo graf.
Hitro se prepričamo, da velja $f(-x)=\frac{1}{f(x)}$ za $x \neq \pm 1$, saj je $f(-x)=\frac{1+(-x)}{1-(-x)}=\frac{1-x}{1+x}$ in $\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{\frac{1+x}{1-x}}=\frac{1-x}{1+x}$.
Izračunana ničla $x=-1$ in pol $x=1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1$ točka Zapisana asimptota $y=-1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .1$ točka
Pravilno narisan graf (vsaka veja 1 točka) ...... $1+1$ točka
Preverjanje: $f(-x)=\frac{1-x}{1+x}$ in $\frac{1}{f(x)}=\frac{1-x}{1+x} \ldots 1+1$ točka
|