File size: 11,461 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 | # Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
## dMFA
9. tekmovanje v znanju matematike za dijake poklicnih šol
Državno tekmovanje, 18. april 2009
Prilepi nalepko s šifro
Čas reševanja: 90 minut. V sklopu A bo pravilen odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilen odgovor eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo.
A1. Vrednost izraza $4 \cdot 2^{2009}$ je
(A) $8^{2009}$
(B) $8^{2011}$
(C) $2^{2011}$
(D) $2^{2013}$
(E) $2^{4018}$
A2. Imena moje babice, mame, dveh sester in moje ime, ne nujno v tem vrstnem redu, so: Jerneja, Ana, Julija, Katarina in Nuša. Jerneja in Nuša sta mlajši od mene, Ana je mlajša od Katarine, Katarina pa je mlajša od Julije. Kako je ime moji mami?
(A) Jerneja
(B) Ana
(C) Julija
(D) Katarina
(E) Nuša
A3. Dvanajst ljudi, med njimi vsaj en otrok, je v pekarni kupilo dvanajst hlebcev kruha. Vsak moški je kupil po dva hlebca, vsaka ženska po polovico hlebca in vsak otrok po četrtino hlebca. Koliko moških, žensk in otrok je kupilo kruh?
(A) 4 moški, 6 žensk, 4 otroci
(B) 4 moški, 5 žensk, 2 otroka
(C) 5 moških, 6 žensk, 1 otrok
(D) 5 moških, 1 ženska, 6 otrok
(E) Nemogoče je določiti.
A4. Delnici se je vrednost v enem letu prepolovila. Za koliko odstotkov bi se morala sedaj vrednost povečati, da bi bila njena cena spet enaka kot pred letom dni?
(A) 25
(B) 50
(C) 75
(D) 100
(E) 200
A5. Podjetnik je sprejel naročilo, ki bi ga 8 delavcev končalo v 23 dneh. Prve tri dni je bilo na delovišču 8 delavcev. Po treh dneh sta se jim pridružila še dva delavca. V koliko dneh bo celotno delo opravljeno?
(A) 10
(B) 19
(C) 20
(D) 25
(E) nič od tega
A6. Kolikšno je razmerje površin teles $A$ in $B$ ?
(A) $3: 4$
(B) $5: 6$
(C) $7: 8$
(D) $11: 12$
(E) Površini sta enaki.
B1. Za vsako od naslednjih trditev najprej zapiši izraz, nato pa njegovo vrednost izračunaj za $a=-\frac{1}{2}$ in $b=-4$.
A Vsoto števila $a$ in kvadrata števila $b$ deli $\mathrm{z}-6$.
B Kvadriraj razliko 12-kratnika števila $a$ in polovice števila $b$.
C Od produkta vsote in razlike števil $a$ in $b$ odštej količnik števil $b$ in $a$.
B2. V prvem polletju je bilo v razredu $B$ dvakrat toliko fantov kot deklet, v razredu $A$ pa je bilo število fantov enako številu deklet. V drugem polletju sta dva fanta prešla iz razreda $B \mathrm{v}$ razred $A, 6$ deklet pa je prešlo iz razreda $A$ v razred $B$. V razredu $A$ je bilo tedaj dvakrat toliko fantov kot deklet, v razredu $B$ pa je bil en fant več, kot je bilo deklet. Koliko deklet je bilo v prvem polletju v razredu $A$ in koliko v razredu $B$ ?
B3. V tabeli so zbrani podatki o telesni dolžini novorojenčkov.
| Telesna dolžina $\mathbf{v}$ cm | Število novorojenčkov |
| :---: | :---: |
| nad 40 do 44 | 1 |
| nad 44 do 48 | 8 |
| nad 48 do 52 | 13 |
| nad 52 do 56 | 5 |
A Za koliko novorojenčkov so podatki zajeti v tabeli?
B Oceni povprečno dolžino novorojenčkov. Rezultat zakroži na centimeter natančno.
C Nariši prikaz s stolpci (histogram) za podatke, ki so zbrani v tabeli.
D Koliko odstotkov novorojenčkov, katerih podatki so zajeti v tabeli, je dolgih več kot $48 \mathrm{~cm}$ ?
B4. Cene, Ana in Tine si ogledujejo znamenitosti Ljubljane. Njihovo pozornost je pritegnil Kongresni trg, ki ima del poti speljanih tako, kot prikazuje slika. Tine je od središča trga ( $S$ ) oddaljen $60 \mathrm{~m}$, od pavilijona $(P)$ pa $45 \mathrm{~m}$. Ana in Cene stojita na razdalji $30 \mathrm{~m}$.
A Kolikšna je razdalja med Ano in Tinetom?
B Koliko metrov je Cene oddaljen od pavilijona?
## 9. tekmovanje v znanju matematike <br> za dijake poklicnih šol <br> Državno tekmovanje, 18. april 2009
## Rešitve nalog in točkovnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
$V$ tabeli so zapisani pravilni odgovori izbirnih nalog. Vsak pravilen odgovor točkujemo z 2 točkama, nepravilen $z-0.5$ točke, če naloga ni rešena, 0 točk.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\mathrm{C}$ | $\mathrm{D}$ | $\mathrm{D}$ | $\mathrm{D}$ | $\mathrm{B}$ | $\mathrm{C}$ |
A1. Vrednost izraza $4 \cdot 2^{2009}$ je $2^{2} \cdot 2^{2009}=2^{2011}$.
A2. Ker sta Jerneja in Nuša mlajši od mene, sta moji sestri. Ker je Julija starejša od Katarine, ki pa je starejša od Ane, je Julija babica, Katarina pa moja mama.
A3. Označimo z $a$ število moških, $\mathrm{z} b$ število žensk in $\mathrm{s} c$ število otrok. Velja, da je $a+b+c=12$ in $a \cdot 2+b \cdot \frac{1}{2}+c \cdot \frac{1}{4}=12$. Iz obeh enačb sledi $6 b+7 c=48$. Ker je $7 c=6(8-b)$, mora biti število $c$ deljivo s 6 , torej je lahko le $c=6$. Tedaj je $b=1$ in $a=5$.
A4. Če označimo z $a$ vrednost delnice pred pocenitvijo, potem je $\frac{a}{2}$ vrednost delnice po pocenitvi. Ob upoštevanju pogoja dobimo enačbo $\frac{a}{2}+\frac{a}{2} \cdot \frac{x}{100}=a$, kjer $x$ predstavlja iskane odstotke. Rešitev enačbe je $x=100$.
A5. Če 8 delavcev konča delo $\mathrm{v} 23$ dneh, opravi 1 delavec $\mathrm{v}$ enem dnevu $\frac{1}{8}$ od $\frac{1}{23}=\frac{1}{8 \cdot 23}$ dela. $\mathrm{V}$ treh dneh opravi 8 delavcev $8 \cdot 3 \cdot \frac{1}{8 \cdot 23}=\frac{3}{23}$ dela. Ostane $\frac{20}{23}$ neopravljenega dela, ki ga mora 10 delavcev opraviti $\mathrm{v} x$ dneh: $x \cdot 10 \cdot \frac{1}{8 \cdot 23}=\frac{20}{23}$. Rešitev enačbe je $x=16$. Delavci opravijo naročilo $\mathrm{v} 3+16=19$ dneh.
A6. Površina telesa $B$ je enaka $2 a^{2}+4 \cdot a \cdot \frac{a}{2}=4 a^{2}$, površina telesa $A$ pa je za $2 \cdot \frac{a^{2}}{4}=\frac{1}{2} a^{2}$ manjša in meri $4 a^{2}-\frac{1}{2} a^{2}=\frac{7}{2} a^{2}$. Razmerje površin je $\frac{7}{2} a^{2}: 4 a^{2}$ oziroma $7: 8$.
B1. A Izraz je $\left(a+b^{2}\right):(-6)=\left(\left(-\frac{1}{2}\right)+(-4)^{2}\right):(-6)=-\frac{31}{12}$.
Zapis izraza s simboli . ...................................................................................................................................
Vrednost izraza je $-\frac{31}{12}$. ...............................................................................
B Izraz je $\left(12 \cdot a-\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(12 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{4}{2}\right)\right)^{2}=(-4)^{2}=16$.
Zapis izraza s simboli ...........................................................................................
Vrednost izraza je 16 ................................................................ 1 točka
C Izraz je
$$
\begin{aligned}
(a+b)(a-b)-\frac{b}{a} & =\left(-\frac{1}{2}+(-4)\right) \cdot\left(-\frac{1}{2}-(-4)\right)-\frac{-4}{-\frac{1}{2}}= \\
& =-\frac{9}{2} \cdot \frac{7}{2}-8=-\frac{63}{4}-\frac{32}{4}=-\frac{95}{4}
\end{aligned}
$$
Zapis produkta vsote in razlike s simboli 1 točka
Zapis količnika s simboli 1 točka
Pravilna rešitev: $-\frac{95}{4}$ 1 točka
B2. Označimo $\mathrm{z} x$ število fantov oziroma deklet $\mathrm{v}$ razredu $A$, $\mathrm{z} y$ pa število deklet $\mathrm{v}$ razredu $B \mathrm{v}$ 1. polletju. Zapišimo število fantov in deklet v prvem in drugem polletju v tabelo.
| | razred $A$ | | razred $B$ | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1. polletje | fantje | dekleta | fantje | dekleta |
| | $x$ | $x$ | $2 y$ | $y$ |
| 2. polletje | fantje | dekleta | fantje | dekleta |
| | $x+2$ | $x-6$ | $2 y-2$ | $y+6$ |
Ker je bilo v drugem polletju v razredu $A$ dvakrat toliko fantov kot deklet, velja zveza $x+2=$ $2(x-6)$. Torej je $x=14$. V razredu $B$ je bil v drugem polletju 1 fant več kot je bilo deklet, zato je $2 y-2=(y+6)+1$. Torej je $y=9$. V prvem polletju je bilo v razredu $A 14$ deklet, v razredu $B$ pa 9 .
Zapis tabele za razred $A$ in $B \mathrm{v}$ 1. polletju ...........................................................................................................
Odgovor: V prvem polletju je bilo v razredu $A 14$ deklet, v razredu $B$ pa 9. ....... 1 točka
B3. A V tabeli je zajetih $1+8+13+5=27$ novorojenčkov.
B Sredine frekvenčnih razredov so $42,46,50$ in 54 , zato lahko ocenimo povprečno dolžino novorojenčkov: $\frac{42+8 \cdot 46+13 \cdot 50+5 \cdot 54}{27}=\frac{1330}{27} \doteq 49$.
D Dolžino $48 \mathrm{~cm}$ preseže $13+5=18$ novorojenčkov, kar je $\frac{18}{27}=\frac{2}{3} \doteq 66.7 \%$.
V tabeli je zajetih 27 novorojenčkov. 1 točka
Izračunane sredine frekvenčnih razredov 1 točka
Ocena za povprečno dolžino novorojenčkov: 49 2 točki
Grafični prikaz: 2 točki
Dolžino $48 \mathrm{~cm}$ preseže približno $66.7 \%$ novorojenčkov 1 točka
B4.
Ugotovitev: trikotnika $C A S$ in $P T S$ sta podobna. .1 točka
Zapis razmerja $\frac{|A S|}{|A C|}=\frac{|T S|}{|T P|}$. 1 točka
Izračun dolžine $|A S|=40 \mathrm{~m}$. .1 točka
Odgovor: Razdalja med Ano in Tinetom je 100 m. .1 točka
及 Izračunana razdalja $C S$ : 1 točka
$$
\begin{aligned}
& |C S|=\sqrt{|A S|^{2}+|A C|^{2}} \\
& |C S|=\sqrt{40^{2}+30^{2}}=50 \mathrm{~m}
\end{aligned}
$$
Izračunana razdalja $P S$ : 1 točka
$$
\begin{aligned}
& |P S|=\sqrt{|T S|^{2}+|T P|^{2}} \\
& |P S|=\sqrt{60^{2}+45^{2}}=75 \mathrm{~m}
\end{aligned}
$$
Odgovor: Cene je od paviljona oddaljen $125 \mathrm{~m}$. 1 točka
|