File size: 14,951 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 | # Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
## dMFA
## 11. tekmovanje v znanju matematike <br> za dijake poklicnih šol <br> Državno tekmovanje, 16. april 2011
Čas reševanja: 90 minut. V sklopu A bo pravilen odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilen odgovor pol točke odšteli. Naloge v sklopu B so vredne po 7 točk. Odgovore sklopa A vpišite v levo tabelo.
| A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| | | | | | |
A1 Jana se odpravi iz šole z rolerji. Najprej rola $3 \mathrm{~km}$ proti zahodu, nato $1 \mathrm{~km}$ proti jugu, $3 \mathrm{~km}$ proti vzhodu in $1 \mathrm{~km}$ proti jugu. Kako daleč in v katero smer se mora odpraviti, da pride po najkrajši poti nazaj v šolo?
(A) $2 \mathrm{~km}$ proti severu
(B) $2 \mathrm{~km}$ proti jugu
(C) $2 \mathrm{~m}$ proti vzhodu
(D) $2 \mathrm{~km}$ proti zahodu
(E) Ni mogoče določiti.
A2 V kinu so v zadnji vrsti še trije prosti sedeži. Na koliko različnih načinov se lahko posedejo trije prijatelji?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 6
A3 Katera enačba lahko predstavlja odvisnost med spremenljivkama $x$ in $y \mathrm{v}$ tabeli?
(A) $y=x+0,5$
(B) $y=2 x-0,5$
(C) $y=0,5 x+1$
(D) $y=1,5 x$
(E) $y=x^{2}+0,5$
| $x$ | $y$ |
| :---: | :---: |
| 1 | 1,5 |
| 2 | 3 |
| 3 | 4,5 |
| 4 | 6 |
A4 Na planetu Vegas računajo z znaki. Pravila za računske operacije so enaka kot v Sloveniji. Učitelj je napisal na tablo izraz $(\exists+U)^{2}$. Kateri rezultat je pravilen?
(A) $\exists^{2}+\bigcup^{2}$
(B) $\exists^{2}-\cup^{2}$
(C) $\exists^{2}+2 \exists \cup-U^{2}$
(D) $\exists^{2}+2 \exists \cup+\cup^{2}$
(E) $\exists^{2}-2 \exists \cup+\cup^{2}$
A5 Pri gorskem kolesu smo izbrali tako prestavo, da velja: veliko zobato kolo se zavrti šestkrat, ko se malo zavrti petnajstkrat. Kolikokrat se mora zavrteti veliko zobato kolo, da se malo zavrti $100-\mathrm{krat}$ ?
(A) 30
(B) 35
(C) 40
(D) 45
(E) 50
A6 V raziskavi o najljubši jutranji pijači je sodelovalo 60 ljudi. Frekvenčni kolač prikazuje izsledke raziskave: Koliko več ljudi pije čaj kot mleko?
(A) 9
(B) 12
(C) 15
(D) 21
(E) 35
B1 Matej trenira triatlon. Spodnji grafikon prikazuje njegov tedenski trening.
A Koliko km je Matej v prikazanem času pretekel in koliko preplaval?
B Koliko km je prekolesaril, če je kolesaril s povprečno hitrostjo $25 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ ?
C Izračunajte povprečni čas treninga na dan. Upoštevajte, da Matej preteče $1 \mathrm{~km}$ v povprečju v $4,5 \mathrm{~min}$, v $13 \mathrm{~min}$ pa preplava $750 \mathrm{~m}$. Rezultate zaokrožite na minuto natančno.
B2 V trgovini imajo tri akvarije v obliki kvadrov, vse z enako prostornino. Nekatere notranje mere akvarijev prikazuje tabela.
| | dolžina | širina | višina |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1. akvarij | $4 d m$ | $6 d m$ | $0,5 \mathrm{~m}$ |
| 2. akvarij | $2 d m$ | $10 d m$ | |
| 3. akvarij | | | |
A Največ koliko litrov vode lahko nalijemo v vsak akvarij?
B Kolikšna je notranja višina 2. akvarija?
C Tretji akvarij ima obliko kocke. Na milimeter natančno določite zunanjo dolžino dna akvarija, če je steklo debelo $6 \mathrm{~mm}$ !
D V prvem akvariju so $75 \%$ prostornine napolnili $\mathrm{z}$ vodo. Do katere višine sega voda $\mathrm{v}$ akvariju?
E Na največ koliko različnih načinov lahko vse tri akvarije razstavijo v vrsto na polico, če je akvarij v obliki kocke na prvem mestu z leve ali z desne?
F Če prazen akvarij polnimo s petimi enakimi izviri, se napolni v 1,2 minute. V kolikem času se bo prazen akvarij napolnil, če ga polnimo le z dvema izviroma?
B3 Dan je trikotnik $\triangle A B C$ (glej sliko), pri čemer je $z=4 \mathrm{~cm}$.
A Koliko je vseh trikotnikov na sliki?
B Kako se glede na dolžine stranic imenuje trikotnik $\triangle E B C$ ?
C Kako se glede na dolžine stranic imenuje trikotnik $\triangle D E C$ ?
D Izračunajte ploščino trikotnika $\triangle A B C$ ! Rezultat zaokrožite na cm ${ }^{2}$ natančno.
B4 Vrtnarji bodo v središču mesta uredili gredico rož. Gredica je kvadratne oblike s stranico dolžine 4 metre. Odločili so se, da se bodo poigrali z zasaditvijo tulipanov. Na osenčeni del bodo zasadili čebulice rdečih tulipanov, na neosenčeni del pa čebulice belih tulipanov (glej sliko).
A Izračunajte ploščino osenčenega in ploščino neosenčenega dela gredice na $\mathrm{cm}^{2}$ natančno.
B V vrtnariji pakirajo čebulice tulipanov v večje in manjše vrečke. V večji vrečki po ceni 13 EUR je 10 čebulic rdečih in 20 čebulic belih tulipanov. Cena manjše vrečke je 3 EUR, v njej pa je 5 čebulic rdečih in 3 čebulice belih tulipanov. Kolikšna je cena posamezne čebulice rdečega tulipana in kolikšna posamezne čebulice belega tulipana?
C Kako dolga bi bila nova povečana kvadratna gredica, če bi vrtnarji za en korak nadaljevali narisan vzorec?
## 11. tekmovanje v znanju matematike <br> za dijake poklicnih šol <br> Državno tekmovanje, 16. april 2011
## Rešitve nalog in točkovnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
$V$ tabeli so zapisani pravilni odgovori izbirnih nalog. Vsak pravilen odgovor točkujemo z 2 točkama, nepravilen $z-0.5$ točke, če naloga ni rešena, 0 točk. Da bi se izognili morebitnemu negativnemu končпети dosežku, se vsakemu tekmovalcu prizna začetne 3 točke.
| A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| A | E | D | D | C | B |
A1 V mreži si narišemo začetno točko. Iz te točke 3 enote levo, 1 enoto dol, 3 enote desno in 1 enoto dol v končno točko. Iz končne v začetno točko pridemo za 2 enoti gor oz. $2 \mathrm{~km}$ severno.
A2 Prvi prijatelj izbira med 3 sedeži, drugi med dvema in tretjemu ostane še en sedež. Torej $3 \cdot 2 \cdot 1=6$ možnosti.
A3 Vse točke iz tabele: $(1,1.5),(2,3),(3,4.5)$ in $(4,6)$ pripadajo le premici $y=1.5 x$.
A4 $\operatorname{Izraz}(\exists+U)^{2}$ kvadriramo po pravilu $(\exists+U)^{2}=\exists^{2}+2 \exists U+U^{2}$.
A5 Frekvenci vrtenja velikega in malega kolesa sta v premem sorazmerju. Koeficient za malo kolo je $\frac{100}{15}=\frac{20}{3}$, zato je frekvenca vrtenja velikega kolesa $6 \cdot \frac{20}{3}=40$.
A6 Čaj pije $35 \%$ od $60=21$ ljudi. Mleko pije $15 \%$ od $60=9$ ljudi. 12 ljudi več pije čaj kot mleko.
## DALJŠE NALOGE
B1 Matejev trening tekanja in plavanja prikazuje tabela:
| | PON | TOR | SRE | ČET | PET | SOB | NED | Skupaj |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| tek[km] | 10 | 12 | 0 | 8 | 13 | 0 | 0 | $43 \mathrm{~km}$ |
| plavanje[km] | 2 | 2.5 | 3.5 | 3 | 2 | 0 | 4 | $17 \mathrm{~km}$ |
Kolesaril je v sredo $2.5 h$ in v soboto $3.5 h$, to je $6 h$ v prikazanem tednu. Prekolesaril je pot $s=\bar{v} \cdot t=25 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \cdot 6 \mathrm{~h}=150 \mathrm{~km}$.
Čas, ki ga je Matej porabil za tek: $\frac{43 \mathrm{~km}}{1 \mathrm{~km}} \cdot 4.5 \mathrm{~min}=193.5 \mathrm{~min} \approx 194 \mathrm{~min}$. Čas, ki ga je Matej porabil za plavanje: $\frac{17 \mathrm{~km}}{0.75 \mathrm{~km}} \cdot 13 \mathrm{~min} \approx 295 \mathrm{~min}$. Kolesaril je $6 h=360$ min.
Povprečni čas treninga na dan $\bar{t}=\frac{194 \min +295 \min +360 \mathrm{~min}}{7} \approx 121 \mathrm{~min}$.
A Matej je preplaval $17 \mathrm{~km} . \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$.
Čas, ki ga je porabil za plavanje: 295 min................................................. 1 t
Povprečni čas treninga na dan: $121 \mathrm{~min} \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2$ t
Op.: Če rezultati niso zaokroženi na minuto natančno, tekmovalcu odštejemo 1 točko.
B2 Vsak akvarij drži $V=4 \mathrm{dm} \cdot 6 \mathrm{dm} \cdot 5 \mathrm{dm}=120 \mathrm{l}$. Prostornina drugega akvarija je $120 \mathrm{dm}^{3}$. Iz enačbe $120 \mathrm{dm}^{3}=2 \mathrm{dm} \cdot 10 \mathrm{dm} \cdot v$ izračunamo višino $v=6 \mathrm{dm}$.
Iz enačbe za prostornino kocke $120 \mathrm{dm}^{3}=a^{3}$ izračunamo notranji rob $a=4.93 \mathrm{dm}$. Upoštevamo debelino stekla $6 \mathrm{~mm}$, pa je zunanji rob akvarija $4.93 \mathrm{dm}+2 \cdot 0.06 \mathrm{dm}=5.05 \mathrm{dm}$. $75 \%$ vode od $120 l=90 l$. Iz enačbe za prostornino akvarija $90 l=4 \mathrm{dm} \cdot 6 \mathrm{dm} \cdot v$ izračunamo višino akvarija $v=3.75 \mathrm{dm}$.
Če je kockast akvarij na prvem mestu z leve, se ostala dva lahko razvrščata na 2 načina. Če je kockast akvarij na prvem mestu z desne, to pomeni še dva različna načina. Skupaj se lahko razvrstijo na 4 različne načine.
Če polnijo akvarij z enim izvirom, se polni $1,2 \mathrm{~min} \cdot 5=6 \mathrm{~min}$. Ko ga polnimo z dvema izviroma, pa je čas dvakrat krajši, to je 3 min.
A Ugotovitev: Prostornina vsakega akvarija je 120 l....................................... 1 t
C Dolžina zunanjega roba je $5.05 \mathrm{dm}$. ....................................................... 2 t
E Razvrstimo jih lahko na največ 4 načine. ................................................. 1 t
B3 Na sliki je 6 trikotnikov: $\triangle A B C, \triangle A E C, \triangle D B C, \triangle A D C, \triangle D E C, \triangle E B C$. Trikotnik $\triangle E B C$ je enakokrak in enakostranični, trikotnik $\triangle D E C$ pa enakokraki. Ploščino trikotnika $\triangle A B C$ izračunamo po formuli $S_{\triangle}=\frac{\overline{A B} \cdot v_{\triangle A B C}}{2}$, kjer je $\overline{A B}=3 z=12 \mathrm{~cm}$ in $v_{\triangle A B C}=v_{\triangle E B C}=$ $\frac{z \sqrt{3}}{2}=\frac{4 \sqrt{3}}{2}=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$. Ploščina trikotnika $\triangle A B C$ je $S_{\triangle A B C}=\frac{\overline{A B \cdot v} \cdot \mathrm{v}_{\triangle A B C}}{2}=\frac{12 \mathrm{~cm} \cdot 2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}}{2}=$ $12 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} \approx 21 \mathrm{~cm}^{2}$.
B Trikotnik $\triangle E B C$ je enakokraki in enakostranični. ................................ $1 \mathbf{t}$
C Trikotnik $\triangle D E C$ je enakokraki. . ..................................................... $1 \mathbf{t}$
Določitev višine trikotnika $\triangle A B C: 2 \sqrt{3} \mathrm{~cm} \approx 3.5 \mathrm{~cm} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \mathbf{1 t}$
Izračun ploščine trikotnika $\triangle A B C: 21 \mathrm{~cm}^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \mathbf{t}$
Op.: Če ploščina ni zaokrožena na $\mathrm{cm}^{2}$, tekmovalcu odštejemo 1 točko.
B4 Osenčeni del gredice lahko sestavimo v dva kroga s polmerom $0,5 \mathrm{~m}$ in dva kroga s polmerom $1 \mathrm{~m}$. Ploščina osenčenega dela, ki so ga zasadili s čebulicami rdečih tulipanov, je enaka vsoti ploščin dveh večjih in dveh manjših krogov: $S=2 \pi(0.5 \mathrm{~m})^{2}+2 \pi(1 \mathrm{~m})^{2}=7.85 \mathrm{~m}^{2}$. Celotna gredica je kvadratne oblike s ploščino $(4 \mathrm{~m})^{2}=16 \mathrm{~m}^{2}$. Ploščina neosenčenega dela gredice, zasajenega s čebulicami belih tulipanov, je $16 \mathrm{~m}^{2}-7.85 \mathrm{~m}^{2}=8.15 \mathrm{~m}^{2}$.
$\mathrm{Z} x$ označimo ceno čebulice za rdeč, $\mathrm{z} y$ pa za beli tulipan. Po besedilu nastavimo sistem enačb:
$$
\begin{gathered}
10 x+20 y=13 \\
5 x+3 y=3
\end{gathered}
$$
Od tod izračunamo, da je $x=0.3$ EUR in $y=0.5$ EUR.
Če bi vrtnarji nadaljevali narisani vzorec za 1 korak, bi bila gredica dolga $8 \mathrm{~m}$.
Cena čebulice belega tulipana je 0.5 EUR. ................................................. 1 t
C Dolžina nove gredice bi bila $8 \mathrm{~m}$............................................................ 1 t
|