File size: 18,945 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 | # Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
## Naloge za 1. in 2. letnik
Čas reševanja: 90 minut. V sklopu A bomo pravilni odgovor ovrednotili z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor pol točke odšteli. Odgovore sklopa A vpišite v levo tabelo. V sklopu B bomo pravilni odgovor ovrednotili z največ sedmimi točkami.
| A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | A7 | A8 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| | | | | | | | |
| B1 | B2 | B3 |
| :--- | :--- | :--- |
| | | |
A1. Otroci so na Mojčini rojstnodnevni zabavi pojedli $\frac{2}{3}$ torte. Nato je Franci pojedel še $\frac{1}{4}$ ostanka torte. Kolikšen del torte je ostal?
(A) $\frac{1}{12}$
(B) $\frac{1}{6}$
(C) $\frac{1}{4}$
(D) $\frac{1}{3}$
(E) $\frac{11}{12}$
A2. V anketi so učitelje matematike vprašali, koliko let že poučujejo matematiko. Odgovore so ponazorili s prikazom s stolpci. Kolikšen odstotek učiteljev poučuje več kot 5 in ne več kot 15 let?
(A) 15
(B) 30
(C) 40
(D) 55
(E) 70
A3. Vseh trimestnih števil, katerih vsota števk je enaka 5, je:
(A) 12
(B) 13
(C) 14
(D) 15
(E) 16
A4. Osemnajst milijonov ljudi na svetu ima rojstni dan na isti dan. Koliko odstotkov je to, če vemo, da je na svetu
približno 7,5 milijarde ljudi?
(A) 0,002
(B) 0,024
(C) 0,24
(D) 2,4
(E) 24
A5. Točka $S$ je središče kroga. Kot $\beta$ je velik $240^{\circ}$. Kolikšna je razlika velikosti kotov $\beta-\alpha$ ?
(A) $200^{\circ}$
(B) $205^{\circ}$
(C) $210^{\circ}$
(D) $215^{\circ}$
(E) $220^{\circ}$
A6. Katera izmed danih enačb določa najbolj strmo premico?
(A) $y=-3 x+5$
(B) $y=5 x+\frac{1}{3}$
(C) $y=x-3$
(D) $y=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}$
(E) $y=-\frac{1}{3} x+8$
A7. Na ključavnici za zaklepanje kolesa lahko nastavimo 3-mestno kodo. Na vsakem izmed treh mest lahko izberemo eno izmed števk od 0 do 9. Največ koliko različnih kod lahko nastavimo?
(A) 30
(B) 100
(C) 300
(D) $9^{3}$
(E) 1000
A8. Če posodo napolnimo $\mathrm{z}$ vodo do vrha, tehta $17 \mathrm{~kg}$, če pa jo $\mathrm{z}$ vodo napolnimo do polovice, tehta $9,5 \mathrm{~kg}$. Koliko tehta prazna posoda?
(A) $0,5 \mathrm{~kg}$
(B) $1 \mathrm{~kg}$
(C) $1,5 \mathrm{~kg}$
(D) $2 \mathrm{~kg}$
(E) $3 \mathrm{~kg}$
B1. Preglednica kaže število prodanih prenosnih telefonov $\mathrm{v}$ tednu.
| Znamka | Ponedeljek | Torek | Sreda | Četrtek | Petek |
| :--- | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: |
| Samsung | 10 | 14 | 1 | 3 | 12 |
| HTC | 2 | 15 | 8 | 12 | 2 |
| LG | 2 | 4 | 0 | 0 | 3 |
| Apple | 1 | 0 | 3 | 6 | 2 |
A. Katere znamke telefonov so v tem tednu prodali največ?
B. Koliko telefonov so $\mathrm{v}$ tem tednu prodali povprečno na dan?
C. Tedensko prodajo telefonov znamke Samsung ponazorite s tortnim (krožnim) prikazom.
B2. Na parceli želimo strojno izvrtati valjasto vrtino premera $80 \mathrm{~cm}$. Prvi meter vrtanja stane 10 evrov, vsak naslednji pa 4 evre več od predhodnega.
A. Kako dolga je najdaljša toga žica, ki jo lahko po $1,5 \mathrm{~m}$ vrtanja spravimo $\mathrm{v}$ vrtino?
B. Koliko stane izkop petega metra vrtine?
C. Koliko bi plačali za $5 \mathrm{~m}$ globoko vrtino, če nam ob plačilu z gotovino priznajo $5 \%$ popusta?
B3. Zoja je imela 55 vžigalic dolžine $5 \mathrm{~cm}$. Vse je porabila za oblikovanje niza enakostraničnih trikotnikov, kot prikazuje
slika.
A. Koliko enakostraničnih trikotnikov je v nizu, ki ga je oblikovala Zoja?
B. Kateri geometrijski lik je oblikovala Zoja?
C. Na kvadratni centimeter natančno izračunajte ploščino Zojinega lika.
D. Kolikšna je razdalja med dvema najbolj oddaljenima ogliščema tega geometrijskega lika?
E. Koliko vžigalic bi Zoja potrebovala za podoben $\operatorname{niz~z} n$ enakostraničnimi trikotniki?
## Naloge za 3. letnik
Čas reševanja: 90 minut. V sklopu A bomo pravilni odgovor ovrednotili z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor pol točke odšteli. Odgovore sklopa A vpišite v levo tabelo. V sklopu B bomo pravilni odgovor ovrednotili z največ sedmimi točkami.
| A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | A7 | A8 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| | | | | | | | |
A1. Število $-\sqrt{5}$ je rešitev enačbe:
(A) $\sqrt{x}=-5$
(B) $x^{2}=\sqrt{5}$
(C) $x^{2}+5=0$
(D) $x^{2}=-5$
(E) $x^{2}=5$
A2. Vseh trimestnih števil, katerih vsota števk je enaka 5 , je:
(A) 12
(B) 13
(C) 14
(D) 15
(E) 16
A3. Osemnajst milijonov ljudi na svetu ima rojstni dan na isti dan. Koliko odstotkov je to, če vemo, da je na svetu približno 7,5 milijarde ljudi?
(A) 0,002
(B) 0,024
(C) 0,24
(D) 2,4
(E) 24
A4. Točka $S$ je središče kroga. Kot $\beta$ je velik $240^{\circ}$. Kolikšna je razlika velikosti kotov $\beta-\alpha$ ?
(A) $200^{\circ}$
(B) $205^{\circ}$
(C) $210^{\circ}$
(D) $215^{\circ}$
(E) $220^{\circ}$
A5. Dana je kvadratna funkcija $f(x)=x^{2}-9 x+20$. Katera trditev je pravilna?
(A) Vsota obeh ničel funkcije je 20.
(B) Graf funkcije seka ordinatno os v točki $(-9,20)$.
(C) Funkcija ima dve različni realni ničli.
(D) Graf funkcije se dotika abscisne osi.
(E) Vodilni koeficient je 9 .
A6. Na ključavnici za zaklepanje kolesa lahko nastavimo 3-mestno kodo. Na vsakem izmed treh mest lahko izberemo eno izmed števk od 0 do 9. Največ koliko različnih kod lahko nastavimo?
(A) 30
(B) 100
(C) 300
(D) $9^{3}$
(E) 1000
A7. Če posodo napolnimo z vodo do vrha, tehta $17 \mathrm{~kg}$, če pa jo $\mathrm{z}$ vodo napolnimo do polovice, tehta $9,5 \mathrm{~kg}$. Koliko tehta prazna posoda?
(A) $0,5 \mathrm{~kg}$
(B) $1 \mathrm{~kg}$
(C) $1,5 \mathrm{~kg}$
(D) $2 \mathrm{~kg}$
(E) $3 \mathrm{~kg}$
A8. Na sliki je pravokotni trikotnik. Katera izjava ni pravilna?
(A) $a=o-(b+c)$
(B) $\sin \beta=\frac{a}{c}$
(C) $S=\frac{a b}{2}$
(D) $b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$
(E) $\alpha+\beta=90^{\circ}$
B1. Preglednica kaže število prodanih prenosnih telefonov $\mathrm{v}$ tednu.
| Znamka | Ponedeljek | Torek | Sreda | Četrtek | Petek |
| :--- | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: |
| Samsung | 10 | 14 | 1 | 3 | 12 |
| HTC | 2 | 15 | 8 | 12 | 2 |
| LG | 2 | 4 | 0 | 0 | 3 |
| Apple | 1 | 0 | 3 | 6 | 2 |
A. Katere znamke telefonov so v tem tednu prodali največ?
B. Koliko telefonov so $\mathrm{v}$ tem tednu prodali povprečno na dan?
C. Tedensko prodajo telefonov znamke Samsung ponazorite s tortnim (krožnim) prikazom.
B2. Na parceli želimo strojno izvrtati valjasto vrtino premera $80 \mathrm{~cm}$. Prvi meter vrtanja stane 10 evrov, vsak naslednji pa 4 evre več od predhodnega.
A. Kako dolga je najdaljša toga žica, ki jo lahko po $1,5 \mathrm{~m}$ vrtanja spravimo $\mathrm{v}$ vrtino?
B. Koliko stane izkop petega metra vrtine?
C. Koliko bi plačali za $5 \mathrm{~m}$ globoko vrtino, če nam ob plačilu z gotovino priznajo $5 \%$ popusta?
B3. Vila Luxa se nahaja na lokaciji $C$ na otočku sredi jezera, Hiša Krasna pa na lokaciji $B$. Razdalja med točkama $A$ in $D$ je $10 \mathrm{~km}, \Varangle C B A=\Varangle B A C=28^{\circ}$.
A. Koliko je velik kot $\Varangle C A D$ ?
B. Koliko kilometrov je točka $A$ oddaljena od točke $C$ ? Izračunajte na dve decimalki natančno.
C. Kolikšna je razdalja med Vilo Luxo in Hišo Krasno?
## 17. tekmovanje v znanju matematike za dijake poklicnih šol
Državno tekmovanje, 22. april 2017
## Rešitve nalog in točkovnik za 1. in 2. letnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
$V$ tabeli so zapisani pravilni odgovori izbirnih nalog. Vsak pravilen odgovor točkujemo z 2 točkama, nepravilen $z-0,5$ točke, če naloga ni rešena, 0 točk.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| C | C | $\mathrm{D}$ | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{B}$ | $\mathrm{E}$ | $\mathrm{D}$ |
A1. Otroci so najprej pojedli $\frac{2}{3}$ torte, ostala je $\frac{1}{3}$ torte. Franci je od te tretjine pojedel četrt, kar je $\frac{1}{12}$ torte. Ostalo je še $\frac{1}{3}-\frac{1}{12}=\frac{1}{4}$ torte.
A2. V anketi je bilo zajetih 100 učiteljev. 40 učiteljev ima delovno dobo daljšo kot 5 let in krajšo od 15 let, kar predstavlja $40 \%$ vseh učteljev.
A3. Petnajst trimestnih števil ima vsoto števk enako 5. Ta števila so: 500, 401, 410, 104,140, $311,131,113,221,212,122,320,302,230,203$.
A4. $18 \cdot 10^{6}$ od $7,5 \cdot 10^{9}=0,0024$. To pomeni, da ima $0,24 \%$ ljudi rojstni dan na isti dan.
A5. Kot pri oglišču $S$ enakokrakega trikotnika $A B S$ je velik $360^{\circ}-240^{\circ}=120^{\circ}$, kot $\alpha$ pa $\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}$. Razlika kotov $\beta-\alpha$ je enaka $240^{\circ}-30^{\circ}=210^{\circ}$.
A6. Izmed danih enačb določa najbolj strmo premico enačba $y=5 x+\frac{1}{3}$.
A7. Na vsakem mestu lahko izbiramo izmed deset števk, zato lahko nastavimo $10 \cdot 10 \cdot 10=$ 1000 različnih kod.
A8. Po besedilu naloge lahko zapišemo sistem dveh enačb: $p+v=17$ in $p+\frac{1}{2} v=9,5$. Posoda $p$ tehta $2 \mathrm{~kg}$, voda $v$ v njej pa $15 \mathrm{~kg}$.
## DALJŠE NALOGE
B1. Največ prodanih telefonov je bilo blagovne znamke Samsung. V petih dneh je bilo prodanih 100 telefonov oz. v povprečju 20 na dan. Za prikaz podatkov s tortnim prikazom izdelamo preglednico:
| | Samsung | Rel. frekv. [\%] | Središčni kot [ ${ }^{\circ}$ ] |
| :--- | ---: | ---: | ---: |
| PON | 10 | 25 | 90 |
| TOR | 14 | 35 | 126 |
| SRE | 1 | 2,5 | 9 |
| ČET | 3 | 7,5 | 27 |
| PET | 12 | 30 | 108 |
| $\Sigma$ | 40 | 100 | 360 |
A. Največ so prodali Samsungovih aparatov ....................................... $1 \mathbf{t}$
B. Povprečna prodaja na dan je 20 telefonov........................................... 2 t
C. Izračunane velikosti središčnih kotov v tortnem prikazu. .......................... 1 t
Pravilno narisani središčni koti................................................................................................
Narisan tortni prikaz z ustrezno legendo. ...................................... 2 t
B2. Toga palica je diagonala osnega preseka valja s premerom $0,8 \mathrm{~m}$ in višino $1,5 \mathrm{~m}$. Njeno dolžino izračunamo s Pitagorovim izrekom $d=\sqrt{0,8^{2}+1,5^{2}}=1,7 \mathrm{~m}$.
Izkop prvega metra stane $10 €$, drugega metra $14 €$, tretjega $18 €$, četrtega 22 €in petega 26 €.
Za $5 \mathrm{~m}$ globoko vrtino bomo plačali $10+14+18+22+26=90 €$, s priznanim popustom pa $85,50 €$.
B. Izkop petega metra vrtine stane 26 €........................................... 2 t
C. Pet metrov globoka vrtina stane $90 €, \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$.
B3. Zoja je iz 55 vžigalic sestavila trapez, ki ga sestavlja 27 enakostraničnih trikotnikov, vsak ima ploščino $\frac{5 \cdot 4,33}{2}=10,825 \mathrm{~cm}^{2}$. Ploščina trapeza je $27 \cdot 10,825 \mathrm{~cm}^{2}=292,275 \mathrm{~cm}^{2} \approx$ $292 \mathrm{~cm}^{2}$. Najdlje sta oddaljeni krajišči osnovnice $a$, to je $70 \mathrm{~cm}$. Za vsak nov trikotnik doda 2 vžigalici, razen za prvega, ko je porabila še eno dodatno. Za $n$ trikotnikov je porabila $2 n+1$ vžigalic.
A. Sestavila je 27 enakostraničnih trikotnikov. ...................................... 2 t
B. Celoten lik je trapez. ................................................................... 1 t
D. Najdaljša razdalja je 70 cm. .......................................................... 1 t
E. Za $n$ trikotnikov potrebuje $2 n+1$ vžigalic. ........................................ 1 t
## 17. tekmovanje v znanju matematike za dijake poklicnih šol <br> Državno tekmovanje, 22. april 2017
## Rešitve nalog in točkovnik za 3. letnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
$V$ tabeli so zapisani pravilni odgovori izbirnih nalog. Vsak pravilen odgovor točkujemo z 2 točkama, nepravilen $z-0,5$ točke, če naloga ni rešena, 0 točk.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\mathrm{E}$ | $\mathrm{D}$ | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{E}$ | $\mathrm{D}$ | $\mathrm{B}$ |
A1. Enačba $x^{2}=5$ ima rešitvi $x= \pm \sqrt{5}$, torej je število $-\sqrt{5}$ rešitev te enačbe.
A2. Petnajst trimestnih števil ima vsoto števk enako 5. Ta števila so: 500, 401, 410, 104, 140, $311,131,113,221,212,122,320,302,230,203$.
A3. $18 \cdot 10^{6}$ od $7,5 \cdot 10^{9}=0,0024$. To pomeni, da ima $0,24 \%$ ljudi rojstni dan na isti dan.
A4. Kot pri oglišču $S$ enakokrakega trikotnika $A B S$ je velik $360^{\circ}-240^{\circ}=120^{\circ}$, kot $\alpha$ pa $\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}$. Razlika kotov $\beta-\alpha$ je enaka $240^{\circ}-30^{\circ}=210^{\circ}$.
A5. Funkcija ima ničli $x=5$ in $x=4$, torej dve različni realni ničli.
A6. Na vsakem mestu lahko izbiramo izmed deset števk, zato lahko nastavimo $10 \cdot 10 \cdot 10=$ 1000 različnih kod.
A7. Iz besedila naloge lahko zapišemo sistem dveh enačb: $p+v=17$ in $p+\frac{1}{2} v=9,5$. Posoda $p$ tehta $2 \mathrm{~kg}$, voda v njej pa $15 \mathrm{~kg}$.
A8. Izjava $\sin \beta=\frac{a}{c}$ ni pravilna.
## DALJŠE NALOGE
B1. Največ prodanih telefonov je bilo blagovne znamke Samsung. V petih dneh je bilo prodanih 100 telefonov oz. v povprečju 20 na dan. Za prikaz podatkov s tortnim prikazom izdelamo preglednico:
| | Samsung | Rel. frekv. [\%] | Središčni kot [ ${ }^{\circ}$ ] |
| :--- | ---: | ---: | ---: |
| PON | 10 | 25 | 90 |
| TOR | 14 | 35 | 126 |
| SRE | 1 | 2,5 | 9 |
| ČET | 3 | 7,5 | 27 |
| PET | 12 | 30 | 108 |
| $\Sigma$ | 40 | 100 | 360 |
A. Največ so prodali Samsungovih aparatov ......................................... 1 t
B. Povprečna prodaja na dan je 20 telefonov......................................... 2 t
C. Izračunane velikosti središčnih kotov v tortnem (krožnem) prikazu. .......... 1 t
Narisan tortni prikaz z ustrezno legendo. ...................................... 2 t
B2. Toga palica je diagonala osnega preseka valja s premerom $0,8 \mathrm{~m}$ in višino $1,5 \mathrm{~m}$. Njeno dolžino izračunamo s Pitagorovim izrekom $d=\sqrt{0,8^{2}+1,5^{2}}=1,7 \mathrm{~m}$.
Izkop prvega metra stane $10 €$, drugega metra $14 €$, tretjega $18 €$, četrtega 22 €in petega $26 €$.
Za $5 \mathrm{~m}$ globoko vrtino bomo plačali $10+14+18+22+26=90 €$, s priznanim popustom pa $85,50 €$.
B. Izkop petega metra vrtine stane 26 €............................................ $\mathbf{2} \mathbf{t}$
B3. Trikotnik $B C A$ je enakokrak. Kot $A C B$ je velik $180^{\circ}-2 \cdot 28^{\circ}=124^{\circ}$, zato je kot $D C A$ velik $56^{\circ}$. Ker je trikotnik $C D A$ pravokoten, je kot $C A D$ velik $34^{\circ}$. Razdaljo $|A C|$ lahko izračunamo z $\cos 34^{\circ}=\frac{10}{|\mathrm{AC}|} \mathrm{oz} .|A C|=12,06 \mathrm{~km}$. Ker je trikotnik $B C A$ enakokrak, velja $|B C|=|A C|=12,06 \mathrm{~km}$.
|