File size: 12,238 Bytes
802d9fe | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 | # Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
## d MFA
## 11. tekmovanje $\mathbf{v}$ znanju matematike <br> za dijake poklicnih šol <br> Področno tekmovanje, 30. marec 2011
Prilepi nalepko s šifro
Čas reševanja: 90 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor pol točke odšteli. Odgovore sklopa A vpišite v levo tabelo.
| A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
A1 Kateri ulomek prikazuje osenčeni del slike?
(A) $\frac{2}{25}$
(B) $\frac{4}{5}$
(C) $\frac{23}{25}$
(D) $\frac{46}{5}$
(E) $\frac{92}{1}$
A2 Vaditelj smučanja računa 22,50 EUR za 45 minut vadbe. To je enako kot:
(A) 30 EUR za 1 uro
(B) 0,40 EUR za $1 \mathrm{~min}$
(C) 26 EUR za $50 \mathrm{~min}$
(D) 4,50 EUR za $10 \mathrm{~min}$
(E) 45 EUR za 2 uri
A3 Slovenija ima približno 2 milijona prebivalcev. Če bi vsak dal 1 cent za dobrodelne namene, bi zbrali približno:
(A) 20 EUR
(B) 200 EUR
(C) 2000 EUR
(D) 20000 EUR
(E) 200000 EUR
A4 V šestmestenem številu $\square 36230$ je prva števka zakrita. Če šestmestno število zaokrožimo na stotisočice, dobimo 100000. Katera števka je zakrita?
(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D) 4
(E) 9
A5 Ravna cev je prislonjena ob navpično steno do višine $9 \mathrm{~m}$. Zgornji konec cevi zdrsne za 1 $\mathrm{m}$ navzdol, tako da je spodnji konec cevi od stene oddaljen $6 \mathrm{~m}$. Kako dolga je cev?
(A) $8 \mathrm{~m}$
(B) $8,5 \mathrm{~m}$
(C) $9 \mathrm{~m}$
(D) $9,5 \mathrm{~m}$
(E) $10 \mathrm{~m}$
A6 Histogram prikazuje, koliko kg mišične mase so fantje pridobili v enem šolskem letu pri rednem obiskovanju fitnesa. Koliko fantov je pridobilo vsaj $2 \mathrm{~kg}$ mišične mase?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 11
A7 Na koliko načinov je mogoče plačati račun, ki znaša 5 evrov, s kovanci po 1 evro in 2 evra?
(A) 1 način
(B) 2 načina
(C) 3 načine
(D) 4 načine
(E) 5 načinov
A8 Janez želi zložiti jabolka v zabojčke tako, da bo v vsakem enako število jabolk. Koliko jabolk ima lahko Janez,
če jih lahko zloži v 3 ali v 5 zabojčkov?
(A) 35
(B) 40
(C) 45
(D) 50
(E) 55
A9 Koliko km je Janezu preostalo za prehoditi, ko je prehodil $1 \mathrm{~km}$ (glej sliko)?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
A10 Koliko od naslednjih trditev je pravilnih?
$20 \%$ od $40=8$
$2^{3}=8$
$3^{2}-1^{2}=8$
$7-3 \cdot 2=8$
$2 \cdot(6-4)^{2}=8$
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
prehojeni km
B1 Štirje dijaki so zbirali staro železo.
“Jaz sem zbral 120 kg,"je rekel Niko.
“Jaz pa četrtino manj kot ti,“je povedal Tone.
"Zanimivo, jaz sem zbral četrtino več kot ti," je rekel Niku tretji dijak, Tine.
"Po mojem računu smo vsi štirje zbrali štirikrat več starega železa kot Niko,"je ugotovil četrti, Gregor.
"Koliko pa si zbral ti?" so prijatelji vrašali Gregorja.
"Glede na to, kar smo do sedaj povedali o količini zbranega železa, si prav lahko izračunate, koliko sem ga zbral sam," je odgovoril Gregor.
Koliko starega železa je zbral Gregor?
B2 Točke $A(-4,-2), B(2,-2)$ in $C(2,6)$ so oglišča trikotnika $A B C$.
A Trikotnik $A B C$ narišite $\mathrm{v}$ koordinatni sistem.
B Izračunajte obseg trikotnika $A B C$.
C Izračunajte ploščino trikotnika $A B C$.
D Trikotniku $A B C$ očrtajte krožnico.
B3 Unča zlata (31 g) je bila v letu 2010 vredna v povprečju 1200 USD.
A Koliko evrov je leta 2010 stala unča zlata, če je 1 EUR bil vreden 1,3 USD?
B Koliko USD bi stala kocka iz zlata z robom $2 \mathrm{dm}$, če je gostota zlata $19,32 \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}}$ ?
C Za koliko \% je narasla cena zlata na svetovnem trgu od leta 2007 do leta 2010, če je bila cena zlata leta 2007 v povprečju 660 USD za unčo?
B4 Posoda, v kateri gojimo sadike, je izdelana iz lesa in pokrita s steklom (glej sliko). Debeline desk in stekla pri računanju ne upoštevamo.
A Kolikšna je površina zgornje steklene ploskve?
B Za koliko $d m^{2}$ je površina spodnjega lesenega dna manjša od ploščine steklenega pokrova?
C Koliko litrov zemlje potrebujemo, da bomo posodo napolnili do polovice njene višine?
## 11. tekmovanje v znanju matematike <br> za dijake poklicnih šol
Področno tekmovanje, 30. marec 2011
## Rešitve nalog in točkovnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
$V$ tabeli so zapisani pravilni odgovori izbirnih nalog. Vsak pravilen odgovor točkujemo z 2 točkama, nepravilen z -0.5 točke, če naloga ni rešena, 0 točk. Da bi se izognili morebitnemu negativnemu končnemu dosežku, se vsakemu tekmovalcu prizna začetnih 5 točk.
| A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| C | A | D | B | E | B | C | C | D | D |
A1 Od skupno 100 kvadratkov je osenčenih 92, kar pomeni $\frac{92}{100}=\frac{23}{25}$.
A2 22,50 EUR za 45 min pomeni 0,50 EUR na minuto. Za $1 h=60$ min pa je znesek 60 . $0,50 \mathrm{EUR}=30 \mathrm{EUR}$.
A3 1 cent $=0,01$ EUR, zato znaša skupen znesek $2000000 \cdot 0,01$ EUR $=20000$ EUR.
A4 To velja za števko 1, saj je 136230, zaokroženo na stotisočice, enako 100000.
A5 Uporabimo Pitagorov izrek v pravokotnem trikotniku, kjer je $x$ iskana dolžina ravne cevi. Tako je $x^{2}=6^{2}+8^{2}$, od tod pa dobimo, da je $x=10 \mathrm{~m}$.
A6 Iz histograma odčitamo, da so štirje fantje svojo maso ohranili, petim fantom se je le-ta povečala za $1 \mathrm{~kg}$, dvema za $2 \mathrm{~kg}$ in enemu za $3 \mathrm{~kg}$. Vsaj $2 \mathrm{~kg}$ so tako pridobili trije fantje.
A7 Račun je mogoče plačati na tri načine:
- s petimi kovanci za 1 EUR,
- z dvema kovancema za 2 EUR in enim za 1 EUR,
- z enim kovancem za 2 EUR in treni kovanci za 1 EUR.
A8 Imamo 45 jabolk, saj je 45 edino število od danih števil, ki je deljivo s 3 in s 5.
A9 Z grafa lahko odčitamo, da Janezu potem, ko prehodi 1 km, ostane še 3 km poti.
A10 Pravilne so 4 trditve, saj velja:
- $20 \%$ od $40=8$ je pravilno, ker je $0,20 \cdot 40=8$,
- $2^{3}=8$ je pravilno, ker je $2 \cdot 2 \cdot 2=8$,
- $3^{2}-1^{2}=8$ je pravilno, ker je $3^{2}-1^{2}=9-1=8$,
- $7-3 \cdot 2=8$ ni pravilno, ker je $7-3 \cdot 2=7-6=1$,
- $2 \cdot(6-4)^{2}=8$ je pravilno, ker je $2 \cdot(6-4)^{2}=2 \cdot 2^{2}=8$.
## DALJŠE NALOGE
B1 Niko je zbral $120 \mathrm{~kg}$ starega železa.
Tone je zbral $120-\frac{1}{4}$ od $120=120-30=90 \mathrm{~kg}$ starega železa.
Tine je zbral $120+\frac{1}{4}$ od $120=120+30=150 \mathrm{~kg}$ starega železa.
Gregor je zbral $x=120 \mathrm{~kg}$, kar izračunamo iz enačbe $120+90+150+x=4 \cdot 120$.
B2 Točke $A(-4,-2), B(2,-2)$ in $C(2,6)$ narišemo v pravokotni koordinatni sistem in jih povežemo v pravokotni trikotnik $\triangle A B C$ s pravim kotom pri oglišču $C$.
Dolžini katet sta $|A B|=6 e$ in $|B C|=8 e$, dolžino hipotenuze $|A C|$ pa dobimo s pomočjo Pitagorovega izreka: $|A C|^{2}=|A B|^{2}+|B C|^{2}$. Torej je $|A C|^{2}=(6 e)^{2}+(8 e)^{2}$, od tod pa dobimo, da je $|A C|=10 e$. Obseg $\triangle A B C$ je $|A B|+|B C|+|A C|=6 e+8 e+10 e=24 e$. Ploščina trikotnika $\triangle A B C$ je $p_{\triangle A B C}=\frac{|A B| \cdot|B C|}{2}=\frac{6.8}{2}=24 e^{2}$. Pravokotnemu trikotniku očrtana krožnica ima središe v razpolovišču hipotenuze, polmer pa je enak polovici hipotenuze.
A Narisane in v trikotnik povezane točke. ....................................................................
Izračunan obsega trikotnika 24 e. .......................................................... 1 t
C Izračun ploščine trikotnika $24 e^{2}$. ..............................................................................
Op.: Če tekmovalec pri rezultatih nima zapisanih enot, mu od vsote doseženih točk odbijemo 1 točko.
B3 Leta 2010 je unča zlata ( $31 \mathrm{~g}$ ) stala $1200: 1,3=923$ EUR. Prostornina kocke z robom $2 \mathrm{dm}$ je 8 $d m^{3}$. Ker je gostota zlata $19,32 \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^{3}}=19,32 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{dm}^{3}}$, je masa takšne kocke $m=\rho \cdot V=19,32 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{dm}}$. $8 \mathrm{dm}^{3}=154,56 \mathrm{~kg}$. Cena takšne količine zlata je $\frac{154,56 \mathrm{~kg} \cdot 1200 \$}{0,031 \mathrm{~kg}}=5982967,74 \$ \approx 5982968 \$$. Razmerje med ceno zlata leta 2010 in ceno zlata leta 2007 je $\frac{1200 \$}{660 \$}=1,82$, kar pomeni, da je cena zlata narasla za $82 \%$.
A Odgovor, npr.: Leta 2010 je unča zlata stala 923 EUR. .................................. 1 t
Odgovor, npr.: Kocka bi stala 5982968 \$. ..................................................... 2 t
C Odgovor, npr.: Cena zlata je narasla za $82 \%$. .......................................... 1 t
B4 Ploščina zgornjega pravokotnika (steklene ploskve) je $60 \mathrm{~cm} \cdot 36 \mathrm{~cm}=2160 \mathrm{~cm}^{2}$. Ploščina spodnjega pravokotnika (lesenega dna) je $60 \mathrm{~cm} \cdot 20 \mathrm{~cm}=1200 \mathrm{~cm}^{2}$. Razlika med obema ploščinama je $2160 \mathrm{~cm}^{2}-1200 \mathrm{~cm}^{2}=960 \mathrm{~cm}^{2}=9,6 \mathrm{dm}^{2}$. Da bi izračunali, koliko litrov zemlje potrebujemo, da posodo napolnimo do polovice njene višine, moramo izračunati prostornino prizme $\mathrm{z}$ višino $v_{p}=60 \mathrm{~cm}$, ki ima za osnovno ploskev trapez z osnovnicama $a=20 \mathrm{~cm}$ in $c=28 \mathrm{~cm}$ ter višino $v_{t}=8,5 \mathrm{~cm}: V=\frac{(a+c) \cdot v_{t}}{2} \cdot v_{p}=\frac{(20+28) \cdot 8,5}{2} \cdot 60=12240 \mathrm{~cm}^{3}=$ $12,24 \mathrm{dm}^{3}=12,24 l$.
A Odg., npr.: Ploščina zgornje steklene ploskve je $2160 \mathrm{~cm}^{2} . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots . \ldots$ t
B Odgovor, npr.: Ploščina lesenega dna je manjša od ploščine steklenega pokrova za $9,6 \mathrm{dm}^{2}$. $2 \mathrm{t}$
Op.: Če rezultat ni izražen v $d m^{2}$, tekmovalcu odbijemo eno točko.
Utemeljitev odgovora z računom. ......................................................... 1 t
|