| {"year": "2017", "problem_label": "1", "tier": 1, "problem": "Les entiers $1,2, \\ldots, 2018$ sont écrits au tableau. On effectue alors 2017 opérations comme suit : choisir deux nombres $a$ et $b$, les effacer, et écrire $a+b+2 a b$ à la place. À la fin, il ne reste qu'un seul entier sur le tableau.\nQuelles sont les valeurs que son chiffre des unités peut prendre?", "solution": "Puisqu'il y a 1009 nombres impairs entre 1 et 2018, on sait que la somme des entiers initialement inscrits au tableau est impaire. En outre, l'un de ces entiers est congru à $2(\\bmod 5)$. Une récurrence immédiate permet alors de montrer que, après chaque opération, la somme des entiers écrits sur le tableau reste impaire, et l'un de ces entiers est congru à 2 $(\\bmod 5)$. Par conséquent, le dernier entier écrit sur le tableau est congru à $1(\\bmod 2)$ et à 2 $(\\bmod 5)$, c'est-à-dire à $7(\\bmod 10)$.", "problem_match": "\nExercice 1.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"} |
| {"year": "2017", "problem_label": "2", "tier": 1, "problem": "Soit $A B C$ un triangle isocèle en $A$, tel que $\\widehat{B A C}=100^{\\circ}$. Soit $D$ le point d'intersection de (AC) et de la bissectrice de $\\widehat{A B C}$.\nMontrer que BC $=A D+B D$.", "solution": "D'après la loi des sinus, notons que $\\mathrm{BD} \\leqslant \\mathrm{BC}$ si et seulement $\\operatorname{si} \\sin (\\widehat{\\mathrm{BCD}}) \\leqslant$ $\\sin (\\widehat{\\mathrm{BDC}})$. Puisque $\\widehat{\\mathrm{BDC}}=130^{\\circ}$ et $\\widehat{\\mathrm{BCD}}=40^{\\circ}$, on a bien $\\mathrm{BD} \\geqslant \\mathrm{BC}$. Soit E le point de $[\\mathrm{BC}]$ tel que $B D=B E$, et soit $A^{\\prime}$ le symétrique de $A$ par rapport à ( $A D$ ).\nLa loi des sinus indique alors que\n\n$$\n\\mathrm{CE}=\\frac{\\sin (\\widehat{\\mathrm{CDE}})}{\\sin (\\widehat{\\mathrm{ECD}})} \\mathrm{DE}=\\frac{\\sin (\\widehat{\\mathrm{CDE}})}{\\sin (\\widehat{\\mathrm{ECD}})} \\times \\frac{\\sin (\\widehat{\\mathrm{EA}} \\widehat{\\mathrm{D}})}{\\sin \\left(\\widehat{\\mathrm{A}^{\\prime} \\mathrm{ED}}\\right)} A^{\\prime} \\mathrm{D}=\\frac{\\sin \\left(40^{\\circ}\\right) \\sin \\left(80^{\\circ}\\right)}{\\sin \\left(40^{\\circ}\\right) \\sin \\left(80^{\\circ}\\right)} A D=A D .\n$$\n\nOn en déduit que $B C=C E+B E=A D+B D$.", "problem_match": "\nExercice 2.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"} |
| {"year": "2017", "problem_label": "3", "tier": 1, "problem": "Trouver tous les entiers naturels non nuls $k, \\ell$ tels que $2^{k}+3^{\\ell}$ soit un carré parfait.", "solution": "Une première idée est de consiérer l'équation de l'énoncé modulo $n$, où n est un nombre pas trop grand tel que $\\mathbb{Z} / \\mathrm{n} \\mathbb{Z}$ ne contienne pas trop de résidus quadratiques. Dans ces conditions, $n=3$ et $n=8$ semblent de bons candidats, car les carrés modulo 3 sont 0 et 1 , alors que les carrés modulo 8 sont 0,1 et 4 .\nPuisque $k \\geqslant 1$ et $\\ell \\geqslant 1$, on a donc $2^{k} \\equiv 1(\\bmod 3)$ et $3^{\\ell} \\equiv 1(\\bmod 8)$, ce qui signifie que $k$ et $\\ell$ sont pairs. En posant $\\mathrm{a}=\\mathrm{k} / 2, \\mathrm{~b}=\\ell / 2$ et $\\mathrm{c}=\\sqrt{2^{k}+3^{\\ell}}$, on remarque alors que $\\left(\\mathrm{c}-2^{\\mathrm{a}}\\right)\\left(\\mathrm{c}+2^{\\mathrm{a}}\\right)=$ $c^{2}-2^{k}=3^{\\ell}$ est une puissance de 3 .\n vaut nécessairement $3^{\\ell}$, tandis que l'autre vaut 1 . Le facteur $c+2^{a}$ est le plus grand des deux, ce qui montre que $c-2^{a}=1$ et $\\mathrm{c}+2^{a}=3^{\\ell}$, donc que $2^{a+1}=3^{\\ell}-1=9^{b}-1=\\left(3^{b}-1\\right)\\left(3^{b}+1\\right)$. De même, puisque $3^{\\mathrm{b}}-1$ et $3^{\\mathrm{b}}+1$ sont pairs et que $\\operatorname{PGCD}\\left(2,3^{\\mathrm{b}}-1,3^{\\mathrm{b}}+1\\right)$ divise 2 , l'un des facteurs $3^{b}-1$ et $3^{b}+1$ vaut nécessairement $2^{a}$, tandis que l'autre vaut 2 . Par conséquent, $3^{\\mathrm{b}}-1=2$ et $3^{\\mathrm{b}}+1=2^{\\mathrm{a}}$, ce qui montre que $\\mathrm{a}=2$ et $\\mathrm{b}=1$, ou encore $\\mathrm{k}=4$ et $\\ell=2$.\nRéciproquement, si $(k, \\ell)=(4,2)$, on a bien $2^{k}+3^{\\ell}=2^{4}+3^{2}=16+9=25=5^{2}$. Ceci montre que la paire $(k, \\ell)=(4,2)$ est la seule solution du problème.", "problem_match": "\nExercice 3.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"} |
| {"year": "2017", "problem_label": "4", "tier": 1, "problem": "Soit $a, b, c, d$ des réels tels que $0 \\leqslant a \\leqslant b \\leqslant c \\leqslant d$. Montrer que\n\n$$\na b^{3}+b c^{3}+c d^{3}+d a^{3} \\geqslant a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} d^{2}+d^{2} a^{2}\n$$", "solution": "Une première idée est de considérer les sommes «symétriques $\\gg$ l'une de l'autre $S_{1}=a b^{3}+b^{3}+c d^{3}+d a^{3}$ et $S_{2}=a^{3} b+b^{3} c+c^{3} d+d^{3} a$. On constate alors que\n$S_{1}-S_{2}=\\left(d^{3}-b^{3}\\right)(c-a)+\\left(c^{3}-a^{3}\\right)(b-d)=(d-b)(c-a)\\left(d^{2}+b d+d^{2}-c^{2}-a c-a^{2}\\right) \\geqslant 0$.\nL'inégalité de Cauchy-Schwarz indique alors que $S_{1}^{2} \\geqslant S_{1} S_{2} \\geqslant\\left(a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} d^{2}+d^{2} a^{2}\\right)^{2}$, ce qui conclut.\n\n## Exercices du groupe A - Énoncés et solutions", "problem_match": "\nExercice 4.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 4"} |
| {"year": "2017", "problem_label": "5", "tier": 1, "problem": "Soit $n$ un entier naturel impair, et soit $a_{1}, \\ldots, a_{n}$ des entiers naturels non nuls. On note $A$ le produit des entiers $a_{i}$, et $d$ leur plus grand diviseur commun.\nMontrer que\n\n$$\n\\operatorname{PGCD}\\left(a_{1}^{n}+A, a_{2}^{n}+A, \\ldots, a_{n}^{n}+A\\right) \\leqslant 2 d^{n}\n$$", "solution": "Pour tout $i$, on pose $b_{i}=a_{i} / d$, de sorte que $\\operatorname{PGCD}\\left(b_{1}, \\ldots, b_{n}\\right)=1$, et on pose également $B=b_{1} \\times \\ldots \\times b_{n}$ et $\\Delta=\\operatorname{PGCD}\\left(b_{1}^{n}+B, b_{2}^{n}+B, \\ldots, b_{n}^{n}+B\\right)$. Alors $\\operatorname{PGCD}\\left(a_{1}^{n}+A, a_{2}^{n}+A, \\ldots, a_{n}^{n}+A\\right)=d^{n} \\times \\Delta$, et il reste à démontrer que $\\Delta \\leqslant 2$.\nOn considère alors un éventuel facteur premier $p$ de $\\Delta$. Si $p$ divise un des entiers $b_{i}$, alors il divise $B$ également, donc il divise chaque entier $b_{j}$, ce qui est absurde. Par conséquent, $p$ ne divise aucun des entiers $b_{i}$, et ne divise pas $B$ non plus. Cela montre que $\\Delta$ est premier avec $B$. Or, puisque $b_{1}^{n} \\equiv b_{2}^{n} \\equiv \\ldots \\equiv b_{n}^{n}=-B(\\bmod \\Delta)$, alors $B^{n} \\equiv b_{1}^{n} \\times \\ldots \\times b_{n}^{n} \\equiv(-1)^{n} B^{n} \\equiv-B^{n}$ $(\\bmod \\Delta)$. Par conséquent, $\\Delta$ divise $2 \\mathrm{~B}^{n}$. On en déduit que $\\Delta$ divise 2 , ce qui conclut.", "problem_match": "\nExercice 5.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"} |
| {"year": "2017", "problem_label": "6", "tier": 1, "problem": "Soit q un nombre réel. Margaret a écrit 10 nombres réels, deux à deux distincts, sur une ligne. Puis elle ajoute trois lignes comme suit :\n$\\triangleright$ sur la $2^{\\text {nde }}$ ligne, elle écrit tous les nombres de la forme $a-b$, où $a$ et $b$ sont deux réels (non nécessairement distincts) de la $1{ }^{\\text {ère }}$ ligne;\n$\\triangleright$ sur la $3^{\\text {ème }}$ ligne, elle écrit tous les nombres de la forme $q a b$, où $a$ et $b$ sont deux réels (non nécessairement distincts) de la $2^{\\text {nde }}$ ligne;\n$\\triangleright$ sur la $4^{\\text {ème }}$ ligne, elle écrit tous les nombres de la forme $a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}$, où $a, b, c$ et $d$ sont des réels (non nécessairement distincts) de la $2^{\\text {nde }}$ ligne.\nTrouver tous les réels q tels que, quels que soient les 10 nombres écrits sur la $1{ }^{\\text {ère }}$ ligne, chaque nombre de la $3^{\\text {ème }}$ ligne soit également sur la $4^{\\text {ème }}$ ligne.", "solution": "On va dire qu'un réel q est bon s'il a la propriété demandée dans l'énoncé. Tout d'abord, il est clair que, si q est bon, alors - q l'est aussi, et réciproquement. D'autre part, $q=0$ est manifestement bon. On cherche donc les bons réels $q>0$, s'il y en a.\nSoit $\\lambda$ un grand nombre réel et soit $\\varepsilon=1 / \\lambda$. On suppose que Margaret a écrit dix nombres $x_{1}, \\ldots, x_{10}$ tels que $0 \\leqslant x_{1}<\\ldots<x_{8} \\leqslant \\varepsilon, x_{9}=1$ et $x_{10}=\\lambda$. Alors la $2^{\\text {nde }}$ ligne contient les nombres $\\pm \\lambda, \\pm(\\lambda-1)$ et $\\pm 1$, ainsi que des éléments de l'ensemble $\\Omega_{2}=[0,1] \\cup[\\lambda-\\varepsilon, \\lambda]$ et leurs opposés. En particulier, Margaret écrit donc les réels $q \\lambda^{2}$ et $q \\lambda$ sur la $3^{\\text {ème }}$ ligne.\n\nOn considère alors un nombre de la $4^{\\text {ème }}$ ligne, de la forme $z=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}$, et tel que $z \\geqslant 0$. Chacun des réels $\\mathrm{a}^{2}, \\mathrm{~b}^{2}, \\mathrm{c}^{2}, \\mathrm{~d}^{2}$ appartient à l'ensemble $\\left\\{0, \\lambda^{2}\\right\\}+\\{-2 \\lambda, 0\\}+[0,2]$, donc $z$ appartient à l'ensemble $\\Omega_{4}=\\left\\{0, \\lambda^{2}, 2 \\lambda^{2}\\right\\}+\\{-4 \\lambda,-2 \\lambda, 0,2 \\lambda, 4 \\lambda\\}+[-4,4]$.\nSi q est bon, alors $q \\lambda^{2}$ et $\\mathrm{q} \\lambda$ appartiennent à $\\Omega_{4}$, donc en faisant tendre $\\lambda$ vers $+\\infty$ on en déduit respectivement que $q \\in\\{1,2\\}$ et que $q \\in\\{2,4\\}$. Cela montre que seul $q=2$ est susceptible d'être bon.\nRéciproquement, si $q=2$, tout nombre de la $3^{\\text {ème }}$ est de la forme $2(a-b)(c-d)$ avec $a, b, c, d$ des réels de la $1^{\\text {ère }}$ ligne. Puisque $2(a-b)(c-d)=(a-d)^{2}+(b-c)^{2}-(a-c)^{2}-(b-d)^{2}$, ce nombre est figure également sur la $4^{\\text {ème }}$ ligne. Par conséquent, les bons réels sont $-2,0$ et 2 .", "problem_match": "\nExercice 6.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"} |
| {"year": "2017", "problem_label": "7", "tier": 1, "problem": "Soit $A B C$ un triangle acutangle non isocèle. Soit O le centre du cercle circonscrit à $A B C$ et $H$ l'orthocentre de $A B C$. Soit $P$ et $Q$ les points d'intersection respectifs de ( $A O)$ avec (BH) et (CH).\nMontrer que le centre du cercle circonscrit à $P Q H$ se situe sur une médiane du triangle $A B C$.", "solution": "Soit $\\Omega$ le cercle circonscrit à $A B C, \\omega$ le cercle circonscrit à PQH , et $X$ le centre de $\\omega$. Puisque $B$ et $C$ jouent des rôles symétriques, on va montrer que $X$ se trouve sur la médiane issue de $A$. Soit alors $M$ le point d'intersection des droites $(A X)$ et (BC) : montrons que $M$ est le milieu de $[B C]$, c'est-à-dire que $\\widehat{C M O}=90^{\\circ}$.\nTout d'abord, une simple chasse aux angles montre que $\\widehat{\\mathrm{QHP}}=\\widehat{\\mathrm{CAB}}, \\widehat{\\mathrm{HPQ}}=\\widehat{\\mathrm{ABC}}$ et $\\widehat{\\mathrm{PQH}}=$ $\\widehat{P H A}=\\widehat{B C A}$. Les triangles $A B C$ et $H P Q$ sont donc semblables, et il existe une similitude $s$ telle que $s(A)=H, s(B)=P, s(C)=Q$ et $s(O)=X$.\n$D^{\\prime}$ autre part, puisque $\\widehat{P Q H}=\\widehat{P H A}$ on sait que $(A H)$ est tangente à $\\omega$ en $H$. Par conséquent, si on pose $S=s^{-1}(\\mathcal{A})$, alors on sait que $S$ est le point d'intersection de (BC) et de la tangente à $\\Omega$ en $A$. Puisque s envoie $B S O$ sur $P A X$, on en déduit que $\\widehat{M S O}=\\widehat{B S O}=\\widehat{\\mathrm{XAP}}=\\widehat{\\mathrm{MAO}}$, donc que les points $M, S, O$ et $A$ sont cocycliques. Or, $\\widehat{S A O}=90^{\\circ}$. Il s'ensuit que $\\widehat{S M O}=90^{\\circ}$ également, ce qui conclut.", "problem_match": "\nExercice 7.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"} |
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