diff --git "a/Brazilian_MO/md/pt-bq2010_N1.md" "b/Brazilian_MO/md/pt-bq2010_N1.md" new file mode 100644--- /dev/null +++ "b/Brazilian_MO/md/pt-bq2010_N1.md" @@ -0,0 +1,4031 @@ +# Nível 1 + +1. Qual é o número? - Quando Joana entrou em sua sala de aula, a professora estava apagando o quadro negro, mas ela ainda pôde ver algo escrito, conforme mostra a figura. Qual é o número que foi apagado? +(a) 8 +(b) 9 +(c) 11 +(d) 12 +(e) 13 +2. Muro em 15 dias - Um pedreiro é capaz de assentar 8 metros de muro por dia. Quantos metros de muro esse pedreiro consegue assentar em 15 dias? +(a) 104 +(b) 110 +(c) 120 +(d) 128 +(e) 112 +3. Medindo pilhas de papel - Numa papelaria, são armazenados pacotes de papel em pilhas de 60 pacotes. Cada pacote tem 500 folhas de papel e cada folha de papel tem uma espessura de $0,1 \mathrm{~mm}$. Ignorando a espessura do papel utilizado para embrulhar os pacotes, podemos afirmar que a altura de uma pilha de 60 pacotes é aproximadamente igual à altura de: +(a) uma pessoa adulta; +(d) um prédio de 10 andares; +(b) um bebê de um ano; +(e) uma sala de aula. +(c) uma mesa comum; +4. Quanto pesa? - A balança da figura está em equilíbrio com bolas e saquinhos de areia em cada um de seus pratos. As bolas são todas iguais e os saquinhos também. O peso de um saquinho de areia é igual ao peso de quantas bolas? + +(a) 1 + +(b) 2 + +(c) 3 + +(d) 5 + +(e) 6 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-001.jpg?height=291&width=700&top_left_y=1679&top_left_x=741) + +5. Calcule a diferença - Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes. O maior só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. Se a diferença entre eles é a maior possível, qual é essa diferença? +(a) 997 +(b) 777 +(c) 507 +(d) 531 +(e) 729 +6. Qual é o volume? - Três frascos, todos com capacidade igual a um litro, contêm quantidades diferentes de um mesmo líquido, conforme ilustração. Qual das alternativas abaixo melhor expressa, aproximadamente, o volume do líquido con- + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-001.jpg?height=195&width=417&top_left_y=2324&top_left_x=1462) +tido nos frascos A, B e C, nessa ordem? +(a) $\frac{3}{7} ; \frac{4}{9} ; \frac{2}{5}$ +(b) $\frac{2}{3} ; \frac{1}{2} ; \frac{1}{4}$ +(c) $\frac{2}{3} ; \frac{4}{6} ; \frac{2}{4}$ +(d) $\frac{2}{3} ; \frac{4}{7} ; \frac{3}{4}$ +(e) $\frac{3}{3} ; \frac{4}{5} ; \frac{2}{3}$ + +7. Descontos e descontos - Uma farmácia dá desconto de $30 \%$ sobre o preço de tabela de todos os medicamentos que vende. Ao adquirir um remédio cujo preço de tabela é $\mathrm{R} \$ 120,00$, quanto reais uma pessoa irá pagar? +(a) 36 +(b) 84 +(c) 64 +(d) Mais do que 116 +(e) 94 +8. O carro de Maria - Um litro de álcool custa $\mathrm{R} \$ 0,75$. O carro de Maria percorre $25 \mathrm{~km}$ com 3 litros de álcool. Quantos reais Maria gastará com o álcool necessário para percorrer $600 \mathrm{~km}$ ? +(a) 54 +(b) 72 +(c) 50 +(d) 52 +(e) 45 +9. Calculando distâncias - As quatro cidades $A, B, C$ e $D$ foram construídas à beira de uma rodovia reta, conforme a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-002.jpg?height=72&width=397&top_left_y=889&top_left_x=1429) +ilustração. + +A distância entre $A$ e $C$ é de $50 \mathrm{~km}$ e a distância entre $B$ e $D$ é de $45 \mathrm{~km}$. Além disso, sabe-se que a distância entre a primeira e a última cidade é de $80 \mathrm{~km}$. Qual é a distância, em quilômetros, entre as cidades $B$ e $C$ ? +(a) 15 +(c) 20 +(c) 25 +(d) 5 +(e) 10 + +10. Pesando caixas - Num armazém foram empilhadas algumas caixas que formaram o monte mostrado na figura. Se cada caixa pesa $25 \mathrm{~kg}$, quantos quilogramas pesa o monte com todas as caixas? +(a) 300 +(b) 325 +(c) 350 +(d) 375 +(e) 400 +11. Consumo de água - Na tabela a seguir vemos o consumo mensal de água de uma família, durante os cinco primeiros meses de 2004. + +Qual é o consumo mensal médio de janeiro a maio dessa família, em $\mathrm{m}^{3}$ ? +(a) 11,3 +(c) 12,7 +(e) 317,5 +(b) 11,7 +(d) 63,5 + +| Meses | Consumo $\left(\mathrm{m}^{3}\right)$ | +| :--- | :---: | +| Janeiro | 12,5 | +| Fevereiro | 13,8 | +| Março | 13,7 | +| Abril | 11,4 | +| Maio | 12,1 | + +12. Folheando um livro - Um livro de cem páginas tem suas páginas numeradas de 1 a 100. Quantas folhas desse livro possuem o algarismo 5 em sua numeração? (ATENção: uma folha tem duas páginas.) +(a) 13 +(b) 14 +(c) 15 +(d) 16 +(e) 17 +13. Calculando a soma - Escreva os números de 0 a 9 nos círculos ao lado, de forma que eles cresçam no sentido anti-horário. Em seguida, subtraia uma unidade dos números ímpares e some uma unidade aos números pares. Escolhendo três círculos consecutivos, qual é a maior soma que se pode obter? +(a) 19 +(b) 21 +(c) 23 +(d) 24 +(e) 25 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-002.jpg?height=317&width=308&top_left_y=2394&top_left_x=1522) + +14. Desenhando o cubo - A figura ao lado foi desenhada em cartolina e dobrada de modo a formar um cubo. + +Qual das alternativas mostra o cubo assim formado? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=269&width=346&top_left_y=294&top_left_x=1546) +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=111&width=108&top_left_y=647&top_left_x=460) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=123&width=117&top_left_y=641&top_left_x=775) +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=114&width=117&top_left_y=654&top_left_x=1095) +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=123&width=134&top_left_y=641&top_left_x=1418) +(e) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=117&width=140&top_left_y=667&top_left_x=1712) + +15. Círculos concêntricos - Na malha quadriculada a seguir, todas as circunferências têm o mesmo centro. Pode-se concluir que a área da região cinza destacada é igual a + +(a) dois quintos da área do círculo maior; + +(b) três sétimos da área do círculo maior; + +(c) metade da área do círculo maior; + +(d) quatro sétimos da área do círculo maior; + +(e) três quintos da área do círculo maior. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=328&width=325&top_left_y=1047&top_left_x=1551) + +16. Brincando com engrenagens - José colou uma bandeirinha em cada um dos dois discos dentados que formam uma engrenagem, como mostra a figura. + +Os dois discos são exatamente iguais, inclusive os dentes em cada um deles. José girou a engrenagem e é claro que as bandeirinhas mudaram de posição. Qual é a nova posição das duas bandeirinhas? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=223&width=417&top_left_y=1590&top_left_x=1462) +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=223&width=403&top_left_y=1847&top_left_x=444) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=220&width=408&top_left_y=1849&top_left_x=961) +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=223&width=414&top_left_y=1847&top_left_x=1478) +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=217&width=414&top_left_y=2102&top_left_x=450) +(e) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=220&width=416&top_left_y=2100&top_left_x=954) + +17. Troca de garrafas - A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar quatro garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 garrafas vazias de 1 litro fazendo várias dessas trocas? +(a) 11 +(b) 12 +(c) 13 +(d) 14 +(e) 15 +18. Retângulo e quadrados - A figura dada representa um gramado retangular em que foram marcados sete quadrados numerados de 1 a 7 . Se a área do menor desses quadrados é $1 \mathrm{~m}^{2}$, a área total do gramado, em $\mathrm{m}^{2}$, é igual a + +| 1 | 2 | 5 | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| | 3 | | | +| | 4 | | | +| | 0 | | 7 | + +(a) 42 +(b) 44 +(c) 45 +(d) 48 +(e) 49 + +19. Quantas fatias de bolo? - Nove amigos compraram três bolos, cada um deles cortado em oito fatias. Todos comeram bolo e não sobrou nenhum pedaço. Sabendo que cada um só comeu fatias inteiras do bolo, podemos ter certeza de que: + +(a) alguém comeu quatro fatias; + +(b) um deles comeu somente uma fatia; + +(c) todos comeram duas fatias, pelo menos; + +(d) uns comeram duas fatias e os demais comeram três fatias; + +(e) um deles comeu, no mínimo, três fatias. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-004.jpg?height=287&width=517&top_left_y=953&top_left_x=1318) + +20. Mosaicos quadrados - Uma sequência de mosaicos quadrados é construída com azulejos quadrados pretos e brancos, todos do mesmo tamanho, sendo o primeiro formado por um azulejo branco cercado por azulejos pretos, o segundo por quatro azulejos brancos cercados por azulejos pretos e assim, sucessivamente, como indica a figura. Se numa sequência de mosaicos formada de acordo com esta regra forem usados 80 azulejos pretos, quantos serão os azulejos brancos utilizados? +(a) 55 +(d) 85 +(b) 65 +(e) 100 +(c) 75 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-004.jpg?height=191&width=500&top_left_y=1646&top_left_x=1326) + +21. Quanto custa? - Ester vai a uma papelaria para comprar cadernos e canetas. Nessa papelaria, todos os cadernos custam $\mathrm{R} \$ 6,00$. Se ela comprar três cadernos, sobram R \$4,00. Se, em vez disso, seu irmão lhe emprestar $\mathrm{R} \$ 4,00$ adicionais, ela conseguirá comprar dois cadernos e sete canetas, todas iguais. + +(a) Quanto custa cada caneta? + +(b) Se ela comprar dois cadernos e não pedir dinheiro emprestado, quantas canetas Ester poderá comprar? + +22. Encontre o número - O número da casa de Júlia tem exatamente três algarismos, cuja soma é 24. Encontre todos os possíveis números da casa de Júlia, em cada uma das situações seguintes. + +(a) Os três algarismos são iguais. + +(b) Apenas dois algarismos são iguais. + +(c) Os algarismos são todos diferentes. + +23. Campeonato de futebol - No último campeonato de futebol do bairro em que moro participaram seis equipes, denominadas $A, B, C, D, E$ e $F$. Cada equipe disputou, com cada uma das outras, exatamente uma partida. + +$\mathrm{Na}$ tabela de classificação do campeonato, ao lado, V indica o número de vitórias, $\mathrm{E}$ o número de empates, $\mathrm{D}$ o número de derrotas, GP o número de gols marcados e GC o número de gols sofridos de cada equipe. + +(a) Quantas partidas foram disputadas? + +| | $\mathbf{V}$ | $\mathbf{E}$ | $\mathbf{D}$ | $\mathbf{G P}$ | $\mathbf{G C}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $A$ | 4 | 1 | 0 | 6 | 2 | +| $B$ | 2 | 1 | 2 | 6 | 6 | +| $C$ | 0 | 3 | 2 | 2 | 6 | +| $D$ | 1 | 1 | $y$ | 3 | 6 | +| $E$ | 0 | 1 | 4 | 1 | 5 | +| $F$ | $x$ | 1 | 0 | $z$ | 3 | + +(b) A tabela está incompleta. Determine a quantidade de vitórias da equipe $F$, a quantidade de derrotas da equipe $D$ e a quantidade de gols marcados pela equipe $F$, representados por $x, y$ e $z$ na tabela. + +24. Dividindo o paralelepipedo - Um bloco de madeira na forma de um paralelepípedo retângulo tem $320 \mathrm{~cm}$ de comprimento, $60 \mathrm{~cm}$ de largura e $75 \mathrm{~cm}$ de altura. O bloco é cortado várias vezes, com cortes paralelos às suas faces, de modo a subdividi-lo em blocos menores, todos na forma de paralelepípedos retângulo de $80 \mathrm{~cm}$ de comprimento por $30 \mathrm{~cm}$ de largura por $15 \mathrm{~cm}$ de altura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-005.jpg?height=363&width=402&top_left_y=958&top_left_x=1475) + +(a) Quantas peças foram obtidas? + +(b) Um metro cúbico dessa madeira pesa aproximadamente $900 \mathrm{~kg}$. Qual é o peso de cada uma dessas peças? + +25. Uma calculadora - Uma calculadora possui duas teclas especiais: + +- a tecla A, que duplica o número que aparece no visor; e +- a tecla $\mathrm{B}$, que acrescenta uma unidade ao número que aparece no visor. + +Por exemplo, se o número 45 estiver no visor e for apertada a tecla B, o visor mostrará o número 46. Se, em seguida, apertarmos a tecla $\mathrm{A}$, o visor mostrará o número 92 . Nesse exemplo, apertamos ao todo duas vezes as teclas A e B: uma vez a tecla B e depois uma vez a tecla A, para, a partir de 45 , chegar ao 92 . Suponha que no visor esteja o número 1. Indique uma maneira de obter o número: + +(a) 10 apertando um total de quatro vezes as teclas $\mathrm{A}$ e $\mathrm{B}$; + +(b) 15 apertando um total de seis vezes as teclas $\mathrm{A}$ e B; + +(c) 100 apertando um total de oito vezes as teclas A e B. + +26. Ano bissexto - Um ano comum tem 365 dias e um ano bissexto, 366 dias. O ano bissexto, quando o mês de fevereiro tem 29 dias, ocorre a cada quatro anos. + +(a) Com frequência dizemos "Um ano comum tem 52 semanas". Será correta essa afirmação? E para um ano bissexto? Justifique suas respostas. + +(b) Se um ano comum inicia numa terça-feira, então o ano seguinte iniciará em qual dia da semana? +(c) Responda a pergunta anterior para um ano bissexto. + +27. Números triangulares - O famoso matemático grego Pitágoras denominou os números obtidos pela soma dos primeiros números inteiros positivos de números triangulares. Por exemplo, 1, 3, 6 e 10 são números triangulares. + +$$ +\begin{aligned} +1 & =1 \\ +3 & =1+2 \\ +6 & =1+2+3 \\ +10 & =1+2+3+4 +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-006.jpg?height=300&width=717&top_left_y=575&top_left_x=1069) + +A figura ilustra a motivação para o nome dos números triangulares. A sequência de números triangulares continua com $1+2+3+4+5=15,1+2+3+4+5+6=21$ etc. Quantos são os números triangulares menores do que 100 ? + +28. Livros separados - Uma bibliotecária recebe 130 livros de Matemática e 195 livros de Português. Ela quer arrumá-los em estantes, colocando igual quantidade de livros em cada estante, sem misturar livros de Matemática e de Português na mesma estante. Quantos livros ela deve colocar em cada estante para que o número de estantes utilizadas seja o menor possível? +29. Alunos com óculos - A sexta parte dos alunos de uma classe usam óculos. Dentre os que usam óculos, uma terça parte são meninas; além disso, quatro meninos usam óculos. Quantos são os alunos dessa classe? +30. Quadrado mágico - Complete as casas em branco da tabela ao lado com frações, de tal modo que a soma dos três números de qualquer linha, qualquer coluna e das duas diagonais seja sempre a mesma. + +| | | $3 / 5$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | $1 / 2$ | | +| 0,4 | 0,5 | | + +31. Três algarismos - Sejam $A, B$ e $C$ algarismos diferentes de zero tais que $(A B)^{2}=$ $C A B$, isto é, o número de dois algarismos $A B$ elevado ao quadrado dá o número de três algarismos $C A B$. Determine o valor de $A+B+C$. +32. Pintando quadradinhos - Uma faixa quadriculada tem 5 quadradinhos na largura e 250 quadradinhos no comprimento. Alguns quadradinhos serão pintados de cinza, começando da esquerda, conforme o modelo ilustrado na figura, e continuando com este padrão até chegar ao final da faixa, à direita. + +Quantos quadradinhos não serão pintados? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-006.jpg?height=328&width=763&top_left_y=2366&top_left_x=678) + +33. A cisterna do João - João tem, em seu jardim, uma cisterna na qual ele armazena água de chuva e tira água para regar suas flores. À meia-noite do dia 31 de dezembro de 2005, a cisterna continha 156 litros de água. João tem o hábito de anotar em um quadro, todo dia, o número de litros de água que ele gasta para regar as flores e o de água recolhida da chuva. + +Ao lado vemos parte do quadro referente aos primeiros 8 dias de janeiro de 2006. Quantos litros de água havia na cisterna do João à meia noite do dia 8 de janeiro de 2006? + +| Jan | flores(l) | chuva(l) | +| :---: | :---: | :---: | +| 1 | 6 | 2,5 | +| 2 | 9 | 0 | +| 3 | 0 | 5 | +| 4 | 4 | 0 | +| 5 | 9 | 3 | +| 6 | 0 | 0 | +| 7 | 11 | 4,5 | +| 8 | 0 | 0 | + +34. O múltiplo de 13 - Da igualdade $9174532 \times 13=119268916$ pode-se concluir que um dos números a seguir é divisível por 13. Qual é esse número? +(a) 119268903 +(c) 119268911 +(e) 119268923 +(b) 119268907 +(d) 119268913 +35. Um bilhão - Arnaldo afirmou que um bilhão é o mesmo que um milhão de milhões. O professor Piraldo o corrigiu e disse, corretamente, que um bilhão é o mesmo que mil milhões. Qual é a diferença entre o valor correto de um bilhão e a afirmação de Arnaldo? +(a) 1000 +(b) 999000 +(c) 1000000 +(d) 999000000 +(e) 999000000000 +36. Energia de abelha - Com a energia fornecida por um litro de mel, uma abelha consegue voar 7000 quilômetros. Quantas abelhas conseguiriam voar um quilômetro, cada uma, com a energia fornecida por 10 litros de mel? +(a) 7000 +(b) 70000 +(c) 700000 +(d) 7000000 +(e) 70000000 +37. Perda de safra - Um agricultor esperava receber cerca de $\mathrm{R} \$ 100000,00$ pela venda de sua safra. Entretanto, a falta de chuva provocou uma perda da safra avaliada entre uma quinta parte e uma quarta parte do total previsto. Qual dos valores a seguir pode representar a perda do agricultor, em reais? +(a) 21987,53 +(b) 34900,00 +(c) 44999,99 +(d) 51987,53 +(e) 60000,00 +38. Placa decorativa - Uma placa decorativa consiste num quadrado branco de quatro metros de lado, pintado de forma simétrica com partes em cinza, conforme a figura. Qual é a fração da área da placa que foi pintada? +(a) $\frac{1}{2}$ +(b) $\frac{1}{3}$ +(c) $\frac{3}{8}$ +(d) $\frac{6}{13}$ +(e) $\frac{7}{11}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-007.jpg?height=360&width=394&top_left_y=2204&top_left_x=1502) + +39. O suco do Diamantino - Diamantino colocou três litros de água e um litro de refresco num recipiente. O refresco é composto de $20 \%$ de suco de laranja e $80 \%$ de +água. Depois de misturar tudo, que porcentagem do volume final representa o suco de laranja? +(a) $5 \%$ +(b) $7 \%$ +(c) $8 \%$ +(d) $20 \%$ +(e) $60 \%$ +40. Uma eleição - Três candidatos concorreram à eleição de representante de uma turma de escola: João, Rosa e Marcos. João obteve $2 / 7$ dos votos e Rosa $2 / 5$ dos votos. Quem ganhou a eleição? +41. Soma de potências - Qual é o valor de $2^{6}+2^{6}+2^{6}+2^{6}-4^{4}$ ? +(a) 0 +(b) 2 +(c) 4 +(d) $4^{2}$ +(e) $4^{4}$ +42. Seis retângulos - Com seis retângulos idênticos formamos um retângulo maior, com um dos lados medindo $21 \mathrm{~cm}$, como na figura. Qual é a área do retângulo maior, em $\mathrm{cm}^{2}$ ? +(a) 210 +(b) 280 +(c) 430 +(d) 504 +(e) 588 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-008.jpg?height=285&width=465&top_left_y=874&top_left_x=1341) + +43. Duas populações - Há três anos, a população de Pirajussaraí era igual à população que Tucupira tem hoje. De lá para cá, a população de Pirajussaraí não mudou, mas a população de Tucupira cresceu $50 \%$. Hoje, a soma das populações das duas cidades é de 9000 habitantes. Qual era a soma dessas duas populações há três anos? +(a) 3600 +(b) 4500 +(c) 5000 +(d) 7200 +(e) 7500 +44. Três balanças - As balanças (1) e (2) da figura dada estão em equilíbrio. Sabe-se que todos os triângulos têm o mesmo peso, bem como todos os quadrados e também todos os círculos. Quantos quadrados devem ser colocados no prato direito da balança (3) para que ela também fique equilibrada? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-008.jpg?height=148&width=323&top_left_y=1768&top_left_x=501) + +(1) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-008.jpg?height=148&width=323&top_left_y=1768&top_left_x=889) + +$(2)$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-008.jpg?height=154&width=328&top_left_y=1765&top_left_x=1292) + +(3) +(a) 7 +(b) 8 +(c) 9 +(d) 10 +(e) 12 + +45. Poucos domingos - Em um ano, no máximo quantos meses têm cinco domingos? +(a) 3 +(b) 4 +(c) 5 +(d) 6 +(e) 7 +46. Metade de potência - Qual é a metade do número $2^{12}+3 \times 2^{10}$ ? +(a) $2^{6}+3 \times 2^{5}$ +(b) $2^{6}+3 \times 2^{10}$ +(c) $2^{1} 1+3 \times 2^{5}$ +(d) $2^{11} \times 7$ +(e) $2^{9} \times 7$ +47. Minutos demais - Neste momento, são 18 horas e 27 minutos. Qual era o horário 2880717 minutos mais cedo? +(a) $6 \mathrm{~h} 22 \mathrm{~min}$ +(b) $6 \mathrm{~h} 24 \mathrm{~min}$ +(c) $6 \mathrm{~h} 27 \mathrm{~min}$ +(d) $6 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$ +(e) $6 \mathrm{~h} 32 \mathrm{~min}$ +48. Dois ônibus - Os alunos de uma escola participaram de uma excursão, para a qual foram contratados dois ônibus. Quando os ônibus chegaram, 57 alunos entraram no primeiro ônibus e apenas 31 no segundo. Quantos alunos devem passar do primeiro para o segundo ônibus para que seja transportada a mesma quantidade de alunos nos dois ônibus? +(a) 8 +(b) 13 +(c) 16 +(d) 26 +(e) 31 +49. Cubo de papelão - Em qual das alternativas abaixo aparecem dois pedaços de papelão com os quais pode-se construir um cubo, dobrando pelas linhas tracejadas e colando pelas linhas contínuas? +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-009.jpg?height=214&width=320&top_left_y=830&top_left_x=454) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-009.jpg?height=228&width=346&top_left_y=817&top_left_x=912) +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-009.jpg?height=228&width=306&top_left_y=817&top_left_x=1389) +(d) +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-009.jpg?height=158&width=318&top_left_y=1166&top_left_x=436) +(e) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-009.jpg?height=262&width=283&top_left_y=1074&top_left_x=909) + +50. Algarismo das unidades - Qual é o algarismo das unidades do número + +$$ +1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times 97 \times 99 ? +$$ + +(a) 1 +(b) 3 +(c) 5 +(d) 7 +(e) 9 + +51. Região sombreada - A figura mostra um retângulo formado por 18 quadrados iguais com algumas partes sombreadas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-009.jpg?height=140&width=551&top_left_y=1695&top_left_x=1324) +Qual é a fração da área do retângulo que está sombreada? +(a) $\frac{7}{18}$ +(b) $\frac{4}{9}$ +(c) $\frac{1}{3}$ +(d) $\frac{5}{9}$ +(e) $\frac{1}{2}$ + +52. Colorindo um mapa - A figura mostra o mapa de um país (imaginário) constituído por cinco estados. Deseja-se colorir esse mapa com as cores verde, azul e amarelo, de modo que dois estados vizinhos não possuam a mesma cor. De quantas maneiras diferentes o mapa pode ser pintado? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-009.jpg?height=274&width=374&top_left_y=2053&top_left_x=1503) +(a) 12 +(b) 6 +(c) 10 +(d) 24 +(e) 120 + +53. Pintando um tabuleiro - As nove casas de um tabuleiro $3 \times 3$ devem ser pintadas de forma que em cada coluna, cada linha e cada uma das duas diagonais não haja duas casas de mesma cor. Qual é o menor número de cores necessárias para isso? +(a) 3 +(b) 4 +(c) 5 +(d) 6 +(e) 7 +54. Número $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ - Considere um número escrito na forma decimal $X, Y$, onde $X$ e $Y$ são algarismos diferentes de 0 . Determine esse número, sabendo que $X, Y$ é igual a $\frac{3}{10}(X+Y)$. +55. Construção de casas - Em um mesmo lado de uma rua serão construídas seis casas vizinhas. As casas podem ser de alvenaria ou de madeira, mas como medida de segurança contra incêndio, duas casas de madeira não podem ser vizinhas. De quantas maneiras se pode planejar a construção dessas casas? +56. Comparação de grandezas - Qual é o maior dos números dados? +(a) $1000+0,01$ +(c) $1000 / 0,01$ +(e) $1000-0,01$ +(b) $1000 \times 0,01$ +(d) $0,01 / 1000$ +57. Maior número de seis algarismos - Qual é o maior número de seis algarismos que se pode encontrar suprimindo-se nove algarismos do número 778157260669103 , sem mudar a ordem de seus algarismos? +(a) 778152 +(b) 781569 +(c) 879103 +(d) 986103 +(e) 987776 +58. Qual é o numerador? - Se $\frac{n}{24}$ é um número entre $\frac{1}{6}$ e $\frac{1}{4}$, quem é $n$ ? +(a) 5 +(b) 6 +(c) 7 +(d) 8 +(e) 9 +59. Correndo menos - Correndo a uma velocidade de $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, João completa um certo percurso em seis minutos. Com qual velocidade, em $\mathrm{km} / \mathrm{h}$, ele pode completar o mesmo percurso em oito minutos? +(a) 7,5 +(b) 7,75 +(c) 8 +(d) 8,25 +(e) 8,5 +60. Cinco vizinhas - As vizinhas Elza, Sueli, Patrícia, Heloísa e Cláudia chegam juntas do trabalho e começam a subir as escadas do prédio de cinco andares onde moram. Cada uma mora num andar diferente. Heloísa chega a seu andar depois de Elza, mas antes de Cláudia. Quando Sueli chega ao seu andar, Heloísa ainda tem dois andares para subir e o mesmo ocorre com Patrícia quando Elza chega ao seu andar. Sueli não mora no primeiro andar. Em qual andar mora cada uma delas? +61. Potências de 9 - Qual é o valor da soma $9^{20}+9^{20}+9^{20}$ ? +(a) $9^{20}$ +(b) $3^{66}$ +(c) $9^{23}$ +(d) $3^{41}$ +(e) $3^{23}$ +62. Dois números - Miguel escolheu um número de três algarismos e outro de dois. Qual é a soma desses números se sua diferença é 989 ? +(a) 1000 +(b) 1001 +(c) 1009 +(d) 1010 +(e) 2005 +63. Menor natural - Qual é o menor número natural $n$ para o qual $10^{n}-1$ é um múltiplo de 37 ? +(a) 6 +(b) 5 +(c) 4 +(d) 3 +(e) 2 +64. Imunes à gripes - Num certo país com 14 milhões de habitantes, $0,15 \%$ da população contraiu uma certa gripe. Quantos habitantes não contraíram essa gripe? +(a) 13979000 +(b) 1397900 +(c) 139790 +(d) 13979 +(e) 139790000 +65. O código secreto - O código secreto de um grupo de alunos é um número de três algarismos distintos diferentes de 0 . Descubra o código utilizando as informações a seguir. + +$\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & \text { Nenhum algarismo correto. }\end{array}$ + +$4 \quad 5 \quad 6 \quad$ Só um algarismo correto na posição certa. + +$\begin{array}{llll}6 & 1 & 2 & \text { Só um algarismo correto, mas na posição errada. }\end{array}$ + +$\begin{array}{llll}5 & 4 & 7 & \text { Só um algarismo correto, mas na posição errada. }\end{array}$ + +$8 \quad 4 \quad 3$ Só um algarismo correto na posição certa. +(a) 137 +(b) 876 +(c) 768 +(d) 678 +(e) 576 + +66. Parênteses, colchetes e chaves - Qual é o valor de $2-2\{2-2[2-2(4-2)]\}$ ? +(a) 0 +(b) 2 +(c) -2 +(d) 4 +(e) -10 +67. Ordenando frações - Qual é a ordem crescente correta das frações $\frac{4}{3}, \frac{4}{5}, \frac{4}{6}, \frac{3}{5}, \frac{6}{5}$ e $\frac{2}{5} ?$ +(a) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{6}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3}$ +(d) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{4}{6}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3}$ +(b) $\frac{4}{3}<\frac{4}{6}<\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}$ +(e) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{4}{3}<\frac{4}{6}<\frac{6}{5}$ +(c) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{4}{6}<\frac{4}{3}<\frac{6}{5}$ +68. Números de três algarismos - Quantos números de três algarismos maiores do que 200 podem ser escritos, usando-se apenas os algarismos 1,3 e 5 ? +(a) 10 +(b) 12 +(c) 14 +(d) 15 +(e) 18 +69. Velocidade de maratona - Uma maratona de $42 \mathrm{~km}$ começou às $11 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$ e o vencedor terminou às 13h45min do mesmo dia. Qual foi a velocidade média do vencedor, $\mathrm{em} \mathrm{km} / \mathrm{h}$ ? +(a) 18,6 +(b) 25,3 +(c) 29 +(d) 32,5 +(e) 38 +70. Bilhetinhos com números - Cinco alunas escreveram cada uma um número num papel. Os números só podiam ser 1 ou 2 ou 4. Qual pode ser o produto dos cinco números escritos? +(a) 100 +(b) 120 +(c) 256 +(d) 768 +(e) 2048 +71. Produto de frações - Qual é o valor do produto $\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)$ ? +(a) $\frac{119}{120}$ +(b) $\frac{5}{7}$ +(c) $2 \frac{43}{60}$ +(d) $\frac{1}{5}$ +(e) $\frac{1}{120}$ +72. Produto máximo - A soma de dois números naturais é 11. Qual é o maior produto possível que se pode obter com esses números? +(a) 30 +(b) 22 +(c) 66 +(d) 24 +(e) 28 +73. Quem é o cubo? - Se $m$ é um número natural tal que $3^{m}=81$, quanto vale $m^{3}$ ? +(a) $81^{3}$ +(b) $3^{81}$ +(c) 64 +(d) 24 +(e) 48 +74. Qual é o maior? - Se $a-1=b+2=c-3=d+4$, qual é o maior dentre os números $a, b, c$ e $d$ ? +(a) $a$ +(b) $b$ +(c) $c$ +(d) $d$ +(e) São todos iguais +75. Quatro formiguinhas - Quatro formigas atravessam o piso de uma sala coberto de lajotas retangulares, segundo os trajetos indicados na figura. Qual é o comprimento do trajeto percorrido por Biloca? + +(a) $30 \mathrm{dm}$ + +(b) $43 \mathrm{dm}$ + +(c) $55 \mathrm{dm}$ + +(d) $24 \mathrm{dm}$ + +(e) $48 \mathrm{dm}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-012.jpg?height=325&width=951&top_left_y=1411&top_left_x=698) + +76. Trocando figurinhas - Célia quer trocar com Guilherme figurinhas de um álbum sobre animais brasileiros. Célia quer trocar quatro figurinhas de borboleta, cinco de tubarão, três de cobra, seis de periquito e seis de macaco. Todas as figurinhas de Guilherme são de aranha. Eles sabem que + +(a) uma figurinha de borboleta vale três figurinhas de tubarão; + +(b) uma figurinha de cobra vale três figurinhas de periquito; + +(c) uma figurinha de macaco vale quatro figurinhas de aranha; + +(d) uma figurinha de periquito vale três figurinhas de aranha; + +(e) uma figurinha de tubarão vale duas figurinhas de periquito. + +Quantas figurinhas Célia poderá receber se ela trocar todas que quiser? + +77. Soma de frações - Qual é o valor da soma $\frac{10+20+30+40}{10}+\frac{10}{10+20+30+40}$ ? +(a) 1 +(b) 20 +(c) 30 +(d) 10,1 +(e) 1,01 +78. Geometria com palitos - A figura dada é formada por um triângulo e um retângulo, usando-se 60 palitos iguais. Para cada lado do triângulo são necessários seis palitos. Se cada palito mede $5 \mathrm{~cm}$ de comprimento, qual é a área $\left(\mathrm{em} \mathrm{cm}^{2}\right)$ do retângulo da figura? +(a) 1200 +(c) 2700 +(e) 4500 +(b) 1800 +(d) 3600 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-013.jpg?height=328&width=309&top_left_y=293&top_left_x=1573) + +79. Um incêndio e o bombeiro - Uma casa pega fogo. Um bombeiro se mantém no degrau do meio de uma escada, jogando água sobre o incêndio. As chamas diminuem e ele sobe cinco degraus. O vento sopra e o bombeiro desce sete degraus. Um pouco depois, ele sobe oito degraus e fica lá até acabar o incêndio. Então, ele sobe os últimos sete degraus e entra na casa. Quantos degraus tem a escada do bombeiro? +(a) 25 +(b) 26 +(c) 27 +(d) 28 +(e) 29 +80. Árvore genealógica - A figura mostra a árvore genealógica de uma família. Cada flecha vai do pai em direção ao seu filho. Quem é o irmão do pai do irmão do pai de Evaristo? + +(a) Francisco + +(b) José + +(c) André + +(d) Felipe + +(e) Simão + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-013.jpg?height=354&width=711&top_left_y=1279&top_left_x=747) + +81. Colcha quadrada - Uma colcha quadrada em branco e cinza é feita com quadrados e triângulos retângulos isósceles. A parte em cinza representa qual percentagem da colcha? +(a) $36 \%$ +(c) $45 \%$ +(e) $60 \%$ +(b) $40 \%$ +(d) $50 \%$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-013.jpg?height=297&width=311&top_left_y=1713&top_left_x=1569) + +82. Falsas igualdades - Considere as igualdades a seguir. + +(i) $3 \times 10^{6}+5 \times 10^{2}=8 \times 10^{8}$ + +(iii) $5 \times 8+7=75$ + +(ii) $2^{3}+2^{-3}=2^{0}$ + +(iv) $5+5 \div 5=2$ + +Qual delas está correta? +(a) (i) +(b) (ii) +(c) (iii) +(d) (iv) +(e) Nenhuma + +83. Menor valor da soma - Se $a, b$ e $c$ são números inteiros positivos tais que $3 a=4 b=7 c$, qual é o menor valor possível de $a+b+c$ ? +(a) 84 +(b) 36 +(c) 61 +(d) 56 +(e) 42 +84. Procurando um quadrado perfeito - Um número é um quadrado perfeito se é igual a um número inteiro elevado ao quadrado. Por exemplo, $25=5^{2}, 49=7^{2}$ e $125=25^{2}$ são quadrados perfeitos. Qual é o menor número pelo qual devemos multiplicar 120 para obter um quadrado perfeito? +(a) 10 +(b) 15 +(c) 20 +(d) 30 +(e) 35 +85. Visitas num museu - A máquina que registra o número de visitantes de um museu marca 1879564 . Note que esse número tem todos os algarismos distintos. Qual é o menor número de visitantes que são necessários para que a máquina registre um outro número que também tenha todos os seus algarismos distintos? +(a) 35 +(b) 36 +(c) 38 +(d) 47 +(e) 52 +86. Ligando números por flechas - Os números de 0 a 2000 foram ligados por flechas; a figura dada mostra o começo do processo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-014.jpg?height=168&width=951&top_left_y=1087&top_left_x=587) + +Qual é a sucessão de flechas que liga o número 1997 ao número 2000? +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-014.jpg?height=114&width=205&top_left_y=1379&top_left_x=363) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-014.jpg?height=91&width=151&top_left_y=1405&top_left_x=701) +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-014.jpg?height=123&width=220&top_left_y=1383&top_left_x=981) +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-014.jpg?height=120&width=206&top_left_y=1379&top_left_x=1622) + +87. Múltiplos de 9 - Encontre o menor múltiplo positivo de 9 que pode ser escrito apenas com os algarismos: (a) 0 e 1 ; $\quad$ (b) 1 e 2 . +88. A florista - Uma florista colheu $49 \mathrm{~kg}$ de flores do campo. O quilograma das flores pode ser vendido imediatamente a $\mathrm{R} \$ 1,25$ ou, mais tarde, com as flores desidratadas, a $R \$ 3,25$. O processo de desidratação faz as flores perderem $5 / 7$ de seu peso. Qual é o tipo de venda mais lucrativo para a florista? +89. Divisores - Seja $N$ o menor número que tem 378 divisores e é da forma $2^{a} \times 3^{b} \times 5^{c} \times 7^{d}$. Quanto vale cada um desses expoentes? +90. O produto dos algarismos - Denotemos por $P(n)$ o produto dos algarismos do número $n$. Por exemplo, $P(58)=5 \times 8=40$ e $P(319)=3 \times 1 \times 9=27$. + +(a) Dentre os números de 1 a 999, quais são os que têm produto dos algarismos igual a 12 , isto é, quais são os inteiros $n$ tais que $1 \leq n<1000$ e $P(n)=12$ ? + +(b) Quantos números inteiros existem entre 0 e 200 cujo produto dos algarismos seja igual a 0 , isto é, quantos inteiros $n$ existem tais que $1 \leq n<200$ e $P(n)=0$ ? + +(c) Quais são os números inteiros $1 \leq n<200$ tais que $37 $16 \mathrm{~m}^{2}$ | Sala
$24 \mathrm{~m}^{2}$ | +| :---: | :---: | +| Quintal
$4 \mathrm{~m}^{2}$ | inha | + +93. O passeio do Matias - Matias passeia de bicicleta nas ruas em volta de quatro quarteirões perto de sua casa, dispostos como na figura. O seu passeio consiste em fazer o maior percurso possível, mas ele inventou uma regra para se divertir mais, a saber: ele pode passar várias vezes pelos cruzamentos das ruas, mas ele não pode passar mais do que uma vez pela mesma rua, devendo terminar seu passeio de bicicleta quando não puder mais respeitar essa condição. Os quatro quarteirões são quadrados, cada um com 100 metros de lado e a largura das ruas não é considerada relevante. Partindo do ponto indicado por $P$ na figura, qual é o maior desses percursos de bicicleta que Matias pode fazer? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-015.jpg?height=326&width=289&top_left_y=1202&top_left_x=1563) + +94. O adesivo dos carros oficiais - O prefeito de uma cidade decidiu colocar adesivo em cada carro oficial. O adesivo terá uma forma retangular, com seis quadrados dispostos em $2 \times 3$ e com três cores: um quadrado azul, dois quadrados amarelos e três quadrados verdes. Dentre quantos tipos diferentes de adesivo o prefeito poderá escolher? +95. Adição de números - Qual é o algarismo $a$ em $a 000+a 998+a 999=22$ 997? +96. Cubo perfeito e divisibilidade - Quais são os cubos perfeitos que dividem $9^{4}$ ? +97. Localização de um ponto - Qual é o ponto indicado na figura? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-015.jpg?height=131&width=674&top_left_y=2162&top_left_x=771) + +98. Cálculo de porcentagem - Se você acerta 58/84 das 84 questões de um teste, qual é o seu percentual de acertos? +99. Comparação de algarismos - Dizemos que um número é ascendente se cada um de seus algarismos for maior do que o algarismo que está à sua esquerda. Por exemplo, 2568 é ascendente e 175 não é. Quantos números ascendentes existem entre 400 e 600? +100. Muro colorido - Um muro deve ser construído conforme a figura com 14 tijolos coloridos, disponíveis em amarelo, azul e vermelho, cujos preços estão dados na tabela. Se dois tijolos quaisquer que se toquem devem ser de cores diferentes, qual é o menor valor que se gastará na compra desses 14 tijolos? + +| tijolo | $\mathrm{R} \$$ | +| :--- | :---: | +| amarelo | 6 | +| azul | 7 | +| vermelho | 8 | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-016.jpg?height=234&width=509&top_left_y=511&top_left_x=999) + +101. Divisores e fatoração - Decomponha 96 em dois fatores inteiros positivos cuja soma dos quadrados seja 208. +102. O retângulo do Luís - Luís desenhou um retângulo de $6 \times 10 \mathrm{~cm}$ e quer dividi-lo em quatro partes. As áreas das 4 partes devem medir 8, 12, 16 e $24 \mathrm{~cm}^{2}$. Desenhe como ele pode fazer essa divisão. +103. Comparação de números - Escreva em ordem crescente os números + +$$ +\sqrt{121}, \quad \sqrt[3]{729} \quad \text { e } \quad \sqrt[4]{38416} +$$ + +104. As moedas - Uma brincadeira começa com sete moedas alinhadas em cima de uma mesa, todas com a face coroa virada para cima. Para ganhar a brincadeira, é preciso virar algumas moedas, de tal modo que, no final, duas moedas vizinhas estejam sempre com faces diferentes viradas para cima. A regra da brincadeira é virar duas moedas vizinhas em cada jogada. Quantas jogadas são necessárias, no mínimo, para ganhar a brincadeira? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-016.jpg?height=143&width=842&top_left_y=1650&top_left_x=641) + +105. O preço do frango - O preço do quilograma de frango era $R \$ 1,00$ em janeiro de 2000, quando começou a triplicar a cada 6 meses. Em quanto tempo o preço atingirá $\mathrm{R} \$ 81,00$ ? +(a) 1 ano +(b) 2 anos +(c) $2 \frac{1}{2}$ anos +(d) 13 anos +(e) $13 \frac{1}{2}$ anos +106. Excursões a Foz do Iguaçu - Em 2005, uma agência de turismo programou uma excursão para Foz do Iguaçu, distribuindo as pessoas em ônibus de 27 lugares, tendo sido necessário formar um ônibus incompleto, com 19 lugares ocupados. Em 2006, aumentou em 53 o número de participantes e a agência continuou a utilizar ônibus de 27 lugares. Quantos ônibus a mais foram necessários e quantas pessoas ficaram no ônibus incompleto em 2006? +107. As frações de Laura - Laura desenhou cinco círculos, dentro dos quais ela quer colocar números inteiros positivos, de tal modo que formem uma igualdade entre uma fração e seu valor inteiro. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-016.jpg?height=131&width=328&top_left_y=2547&top_left_x=1498) + +De quantas maneiras pode Laura colocar os números 2, 3, 5, 6 e 11 dentro dos cinco círculos para que a igualdade seja verdadeira? + +108. Cálculo da unidade - Qual é o algarismo da unidade do produto + +$$ +(5+1)\left(5^{3}+1\right)\left(5^{6}+1\right)\left(5^{12}+1\right) ? +$$ + +(a) 0 +(b) 1 +(c) 2 +(d) 5 +(e) 6 + +109. Números cruzados - Francisco escreveu 28 algarismos numa tabela $6 \times 6$ e pintou de preto as demais casas, como nas palavras cruzadas. Ele fez a lista de todos os números, + +| 28 | 45 | 51 | 57 | 72 | 88 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 175 | 289 | 632 | 746 | 752 | 805 | +| 885 | 5647 | 5873 | 7592 | 8764 | | + +em ordem crescente, que podem ser lidos horizontal ou verticalmente, excluindo os números de um só algarismo. Preencha a tabela escrevendo de volta os números de Francisco. Um algarismo já foi colocado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-017.jpg?height=337&width=346&top_left_y=1008&top_left_x=1529) + +110. Ovos e maçãs - Num certo armazém, uma dúzia de ovos e 10 maçãs tinham o mesmo preço. Depois de uma semana, o preço dos ovos caiu $10 \%$ e o da maçã subiu $2 \%$ Quanto se gastará a mais na compra de uma dúzia de ovos e 10 maçãs? +(a) $2 \%$ +(b) $4 \%$ +(c) $10 \%$ +(d) $12 \%$ +(e) $12,2 \%$ +111. Dividindo números decimais - Sabendo que $144 \times 177=25488$, podemos concluir que $254,88 \div 0,177$ é igual a: +(a) 1440 ; +(b) 14,4 ; +(c) 1,44 ; +(d) 0,144 ; +(e) 144 . +112. Almoço dos amigos - Júlio e Denise almoçaram num restaurante que oferece três tipos de prato e três tipos de vitamina, cujos preços estão na tabela ao lado. Cada um escolheu um prato e uma vitamina. Júlio gastou 6 reais a mais do que Denise. Quanto Denise gastou? + +| | $\mathrm{R} \$$ | +| :--- | :---: | +| prato simples | 7 | +| prato com carne | 11 | +| prato com peixe | 14 | +| vitamina de leite | 6 | +| vitamina de frutas | 7 | +| vitamina especial | 9 | + +113. Somas de três em três - Encontre quatro números inteiros positivos que, somados de três em três, dão somas $6,7,8$ e 9 . +114. O passeio do Jorge - Jorge passeia por um caminho em forma de retângulo, onde estão dispostas 12 árvores, brincando de tocar cada árvore durante seu passeio. Primeiro ele toca a árvore do canto, assinalada com $P$ na figura, e percorre 32 metros num + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-017.jpg?height=206&width=331&top_left_y=2421&top_left_x=1508) +mesmo sentido do percurso; aí ele volta 18 metros e depois retorna ao sentido inicial +por mais 22 metros. Entre duas árvores consecutivas, a distância é de $5 \mathrm{~m}$. Em quantas árvores ele tocou? + +115. A descoberta do algarismo - Os quadrados dos números naturais de 1 a 99 foram escritos um após o outro, formando o número 14916253649... Qual é o algarismo que ocupa a 100a posição? (As posições são contadas da esquerda para a direita, portanto, a $1^{\underline{a}}$ posição é a do 1 , a $2^{\underline{a}}$ é a do 4 , e assim por diante.) +116. OBMEP - Cada um dos sete discos $X, Z, O, B, M, E$ e $P$ da figura tem um peso diferente, que varia de 1 a $7 \mathrm{~g}$. Em algumas interseções de dois discos, indicamos a soma dos pesos desses dois discos. Qual é a soma dos pesos dos cinco discos $O, B, M, E$ e $P$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-018.jpg?height=388&width=616&top_left_y=917&top_left_x=777) + +117. Prédio misterioso - As figuras mostram as plantas de dois andares de um prédio que guarda segredos muito valiosos. Há nove elevadores que atendem esses dois andares, representados por letras. Qual o caminho mais curto entre a entrada indicada de um andar e a saída indicada do outro? +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-018.jpg?height=394&width=1036&top_left_y=1636&top_left_x=523) +118. Soma de frações - Qual é o valor de $\frac{1}{10}-\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}$ ? +119. Biblioteca - A biblioteca de uma escola comprou 140 novos livros, ficando com $\frac{27}{25}$ do número de livros que tinha antes da compra. O número de livros antes dessa compra era: +(a) 1750 ; +(b) 2500 ; +(c) 2780 ; +(d) 2140 ; +(e) 1140. +120. Comparação de frações - Existem quantas frações menores do que 1, nas quais o numerador e o denominador são números inteiros positivos de um só algarismo? +121. Divisão com resto - Quais são os números que deixam resto 5 ao dividir 2007 ? +122. Panelas - Uma panela pesa $645 \mathrm{~g}$ e uma outra $237 \mathrm{~g}$. José divide $1 \mathrm{~kg}$ de carne entre as duas panelas, de modo que as duas, com seus conteúdos, ficam com o mesmo peso. Quanto de carne ele colocou em cada panela? +123. Dominós - Juliana representou uma multiplicação com 5 dominós. Seu irmão Bruno trocou dois dominós de posição e agora a multiplicação ficou errada. Troque de volta a posição de dois dominós para que a multiplicação fique novamente correta. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-019.jpg?height=400&width=868&top_left_y=794&top_left_x=685) + +124. Código secreto - Antônio precisa descobrir um código de 3 algarismos diferentes $A, B$ e $C$. Ele sabe que $B$ é maior que $A$, que $A$ é menor do que $C$ e também que valem as igualdades seguintes. + +$$ +\begin{aligned} +& \begin{array}{|l|l|} +\hline B & B \\ +\hline A & A \\ +\hline +\end{array}+\begin{array}{|l|l|l|l|} +\hline C & C \\ +\hline +\end{array}=\begin{array}{|l|l|l|} +\hline 2 & 4 & 2 \\ +\hline +\end{array} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-019.jpg?height=60&width=483&top_left_y=1529&top_left_x=752) + +Qual é o código que Antônio procura? + +125. Os doze pontos - Doze pontos estão marcados numa folha de papel quadriculado, conforme mostra a figura. Qual é o número máximo de quadrados que podem ser formados unindo quatro desses pontos? +126. Relógio - O grande relógio de parede da escola marca a data (dia, mês e ano) e as horas (horas e minutos), como na figura. Em que dia, mês e ano voltarão a aparecer juntos no relógio esses mesmos 10 algarismos pela primeira vez? +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-019.jpg?height=548&width=290&top_left_y=1730&top_left_x=1586) +127. Lápis - Setenta e quatro lápis foram embalados em 13 caixas. Se a capacidade máxima de cada caixa é de seis lápis, qual é o número mínimo de lápis que pode haver em uma caixa? +(a) 1 +(b) 2 +(c) 3 +(d) 4 +(e) 6 +128. Contagem - Se o algarismo 1 aparece 171 vezes na numeração das páginas de um livro, quantas páginas tem o livro? +129. Viagem a Recife - Quando fui receber a medalha de ouro que conquistei na OBMEP, apareceram as seguintes informações nas telas da cabine de passageiros do meu voo para Recife: + +$$ +\begin{aligned} +\text { Velocidade média: } & 864 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \\ +\text { Distância do local de partida: } & 1222 \mathrm{~km} \\ +\text { Tempo de chegada a Recife: } & 1 \mathrm{~h} 20 \mathrm{~min} +\end{aligned} +$$ + +Se o avião manteve a mesma velocidade, então qual é a distância, aproximadamente, em quilômetros, entre Recife e a cidade em que começou meu voo? +(a) 2300 +(b) 2400 +(c) 2500 +(d) 2600 +(e) 2700 + +130. Praça - Maria e João dão uma volta completa na praça, juntos, contando as casas que ficam em volta da praça. Eles começaram a contar as casas em pontos diferentes. A quinta casa da Maria é a décima segunda do João e a quinta casa do João é a trigésima da Maria. Quantas casas há em volta da praça? +131. Sequência de figuras - As figuras $\triangle, \boldsymbol{\Lambda}, \diamond, \boldsymbol{\uparrow}, \odot$ e $\square$ são repetidas indefinidamente na sequência + +$$ +\triangle, \boldsymbol{\leftrightarrow}, \diamond, \boldsymbol{\uparrow}, \odot, \square, \triangle, \boldsymbol{\leftrightarrow}, \diamond, \boldsymbol{\phi}, \odot, \square, \ldots +$$ + +(a) Que figura aparecerá na $1000^{a}$ posição da sequência? + +(b) Em qual posição aparece o milésimo $\diamond$ ? + +132. A brincadeira com o quadrado - Um quadrado de $1 \mathrm{~m}$ de lado foi cortado, com cortes paralelos aos seus lados, em quadradinhos de $1 \mathrm{~mm}$ de lado. Colocando-se lado a lado os quadradinhos, sem superposição, formou-se um retângulo de $1 \mathrm{~mm}$ de largura. Qual é o comprimento desse retângulo? +133. O código da Arca do Tesouro - Simão precisa descobrir um número escondido na tabela fornecida, que é o código da Arca do Tesouro. + +Para descobrir o código, ele precisa formar todos os grupos de três algarismos que estejam em casas sucessivas, na horizontal ou na vertical, e cuja soma seja 14. Retirados da tabela todos os possíveis números desses grupos, o código é a soma dos + +| 5 | 9 | 4 | 9 | 4 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| 6 | 3 | 7 | 3 | 4 | 8 | +| 8 | 2 | 4 | 2 | 5 | 5 | +| 7 | 4 | 5 | 7 | 5 | 2 | +| 2 | 7 | 6 | 1 | 2 | 8 | +| 5 | 2 | 3 | 6 | 7 | 1 | + +números que restam na tabela. Qual é esse código? + +134. Operações com decimais - Efetue a divisão $\frac{(0,2)^{3}+1}{0,2+1}$. +135. Fatores inteiros - Decompor 96 em dois fatores inteiros cuja soma dos quadrados seja 208 . +136. Divisibilidade - No número $6 a 78 b$, $a$ denota o algarismo da unidade de milhar e $b$ denota o algarismo da unidade. Se $6 a 78 b$ for divisível por 45, então o valor de $a+b$ é: +(a) 5 ; +(b) 6 ; +(c) 7 ; +(d) 8 ; +(e) 9 . +137. Número simples - Digamos que um número inteiro positivo seja simples se ele tiver apenas os algarismos 1 ou 2 (ou ambos). Quantos números menores do que 1 milhão são simples? +138. Venda de $\boldsymbol{T V}$ - O gerente de uma loja foi verificar qual tinha sido o preço de venda de uma televisão da marca VejoTudo em 2006. Ele encontrou uma fatura meio apagada, em que se podia ler "lote de $72 \mathrm{TVs}$ da VejoTudo vendido por $\mathrm{R} \${ }_{-} 6.79_{-}, 00$ ", mas o algarismo da dezena de milhar e o da unidade do preço pago pelo lote estavam ilegíveis. Qual foi o preço de venda de cada uma dessas televisões em 2006? +139. Chocolate - Henrique comprou barras de chocolate por $\mathrm{R} \$ 1,35$ cada uma. Ele pagou com uma nota de $\mathrm{R} \$ 10,00$ e recebeu um troco inferior a $\mathrm{R} \$ 1,00$. Quantas barras ele comprou? +140. $O$ quadradinho - Qual é o valor de $\square$ em $\frac{6400000}{400}=1,6 \times \square$ ? +141. Dois números - O produto de dois números de dois algarismos cada é 1728 . Se o máximo divisor comum (MDC) deles é 12, quais são esses números? +142. As idades dos irmãos - No dia de seu aniversário de 7 anos, em 13 de março de 2007, uma terça-feira, Carlos disse a seu irmão: "A contar de hoje, faltam 2000 dias para você completar 15 anos." Em que dia da semana vai cair o aniversário do irmão de Carlos? Quantos anos terá Carlos nesse dia? +143. A mistura de concreto - Uma certa mistura de concreto é feita de cimento, areia e terra, na razão de $1: 3: 5$ por quilo. Quantos quilos dessa mistura podem ser feitos com 5 quilos de cimento? +(a) $13 \frac{1}{3}$ +(b) 15 +(c) 25 +(d) 40 +(e) 45 +144. Ponto na escala - A que número corresponde o ponto $P$ indicado na escala dada? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-021.jpg?height=115&width=711&top_left_y=1947&top_left_x=752) + +145. O pomar do Francisco - O pomar do Francisco tem macieiras, pereiras, laranjeiras, limoeiros e tangerineiras, dispostas em cinco filas paralelas, cada uma com uma única variedade de árvores, da seguinte maneira: + +(a) as laranjeiras estão do lado dos limoeiros; + +(b) as pereiras não estão do lado das laranjeiras nem dos limoeiros; + +(c) as macieiras estão do lado das pereiras, mas não das laranjeiras, nem dos limoeiros. + +Em que fila estão as tangerineiras? +(a) $1 \underline{a}$ +(b) $2^{\underline{a}}$ +(c) $3^{a}$ +(d) $4^{\mathrm{a}}$ +(e) $5^{\underline{a}}$ + +146. Quatro quadrados - Quatro quadrados iguais estão superpostos formando a figura dada. Se cada um dos quatro quadrados tem uma área de $3 \mathrm{~cm}^{2}$, qual é a área dessa figura? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-022.jpg?height=372&width=671&top_left_y=445&top_left_x=732) + +147. O fio de arame - Ernesto formou a figura abaixo com um fio de arame, em que cada segmento de reta tem o comprimento do diâmetro dos semicírculos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-022.jpg?height=80&width=385&top_left_y=1059&top_left_x=847) + +Qual das figuras abaixo ele pode formar com esse mesmo fio de arame, cortando-o ou não, mas sem dobrá-lo ou desdobrá-lo? +(a) +0 +(b) $\square$ +(c) + + +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-022.jpg?height=114&width=77&top_left_y=1302&top_left_x=1475) +(e) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-022.jpg?height=106&width=88&top_left_y=1306&top_left_x=1692) + +148. Sequência de fósforos - Quantos fósforos são necessários para formar o oitavo termo da sequência cujos três primeiros termos estão dados? +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-022.jpg?height=98&width=774&top_left_y=1666&top_left_x=617) +(a) 21 +(b) 24 +(c) 27 +(d) 30 +(e) 34 +149. O trajeto das formiguinhas - As formiguinhas Maricota e Nandinha passeiam numa varanda cujo chão é formado por lajotas retangulares de $4 \mathrm{~cm}$ de largura por $6 \mathrm{~cm}$ de comprimento, conforme indicado na figura. Maricota parte do ponto $M$, Nandinha parte do $N$ e, ambas, andam apenas pelos lados das lajotas, percorrendo o trajeto no sentido indicado na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-022.jpg?height=321&width=511&top_left_y=1878&top_left_x=1318) + +(a) As duas formiguinhas se encontram depois de andarem uma mesma distância. Qual foi essa distância? + +(b) Em que ponto elas se encontraram? + +150. A soma é 100 - A soma de três números é 100 , dois são primos e um é a soma dos outros dois. + +(a) Qual é o maior dos três números? +(b) Dê um exemplo de tais três números. + +(c) Quantas soluções existem para esse problema? + +151. Código de barras - Um serviço postal usa barras curtas e barras longas para representar seu Código de Endereçamento Postal (CEP) composto por oito algarismos, em que a barra curta corresponde ao 0 (zero) e a longa ao 1 . A primeira e a última barras não fazem parte do código e a conversão do código é dada como segue. + +$$ +\begin{array}{ll} +11000=0 & 01100=5 \\ +00011=1 & 10100=6 \\ +01010=2 & 00001=7 \\ +00101=3 & 10001=8 \\ +00110=4 & 10010=9 +\end{array} +$$ + +(a) Escreva o CEP 36470130 na forma de código de barras. + +(b) Identifique o CEP que representa o código de barras seguinte. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-023.jpg?height=77&width=688&top_left_y=1115&top_left_x=770) + +152. Atletas da escola - Numa escola, um quarto dos alunos joga somente vôlei, um terço joga somente futebol, 300 praticam os dois esportes e 1/12 nenhum desses dois esportes. + +(a) Quantos alunos tem a escola? + +(b) Quantos alunos jogam somente futebol? + +(c) Quantos alunos jogam futebol? + +(d) Quantos alunos praticam pelo menos um dos dois esportes? + +153. Dízima periódica - Obtenha o algarismo da 1997- casa decimal de cada uma das frações seguintes. (a) $\frac{1}{22}$ + +(b) $\frac{1}{27}$ + +154. Ana na corrida - Para ganhar uma corrida, Ana precisa completar os últimos cinco quilômetros em menos de 20 minutos. Qual deve ser sua velocidade mínima, em $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ ? +155. Quadradinhos e o buraco - Quantos quadradinhos foram retirados do tabuleiro de $10 \times 20$ quadradinhos da figura? Se o lado de cada quadradinho mede $1 \mathrm{~cm}$, qual é a área e qual é o perímetro do "buraco"? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-023.jpg?height=449&width=877&top_left_y=2237&top_left_x=675) + +156. Quadrados perfeitos no retângulo - Complete as seis casas da tabela dada, colocando um algarismo em cada uma, de modo que os dois números de três algarismos formados na horizontal e os três números de dois algarismos formados na vertical sejam quadrados perfeitos. + +(a) Quais são os números? + +(b) Quantas soluções existem? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-024.jpg?height=132&width=272&top_left_y=505&top_left_x=1189) + +157. Aula de divisão - Na aula sobre divisão, a professora pediu que seus alunos colocassem números no lugar das estrelas. Quais são esses números? +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-024.jpg?height=114&width=146&top_left_y=811&top_left_x=378) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-024.jpg?height=117&width=151&top_left_y=810&top_left_x=650) +(c) $\star \frac{3}{7}$ +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-024.jpg?height=106&width=152&top_left_y=808&top_left_x=1196) + +158. Linhas de ônibus - No ponto de ônibus perto de sua casa, Quinzinho pode pegar os ônibus de duas linhas para ir à escola. Os ônibus de uma linha passam de 15 em 15 minutos e os da outra de 25 em 25 minutos, sendo que às $7 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~m}$ da manhã os ônibus das duas linhas passam juntos. + +(a) A que horas passarão juntos novamente? + +(b) Entre as 7h30min da manhã e a meia noite, quais são os horários em que os ônibus passam juntos nesse ponto perto da casa de Quinzinho? + +159. Quadrados dentro de um retângulo - O retângulo da figura está dividido em oito quadrados. $\mathrm{O}$ lado do menor quadrado mede $1 \mathrm{~cm}$. + +(a) Quanto mede os lados dos outros quadrados? + +(b) Qual é o perímetro desse retângulo? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-024.jpg?height=280&width=214&top_left_y=1456&top_left_x=1589) + +160. Festa na escola - A professora Ana foi comprar pão de queijo para homenagear os alunos premiados na OBMEP, sendo que + +- cada 100 gramas de pão de queijo custam $R \$ 3,20$ e correspondem a 10 pães de queijo; e +- cada pessoa come, em média, 5 pães de queijo. + +Além da professora, estarão presentes à festa 16 alunos, um monitor e 5 pais de alunos. A precisão da balança da padaria é de 100 gramas. + +(a) Quantos gramas de pão de queijo ela deve comprar para que cada pessoa possa comer, pelo menos, cinco pães? + +(b) Nesse caso, quanto a professora gastará? + +(c) Se cada pessoa comer cinco pães de queijo, sobrará algum pão de queijo? + +161. Ai que fome - Maria está olhando a tabela seguinte. + +| Salgados | Bebidas | Doces | +| :--- | :--- | :--- | +| Empada: $\mathrm{R} \$ 3,90$ | Refrigerante: $\mathrm{R} \$ 1,90$ | Sorvete: $\mathrm{R} \$ 1,00$ | +| Sanduíche: $\mathrm{R} \$ 2,20$ | Suco: $\mathrm{R} \$ 1,20$ | Bombom: $\mathrm{R} \$ 0,50$ | +| Pastel: $\mathrm{R} \$ 2,00$ | Refresco: $\mathrm{R} \$ 1,00$ | Cocada: $\mathrm{R} \$ 0,40$ | + +Maria possui 5 moedas de 50 centavos, 7 moedas de 25 centavos, 4 moedas de 10 centavos e 5 moedas de 5 centavos. + +(a) Quantos reais Maria possui? + +(b) Se Maria precisa guardar 90 centavos para a passagem de ônibus, quais os possíveis lanches que incluam um salgado, uma bebida e um doce ela poderá pedir? + +162. Advinhe - Tenho alguns números naturais cujo único divisor comum é 1. Se eu somar 50 a cada um deles, encontro números de dois algarismos. Se eu subtrair 32 de cada um deles, também encontro números naturais de dois algarismos. Quais são os números que eu tenho? +163. Produto de consecutivos - Dentre os números 712, 1262 e 1680, qual é o único que pode ser escrito como um produto de quatro números naturais consecutivos? +164. Palíndromos - O ano de 2002 é um palíndromo porque não se altera quando for lido da direita para a esquerda. + +373 e 1221 + +foram anos palíndromos. + +(a) Qual será o próximo ano palíndromo depois de 2002? + +(b) O último ano palíndromo, 1991, foi ímpar. Quando será o próximo ano palíndromo ímpar? + +(c) O último ano palíndromo primo ocorreu há mais de 1000 anos, em 929. Quando ocorrerá o próximo ano palíndromo primo? + +165. O maior $M D C$ - Quais são os seis números de dois algarismos cujo máximo divisor comum é o maior possível? +166. Quantidade de água na Terra - A Terra tem, aproximadamente, um volume de $1360000000 \mathrm{~km}^{3}$ de água, que se distribui entre os oceanos, os mares, as geleiras, as regiões subterrâneas (os aquíferos), os lagos, os rios e a atmosfera. Somente a água encontrada nesses três últimos itens oferece um acesso fácil ao consumo humano. Com estes dados, complete a tabela a seguir. + +| Especificações | Volume de água $\left(\mathrm{km}^{3}\right)$ | Percentual | Forma decimal do percentual | +| :--- | :---: | :---: | :---: | +| Água salgada | | $97 \%$ | | +| Água doce | 40000000 | | | +| Gelo | | $1,8 \%$ | | +| Água subterrânea | | | 0,00960 | +| Lagos e rios | 250000 | | 0,00001 | +| Vapor de água | | | 0,001 | + +167. Balas - De quantas formas podemos repartir 14 balas idênticas entre três crianças de modo que cada criança receba, no mínimo, três balas? +168. Minutos - Uma prova de Matemática começa às 12 h 35 min e tem uma duração de $4 \frac{5}{6}$ horas. A que horas termina a prova? +169. Menor número - Qual é o menor número de cinco algarismos divisível por 4 que se pode formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 9 ? +170. Contas do papagaio - Antônio tem um papagaio que faz contas fantásticas com números inteiros. Quando Antônio sopra certos números em seu ouvido, o papagaio multiplica esse número por 5 , depois soma 14, daí divide o resultado por 6 e, finalmente, subtrai 1, gritando o resultado em seguida. Entretanto, o papagaio não sabe nada sobre decimais, de modo que, às vezes, fica sem poder gritar resposta alguma. + +(a) Se Antônio soprar o número 8, qual número o papagaio gritará? + +(b) Se o papagaio gritou 3, qual foi o número que Antônio soprou em seu ouvido? + +(c) Porque o papagaio nunca grita o número 7? + +(d) Quais são os números que, soprados por Antônio, provocam uma resposta do papagaio? + +171. Soma maior do que 34 - Quantos números de quatro algarismos existem cuja soma dos algarismos seja maior do que 34 ? +172. Nenhum 1 - Roberto quer escrever o número 111111 como um produto de dois números, nenhum dos quais terminado em 1. Isso é possível? Por quê? +173. Números equilibrados - Um número é dito equilibrado se um de seus algarismos é a média aritmética dos outros. Por exemplo, 132, 246 e 777 são equilibrados. Quantos números equilibrados de três algarismos existem? +174. Números primos - Quais são os números cujos triplos somados com 1 dão um número primo entre 70 e 110 ? +175. Quadro moderno - Para fazer um quadro bem moderno para sua escola, Roberto divide uma tela quadrada em oito partes com quatro faixas de mesma largura e uma diagonal, como na figura. Ele pinta o quadro de azul e verde, de modo que duas partes vizinhas sempre tenham cores diferentes. No final, ele repara que usou mais verde do que azul. Que fração do quadro foi pintada de azul? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-026.jpg?height=299&width=297&top_left_y=2072&top_left_x=1528) + +176. Encontro de amigos - Embora eu tenha certeza de que meu relógio está 5 minutos adiantado, na realidade ele está 10 minutos atrasado. Por outro lado, o relógio do meu amigo está realmente 5 minutos adiantado, embora ele pense que seu relógio esteja certo. Nós marcamos um encontro para as 10 horas e planejamos chegar pontualmente. Quem chegará em primeiro lugar? Depois de quanto tempo chegará o outro? +177. Trabalho comunitário - Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as férias, $60 \%$ dos alunos dessa classe foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho? +(a) 1 +(b) 2 +(c) 4 +(d) 6 +(e) 8 +178. Área de trapézios - Unindo quatro trapézios idênticos, que têm lados não paralelos iguais e bases medindo 50 e $30 \mathrm{~cm}$, como o da figura dada, podemos formar um quadrado de $2500 \mathrm{~cm}^{2}$ de área, que tem um "buraco" quadrado no meio. Qual é a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-027.jpg?height=189&width=594&top_left_y=585&top_left_x=1279) +área, em $\mathrm{cm}^{2}$, de cada um dos quatro trapézios? +(a) 200 +(b) 250 +(c) 300 +(d) 350 +(e) 400 + +179. Adivinhação - Pensei em dois números de dois algarismos, que não possuem algarismos em comum, sendo um o dobro do outro. Além disso, os algarismos do menor número são a soma e a diferença dos algarismos do maior número. Quais são os dois números? +180. Dezoito números consecutivos - Escreva dezoito números consecutivos de três algarismos e verifique que pelo menos um deles é divisível pela soma de seus algarismos. Isso é sempre verdade. Ou seja, se você escrever dezoito números consecutivos de três algarismos, então pelo menos um deles será divisível pela soma de seus algarismos. Mostre esse fato. +181. Completar uma tabela - Descubra a regra utilizada para as casas já preenchidas e complete a tabela. Qual é o valor de A? + +| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 | 2 | 5 | 10 | | +| 2 | | | | | +| 3 | | | | | +| 4 | | | | $\mathbf{A}$ | + +182. Procurando múltiplos de 9 - Consideremos um conjunto formado por dez números naturais diferentes. Se calcularmos todas as diferenças entre esses números, pelo menos uma dessas diferenças será um múltiplo de 9? +183. Correndo numa praça - Um atleta costuma correr $15,5 \mathrm{~km}$ ao redor de uma grande praça retangular de $900 \times 600 \mathrm{~m}$. Ele inicia a corrida sempre do ponto $\mathrm{P}$, situado a $550 \mathrm{~m}$ de um dos vértices, correndo no sentido horário, como mostra a figura. Em que ponto da praça ele para? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-027.jpg?height=272&width=402&top_left_y=2234&top_left_x=1478) + +184. Ovos para um bolo - Uma doceira foi ao mercado comprar ovos para fazer 43 bolos, todos com a mesma receita, que requer menos do que nove ovos. O vendedor repara que se tentar embrulhar os ovos que a doceira comprou em grupos de dois, ou de três, +quatro, cinco, ou seis ovos, sempre sobra um ovo. Quantos ovos ela usa em cada bolo? Qual é o menor número de ovos que a doceira vai gastar para fazer os 43 bolos? +185. Cortando uma cartolina - Uma folha retangular de cartolina foi cortada ao longo de sua diagonal. Num dos pedaços obtidos, foram feitos dois cortes paralelos aos dois lados menores, pelos pontos médios desses lados. Ao final, sobrou um retângulo de $129 \mathrm{~cm}$ de perímetro. O desenho dado indica a sequência de cortes. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-028.jpg?height=182&width=872&top_left_y=757&top_left_x=543) + +Qual era o perímetro da folha antes do corte? + +186. A soma errada - A soma ao lado está incorreta. Para corrigi-la, basta substituir um certo algarismo em todos os lugares que ele aparece na conta por um outro algarismo. Qual é o algarismo errado e qual é seu substituto correto? +187. Número de cinco algarismos - Os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 foram usados, cada um uma única vez, para escrever um certo número $a b c d e$ de cinco algarismos tal que $a b c$ é divisível por $4, b c d$ é divisível por 5 e $c$ de é divisível por 3. Encontre esse número. +188. Tabela misteriosa - Complete a tabela $6 \times 6$ de tal modo que, em cada linha e cada coluna, apareçam apenas múltiplos de um dos números + +$$ +2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 \text { e } 12 +$$ + +Além disso, é permitido repetir apenas um número + +742586 $+829430$ 1212016 na tabela. + +189. Habitantes e esporte - Numa certa cidade com quase trinta mil habitantes, exatamente dois nonos dos habitantes são homens que praticam esporte somente nos finais de semana e dois quinze avos são mulheres que praticam esporte somente nos finais de semana. O número de habitantes que não pratica esporte é o quíntuplo dos que praticam esporte regularmente. Com esses dados, complete a tabela dada. + +| Não praticam esporte | | Praticam esporte
somente nos fins
de semana | | Praticam
esporte
regularmente | | População | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| fem. | masc. | fem. | masc. | fem. | masc. | total | +| 8563 | 7582 | | | | 1252 | | + +190. Botões luminosos - No mecanismo luminoso da figura, cada um dos oito botões pode acender nas cores verde ou azul. O mecanismo funciona do seguinte modo: ao ser ligado, todos os botões acendem a luz azul, e se apertamos um botão, esse botão e seus dois vizinhos trocam de cor. Se ligarmos o mecanismo e apertarmos sucessivamente os botões 1,3 e 5 , qual será o número de luzes verdes que estarão acesas no final? + +1 8 2 + +7 3 6 4 5 +(a) 3 +(b) 4 +(c) 5 +(d) 6 +(e) 7 + +191. Qual é o número? - Um número de seis algarismos começa por 1. Se deslocamos esse algarismo 1 da primeira para a última posição à direita, obtemos um novo número de seis algarismos, que é o triplo do número de partida. Qual é esse número? +192. Jardim variado - Um jardim retangular de 120 por $80 \mathrm{~m}$ foi dividido em seis regiões, conforme indicado na figura, em que $N, M$ e $P$ são pontos médios dos lados e $R$ divide o comprimento do lado na razão $1 / 3$. Em cada região será plantado um dos seguintes tipos de flor: rosa, margarida, cravo, bem-me-quer, violeta e bromélia, cujos preços, por $\mathrm{m}^{2}$, estão indicados na tabela. Quais são as possíveis escolhas das flores em cada região, de modo a se gastar o mínimo possível? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-029.jpg?height=365&width=491&top_left_y=1345&top_left_x=403) + +| Tipo | Preço por $\mathrm{m}^{2}$ | +| :--- | :---: | +| rosa | 3,50 | +| margarida | 1,20 | +| cravo | 2,20 | +| bem-me-quer | 0,80 | +| violeta | 1,70 | +| bromélia | 3,00 | + +193. O algarismo 3 - Luis escreveu a sequência dos números naturais, ou seja, + +$$ +1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \ldots +$$ + +Quando ele escreveu o algarismo 3 pela $25^{\mathrm{a}}$ vez? + +194. Soma de potências - Será o número $3^{444}+4^{333}$ divisível por 5 ? +195. Telefonemas - João mora em Salvador e seus pais em Recife. Para matar a saudade, ele telefona para seus pais a cada três dias. O primeiro telefonema foi feito num domingo, o segundo telefonema na quarta feira seguinte, o terceiro telefonema no sábado, e assim por diante. Em qual dia da semana João telefonou para seus pais pela centésima vez? +196. O maior produto - Com os algarismos de 1 a 5 e um sinal $\times$ de $\times 12$ multiplicação, Clara forma o produto de dois números, com o sinal $\times$ entre eles. Como Clara deve colocar os cartões para obter o maior produto possível? + +$\begin{array}{lll}3 & 4 & 5\end{array}$ + +197. O caminho da Joaninha - Dona Joaninha quer atravessar um pátio ladrilhado com azulejos quadrados numerados, como mostra a figura dada. Ela vai partir do ponto $\mathrm{P}$ e quer chegar ao ponto $\mathrm{C}$, andando somente ao longo dos lados dos azulejos. Dona Joaninha não quer ter números primos imediatamente à sua direita ao longo de todo o percurso. Qual é o menor percurso que + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-030.jpg?height=340&width=486&top_left_y=298&top_left_x=1342) +ela pode fazer? + +198. O lugar dos amigos - Sete amigos traçaram um triângulo, um quadrado e um círculo. Cada um marcou seu lugar com um número e pronunciou uma frase. + +Ana: "Eu não falo coisa alguma." + +Bento: "Eu estou dentro de uma única figura." + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-030.jpg?height=206&width=209&top_left_y=731&top_left_x=1620) + +Celina: "Eu estou dentro das três figuras." + +Diana: "Eu estou dentro do triângulo mas não do quadrado." + +Elisa: "Eu estou dentro do triângulo e do círculo." + +Fábio: "Eu não estou dentro de um polígono." + +Guilherme: "Eu estou dentro do círculo." + +Encontre o lugar de cada um. + +199. Quadrado perfeito? - Cada um dos cinco números abaixo tem cem algarismos e é formado pela repetição de um ou dois algarismos, como segue. + +$$ +\begin{aligned} +& N_{1}=333333 \ldots 3 \\ +& N_{2}=666666 \ldots 6 \\ +& N_{3}=151515 \ldots 15 \\ +& N_{4}=212121 \ldots 21 \\ +& N_{5}=272727 \ldots 27 +\end{aligned} +$$ + +Algum desses números é um quadrado perfeito? + +200. Preenchendo quadradinhos - Complete os quadradinhos com os números 1, 2, 3, 5 e 6 . + +$$ +(\square+\square-\square) \times \square \div \square=4 +$$ + +201. Os três números - Sofia brinca de escrever todos os números de quatro algarismos diferentes que se pode escrever com os algarismos 1, 2, 4 e 7 . Ela soma três desses números - todos diferentes - e obtém 13983. Quais são esses três números? +202. Preencher uma tabela - Jandira deve terminar de preencher uma tabela $4 \times 4$ que já tem duas casas preenchidas com os números 1 e 2 , conforme indicado na figura. Duas casas são consideradas vizinhas se têm um vértice ou um lado em comum. As regras que ela precisa respeitar são: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-030.jpg?height=206&width=275&top_left_y=2484&top_left_x=1553) + +- uma casa só pode ser preenchida se alguma de suas casas vizinhas já contiver algum número; +- ao preencher uma casa, deve-se colocar a soma de todos os números que já constam em suas casas vizinhas. + +Qual é o maior número que é possível escrever na tabela? + +203. Olimpiada de Pequim - Na Olimpíada de Pequim sentaram-se a uma mesa quadrada, conforme indicado a seguir, as mulheres Maria e Tânia e os homens Juan e David. Todos são atletas e cada um deles pratica um esporte diferente: natação, vôlei, ginástica e atletismo. + +(a) Quem pratica a natação estava à esquerda de Maria. + +(b) Quem pratica ginástica estava em frente a Juan. + +(c) Tânia e David sentaram-se lado a lado. + +(d) Uma mulher sentou-se ao lado de quem pratica volei. + +Qual dos atletas pratica atletismo? + +204. Culturas diferentes - Jorge, que mora em Recife, se corresponde com seu amigo inglês Ralph, que mora na Inglaterra. Os dois se compreendem muito bem nas duas línguas, mas têm um problema com as datas pois, no Brasil, a data 08/10 significa 08 de outubro e, na Inglaterra, 10 de agosto. Por causa disso, os dois combinaram não se escrever nos dias em que a data for ambígua. Eles preferem datas como $25 / 03$, que só pode significar 25 de março. + +(a) Em quais das datas a seguir Jorge e Ralph não podem se escrever? +(i) 3 de dezembro +(ii) 18 de agosto +(iii) 5 de maio + +(b) Quando ocorrem os maiores períodos em que os dois amigos não podem se escrever? + +205. Uma liquidação - Na liquidação da loja SUPER-SUPER todos os produtos estão $50 \%$ mais baratos e, aos sábados, existe ainda um desconto adicional de 20\%. Carla comprou uma calça antes da liquidação, e agora ela se lamenta: No sábado eu teria economizado $R \$ 50,40$ na calça. Qual era o preço da calça antes da liquidação? +206. Número com muitos zeros - Se a representa o número $0, \underbrace{000 \ldots 000}_{2009 \text { zeros }} 1$, então qual das expressões a seguir representa o maior número? +(a) $3+a$ +(b) $3-a$ +(c) $3 a$ +(d) $3 / a$ +(e) $a / 3$ +207. Corrida das tartarugas - Cinco tartarugas apostaram uma corrida em linha reta e na chegada a situação foi a seguinte: Sininha estava $10 \mathrm{~m}$ atrás de Olguinha e $25 \mathrm{~m}$ à frente de Rosinha, que estava $5 \mathrm{~m}$ atrás de Elzinha, que estava $25 \mathrm{~m}$ atrás de Pulinha. Qual foi a ordem de chegada? +208. Que memória... - Esquecinaldo tem péssima memória para guardar números, mas ótima para lembrar sequências de operações. Por isso, para lembrar do seu código bancário de cinco algarismos, ele consegue se lembrar que o código não tem algarismos repetidos, nenhum dos algarismos é zero, os dois primeiros algarismos formam uma potência de 5 , os dois últimos formam uma potência de 2 , o do meio é um múltiplo de 3 e a soma de todos os algarismos é um número ímpar. Agora ele não precisa mais decorar o número, porque ele sabe que seu código é o maior número que satisfaz essas condições. Qual é esse código? +209. Uma fração irredutivel - Encontre uma fração irredutível tal que o produto de seu numerador pelo denominador seja $2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \cdots \times 10$. Quantas dessas frações irredutíveis existem? +210. Transformar em decimal - Escreva o resultado das seguintes expressões na forma decimal. +(a) $7 \times \frac{2}{3}+16 \times \frac{5}{12}$ +(b) $5-\left(2 \div \frac{5}{3}\right)$ +(c) $1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+4}}$ +211. Uma sequência especial - Escrevendo sucessivamente os números naturais, obtemos a sequência + +$$ +12345678910111213141516171819202122 \ldots +$$ + +Qual é o algarismo que está na $2009^{a}$ posição dessa sequência? + +212. Cortar um retângulo - Como podemos cortar um retângulo de 13 por $7 \mathrm{~cm}$ em treze retângulos diferentes sem deixar sobras? +213. Medida de ângulo - Na figura dada, $A \widehat{O} D$ e $B \widehat{O} Y$ são ângulos retos e a medida de $D \widehat{O} Y$ está entre $40^{\circ}$ e $50^{\circ}$. Além disso, os pontos $C$ e $Y$ estão sobre a reta $r$, enquanto $D$ e $E$ estão sobre a reta $s$. O possível valor para a medida de $A \widehat{O} C$ está entre + +(a) $30^{\circ}$ e $40^{\circ}$; + +(b) $40^{\circ}$ e $50^{\circ}$; + +(c) $50^{\circ}$ e $60^{\circ}$; + +(d) $40^{\circ}$ e $60^{\circ}$ ou + +(e) não pode ser determinado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-032.jpg?height=323&width=403&top_left_y=1877&top_left_x=1432) + +214. Perímetros e áreas - Um quadrado tem $\sqrt{3}+3 \mathrm{~cm}$ de lado e as dimensões de um retângulo, em centímetros, são $\sqrt{2}$ e $\sqrt{72}+3 \sqrt{6}$. Qual dos dois tem maior área? E maior perímetro? +215. Cálculo de ângulo - Encontre a medida do ângulo $B \widehat{A} D$, sabendo que $D \widehat{A} C=39^{\circ}, A B=A C$ e $A D=B D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-032.jpg?height=240&width=463&top_left_y=2441&top_left_x=1365) + +216. O caminho da formiga - Uma formiga sai de um ponto $A$, anda $7 \mathrm{~cm}$ para a esquerda, $5 \mathrm{~cm}$ para cima, $3 \mathrm{~cm}$ para a direita, $2 \mathrm{~cm}$ para baixo, $9 \mathrm{~cm}$ para a direita, $2 \mathrm{~cm}$ para baixo, $1 \mathrm{~cm}$ para a esquerda e $1 \mathrm{~cm}$ para baixo, chegando no ponto $B$. Qual é a distância, em cm, entre $A$ e $B$ ? +(a) 0 +(b) 1 +(c) 4 +(d) 5 +(e) 7 +217. Menino mentiroso - Joãozinho sempre mente nas terças-feiras, quintas-feiras e sábados e, no restante dos dias da semana, sempre fala a verdade. Um dia, Pedrinho encontra Joãozinho e ocorre o diálogo seguinte. + +- Pedrinho pergunta: Que dia é hoje? +- Joãozinho responde: Sábado. +- Pedrinho pergunta: E que dia será amanhã? +- Joãozinho responde: Quarta-feira. + +Em que dia da semana Pedrinho encontrou Joãozinho? + +218. Encontre quatro números - Observe que os números 1, 2, 3 e 6 têm uma propriedade notável: a soma de três quaisquer deles é divisível pelo quarto número. Encontre quatro números distintos de três algarismos com essa mesma propriedade notável. +219. Colando seis triângulos - Construa uma figura com seis triângulos equiláteros adjacentes, o primeiro com lado de comprimento $1 \mathrm{~cm}$ e os triângulos seguintes com lado igual à metade do lado do triângulo anterior, como indicado na figura dada. Qual é o perímetro dessa figura? +220. Os livros da Elisa - Elisa tem 24 livros de ciências e outros de matemática e literatura. Se Elisa tivesse um livro a mais de matemática, então um nono de seus livros seria de matemática e um quarto de literatura. Se Elisa tem menos do que 100 livros, quantos livros de matemática ela possui? +221. Substituindo pela soma - Começando com número natural, Márcio substitui esse número pela soma de seus algarismos, obtendo um novo número, com o qual ele repete o processo, até chegar, finalmente, num número de apenas um algarismo. Por exemplo, Márcio substitui 1784102 por 23 e, em seguida, por 8 . Ele também aplica esse processo a listas de $N$ números naturais, substituindo cada número da lista pela soma de seus algarismos, obtendo, assim, uma nova lista de $N$ números, com a qual ele repete o processo, até chegar numa lista final de $N$ números, cada um de apenas um algarismo. + +(a) Começando com $3^{2009}$, qual é o número final de apenas um algarismo? + +(b) Começando com $17^{2009}$, qual é o número final de apenas um algarismo? + +(c) Começando com a lista dos primeiros 20092009 números naturais, a lista final tem mais algarismos 4 ou 5 ? Quantos 9 tem a lista final? + +222. Uma brincadeira em sala de aula - A professora Raquel inventou a seguinte brincadeira: escrevendo um número inteiro positivo no quadro, acrescente três unidades ao número se ele for ímpar e divida o número por dois se ele for par. Essa operação pode ser feita diversas vezes. A professora está interessada em obter, ao final, o número 1 e perguntou para a classe: Como obter o número 1 após três operações? E após quatro operações? E após cinco operações? +223. Calcule a idade - Laura e sua avó Ana acabaram de descobrir que, no ano passado, suas idades eram divisíveis por 8 e que, no próximo ano, serão divisíveis por 7 . Vovó Ana ainda não é centenária. Qual é a idade de Laura? +224. Divisões e restos - O dobro de um número dividido por 5 deixa resto 1. Qual é o resto da divisão desse número por 5 ? +225. Preenchendo o círculo - Cada um dos sinais $\square, \boxplus, \boxtimes, \boxminus \mathrm{e} \boxminus$ representa um número de um algarismo. Descubra quais são esses números e complete o número que falta no círculo em branco. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-034.jpg?height=122&width=948&top_left_y=1184&top_left_x=585) + +## Soluções do Nível 1 + +1. Qual é o número? - A opção correta é (d). + +Como $96 \div 8=12$, temos $8 \times 12=96$. Observe que a solução é equivalente a resolver a equação $8 x=96$, cuja raiz é $x=\frac{96}{8}=12$. + +2. Muro em 15 dias - A opção correta é (c). + +Se o pedreiro assenta 8 metros por dia, em 15 dias assentará $15 \times 8=120$ metros. + +3. Medindo pilhas de papel - A opção correta é (e). + +Como a espessura de cada folha é $0,1 \mathrm{~mm}$, a altura de um pacote com 500 folhas é $500 \times 0,1 \mathrm{~mm}=50 \mathrm{~mm}$. Logo, a altura de cada pilha será de $60 \times 50 \mathrm{~mm}=3000 \mathrm{~mm}$ $=3 \mathrm{~m}$, aproximadamente, a altura de uma sala de aula. + +4. Quanto pesa? - A opção correta é (b). + +Solução 1: Retirando-se dois saquinhos e quatro bolas de cada prato, a balança continua equilibrada e restam três saquinhos no prato à esquerda e seis bolas no prato da direita. Logo, o peso de três saquinhos é igual ao peso de seis bolas. Daí concluímos que o peso de um saquinho é igual ao peso de duas bolas. + +Solução 2: Denotando o peso de um saquinho por $x$ e o peso de uma bola por $y$, o equilíbrio da balança fornece a equação $5 x+4 y=2 x+10 y$, da qual decorre que $3 x=5 x-2 x=10 y-4 y=6 y$, ou seja, $x=2 y$. + +5. Calcule a diferença - A opção correta é (e). + +Para que a diferença seja a maior possível devemos escolher o maior número de três algarismos pares diferentes e o menor número de três algarismos ímpares diferentes. O maior número de três algarismos pares diferentes é 864 e o menor número de três algarismos ímpares diferentes é 135. A diferença entre eles é $864-135=729$. + +6. Qual é o volume? - A opção correta é (b). + +As figuras mostram que os volumes ocupados pelos líquidos correspondem, aproximadamente, a mais do que da metade no frasco A, o que elimina as opções (a) e (e), à metade no frasco $\mathrm{B}$ e a menos da metade no frasco $\mathrm{C}$, o que elimina (c) e (d). O único grupo de frações que corresponde a essas estimativas é $2 / 3$ (mais do que a metade), $1 / 2$ (metade) e $1 / 4$ (menos do que a metade). + +7. Descontos e descontos - A opção correta é (b). + +Solução 1: A pessoa irá pagar 120 reais menos o desconto, que é de $30 \%$ sobre 120 , ou seja, de $0,3 \times 120=36$ reais. Assim, a pessoa paga $120-36=84$ reais. + +Solução 2: Como o desconto é de 30\%, a pessoa pagará é $70 \%$ de 120, ou seja, $0,7 \times 120=84$ reais. + +8. O carro de Maria - A opção correta é (a). + +Solução 1: Se num percurso de $25 \mathrm{~km}$ ela gasta 3 litros, então para percorrer 100 km Maria gastará $4 \times 3=12$ litros. Logo, para percorrer $600 \mathrm{~km}$, o carro gastará $6 \times 12=72$ litros. Como cada litro custa 0,75 reais, 72 litros custarão $0,75 \times 72=54$ reais. + +Solução 2: Podemos usar a regra de três para calcular quantos litros serão gastos em $600 \mathrm{~km}$. Temos: + +| 3 litros | | +| :--- | :--- | +| $x$ litros | $25 \mathrm{~km}$ | +| | $600 \mathrm{~km}$. | + +Como essa regra de três é direta, resulta $25 x=3 \times 600$ e, portanto, + +$$ +x=3 \times \frac{600}{25}=72 \text { litros. } +$$ + +Como cada litro custa 0,75 reais, 72 litros custarão $0,75 \times 72=54$ reais. + +9. Calculando distâncias - A opção correta é (a). + +Solução 1: Pelo enunciado, temos $A C=50, B D=45$ e $A D=80$. Da figura segue que + +$$ +C D=A D-A C=80-50=30 +$$ + +Logo, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-036.jpg?height=262&width=503&top_left_y=1274&top_left_x=1379) + +$$ +B C=B D-C D=45-30=15 \mathrm{~km} +$$ + +Solução 2: Pela figura, temos que $45-B C=80-50$. $\log$, $B C=15 \mathrm{~km}$. + +10. Pesando caixas - A opção correta é (e). + +$\mathrm{Na}$ figura podemos ver uma coluna com três caixas, quatro colunas com duas caixas e três colunas com uma caixa. Logo, o total de caixas é + +$$ +1 \times 3+4 \times 2+3 \times 1=14 +$$ + +Como cada caixa pesa $25 \mathrm{~kg}$, o peso do monte de caixas é $14 \times 25=350 \mathrm{~kg}$. + +11. Consumo de água - A opção correta é (c). + +Lembre que a média aritmética de $n$ números é um enésimo da soma desses números. Por exemplo, a média aritmética dos números $3,6,8$ e 26 é + +$$ +\frac{3+6+8+26}{4}=\frac{43}{4}=10,75 +$$ + +Analogamente, o consumo mensal médio é a soma dos consumos mensais dividida pelo número de meses. Logo, o consumo mensal médio é igual a + +$$ +\frac{12,5+13,8+13,7+11,4+12,1}{5}=12,7 \mathrm{~m}^{3} +$$ + +12. Folheando um livro - A opção correta é (c). + +Entre 1 e 100, o algarismo 5 aparece nos números $5,15,25,35,45,50,51,52,53$, $54,55,56,57,58,59,65,75,85$ e 95 . A primeira folha contém as páginas 1 e 2 , a segunda folha as páginas 3 e 4 , a terceira folha as páginas 5 e 6 , e assim sucessivamente. Logo, as duas páginas que compõem cada folha têm a seguinte numeração: um número ímpar e o número par seguinte. Assim, estão numa mesma folha as duplas de números 49,$50 ; 51,52 ; 53,54 ; 55,56 ; 57,58 ; 59,60$ e nesse grupo temos seis folhas. Por outro lado, de 1 a 48, temos cinco folhas com as páginas $5,15,25,35$ e 45 e, de 61 a 100, temos quatro folhas com as páginas $65,75,85$ e 95 . Concluímos que o total de folhas com o algarismo 5 em sua numeração é $6+5+4=15$. + +13. Calculando a soma - A opção correta é (c). + +A partir de qualquer círculo, obtemos inicialmente a sequência $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$. Subtraindo uma unidade dos ímpares e somando uma unidade aos pares, a sequência torna-se $1,0,3,2,5,4,7,6,9,8$. Agora é fácil verificar que a maior soma possível com três números consecutivos é $8+9+6=23$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-037.jpg?height=398&width=1122&top_left_y=1154&top_left_x=500) + +14. Desenhando o cubo - A opção correta é (b). + +Vemos que o cubo (a) é igual ao cubo (e) e o cubo (c) é igual ao cubo (d). Como não podemos trocar a estrela com o círculo cheio mantendo o círculo oco no topo, vemos que a alternativa correta é (b). + +15. Círculos concêntricos - A opção correta é (c). + +Observe que a figura é simétrica em relação à reta $r$ que passa pelo centro comum das circunferências. Para cada região cinza de um lado de $r$ existe uma região branca equivalente do outro lado de $r$, e vice-versa. Logo, a área da região cinza é igual à área branca. Portanto, a área da região cinza é igual à metade da área do círculo maior. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-037.jpg?height=400&width=329&top_left_y=1959&top_left_x=1503) + +16. Brincando com engrenagens - A opção correta é (a). + +A engrenagem desta questão é formada por dois discos dentados. Quando um deles gira no sentido horário, o outro gira no sentido anti-horário. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-037.jpg?height=280&width=466&top_left_y=2447&top_left_x=1366) + +As cinco opções da resposta mostram a bandeira do disco à esquerda, numa posição que corresponde a uma rotação desse disco no sentido anti-horário por um certo ângulo. Nesse caso, a engrenagem direita girou por esse mesmo ângulo no sentido horário, levando a bandeirinha para a posição indicada na primeira alternativa. + +17. Troca de garrafas - A opção correta é (d). + +Como $43=10 \times 4+3$, numa primeira vez as 43 garrafas vazias podem ser trocadas por 10 garrafas cheias, sobrando ainda 3 vazias. Agora, consumindo o leite dessas 10 garrafas, ficamos com 13 vazias, que desta vez podem ser trocadas por 3 cheias, sobrando 1 vazia. Finalmente, consumindo o leite das 3 garrafas cheias, sobram 4 vazias, que podem ser trocadas por 1 cheia. Portanto, o total de garrafas cheias de leite que podem ser obtidas nesse processo é $10+3+1=14$. + +18. Retângulo e quadrados - A opção correta é (c). + +Solução 1: Como os quadrados menores têm $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área, cada um deles tem lado igual a $1 \mathrm{~m}$. Pela figura, concluímos que $B C=2 \mathrm{~m}$. Como $A B C D$ é um quadrado, segue que $B C=C D=A D=2 \mathrm{~m}$. Sendo $C D E F$ também um quadrado, temos + +$D E=2 \mathrm{~m}$. Pela figura, temos + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-038.jpg?height=369&width=554&top_left_y=992&top_left_x=1325) + +$$ +A H=A B+B H=2+3+5 +$$ + +$E J=A D+D E+A J$ e $A J=A H$. Segue que $E J=2+2+5=9$. Como $E G=A H=5$, as dimensões do terreno são $9 \mathrm{~m}$ de comprimento por $5 \mathrm{~m}$ de largura. Portanto, sua área é de $9 \times 5=45 \mathrm{~m}^{2}$. + +Solução 2: Quadriculando o retângulo maior com quadrados de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área, obtemos o retângulo $B F G H$ formado por 12 quadrados de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área, os dois quadrados $A B C D$ e $D C F E$ formados por quatro quadrados de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área e o quadrado $A H I J$ formado por 25 quadrados de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área. Portanto, a área pedida + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-038.jpg?height=314&width=534&top_left_y=1759&top_left_x=1338) +é de $12+4+4+25=45 \mathrm{~m}^{2}$. + +19. Quantas fatias de bolo? - A opção correta é (e). + +Temos um total de $8 \times 3=24$ fatias de bolo que foram comidas. Como todos comeram bolo, inicialmente cada um dos nove amigos comeu uma fatia, sobrando, ainda, $24-9=$ 15 fatias para serem comidas por nove pessoas. Se todos os nove amigos tivessem comido menos do que duas dessas 15 fatias, poderíamos escrever o número 15 como uma soma de nove parcelas, cada uma delas sendo 0 (os que não comeram alguma das 15 fatias) ou 1 (os que comeram uma das 15 fatias), o que claramente não é possível. Logo, obrigatoriamente alguém comeu pelo menos duas dessas 15 fatias. Como todos já haviam comido, inicialmente, uma fatia, concluímos que alguém comeu 3 fatias, no mínimo. + +20. Mosaicos quadrados - A opção correta é (a). + +No primeiro mosaico, temos $3+3+1+1=8$ azulejos pretos, no segundo, temos $4+4+2+2=12$, no terceiro, temos $5+5+3+3=16$ e não é difícil perceber (e verificar) que os próximos mosaicos têm 20 e 24 azulejos pretos, pois a cada novo mosaico são usados mais quatro azulejos pretos, um em cada lado. Como $8+12+16+20+24=80$, é possível construir exatamente cinco mosaicos. Finalmente, o número total de azulejos brancos nesta sequência de cinco mosaicos é + +$$ +1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=1+4+9+16+25=55 +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-039.jpg?height=226&width=892&top_left_y=815&top_left_x=614) + +21. Quanto custa? - Comprando três cadernos por 6 reais cada um, ainda sobram 4 reais para Ester, de modo que a quantia que ela possui é $3 \times 6+4=22$ reais. + +(a) Se o irmão lhe empresta 4 reais, ela fica então com $22+4=26$ reais e pode comprar 2 cadernos a 6 reais cada um, sobrando $26-2 \times 6=26-12=14$ reais para 7 canetas. Concluímos que o preço de cada caneta é $14 \div 7=2$ reais. + +(b) Como Ester possui 22 reais, se ela comprar 2 cadernos, sobram-lhe $22-2 \times 6=22-12=10$ reais. Como cada caneta custa 2 reais, ela poderá comprar $10 \div 2=5$ canetas. + +22. Encontre o número - O número 24 deve ser escrito como uma soma de três algarismos. Inicialmente, note que os algarismos $0,1,2,3,4$ e 5 não podem ser usados. Realmente, se um deles fosse usado, por exemplo o algarismo 5, então teríamos que encontrar dois algarismos cuja soma fosse 19 , pois $24-5=19$; mas, sabemos que isso não é possível. O mesmo ocorre com os algarismos $0,1,2,3$ e 4 . Logo, o número da casa de Júlia só pode ser composto pelos algarismos $6,7,8$ e 9 . + +(a) Se os três algarismos são iguais, então o número da casa de Júlia é 888. + +(b) Se apenas dois desses algarismos são iguais, esses dois algarismos devem ser iguais a 9 e o terceiro deve ser 6 , obtendo os números 699, 969 e 996. De fato, com dois algarismos 8 , recaímos no caso anterior e, com dois 6 ou dois 7, a soma dá, no máximo 14, restando, no mínimo, 10 para o terceiro, o que não é possível. + +(c) Se os três algarismos são distintos, então esses algarismos são 7,8 e 9 . De fato, se ocorrer um 6 , a soma dos outros dois deve ser $24-6=18$, portanto precisamos de dois 9 e recaímos no caso anterior. Assim, restam apenas as alternativas seguintes: $789,798,879,897,978$ e 987. + +## 23. Campeonato de futebol + +(a) A equipe $A$ disputa com as cinco equipes $B, C, D, E$ e $F$; a equipe $B$, além da partida contra $A$, já computada, ainda disputa quatro partidas com as equipes +$C, D, E$ e $F$; a equipe $C$, ainda disputa com as equipes $D, E$ e $F$; a equipe $D$ ainda disputa com as equipes $E$ e $F$ e a equipe $E$ ainda disputa com a equipe $F$. No total, temos $5+4+3+2+1=15$ partidas disputadas. + +Outra maneira de contar: Podemos formar grupos de duas letras e contar, lembrando que $A B$ e $B A$, por exemplo, são a mesma partida: $A B, A C, A D, A E$, $A F, B C, B D, B E, B F, C D, C E, C F, D E, D F$ e $E F$ dá 15 partidas. + +Outra maneira de contar: Cada uma das seis equipes disputou, com cada uma das outras cinco, exatamente uma partida. Portanto, foram disputadas um total de $\frac{1}{2}(6 \times 5)=15$ partidas. + +(b) Cada equipe disputou cinco partidas, portanto, a soma do número de vitórias, empates e derrotas de cada equipe, é igual a cinco. Assim, temos $x+1+0=5$, portanto, $x=4$, e temos $1+1+y=5$, portanto, $y=3$. + +Outra maneira de calcular $x$ e $y$ : Sabemos o número total de empates (que sempre envolvem duas equipes), dado por $1+1+3+1+1+1=8$. Portanto, o número de vitórias (ou derrotas), é igual número de partidas, 15, menos a metade do número de empates, 4, ou seja, o número total de vitórias (ou de derrotas) é $15-4=11$. Assim, $4+2+1+x=11$, portanto, $x=4$, e $2+2+y+4=11$, portanto, $y=3$. Finalmente, o número total de gols marcados no campeonato é igual ao número total de gols sofridos, que é $2+6+6+6+5+3=28$. Assim, + +$$ +28=6+6+2+3+1+z +$$ + +ou seja, $z=10$. + +Resumindo, o número $x$ de vitórias da equipe $F$ é 4 , o número $y$ de derrotas da equipe $D$ é 3 e o número $z$ de gols marcados pela equipe $F$ é 10 . + +## 24. Dividindo o paralelepípedo + +(a) Em centímetros, as dimensões do bloco maior são $320 \times 60 \times 75$ e as dos blocos menores são $80 \times 30 \times 15$. Logo, o comprimento foi dividido por $4=320 \div 80$, a largura foi dividida por $2=60 \div 30$ e a altura foi dividida por $5=75 \div 15$. Portanto, teremos um total de $4 \times 2 \times 5$ peças, conforme a figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-040.jpg?height=499&width=511&top_left_y=1875&top_left_x=904) + +(b) O volume de um bloco é dado por comprimento $\times$ largura $\times$ altura. Logo, o volume de cada um dos blocos menores é $80 \times 30 \times 15=36000 \mathrm{~cm}^{3}$. Como o peso é dado em metros cúbicos, devemos reduzir o volume de cada bloco para metros cúbicos. Para isso, deslocamos a vírgula seis casas para a esquerda, obtendo $36000 \mathrm{~cm}^{3}=0,036 \mathrm{~m}^{3}$. Como $1 \mathrm{~m}^{3}$ pesa $900 \mathrm{~kg}$, então cada bloco menor de 0,036 $\mathrm{m}^{3}$ pesará $0,036 \times 900=32,4 \mathrm{~kg}$. + +25. Uma calculadora - A partir do número 1 no visor devemos aplicar sucessivamente as operações das teclas A e B para obter o número desejado. Observe que, para obter o número 2 a partir do número 1, podemos apertar tanto a tecla $\mathrm{A}$ quanto a $\mathrm{B}$, portanto, em cada uma das respostas dadas, podemos trocar cada $1 \xrightarrow{\text { A }} 2$ por $1 \xrightarrow{\text { B }} 2$. + +(a) $1 \xrightarrow{\mathrm{A}} 2 \xrightarrow{\mathrm{A}} 4 \xrightarrow{\mathrm{B}} 5 \xrightarrow{\mathrm{A}} 10$. + +(b) $1 \xrightarrow{\mathrm{A}} 2 \xrightarrow{\mathrm{B}} 3 \xrightarrow{\mathrm{A}} 6 \xrightarrow{\mathrm{B}} 7 \xrightarrow{\mathrm{A}} 14 \xrightarrow{\mathrm{B}} 15$. + +(c) $1 \xrightarrow{\mathrm{A}} 2 \xrightarrow{\mathrm{B}} 3 \xrightarrow{\mathrm{A}} 6 \xrightarrow{\mathrm{A}} 12 \xrightarrow{\mathrm{A}} 24 \xrightarrow{\mathrm{B}} 25 \xrightarrow{\mathrm{A}} 50 \xrightarrow{\mathrm{A}} 100$. + +## 26. Ano bissexto + +(a) Uma semana tem sete dias. Na divisão de 365 por 7 encontramos quociente 52 e resto 1. Logo, o ano comum tem 52 semanas e 1 dia. Portanto, a frase correta é "O ano comum tem sete semanas e um dia." Como o ano bissexto tem 366 dias, ele possui 52 semanas e 2 dias. Portanto, o correto é dizer "O ano bissexto tem sete semanas e dois dias." + +(b) Se um ano comum inicia numa terça-feira, então a sua $52^{\underline{a}}$ semana inicia numa terça e termina numa segunda, ou seja, a $52^{\mathrm{a}}$ semana é dada por terça - quarta quinta - sexta - sábado - domingo - segunda. Como esse ano tem 52 semanas e mais 1 dia, o último dia deste ano será uma terça. Logo, o ano seguinte iniciará numa quarta. + +(c) No caso do ano bissexto, devemos considerar um dia a mais do que no item anterior. Logo, o seu último dia será uma quarta e, portanto, o ano seguinte iniciará numa quinta-feira. + +27. Números triangulares - Notamos que o segundo número triangular é obtido a partir do primeiro acrescentando-se 2, o terceiro é obtido do segundo acrescentando-se 3 e assim por diante. Essa observação nos mostra como calcular os próximos números triangulares sem fazer muitas contas. Por exemplo, já sabemos que o quarto número triangular é 10 , donde o quinto será $10+5=15$ e o sexto sendo, então, $15+6=21$. Assim, podemos escrever os números triangulares até passar de 100. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-041.jpg?height=240&width=1034&top_left_y=1950&top_left_x=545) + +Logo, os números triangulares menores do que 100, são $1,3,6,10,15,21,28,36,45$, 55, 66, 78 e 91. Assim, temos 13 números triangulares menores do que 100. + +28. Livros separados - Denotando por $n$ o número de livros que a bibliotecária vai colocar em cada estante, temos $130 \div n=$ número de estantes para os livros de Matemática e $195 \div n=$ número de estantes para os livros de Português. Isso mostra que $n$ deve ser um divisor comum de 130 e de 195, pois o número de estantes utilizadas é inteiro. Sabemos que, quando aumentamos o denominador de uma fração, esta fração diminui; por exemplo, 27/10 é menor do que 27/8. Logo, quanto maior for o denominador $n$, menores serão as frações $130 / n$ e 195/n, o que significa que menor será o número de +estantes utilizadas. Vemos, assim, que $n$ deve ser o maior divisor comum (MDC) de 130 e 195. Como as decomposições desses números em fatores primos são $130=2 \times 5 \times 13$ e $195=3 \times 5 \times 13$, segue que o MDC de 130 e 195 é $5 \times 13=65$. + +Logo, a bibliotecária vai colocar 65 livros em cada estante, o número de estantes para os livros de Matemática é $130 \div 65=2$ e o número de estantes para os de Português é $195 \div 65=3$, o que dá um total de $2+3=5$ estantes. + +29. Alunos com óculos - Nosso problema aqui é encontrar o número de alunos da classe. Como $1 / 6$ dos alunos usam óculos e, desses, $1 / 3$ são meninas, temos que $\frac{1}{3} \times \frac{1}{6}=\frac{1}{18}$ dos alunos são meninas que usam óculos. Como + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-042.jpg?height=117&width=1442&top_left_y=861&top_left_x=387) + +e $\frac{1}{6}-\frac{1}{18}=\frac{3}{18}-\frac{1}{18}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$, concluímos que $\frac{1}{9}$ da classe consiste de meninos que usam óculos, que são em número de 4 . Portanto, $\frac{1}{9}$ da classe corresponde a 4 alunos $\frac{9}{9}$ da classe corresponde a $4 \times 9=36$ alunos + +Assim, o número de alunos na classe é 36 . + +30. Quadrado mágico - Para facilitar nossas contas, é conveniente reduzir todas as frações que aparecem na tabela a um mesmo denominador. Como $0,4=4 / 10$ e $0,5=5 / 10$, podemos reescrever a tabela como segue, em que indicamos com as letras $a, b, c, d$ e $e$ os números que devem ser calculados. + +| $a$ | $c$ | $6 / 10$ | +| :---: | :---: | :---: | +| $b$ | $5 / 10$ | $d$ | +| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $e$ | + +Olhando para a diagonal ascendente, vemos que a soma dos elementos dessa diagonal é $4 / 10+5 / 10+6 / 10=15 / 10$. Como a soma dos elementos da terceira linha deve ser igual a essa soma dos elementos da diagonal, obtemos $4 / 10+5 / 10+e=15 / 10$, donde $e=6 / 10$. Também obtemos, na segunda coluna, $5 / 10+5 / 10+c=15 / 10$, donde $c=5 / 10$. Colocando esses valores de $c$ e $e$ na tabela, obtemos + +| $a$ | $5 / 10$ | $6 / 10$ | +| :---: | :---: | :---: | +| $b$ | $5 / 10$ | $d$ | +| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $6 / 10$ | + +Agora, a primeira linha fornece $a+5 / 10+6 / 10=15 / 10$, donde $a=4 / 10$. Da terceira coluna, obtemos $6 / 10+d+6 / 10=15 / 10$, donde $d=3 / 10$; do mesmo modo, obtemos $b=7 / 10$ e a tabela está completa. + +| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $6 / 10$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $7 / 10$ | $5 / 10$ | $3 / 10$ | +| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $6 / 10$ | + +31. Três algarismos - A partir da igualdade $(A B)^{2}=C A B$ e denotando o número de dois algarismos $A B$ por $x$, temos $x^{2}=(A B)^{2}=C A B=C \cdot 100+x$, ou seja, $x^{2}-x=C \cdot 100$. Portanto, o produto $x(x-1)=x^{2}-x$ é divisível por 100. Levando em conta a fatoração $100=2^{2} \cdot 5^{2}$, dividimos a resolução em três casos, conforme a maior potência de 5 que divide $x$. + +1o Caso: $5^{2}$ divide $x$. + +Como $x$ é um número de dois algarismos, os possíveis valores de $x$ são 25,50 e 75 . Construímos uma tabela. + +| $x$ | $x-1$ | $x \cdot(x-1)$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 25 | 24 | 600 | +| 50 | 49 | 2450 | +| 75 | 74 | 5550 | + +Portanto, o número $x \cdot(x-1)$ é um múltiplo de 100 somente se $x=25$. Como $25^{2}=625$, nesse caso temos $C=6$. + +2 Caso: 5 divide $x$, mas $5^{2}$ não divide $x$. + +Então, necessariamente, 5 divide $x-1$, pois 5 divide $x \cdot(x-1)$. Mas isso é uma impossibilidade, porque 5 não pode dividir os dois números consecutivos $x-1$ e $x$ (lembre que os números divisíveis por 5 terminam em 0 ou 5 ). Logo, esse caso está excluído. + +3o Caso: 5 não divide $x$. + +Então $5^{2}$ divide $x-1$. Como no Caso 1 , temos $x-1=25,50$ ou 75 e os possíveis valores de $x$ são 26, 51 e 76. Construímos uma tabela. + +| $x$ | $x-1$ | $x \cdot(x-1)$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 26 | 25 | 650 | +| 51 | 50 | 2550 | +| 76 | 75 | 5700 | + +O produto $x \cdot(x-1)$ é um múltiplo de 100 somente se $x=76$, mas esse caso também está excluído, pois $76^{2}=5776$ tem mais do que três algarismos. + +Assim, a única possibilidade é $A=2, B=5$ e $C=6$, com soma $A+B+C=13$. + +32. Pintando quadradinhos - Para pintar a faixa conforme o modelo, o retângulo padrão (aquele que se repete por toda a faixa) é o retângulo de 5 linhas e 4 colunas mostrado na figura. Nele, temos 7 quadradinhos pintados e 13 não pintados. Precisamos saber quantos retângulos padrão cabem na faixa. A faixa tem 250 colunas e cada retângulo padrão tem 4 colunas. Da divisão de 250 por 4 temos que $250=4 \times 62+2$, e concluímos que na faixa cabem 62 retângulos padrão, sobrando ainda duas colunas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-043.jpg?height=272&width=214&top_left_y=2394&top_left_x=1618) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-044.jpg?height=371&width=825&top_left_y=257&top_left_x=701) + +Nos 62 retângulos padrão temos $62 \times 13=806$ quadradinhos não pintados. Agora falta verificar quais são os quadradinhos não pintados nas duas colunas finais. A figura mostra como são as duas colunas, de acordo com o modelo. Nessas colunas temos 6 quadradinhos não pintados. Assim, o número de quadradinhos não pintados em toda a faixa é $806+6=812$. + +33. A cisterna do João - O dia 1ํ de janeiro começa com 156 litros de água na cisterna e, a partir daí, a cisterna recebe água da chuva e perde água para regar as flores. Como no dia 8 não houve alteração na quantidade de água na cisterna, o número de litros de água na cisterna no dia 8 é + +$156+$ água de chuva do dia 1 ao dia 7 - água para regar do dia 1 ao dia 7 . + +O enunciado diz que a segunda parcela da expressão acima é a soma dos números da terceira coluna, que é $2,5+0+5+0+3+0+4,5=15$ e a terceira parcela é a soma dos números da segunda coluna da tabela, que é $6+9+0+4+9+0+11=39$. Assim, o número de litros na cisterna, à meia noite do dia 8 , é $156+15-39=132$. + +34. O múltiplo de 13 - A opção correta é (a). + +Como 119268916 é divisível por 13, já que $9174532 \times 13=119268916$, podemos concluir que os números divisíveis por 13 são aqueles obtidos somando ou subtraindo múltiplos de 13 ao número 119268916 . Dentre os números apresentados, o número + +$$ +119268916-13=119268903 +$$ + +é o único divisível por 13. + +35. Um bilhão - A opção correta é (e). + +Arnaldo disse que 1 bilhão $=1000000 \times 1000000=1000000000000=10^{12}$. $\mathrm{O}$ Professor Piraldo corrigiu-o, dizendo que 1 bilhão $=1000 \times 1000000=1000000000=$ $10^{9}$. A diferença é + +$$ +1000000000000-1000000000=999000000000 +$$ + +36. Energia de abelha - A opção correta é (b). + +A energia gasta por uma abelha para voar 7000 quilômetros é a mesma que 7000 abelhas gastam para voar 1 quilômetro cada. Como o número de litros de mel foi multiplicado por 10 , temos energia suficiente para que 10 vezes esse número de abelhas voem 1 quilômetro cada, ou seja, 70000 abelhas. + +37. Perda de safra - A opção correta é (a). + +Como um quinto de 100000 é $\frac{1}{5} 100000=20000$ e um quarto de 100000 é $\frac{1}{4} 100000=$ 25000 , concluímos que a perda da safra está avaliada entre 20000 e 25000 reais. Logo, um possível valor para a perda é de $\mathrm{R} \$ 21987,53$. + +38. Placa decorativa - A opção correta é (c). + +Traçando paralelas aos lados, podemos dividir a placa em quadrados de 1 metro de lado, conforme indicado na figura. Então, a área pintada é igual a 12 metades desses quadrados, ou, equivalentemente, 6 desses quadrados. Como a placa total tem 16 desses quadrados, concluímos que a fração da área pintada em relação à área da placa é $\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-045.jpg?height=339&width=193&top_left_y=680&top_left_x=1340) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-045.jpg?height=49&width=89&top_left_y=775&top_left_x=1349) + +39. O suco do Diamantino - A opção correta é (a). + +O refresco é composto por $20 \%$ de um litro, ou seja, 0,2 litros de suco e por $80 \%$ de um litro, ou seja, 0,8 litros de água. Logo, a mistura final tem 0,2 litros de suco e $3+0,8=3,8$ litros de água. A porcentagem de suco em relação ao volume da mistura é, então, + +$$ +\frac{\text { volume de suco }}{\text { volume total }}=\frac{0,2}{4}=\frac{2}{40}=\frac{5}{100}=5 \% +$$ + +40. Uma eleição - João recebeu $2 / 7$ do total de votos, Rosa recebeu $2 / 5$ do total de votos e Marcos recebeu $1-(2 / 7+2 / 5)=1-24 / 35=11 / 35$ do total de votos. O vencedor foi aquele que obteve a maior fração dos votos. Para comparar essas frações, igualamos seus denominadores, obtendo $2 / 7=10 / 35$ e $2 / 5=14 / 35$. Assim, temos + +$$ +\underbrace{\frac{2}{7}}_{\text {João }}<\underbrace{\frac{11}{35}}_{\text {Marcos }}<\underbrace{\frac{2}{5}}_{\text {Rosa }} +$$ + +e, portanto, Rosa venceu a eleição. (É interessante notar que a resposta não depende do número de alunos da turma.) + +41. Soma de potências - A opção correta é (a). + +Temos $2^{6}+2^{6}+2^{6}+2^{6}-4^{4}=4 \times 2^{6}-4^{4}$. Há várias maneiras de calcular isso. + +Solução 1: $4 \times 2^{6}-4^{4}=4 \times\left(2^{2}\right)^{3}-4^{4}=4 \times 4^{3}-4^{4}=4^{4}-4^{4}=0$. + +Solução 2: $4 \times 2^{6}-4^{4}=4\left(2^{6}-4^{3}\right)=4\left[2^{6}-\left(2^{2}\right)^{3}\right]=4\left[2^{6}-2^{6}\right]=0$. + +Solução 3: $4 \times 2^{6}-4^{4}=2^{2} \times 2^{6}-\left(2^{2}\right)^{4}=2^{8}-2^{8}=0$. + +42. Seis retângulos - A opção correta é (e). + +A partir da figura, vemos que o comprimento $a$ dos retângulos menores é o dobro da sua largura $b$, isto é, $a=2 b$. Temos, então, + +$$ +a+b=2 b+b=3 b=21 +$$ + +ou seja, $b=7 \mathrm{~cm}$ e $a=14 \mathrm{~cm}$. Portanto, o comprimento do retângulo maior é $4 b=28$ e sua área é $21 \times 28=588 \mathrm{~cm}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-046.jpg?height=440&width=491&top_left_y=257&top_left_x=1382) + +43. Duas populações - A opção correta é (e). + +Seja $p$ a população de Tucupira há três anos. Como essa população cresceu $50 \%$, atualmente Tucupira tem $p+50 \%$ de $p$ habitantes, ou seja, + +$$ +p+\frac{50}{100} p=p+0,5 p=1,5 p \quad \text { habitantes. } +$$ + +Como a população de Pirajussaraí não cresceu nesses 3 anos e há 3 anos era igual à de Tucupira, podemos concluir que a população atual de Pirajussaraí é $p$. Como a soma das populações das duas cidades, hoje, é de 9000 , obtemos $p+1,5 p=9000$, donde $p=9000 / 2,5=3600$. Assim, a soma das duas populações, há três anos, era de $3600 \times 2=7200$ habitantes. + +44. Três balanças - A opção correta é (d). + +Na primeira balança temos $3 \boldsymbol{\Lambda}+1 \bullet=6 \square$. Na segunda, temos $2 \boldsymbol{\Lambda}+4 \bullet=8 \square$, o que é equivalente a $1 \boldsymbol{\Delta}+2 \bullet=4 \boldsymbol{\bullet}$. $\operatorname{Logo},(3 \boldsymbol{\Lambda}+1 \bullet)+(1 \boldsymbol{\Delta}+2 \bullet)=6 \boldsymbol{\square}+4 \boldsymbol{\square}$, ou seja, $4 \mathbf{\Delta}+3 \bullet=10$. Assim, será necessário colocar 10 quadrados no prato direito da balança (3) para que ela fique equilibrada. + +45. Poucos domingos - A opção correta é (c). + +Um ano normal tem 365 dias e o ano bissexto 366. Da divisão de 365 por 7 , obtemos $365=52 \times 7+1$ e da divisão de 366 por 7 obtemos $366=52 \times 7+2$. Logo, + +$$ +\begin{aligned} +\text { ano normal } & =52 \text { semanas }+1 \text { dia } \\ +\text { ano bissexto } & =52 \text { semanas }+2 \text { dias } +\end{aligned} +$$ + +Portanto, um ano normal ou bissexto tem, no mínimo, 52 e, no máximo, 53 domingos (um domingo para cada uma das 52 semanas e, talvez, um outro domingo para o dia ou os dois dias que completam o ano). + +Cada um dos 12 meses do ano tem, no mínimo, 28 dias e, no máximo, 31 dias, portanto, tem, no mínimo, 4 domingos e, no máximo, 5 domingos. Levando em conta que $12 \times 4=48$, concluímos que + +i) Num ano de 52 domingos sobram ainda $52-48=4$ domingos. Cada um desses ficará num mês diferente, porque nenhum mês pode ter seis domingos; logo, temos quatro meses com 5 domingos. + +ii) Analogamente, num ano com 53 domingos restam 5 domingos, que ficarão um em cada mês diferente. Portanto, nesse caso, teremos cinco meses com 5 domingos. + +46. Metade de potência - A opção correta é (e). + +Antes de dividir a expressão por 2 , colocamos $2^{10}$ em evidência, obtendo $2^{12}+3 \times 2^{10}=2^{10}\left(2^{2}+3 \times 1\right)=2^{10} \times 7$. Assim, + +$$ +\frac{2^{12}+3 \times 2^{10}}{2}=\frac{2^{10} \times 7}{2}=2^{9} \times 7 +$$ + +47. Minutos demais - A opção correta é (d). + +Dividindo 2880717 por 60 , obtemos $2880717=48011 \times 60+57$. Isso significa que $2880717 \mathrm{~min}=48011 \mathrm{~h}+57 \mathrm{~min}$. Podemos, então, escrever: + +$$ +2880717 \mathrm{~min}=\underbrace{48000 \mathrm{~h}}_{2000 \text { dias }}+11 \mathrm{~h}+57 \mathrm{~min} +$$ + +Os 2000 dias não interferem no horário que estamos procurando, e como 18 horas e 27 minutos são exatamente 17 horas e 87 minutos, a resposta é $18 \mathrm{~h} 87 \mathrm{~min}-11 \mathrm{~h} 57 \mathrm{~min}=$ 6h30min. + +48. Dois ônibus - A opção correta é (b). + +O número total de alunos nos dois ônibus é $57+31=88$ e $\frac{1}{2} 88=44$. Para que cada ônibus tenha o mesmo número de alunos, $57-44=13$ alunos devem passar do primeiro para o segundo ônibus. + +49. Cubo de papelão - A opção correta é (e). + +Com as peças ilustradas ao lado podemos construir um cubo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-047.jpg?height=203&width=214&top_left_y=1435&top_left_x=1618) + +50. Algarismo das unidades - A opção correta é (c). + +O último algarismo de um múltiplo de 5 é 0 ou 5 ; os que terminam em 0 são pares e os que terminam em 5 são ímpares. Como $1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times 97 \times 99$ é ímpar, por ser um produto de números ímpares, e é um múltiplo de 5 , segue que seu algarismo das unidades é 5 . + +51. Região sombreada - A opção correta é (b). + +A parte sombreada consiste em 10 metades de quadrados mais 3 quadrados inteiros, o que equivale a $\frac{1}{2} 10+3=5+3=8$ quadrados inteiros. Logo, a fração que representa a parte sombreada é + +$$ +\frac{\text { área sombreada }}{\text { área total }}=\frac{\text { área de } 8 \text { quadrados }}{\text { área de } 18 \text { quadrados }}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9} +$$ + +52. Colorindo um mapa - A opção correta é (b). + +O estado A pode ser pintado de três formas: verde, azul ou amarelo. Para qualquer estado vizinho, por exemplo, o estado $\mathrm{B}$, temos duas possibilidades, e os demais estados têm suas cores determinadas. Logo, podemos colorir o mapa de $3 \times 2=6$ formas. + +Abaixo ilustramos duas dessas maneiras de pintar o mapa; em ambas, o estado A tem a mesma cor. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-048.jpg?height=266&width=856&top_left_y=412&top_left_x=679) + +53. Pintando um tabuleiro - A opção correta é (c). + +Para satisfazer as condições do problema, as cinco casas das diagonais, marcadas com *, devem ter cores diferentes. Por isso, precisaremos de, no mínimo, cinco cores distintas. Denotemos essas cinco cores distintas por 1, 2, 3, 4 e 5 e vamos determinar como podemos escolher as cores para as quatro casas restantes de modo a satisfazer as condições pedidas. Uma maneira é dada à direita, a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-048.jpg?height=166&width=200&top_left_y=1142&top_left_x=608) + +| 1 | | 4 | +| :--- | :--- | :--- | +| | 3 | | +| 2 | | 5 |$\rightarrow$| 1 | 2 | 4 | +| :--- | :--- | :--- | +| 4 | 3 | 1 | +| 2 | 4 | 5 | + +Logo, é possível pintar as quatro casas restantes sem utilizar mais cores. Assim, bastam cinco cores. A seguir, mostramos outras três maneiras de colorir as casas. + +| 2 | | 3 | +| :--- | :--- | :--- | +| | 1 | | +| 5 | | 4 |$\rightarrow$| 2 | 4 | 3 | +| :--- | :--- | :--- | +| 4 | 1 | 2 | +| 5 | 2 | 4 |$\quad$| 1 | | 2 | +| :--- | :--- | :--- | +| | 4 | | +| 3 | | 5 |$\rightarrow$| 1 | 3 | 2 | +| :--- | :--- | :--- | +| 2 | 4 | 1 | +| 3 | 2 | 5 | + + +| 1 | | 5 | +| :--- | :--- | :--- | +| | 2 | | +| 4 | | 3 |$\rightarrow$| 1 | 3 | 5 | +| :--- | :--- | :--- | +| 3 | 2 | 4 | +| 4 | 1 | 2 | + +54. Número $X, Y-$ Temos $X, Y=X+\frac{Y}{10}=\frac{10 X+Y}{10}$ e sabemos que + +$$ +\frac{10 X+Y}{10}=X, Y=\frac{3}{10}(X+Y) +$$ + +Logo, $10 X+Y=3 X+3 Y$, ou seja, $7 X=2 Y$. Concluímos que $2 Y$ é múltiplo de 7 e, como $Y$ é um número inteiro entre 1 e 9 , só temos a possibilidade $Y=7$, donde $X=2$. Assim, o número é 2,7 . + +55. Construção de casas - Como as casas são vizinhas, podemos pensar nelas como uma fila de casas com seis posições. Vamos dividir a contagem em casos, de acordo com o número de casas de madeira que podem ser construídas. + +(a) Nenhuma casa de madeira: aqui há apenas uma maneira de construir as casas, ou seja, todas de alvenaria. +(b) Uma casa de madeira: aqui temos seis maneiras de construir as casas, pois a casa de madeira pode ser qualquer uma delas, sendo as outras de alvenaria. + +(c) Duas casas de madeira: as casas de madeira podem ocupar as seguintes posições: 1 e 3,1 e 4,1 e 5,1 e 6,2 e 4,2 e 5,2 e 6,3 e 5,3 e 6 ou 4 e 6 . Aqui temos 10 maneiras. + +(d) Três casas de madeira: as casas de madeira podem ocupar as seguintes posições: 1,3 e $5 ; 1,3$ e $6 ; 1,4$ e $6 ; 2,4$ e 6 . Aqui temos quatro maneiras. + +(e) Quatro ou mais casas de madeira: impossível, pois é fácil ver que, nesse caso, sempre teremos duas casas de madeira contíguas. + +Dessa forma, há $1+6+10+4=21$ maneiras de planejar a construção. + +56. Comparação de grandezas - A opção correta é (c). + +Temos $1000+0,01=1000,01$ e $1000 \times 0,01=1000 \times \frac{1}{100}=10$, bem como + +$$ +\frac{1000}{0,01}=\frac{1000}{\frac{1}{100}}=1000 \times 100=100000 +$$ + +e $0,01 / 1000=0,00001$. Finalmente, $1000-0,01$ é menor do que 1000 (não sendo preciso efetuar o cálculo para obter esta conclusão), de modo que o maior desses números é $1000 / 0,01$. + +57. Maior número de seis algarismos - A opção correta é (c). + +Solução 1: Para que seja o maior possível, o número deve começar com o maior algarismo. Para termos seis algarismos sem mudar a ordem, o maior é 8 e, depois, 7 . Agora faltam quatro algarismos para completar o número, portanto, escolhemos 9103. Logo, o número é 879103. + +Solução 2: As opções $D$ e $E$ não servem, pois a ordem foi alterada. Como nas opções $A, B$ e $C$ não foi alterada, basta escolher o maior número dentre essas opções, que é $C$. + +58. Qual é o numerador? - A opção correta é (a). + +Como $\frac{1}{6}=\frac{4}{24}$ e $\frac{1}{4}=\frac{6}{24}$, então $n$ só pode ser igual a 5 . + +59. Correndo menos - A opção correta é (a). + +Solução 1: A distância percorrida é $d=10 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \times 6 \min =10 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \times 6 \times \frac{1}{60} \mathrm{~h}=1 \mathrm{~km}$. + +Percorrendo essa mesma distância de $1 \mathrm{~km}$ em 8 minutos, a velocidade será + +$$ +v=\frac{1 \mathrm{~km}}{8 \mathrm{~min}}=\frac{1 \mathrm{~km}}{8 \times \frac{1}{60} \mathrm{~h}}=\frac{60}{8} \mathrm{~km} / \mathrm{h}=\frac{15}{2} \mathrm{~km} / \mathrm{h}=7,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h} +$$ + +Solução 2: Podemos usar diretamente a regra de três, como segue. + +Velocidade $\mathrm{em} \mathrm{km} / \mathrm{h}$ + +10 + +$x$ +Tempo em horas + +$$ +\begin{aligned} +& \rightarrow \quad \frac{6}{60} \\ +& \rightarrow \quad \frac{8}{60} +\end{aligned} +$$ + +Velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais (aumentando a velocidade, diminui o tempo), $\operatorname{logo} x / 10=\left(\frac{6}{60}\right) /\left(\frac{8}{60}\right)=6 / 8$, portanto, $x=60 / 8$, ou seja, a velocidade será + +$$ +x=\frac{60}{8} \mathrm{~km} / \mathrm{h}=\frac{15}{2} \mathrm{~km} / \mathrm{h}=7,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h} +$$ + +60. Cinco vizinhas - "Heloísa chega a seu andar depois de Elza, mas antes de Cláudia" significa que Heloísa mora acima de Elza e abaixo de Cláudia e "Quando Sueli chega ao seu andar, Heloísa ainda tem 2 andares para subir, e o mesmo ocorre a Patrícia quando Elza chega ao seu andar" significa que Heloísa mora dois andares acima de Sueli e Patrícia dois andares acima de Elza. Entretanto, como Sueli não mora no primeiro andar e Heloísa mora dois andares acima de Sueli, ou Sueli mora no segundo e Heloísa no quarto ou Sueli mora no terceiro e Heló́sa no quinto. Mas Cláudia mora acima de Heloísa, portanto Heloísa não pode morar no último andar, o quinto. Assim, Sueli mora no segundo andar, Heloísa no quarto e Cláudia no quinto. Finalmente, Patrícia mora dois andares acima de Elza, logo Elza mora no primeiro andar e Patrícia no quarto andar. + +| $5^{\circ}$ andar | Cláudia | +| :---: | :---: | +| $4^{\circ}$ andar | Heloísa | +| $3^{\circ}$ andar | Patrícia | +| $2^{\circ}$ andar | Sueli | +| $1^{\circ}$ andar | Elza | + +61. Potências de 9 - A opção correta é (d). + +$$ +9^{20}+9^{20}+9^{20}=3 \times 9^{20}=3 \times\left(3^{2}\right)^{20}=3 \times 3^{40}=3^{41} +$$ + +62. Dois números - A opção correta é (c). + +Como a diferença é 989 e o menor número tem dois algarismos (sendo, portanto, maior do que 9), o número de três algarismos deve ser maior do que $989+9=998$, de modo que a única opção é 999. Assim, o número de dois algarismos é 10 e a soma dos dois é $999+10=1009$. + +63. Menor natural - A opção correta é (d). + +Observe que $10^{n}-1$ é um número que tem todos os seus algarismos iguais a 9. Note, também, que um múltiplo de 37 , da forma $37 \times n$, só termina em 9 se $n$ terminar em 7. Então, os menores múltiplos de 37 terminados em 9 são $37 \times 7=259,37 \times 17=629$ e $37 \times 27=999$. Como $999=10^{3}-1$, segue que $n=3$. + +64. Imunes à gripes - A opção correta é (a). + +Contraíram a gripe $0,15 \%$ de 14000000 , ou seja, + +$$ +\frac{0,15}{100} \times 140000000=0,0015 \times 14000000=21000 +$$ + +pessoas. Portanto, não contraíram a gripe $14000000-21000=13979000$ pessoas. + +65. O código secreto - A op̧̧ão correta é (b). + +O código só pode ser formado com os algarismos $1,2,3,4,5,6,7$, 8, e 9 . + +Da primeira informação temos que 1, 2 e 3 não fazem parte do código (números que não fazem parte estão sublinhados nas tabelas). Da terceira informação, concluímos que 6 faz parte do código, e sua posição é - 6 - ${ }_{---}$ou ou 6. + +Da segunda informação segue que 4 e 5 não fazem parte do código e a posição do 6 no código é $\qquad$ 6. Da última informação só temos que o código é da forma 8 6. Com a quarta informação completamos o código: 876 . $\qquad$ + +| $\underline{1}$ | $\underline{2}$ | $\underline{3}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 4 | 5 | $\mathbf{6}$ | +| $\mathbf{6}$ | $\underline{1}$ | $\underline{2}$ | +| 5 | 4 | 7 | +| 8 | 4 | $\underline{3}$ | + + +| $\underline{1}$ | $\underline{2}$ | $\underline{3}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| $\underline{4}$ | $\underline{5}$ | 6 | +| 6 | $\underline{1}$ | $\underline{2}$ | +| $\underline{5}$ | $\underline{4}$ | 7 | +| 8 | $\underline{4}$ | $\underline{3}$ | + +66. Parênteses, colchetes e chaves - A opção correta é (e). + +As ordens de prioridade para resolver uma expressão são + +$$ +\underbrace{\text { parênteses }}_{1 \varrho} \rightarrow \underbrace{\text { colchete }}_{2 \varrho} \rightarrow \underbrace{\text { chaves }}_{3 \propto} +$$ + +e + +$$ +\underbrace{\text { multiplicações e divisões }}_{1 \varrho} \rightarrow \underbrace{\text { somas e subtrações }}_{2 \varrho} +$$ + +Assim, + +$$ +\begin{aligned} +2 & -2\{2-2[2-2(\underbrace{4-2}_{2})]\}=2-2\{2-2[2-\underbrace{2 \times 2}_{4}]\} \\ +& =2-2\{2-2[\underbrace{2-4}_{-2}]\}=2-2\{2-\underbrace{2 \times(-2)}_{-4}\} \\ +& =2-2\{2-(-4)\}=2-2\{\underbrace{2+4}_{6}\}=2-\underbrace{2 \times 6}_{12}=2-12=-10 +\end{aligned} +$$ + +67. Ordenando frações - A opção correta é (a). + +Solução 1: O mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores é 30. Reduzindo todas as frações a esse denominador comum, temos + +$$ +\frac{4}{3}=\frac{40}{30}, \quad \frac{4}{5}=\frac{24}{30}, \quad \frac{4}{6}=\frac{20}{30}, \quad \frac{3}{5}=\frac{18}{30}, \quad \frac{6}{5}=\frac{36}{30} \quad \text { e } \quad \frac{2}{5}=\frac{12}{30} +$$ + +Ordenando, + +$$ +\frac{12}{30}<\frac{18}{30}<\frac{20}{30}<\frac{24}{30}<\frac{36}{30}<\frac{40}{30} +$$ + +Concluímos que + +$$ +\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{6}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3} +$$ + +Solução 2: Escrevendo as frações na forma decimal, temos + +$$ +\frac{4}{3}=1,33 \ldots, \quad \frac{4}{5}=0,8, \quad \frac{4}{6}=0,66 \ldots, \quad \frac{3}{5}=0,6, \quad \frac{6}{5}=1,2 \quad \text { e } \quad \frac{2}{5}=0,4 +$$ + +Logo, + +$$ +\underbrace{\frac{2}{5}}_{0,4}<\underbrace{\frac{3}{5}}_{0,6}<\underbrace{\frac{4}{6}}_{0,66 \ldots}<\underbrace{\frac{4}{5}}_{0,8}<\underbrace{\frac{6}{5}}_{1,2}<\underbrace{\frac{4}{3}}_{1,33 \ldots} +$$ + +68. Números de três algarismos - A opção correta é (e). + +Por serem maiores do que 200, seus algarismos das centenas só podem ser 3 ou 5 . + +Começando com 3, temos 315 e 351 (que não repetem algarismos) e 311, 313, 331, 335, 353, 333 e 355 (repetindo algarismos), ou seja, nove números. + +Começando com 5, basta trocar o 3 com o 5 nos números acima. Logo, temos 9 desses números. Assim, temos um total de 18 números que podem ser escritos usando apenas os algarismos 1,3 e 5 . + +69. Velocidade de maratona - A opção correta é (d). + +O tempo que o vencedor gastou foi de + +$$ +13 \mathrm{~h} 45 \mathrm{~min}-11 \mathrm{~h} 330 \mathrm{~min}=2 \mathrm{~h} 15 \min =2+\frac{1}{4} \mathrm{~h}=\frac{9}{4} \mathrm{~h} +$$ + +Logo, a velocidade média, em $\mathrm{km} / \mathrm{h}$, é + +$$ +\frac{\text { espaço percorrido em } \mathrm{km}}{\text { tempo gasto em horas }}=\frac{42}{\frac{9}{4}}=\frac{168}{9}=18,6 \mathrm{~km} / \mathrm{h} +$$ + +70. Bilhetinhos com números - A op̧̧ão correta é (c). + +Se todas as alunas escrevessem o número 1, o produto seria 1, que não está entre as opç̃es. Logo, 2 ou 4 são fatores do produto e, por isso, o produto deve ser uma potência de 2. O maior produto possível seria obtido no caso em que todas as 5 alunas escrevessem o número 4, e o produto seria + +$$ +4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4=4^{5}=2^{10}=1024 +$$ + +Logo, podemos eliminar 2048. Agora temos que: + +- 100 e 120 são divisíveis por 5, logo não são potências de 2; +- 768 é divisível por $3(7+6+8=21)$, logo não é potência de 2 . + +A única resposta possível é $256=2^{8}$. Seria, por exemplo, o caso em que duas alunas escrevessem o número 2 e três escrevessem o número 4 , com $256=2 \times 2 \times 4 \times 4 \times 4$. + +71. Produto de frações - A opção correta é (d). + +$$ +\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5}=\frac{1}{5} +$$ + +72. Produto máximo - A opção correta é (a). + +Basta examinar os produtos dos números naturais cuja soma é 11 . + +$$ +\begin{array}{llllll} +11=1+10 & \text { e } & 1 \times 10=10 & 11=2+9 & \text { e } & 2 \times 9=18 \\ +11=3+8 & \text { e } & 3 \times 8=24 & 11=4+7 & \text { e } & 4 \times 7=28 \\ +11=5+6 & \text { e } & 5 \times 6=\mathbf{3 0} & & & +\end{array} +$$ + +73. Quem é o cubo? - A opção correta é (c). + +Temos $3^{m}=81=3^{4}$, donde $m=4$. Logo, $m^{3}=4^{3}=4 \times 4 \times 4=64$. + +74. Qual é o maior? - A opção correta é (c). + +Somando 3 a todos os membros, obtemos $a-1+3=b+2+3=c-3+3=d+4+3$, de modo que $a+2=b+5=c=d+7$, mostrando que $c$ é o maior dos números. + +75. Quatro formiguinhas - A opção correta é (b). + +O trajeto de Biloca é 3 diagonais +4 larguras +2 comprimentos. O trajeto de Pipoca de $25 \mathrm{dm}$ compreende 5 diagonais, logo o comprimento de uma diagonal é $25 \div 5=$ $5 \mathrm{dm}$. O trajeto de Tonica de $37 \mathrm{dm}$ compreende 5 diagonais mais 4 larguras da lajota, ou seja, $25+4$ larguras $=37$, donde 4 larguras $=37-25=12 \mathrm{dm}$ e a largura de uma lajota é $3 \mathrm{dm}$. O trajeto de Cotinha de $32 \mathrm{dm}$ compreende 5 comprimentos +4 larguras, ou seja, 5 comprimentos $+12=32$, donde 5 comprimentos $=32-12=20$ e o comprimento de uma lajota é $4 \mathrm{dm}$. Assim, Biloca percorre + +$$ +\underbrace{3 \text { diagonais }}_{3 \times 5}+\underbrace{4 \text { larguras }}_{4 \times 3}+\underbrace{2 \text { comprimentos }}_{2 \times 4}=15+12+8=35 \mathrm{dm} +$$ + +76. Trocando figurinhas - A moeda de troca de Guilherme são as figurinhas de aranha, portanto calculamos o valor-aranha das figurinhas que Célia quer trocar, usando as informações dadas. + +- 4 borboleta $\stackrel{(\mathrm{a})}{=} \underbrace{12 \text { tubarão }}_{4 \times 3} \stackrel{(\mathrm{e})}{=} \underbrace{24 \text { periquito }}_{12 \times 2} \stackrel{(\mathrm{d})}{=} \underbrace{72 \text { aranha }}_{24 \times 3}$ +- 5 tubarão $\stackrel{(\mathrm{e})}{=} \underbrace{10 \text { periquito }}_{5 \times 2} \stackrel{(\mathrm{d})}{=} \underbrace{30 \text { aranha }}_{10 \times 3}$ +- 6 macaco $\stackrel{(c)}{=} \underbrace{24 \text { aranha }}_{6 \times 4}$ +- 3 cobra $\stackrel{(\mathrm{b})}{=} \underbrace{9 \text { periquito }}_{3 \times 3} \stackrel{(\mathrm{d})}{=} \underbrace{27 \text { aranha }}_{9 \times 3}$ +- 6 periquito $\stackrel{(\mathrm{d})}{=} \underbrace{18 \text { aranha }}_{6 \times 3}$ + +Logo, Célia receberá $72+30+24+27+18=171$ figurinhas de aranha. + +77. Soma de frações - A opção correta é (d). + +$$ +\frac{10+20+30+40}{10}+\frac{10}{10+20+30+40}=\frac{100}{10}+\frac{10}{100}=10+0,1=10,1 +$$ + +78. Geometria com palitos - A opção correta é (c). + +Para o triângulo foram usados $6 \times 3=18$ palitos, sobrando, então, $60-18=42$ palitos para formar os três lados do retângulo. Da figura, temos que a largura do retângulo é formada por seis palitos, logo o comprimento é formado por $\frac{1}{2}(42-6)=18$ palitos. Como cada palito tem $5 \mathrm{~cm}$ de comprimento, a área do retângulo é dada por $\underbrace{6 \times 5}_{\text {largura }} \times \underbrace{18 \times 5}_{\text {comprimento }}=30 \times 90=2700 \mathrm{~cm}^{3}$. + +79. Um incêndio e o bombeiro - A opção correta é (c). + +O sobe-desce do bombeiro a partir do degrau do meio até chegar ao último degrau é dado por + +$$ +\overbrace{+5}^{\text {sobe }} \underbrace{-7}_{\text {desce }} \overbrace{+8}^{\text {sobe }} \overbrace{+7}^{\text {sobe }} +$$ + +de modo que o bombeiro sobe $8+5=13$ degraus acima do degrau do meio, chegando ao último degrau da escada. Portanto, a escada tem 13 degraus acima do degrau do meio, e igualmente 13 degraus abaixo do degrau do meio. Portanto, a escada tem $13+1+13=27$ degraus. Veja um esquema da movimentação do bombeiro. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-054.jpg?height=442&width=923&top_left_y=1338&top_left_x=652) + +80. Árvore genealógica - A opção correta é (c). + +Na figura vemos que o pai de Evaristo é José. O irmão de José é Jean. O pai de Jean é Luís. O irmão de Luís é André. + +- irmão do $\underbrace{\text { pai de Evaristo }}_{\text {José }}=$ irmão de José $=$ Jean +- pai do irmão do $\underbrace{\text { pai de Evaristo }}_{\text {José }}=$ pai de Jean $=$ Luís Jean +- irmão do pai do irmão do pai de Evaristo = irmão de Luís = André + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-054.jpg?height=197&width=602&top_left_y=2500&top_left_x=607) + +81. Colcha quadrada - A opção correta é (b). + +A colcha é formada de $5 \times 5=25$ quadradinhos, todos iguais. Já os triângulos são de dois tipos, o tipo I, que corresponde a meio quadrado e o tipo II, que corresponde a $1 / 4$ de um quadradinho. A parte em cinza é composta de 8 triângulos do tipo I, 8 triângulos do tipo II e 4 quadrados, ou seja, + +$$ +\underbrace{8 \text { triângulos tipo I }}_{4 \text { quadrados }}+\underbrace{8 \text { triângulos tipo II }}_{2 \text { quadrados }}+4 \text { quadrados }=10 \text { quadrados. } +$$ + +Logo, a fração correspondente à parte cinza é $\frac{10}{25}=\frac{40}{100}=40 \%$. + +82. Falsas igualdades - A opção correta é (e). + +Nenhuma igualdade está correta. + +(i) Errada: $3 \times 10^{6}+5 \times 10^{2}=3000000+500=3000500 \neq 8 \times 10^{8}$. + +(ii) Errada: $2^{3}+2^{-3}=2^{3}+\frac{1}{2^{3}}=8+\frac{1}{8} \neq 1=2^{0}$. + +(iii) Errada, a multiplicação precede a soma: $5 \times 8+7=40+7=47 \neq 75$. + +(iv) Errada, a divisão precede a soma: $5+5 \div 5=5+1=6 \neq 2$. + +83. Menor valor da soma - A opção correta é (c). + +Seja $N$ o número dado por $N=3 a=4 b=7 c$. Então, o número $N$ é um múltiplo de 3, 4 e 7. Portanto, quando fatoramos o número $N$ em fatores primos, aparecem, pelo menos, os fatores 2,3 e 7 , o primeiro dos quais com expoente, no mínimo, igual a 2. Segue que $N$ é um múltiplo de $2^{2} \times 3 \times 7=84$. Por outro lado, os números $a=4 \times 7=28$, $b=3 \times 7=21$ e $c=4 \times 3=12$ satisfazem as igualdades $3 a=4 b=7 c$. Logo, $a=28$, $b=21$ e $c=12$ são os menores valores possíveis para $a, b$ e $c$ e $28+21+12=61$ é o menor valor possível para $a+b+c$. + +84. Procurando um quadrado perfeito - A opção correta é (d). + +Fatorando 120 obtemos $120=2^{3} \times 3 \times 5$. Para obter um quadrado perfeito, todos os expoentes dessa decomposição devem ser pares, logo basta multiplicar 120 por + +$$ +2 \times 3 \times 5=30 +$$ + +De fato, temos, $120 \times 30=2^{3} \times 3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5=2^{4} \times 3^{2} \times 5^{2}=\left(2^{2} \times 3 \times 5\right)^{2}=60^{2}$. + +85. Visitas num museu - A opção correta é (c). + +Observe que os únicos algarismos que não aparecem no número 1879564 são 0,2 e 3. O próximo número com todos os algarismos distintos ocorrerá quando mudar o algarismo das centenas e tivermos 18796 _ _. Logo, o menor número será 1879602 e ainda faltam $1879602-1879564=38$ visitantes. + +86. Ligando números por flechas - A opção correta é (e). + +O caminho-padrão é o que se repete, a saber, $\longrightarrow \downarrow \downarrow \uparrow$, formado por seis flechas, sempre começando nos múltiplos de 6 , ou seja, em $0,6,12$, etc. Vamos averiguar qual +é a posição de 1997 em relação ao múltiplo de 6 mais próximo. Dividindo 1997 por 6 , obtemos $1997=6 \times 332+5$, correspondendo a 336 caminhos-padrão mais o resto de 5 flechas. Portanto, 1998 é múltiplo de 6 mais próximo de 1997, ocupando a primeira posição no caminho-padrão. Assim, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-056.jpg?height=171&width=306&top_left_y=520&top_left_x=958) + +é o caminho que ocorre entre 1997 e 2000. + +87. Múltiplos de 9 - Um número só é um múltiplo de 9 se a soma dos seus algarismos for um múltiplo de 9 . + +(a) O número deve ter 9 algarismos iguais a 1, ou seja, 111111111. + +(b) Devemos usar o maior número possível de algarismos iguais a 2, todos ficando nas casas mais à direita. Assim, o menor número é 12222 . + +88. A florista - Se a florista vender as flores sem desidratá-las, ela vai apurar um total de $49 \times 1,25=61,25$ reais. O peso das flores depois da desidratação é + +$$ +\left(1-\frac{5}{7}\right) \times 49=\frac{2}{7} \times 49=14 \mathrm{~kg} +$$ + +Logo, vendendo as flores desidratadas, ela apura um total de $14 \times 3,25=45,50$ reais. Assim, a florista ganha mais no processo sem a desidratação. + +89. Divisores - Como 2, 3, 5 e 7 são primos, os divisores do número $N=2^{a} \times 3^{b} \times 5^{c} \times 7^{d}$ são os números da forma $2^{m} \times 3^{n} \times 5^{p} \times 7^{q}$, com $0 \leq m \leq a, 0 \leq n \leq b, 0 \leq p \leq c$ e $0 \leq q \leq d$. Portanto, $N$ tem $(a+1) \times(b+1) \times(c+1) \times(d+1)$ divisores. Decompondo $378 \mathrm{em}$ fatores primos, encontramos $378=2 \times 3^{3} \times 7$, portanto queremos $a, b, c$ e $d$ tais que + +$$ +(a+1) \times(b+1) \times(c+1) \times(d+1)=2 \times 3^{3} \times 7 +$$ + +Por outro lado, para $N$ ser mínimo, os expoentes devem ser ordenados do maior para o menor, isto é, $a \geq b \geq c \geq d$. + +Afirmamos que $d>0$, pois se $d=0$ então $a+1, b+1$ ou $c+1$ tem dois fatores maiores do que 1 . Se $a+1=m n$, com $m \geq n>1$, temos que + +$$ +2^{a}=2^{m n-1}=2^{m-1} 2^{m n-m}=2^{m-1}\left(2^{m}\right)^{n-1} \geq 2^{m-1} 8^{n-1}>2^{m-1} 7^{n-1} +$$ + +onde na penúltima desigualdade usamos o fato que $m \geq 3$. Assim, temos que + +$$ +2^{a} 3^{b} 5^{c} 7^{d}>2^{m-1} 3^{b} 5^{c} 7^{n-1} +$$ + +e, portanto, encontramos um número com a mesma quantidade de divisores, mas menor. O argumento é igual no caso em que $b+1$ ou $c+1$ tem dois fatores. Assim, $d \geq 1$ e restam somente as possibilidades dadas na tabela seguinte. + +| $a$ | $b$ | $c$ | $d$ | $(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=378$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 20 | 2 | 2 | 1 | $21 \times 3 \times 3 \times 2$ | +| 13 | 2 | 2 | 2 | $14 \times 3 \times 3 \times 3$ | +| 8 | 6 | 2 | 1 | $9 \times 7 \times 3 \times 2$ | +| 6 | 5 | 2 | 2 | $7 \times 6 \times 3 \times 3$ | + +Por último, como + +$$ +\frac{2^{20} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{1}}{2^{13} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}=\frac{2^{7}}{7}>1, \quad \frac{2^{13} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}{2^{8} \cdot 3^{6} \cdot 5^{2} \cdot 7^{1}}=\frac{2^{5} \cdot 7}{3^{4}}>1 +$$ + +$$ +\frac{2^{8} \cdot 3^{6} \cdot 5^{2} \cdot 7^{1}}{2^{6} \cdot 3^{5} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}=\frac{2^{2} \cdot 3}{7}>1 +$$ + +temos que o valor de $N$ é $2^{6} \cdot 3^{5} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}$. Portanto, $a=6, b=5, c=2$ e $d=2$. + +## 90. O produto dos algarismos + +(a) Como $12=2 \times 6=4 \times 3=2 \times 2 \times 3$, devemos utilizar os algarismos $1,2,3,4 \mathrm{e}$ 6 cujos produtos sejam 12. Assim, temos: + +- números com 2 algarismos: 26, 62, 34 e 43; +- números com 3 algarismos: +- com os algarismos 1, 2 e 6: 126, 162, 216, 261, 612 e 621; +- com os algarismos 1, 3 e 4: 134, 143, 314, 341, 413 e 431; +- com os algarismos 2, 2 e 3: 223, 232 e 322 . + +(b) Se $P(n)=0$, então o produto de seus algarismos é igual a zero e, portanto, pelo menos um dos algarismos do número $n$ é zero. De 1 a 199 temos 18 números com zero só nas unidades, 9 números com zero só nas dezenas e ainda o número 100, totalizando 28 números: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-057.jpg?height=118&width=902&top_left_y=1877&top_left_x=654) + +(c) Queremos encontrar os inteiros positivos menores do que 200, cujo produto dos algarismos seja maior do que 37 e menor do que 45. Por exemplo, 58 é um desses números, porque $5 \times 8=40$. Em primeiro lugar, note que não existem números cujo produto dos algarismos seja $38,39,41,43$ e 44, porque esses números possuem um fator primo maior do que $10 \mathrm{e}$, portanto, não podem ser escritos como produto de dois ou três algarismos. Logo, restam apenas 40 e 42. Assim, os números menores do que 200 cujo produto dos algarismos + +- é 40 são $58,85,158$ e 185 ; +- é 42 são $67,76,167$ e 176. + +(d) O valor de $P(n)$ é o maior possível quando $n=99$ ou $n=199$, quando + +$$ +P(99)=P(199)=81 +$$ + +91. Suco de laranja - Se Davi comprar seis garrafas individualmente, ele gastará $6 \times 2,80=16,80$ reais, que é um valor maior do que o preço de uma caixa com seis. Portanto, ele deve comprar a maior quantidade possível de caixas. Nesse caso, como $22=3 \times 6+4$, ele deve comprar três caixas e quatro garrafas individualmente, caso em que gastará $3 \times 15+4 \times 2,80=56,20$ reais, que é o mínimo possível. +92. A casa da Rosa - Como o quarto é quadrado, com uma área de $16 \mathrm{~m}^{2}$, suas dimensões são $4 \times 4 \mathrm{~m}$. Da mesma forma, as dimensões do quintal quadrado são $2 \times 2 \mathrm{~m}$. A sala tem uma área de $24 \mathrm{~m}^{2}$ e uma dimensão igual à do quarto; portanto, as dimensões da sala são $6 \times 4 \mathrm{~m}$. Assim, as dimensões totais da casa são $10 \times 6$ $\mathrm{m}$ e a área total da casa é de $60 \mathrm{~m}^{2}$. Logo, a cozinha tem uma área de + +$$ +60-16-24-4=16 \mathrm{~m}^{2} +$$ + +| 4 | 6 | +| :---: | :---: | +| Quarto | $4 \quad$ Sala | +| Quinta 2
2 | Cozinha | + +93. O passeio do Matias - Observe que há 12 ruas, ou seja, lados de 100 metros, entre os quatro quarteirões. Também há quatro esquinas, marcadas com $\star$ na figura, em que se encontram três ruas. Sempre que Matias passar por uma dessas quatro esquinas, usará duas dessas três ruas. Assim, pela regra que ele mesmo se impôs, quando voltar a passar numa dessas quatro esquinas, termina o passeio. Portanto, em todo caminho que percorrer, há, pelo menos, duas dentre essas quatro esquinas $\star$ em que não usou todas as ruas que chegam a essas esquinas. Assim, o caminho de comprimento máximo usa no máximo 10 ruas, ou seja, tem um total de $1000 \mathrm{~m}$. Na figura desenhamos um dos trajetos máximos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-058.jpg?height=368&width=342&top_left_y=1255&top_left_x=1531) + +94. O adesivo oficial - Como o quadrado pintado da cor azul pode estar em qualquer lugar, temos seis possíveis formas de escolher a posição desse quadrado. Entre os cinco quadrados restantes, precisamos pintar dois de amarelo, o que podemos fazer de 10 maneiras. Os três quadrados restantes são pintados de verde. Portanto, o prefeito tem $6 \times 10=60$ formas diferentes de escolher o adesivo. +95. Adição de números - Efetuando a adição + +| 111 | +| ---: | +| $a 000$ | +| $a 998$ | +| $+a 999$ | +| $\square 997$ | + +encontramos $\square 997=22997$, onde $\square=a+a+a+1$. Logo, $22=a+a+a+1 \mathrm{e}$, portanto, $a=7$. + +96. Cubo perfeito e divisibilidade - Um cubo perfeito é um número da forma $a^{3}$, onde $a$ é um natural. Como $9^{4}=\left(3^{2}\right)^{4}=3^{8}$, os cubos perfeitos que dividem $3^{8}$ são $1,3^{3}$ e $\left(3^{2}\right)^{3}=3^{6}$. +97. Localização de um ponto - O ponto indicado está quatro marcas à direita de 19. Entre 19 e 20 aparecem subdivisões em 10 partes iguais, portanto, cada marca equivale a 0,1 nessa escala. Assim, o ponto indicado é 19,4 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-059.jpg?height=134&width=677&top_left_y=481&top_left_x=724) + +98. Cálculo de porcentagem - Temos 58 acertos em 84 questões, portanto, a razão de acertos é $\frac{58}{84}$. Dividindo 58 por 84 , encontramos, aproximadamente, $0,69047 \mathrm{em} 1$, ou 69,047 em 100. Logo, o percentual é, aproximadamente, $69,047 \%$. +99. Comparação de algarismos - Os números que estamos procurando são maiores do que 400 e menores do que 600, portanto, o algarismo das centenas só pode ser 4 ou 5 . Como são números ascendentes, o algarismo das dezenas é menor do que o algarismo das unidades. Vejamos como escolher os algarismos das dezenas e das centenas. + +$$ +\begin{gathered} +4\left\{\begin{array}{l} +56 \\ +57 \\ +58 \\ +59 +\end{array} \quad ; 4\left\{\begin{array}{l} +67 \\ +68 \\ +69 +\end{array} \quad ; 4\left\{\begin{array}{l} +78 \\ +79 +\end{array} ; 4\{89\right.\right.\right. \\ +5\left\{\begin{array}{l} +67 \\ +68 \\ +69 +\end{array} \quad ; \quad 5\left\{\begin{array}{l} +78 \\ +79 +\end{array} ; 5\{89\right.\right. +\end{gathered} +$$ + +Logo, temos 10 números ascendentes com algarismo das centenas igual a 4 e seis números ascendentes com algarismo das centenas igual a 5. Assim, temos 16 números ascendentes entre 400 e 600 . + +100. Muro colorido - Observamos que no momento em que escolhermos a cor de dois + +| | | | $\bar{A}$ | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $A$ | | $\bar{C}$ | | 3 | | $A$ | +| | 3 | | $A$ | | $\bar{C}$ | | +| $A$ | | $\bar{C}$ | | 3 | | $A$ | + +tijolos vizinhos, a cor de todos os demais tijolos estará decidida. + +Assim, denotando os tijolos de acordo com uma de suas três cores $A, B$ ou $C$, e seguindo a exigência de não ter tijolos de mesma cor se tocando, obtemos uma distribuição como a da figura. Como a maior quantidade de tijolos está marcada com $A$, num total de seis, e os tijolos amarelos são os mais baratos, devemos escolher tais tijolos amarelos. Por outro lado, temos a mesma quantidade de tijolos $B$ e $C$, quatro de cada tipo, portanto, podemos escolher quatro tijolos azuis e quatro vermelhos. Assim, o menor valor a ser pago na compra dos tijolos desse muro é $6 \times 6+4 \times 7+4 \times 8=96$ reais. + +101. Divisores e fatoração - Como o produto dos dois fatores é 96, eles são divisores de 96. Decompondo 96 em fatores primos, encontramos $96=2^{5} \times 3$, portanto, seus divisores são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48 e 96. + +Os divisores 96, 48, 32, 24 e 16 não servem, pois seus quadrados já são maiores do que 208, sobrando 1, 2, 3, 4, 6, 8 e 12, cujos quadrados são 1, 4, 9, 16, 36, 64 e 144. + +Agora é fácil ver que a única possibilidade é $64+144=208$. Como $8 \times 12=96$, os números são 8 e 12. + +102. O retângulo do Luís - Faremos a divisão com retângulos. Observamos que $24=6 \times 4$ e $12=6 \times 2$, portanto, Luís pode fazer um primeiro corte a $4 \mathrm{~cm}$ no lado de $10 \mathrm{~cm}$ e outro corte a $2 \mathrm{~cm}$ do corte anterior. Depois desses cortes, resta um retângulo de tamanho $6 \times 4$. Por último, como $16=4 \times 4$, basta fazer mais um corte a $4 \mathrm{~cm}$ no lado que mede $6 \mathrm{~cm}$. Os cortes estão ilustrados na figura seguinte, com indicação das dimensões dos lados e das áreas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-060.jpg?height=349&width=557&top_left_y=1042&top_left_x=835) + +103. Comparação de números - Fatorando os números e extraindo as raízes, obtemos + +$$ +\begin{aligned} +& \sqrt{121}=\sqrt{11^{2}}=11 \\ +& \sqrt[3]{729}=\sqrt[3]{9^{3}} \quad=9 \mathrm{e} \\ +& \sqrt[4]{38416}=\sqrt[4]{2^{4} \times 7^{4}}=2 \times 7=14 +\end{aligned} +$$ + +Logo, em ordem crescente, temos $\sqrt[3]{729}, \sqrt{121}$ e $\sqrt[4]{38416}$. + +104. As moedas - Atribuindo o valor 1 às coroas e -1 às caras e somando os resultados depois de cada jogada, inicialmente a brincadeira começa com soma 7 e queremos chegar a cara e coroa alternadas, de modo que a brincadeira termina em 1 ou em -1 . Observamos que, em cada passo da brincadeira, temos as seguintes possibilidades: trocamos duas coroas por duas caras e o valor da soma diminui em 4; trocamos uma cara e uma coroa por uma coroa e uma cara e o valor da soma fica inalterado; ou trocamos duas caras por duas coroas e o valor da soma aumenta em 4. Portanto, é impossível partir de 7 como soma inicial e chegar a 1, mas vejamos que, efetivamente, é possível chegar a -1 , isto é, a quatro caras e três coroas. Como queremos obter quatro caras não consecutivas, precisamos de, pelo menos, quatro jogadas. + +As quatro jogadas, que fazem a soma passar de 7 para 3 , de 3 para -1 e então permanecer em -1 , estão ilustradas na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-061.jpg?height=629&width=823&top_left_y=385&top_left_x=545) + +105. O preço do frango - A opção correta é (b). + +Como $81=3^{4}$, o valor do frango triplicou quatro vezes. O número de meses transcorridos foi $4 \times 6=24$ meses, isto é, dois anos, ou seja, em janeiro de 2002 o frango atingirá o preço de $\mathrm{R} \$ 81,00$. + +106. Excursóes a Foz do Iguaçu - Temos um ônibus com $27-19=8$ lugares livres e ainda precisamos acomodar os $53-8=45$ participantes em ônibus de 27 lugares. É claro que um ônibus só não é suficiente, portanto, precisamos de dois ônibus e teremos $2 \times 27-45=9$ lugares livres no último ônibus. Ficaram $27-9=18$ pessoas no ônibus incompleto. +107. As frações de Laura - Como a fração é igual a um número inteiro, o seu numerador deve ser um múltiplo do seu denominador. Vamos testar todas essas possibilidades e escolher as que satisfazem as condições do problema. + +$$ +\begin{aligned} +\frac{3+5+6}{2}=7, \frac{3+6+11}{2} & =10 \quad \text { e } \quad \frac{5+6+11}{2}=11 \text { não satisfazem; } \\ +\frac{2+5+11}{3} & =6 \text { satisfaz; } \frac{3+6+11}{5}=4 \text { não satisfaz; } \\ +\frac{2+5+11}{6} & =3 \text { satisfaz e } \quad \frac{2+3+6}{11}=1 \text { não satisfaz. } +\end{aligned} +$$ + +Assim, temos somente as duas respostas seguintes. + +$$ +\frac{(2)+(5)+(11)}{(3}=6 \quad \frac{(2)+(5)+(11)}{6}=(3 +$$ + +108. Cálculo da unidade - A opção correta é (e). + +Como o algarismo da unidade de qualquer potência de 5 é 5 , segue que o algarismo da unidade de cada fator do produto é $5+1=6$. Mas, $6 \times 6=36$, ou seja, o produto de dois números terminados em 6 também é um número terminado em 6 . Logo, o algarismo da unidade desse produto é 6 . + +## 109. Números cruzados + +| 5 | 2 | | $\delta$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| | 8 | 5 | | +| 7 | | 1 | $\overline{7}$ | +| 63 | 2 | $\equiv$ | 4 | +| 4 霉 | 8 | 7 | 6 | +| 6 | 9 | | | + +110. Ovos e maçãs - A opção correta é (b). + +Como o enunciado e a resposta são percentuais podemos, nesse caso, estipular qualquer preço e qualquer unidade monetária, que a resposta será, sempre, a mesma. O mais simples, portanto, é supor que, inicialmente, uma dúzia de ovos custava 100 e, portanto, que dez maçãs também custavam 100. Como o preço dos ovos subiu $10 \%$, o novo valor dos ovos é 110. O preço das maçãs diminuiu $2 \%$, portanto, o novo preço de dez maçãs é 98. Assim, enquanto antes gastava-se 200 na compra de uma dúzia de ovos e dez maçãs, agora gasta-se $110+98=208$. Daí, temos que o aumento foi de 8 em 200 , o que corresponde ao percentual de + +$$ +\frac{8}{200}=\frac{4}{100}=4 \% +$$ + +111. Divisão de números decimais - A opção correta é (a). + +Efetuando a divisão, temos + +$$ +\frac{254,88}{0,177}=\frac{254880}{177}=\frac{144 \times 177 \times 10}{177}=1440 +$$ + +112. Almoço dos amigos - Os preços de um prato mais uma vitamina são + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-062.jpg?height=108&width=908&top_left_y=2036&top_left_x=654) + +Dentre esses, os que diferem por 6 são 14 e 20, ou 17 e 23. Logo, temos duas soluções: ou Denise gasta $7+7=14$ e Júlio $14+6=11+9=20$, ou Denise gasta $11+6=17$ e Júlio $14+9=23$. + +113. Somas de três em três - Inicialmente, observe que se a maior soma de três desses números for 9 , então todos os números devem ser menores do que 7 , ou seja, $1,2,3$, 4,5 ou 6 . Por outro lado, se a menor soma de três desses números distintos for 6 , então eles não podem incluir 5 ou 6 , restando $1,2,3$ e 4 . Verificamos que esses são os números, pois + +$$ +1+2+3=6,1+2+4=7,1+3+4=8 \quad \text { e } \quad 2+3+4=9 +$$ + +114. O passeio do Jorge - Lembrando que a distância entre as árvores ao longo do caminho é de $5 \mathrm{~m}$, ilustramos o sentido do percurso de Jorge nas figuras. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-063.jpg?height=236&width=1532&top_left_y=367&top_left_x=296) + +(a) Caminhando inicialmente $32 \mathrm{~m}$, ele toca em sete árvores, parando $2 \mathrm{~m}$ depois da última árvore que tocou. + +(b) Voltando $18 \mathrm{~m}$, ele toca em quatro árvores, parando $1 \mathrm{~m}$ depois da última que tocou. + +(c) Ao retornar $22 \mathrm{~m}$, ele toca em cinco árvores, parando $1 \mathrm{~m}$ depois da última árvore que tocou. + +Assim, Jorge tocou em $7+4+5=16$ árvores. + +115. A descoberta do algarismo - Separando os números cujos quadrados têm 1, 2 e 3 algarismos, temos, + +$$ +\begin{array}{ll} +\text { com } 1 \text { algarismo: } & 1,2,3 \\ +\text { com } 2 \text { algarismos: } & 4,5,6,7,8,9 \\ +\text { com } 3 \text { algarismos: } & 10,11,12, \ldots, 31 +\end{array} +$$ + +Até $31^{2}$, o número já tem $3+12+66=81$ algarismos. Abreviando algarismo por "algs", temos + +$$ +\underbrace{1^{2}, 2^{2}, 3^{2}}_{1 \times 3 \text { algs }}, \underbrace{4^{2}, \ldots, 9^{2}}_{2 \times 6=12 \text { algs }}, \underbrace{10^{2}, \ldots, 31^{2}}_{3 \times 22=66 \text { algs }} +$$ + +Assim, faltam $100-81=19$ algarismos para o 100 . Como só $100^{2}$ tem 5 algarismos, e como $19=4 \times 4+3$, teremos mais 4 números de 4 algarismos cada um, que são $32^{2}$, $33^{2}, 34^{2}$ e $35^{2}$, e mais os 3 algarismos (milhar, centena, dezena) do número $36^{2}=1296$, como segue. + +$$ +\underbrace{1^{2}, 2^{2}, 3^{2}}_{1 \times 3 \text { algs }}, \underbrace{4^{2}, \ldots, 9^{2}}_{2 \times 6=12 \text { algs }}, \underbrace{10^{2}, \ldots, 31^{2}}_{3 \times 22=66 \text { algs }}, \underbrace{32^{2}, 33^{2}, 34^{2}, 35^{2}}_{4 \times 4=16 \text { algs }}, 12 \underbrace{9}_{100^{a} \text { alg }} 6 +$$ + +Assim, vemos que o algarismo 9 ocupa a 100a posição. + +116. $O B M E P$ - Como peso de $B+$ peso de $E=6$ e peso de $M+$ peso de $P=6$, segue que os pesos de $M, P, B$ e $E$ são todos menores do que 6. Como não há dois discos de mesmo peso, $M, P, B$ e $E$ não podem pesar $3 \mathrm{e}$, portanto, os pesos desses quatro discos só podem ser $1,2,4$ e 5 . Agora, peso de $X+$ peso de $O=13$ e peso de $Z+$ peso de $O=9$, portanto, peso de $X=$ peso de $Z+4$. Assim, a única opção para os pesos de $Z$ e de $X$ é 3 e 7. Por exclusão, o peso de $O$ é 6 . Assim, obtemos + +peso de $O+$ peso de $B+$ peso de $M+$ peso de $E+$ peso de $P=6+6+6=18$. + +117. Prédio misterioso - Primeiro observamos que os elevadores denotados por $A, C, D$, $E, F$ e $H$ conduzem a recintos fechados em algum dos dois andares e, portanto, não levam à saída. Desconsiderando esses elevadores, nosso desenho de elevadores úteis é o seguinte. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-064.jpg?height=380&width=1060&top_left_y=261&top_left_x=564) + +Assim, o caminho mais curto entre a entrada de um andar até a saída do outro consiste em primeiro pegar o elevador $B$, depois o $J$ e, por último, o $G$. + +## 118. Soma de frações + +Solução 1: Transformando as frações em números decimais, obtemos + +$$ +\frac{1}{10}-\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}=0,1-0,01+0,001-0,00001=0,0909=\frac{909}{10000} +$$ + +Solução 2: Efetuando a soma das frações, obtemos + +$$ +\frac{1}{10}-\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}=\frac{1000-100+10-1}{10000}=\frac{909}{10000} +$$ + +119. Biblioteca - Ao comprar 140 livros, a biblioteca ficou com $\frac{27}{25}$ do número de livros, portanto, 140 corresponde a $\frac{2}{25}$ dos livros da biblioteca. Se $\frac{2}{25}$ corresponde a 140 livros, $\frac{1}{25}$ corresponde a $140 \div 2=70$ livros e $\frac{25}{25}$ a $70 \times 25=1750$ livros. A opção correta é (a). +120. Comparação de frações - Para que uma fração seja menor do que 1, o numerador deve ser menor do que o denominador. Eliminando as repetições, obtemos a lista seguinte. + +(a) 1 fração com denominador 2: $\frac{1}{2}$ + +(b) 2 frações com denominador $3: \frac{1}{3}$ e $\frac{2}{3}$ + +(c) 2 frações com denominador 4: $\frac{1}{4}, \underbrace{\frac{2}{4}}_{1 / 2}$ e $\frac{3}{4}$ + +(d) 4 frações com denominador 5: $\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}$ e $\frac{4}{5}$ + +(e) 2 frações com denominador 6: $\frac{1}{6}, \underbrace{\frac{2}{6}}_{1 / 3}, \underbrace{\frac{3}{6}}_{1 / 2}, \underbrace{\frac{4}{6}}_{2 / 3}$ e $\frac{5}{6}$ + +(f) 6 frações com denominador $7: \frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}$ e $\frac{6}{7}$ +(g) 4 frações com denominador $8: \frac{1}{8}, \underbrace{\frac{2}{8}}_{1 / 4}, \frac{3}{8}, \underbrace{\frac{4}{8}}_{1 / 2}, \frac{5}{8}, \underbrace{\frac{6}{8}}_{3 / 4}$ e $\frac{7}{8}$ + +(h) 6 frações com denominador 9: $\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \underbrace{\frac{3}{9}}_{1 / 3}, \frac{4}{9}, \frac{5}{9}, \underbrace{\frac{6}{9}}_{2 / 3}, \frac{7}{9}$ e $\frac{8}{9}$. + +Assim, temos 27 dessas frações. + +121. Divisão com resto - Se a divisão de 2007 por algum número deixar resto 5 , então esse número divide $2007-5=2002$. Assim, calculamos todos os divisores de $2002=$ $2 \times 7 \times 11 \times 13$, listados na coluna da direita da tabela seguinte. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-065.jpg?height=340&width=854&top_left_y=895&top_left_x=632) + +Como o resto 5 deve ser menor do que o divisor, dividindo 2007 por qualquer um dos 14 números seguintes deixa resto 5 : + +$$ +7,11,13,14,22,26,77,91,143,154,182,286,1001 \text { e } 2002 +$$ + +122. Panelas - Convertendo $1 \mathrm{~kg}$ em $1000 \mathrm{~g}$, temos que as duas panelas juntas, mais a carne, pesam $645+237+1000=1882 \mathrm{~g}$. Logo, cada panela, mais o seu conteúdo de carne, deve pesar $1882 \div 2=941 \mathrm{~g}$. Assim, José colocou: + +$$ +941-645=296 \mathrm{~g} \quad \text { e } \quad 941-237=704 \mathrm{~g} +$$ + +nessas duas panelas. + +123. Dominós - Como $2 \times 3=6$, podemos começar supondo que os dois dominós $\square$. e .'.... estejam na posição certa. Se isso for verdade, e como $1 \times 3=3$, resulta que o algarismo na dezena do resultado deve ser 3 , portanto precisamos trocar o dominó pelo dominó , de tal forma que o 3 fique na dezena. Como temos um 2 na centena do resultado, a centena do primeiro número precisa ser um 4. Com essa troca, a posição dos dominós fica correta, como pode ser visto na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-065.jpg?height=408&width=848&top_left_y=2280&top_left_x=638) + +124. Código secreto - A única maneira de obter $360=2^{3} \times 3^{2} \times 5$ como produto de três números de um algarismo cada um é $360=9 \times 8 \times 5$. Como $A$ é o menor dos três, $A=5$. Logo $B=8$ e $C=9$, ou $B=9$ e $C=8$, ambas op̧̧̃es com $A A+B B+C C=$ $55+88+99=242$. Logo, temos duas possibilidades para o código $A B C$, a saber, 589 ou 598 . +125. Os doze pontos - No total, temos 11 possíveis quadrados, mostrados nas figuras seguintes. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-066.jpg?height=316&width=1006&top_left_y=736&top_left_x=616) +126. Relógio - Vamos tentar uma data e um horário no mesmo ano de 1994. Já que com os números dados não podemos alterar o dia nem para 29 nem para 30, sem alterar o ano, então a data procurada não está no mês 05 . O seguinte mês possível é o 08 . Como precisamos da data mais próxima possível, observemos que podemos formar o dia 01 , sobrando os algarismos $0,2,4$ e 5 para formar a hora. A menor hora possível que podemos formar com esses algarismos é $02 \mathrm{~h} 45 \mathrm{~m}$, de modo que a data procurada é 1ํo de agosto de 1994, às 02 horas e 45 minutos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-066.jpg?height=354&width=808&top_left_y=1551&top_left_x=710) + +127. Lápis - A opção correta é (b). + +Vamos ver em quantas caixas podemos colocar o número máximo de lápis, que é 6 por caixa. Nas 13 caixas não é possível, pois $13 \times 6=78$ é maior do que o número 74 do total de lápis. Em 12 caixas podemos ter $12 \times 6=72$, sobrando uma caixa, com $74-72=2$ lápis. + +128. Contagem - A cada 10 páginas, o algarismo 1 aparece uma vez nas unidades e, a cada 100 páginas, aparece 10 vezes nas dezenas. Contando o número de páginas que contém o algarismo 1 em cada faixa abaixo, temos + +(a) 20 vezes entre 1 e 99: + +$1,11,21,31,41,51,61,71,81,91$, num total de 10 vezes na unidade; $10,11,12,13,14,15,16,17,18,19$, num total de 10 vezes na dezena. +(b) 120 vezes entre 100 e 199: + +101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191: 10 vezes na unidade; $110,111,112,113,114,115,116,117,118,119: 10$ vezes na dezena; $100,101,102, \ldots, 199$, num total de 100 vezes na centena. + +(c) 20 vezes entre 200 e 299 : + +201, 211, 221, 231, 241, 251, 261, 271, 281, 291: 10 vezes na unidade; + +210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219: 10 vezes na dezena. + +Até a página 299, o número 1 aparece $20+120+20$ vezes, faltando, portanto, apenas $171-160=11$ vezes. Os dois primeiros que aparecem depois de 299 são dois na unidade, em 301 e 311, e os nove primeiros das dezenas, em 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317 e 318. Assim, o livro tem 318 páginas. + +129. Viagem a Recife - A opção correta é (b). + +No momento em que a informação foi dada, o tempo de vôo que faltava era de $1 \mathrm{~h} 20 \mathrm{~min}$, ou $4 / 3$ de hora. Logo, nesse momento, a distância até Recife era de $864 \times \frac{4}{3}=1152$ $\mathrm{km}$. Como estávamos a $1222 \mathrm{~km}$ da cidade de partida, a distância entre essa cidade e Recife deve ser $1152+1222=2374 \mathrm{~km}$. Dentre as opções dadas, a mais próxima é $2400 \mathrm{~km}$. + +130. Praça - Como a $5^{\underline{a}}$ casa da Maria é a $12^{\underline{a}}$ casa do João, a diferença entre as contagens é de 7 casas e, portanto, a 1 $1^{\text {a }}$ casa da Maria é a $8^{\mathrm{a}}$ casa do João. Como a $30^{\underline{a}}$ casa da Maria é a $5 \underline{\underline{a}}$ casa do João, a 32a da Maria é a $7 \underline{\underline{a}}$ do João. A casa seguinte já é a $8^{\underline{a}}$ do João, ou seja, a 1â da Maria. Assim, a praça tem 32 casas. +131. Sequência de figuras - As figuras se repetem num grupo de seis, sempre terminando com $\square$, tanto o 1º quanto o $166^{\circ}$ grupo. Como $996=6 \times 166$, a última figura do $166^{-}$ grupo, ou seja, a 966 a figura, é $\square$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-067.jpg?height=166&width=1211&top_left_y=1776&top_left_x=457) + +(a) A $1000^{a}$ figura, portanto, é + +(b) O primeiro $\diamond$ está na $3^{\underline{a}}$ posição, o segundo na $1 \times 6+3=9^{\underline{a}}$ posição, o terceiro na $2 \times 6+3=15$ a , o quarto na $3 \times 6+3=21 \underline{a}$ posição, e assim por diante, até o milésimo $\diamond$, que aparece na $999 \times 6+3=5997 \underline{\text { a }}$ posição. + +## 132. A brincadeira com o quadrado + +Solução 1: Convertendo metros em milímetros, temos $1 \mathrm{~m}=1000 \mathrm{~mm}$. Assim, o quadrado ficou dividido em $1000 \times 1000=10^{6}$ quadradinhos, cada um com $1 \mathrm{~mm}$ de lado. Colocando lado a lado todos os $10^{6}$ quadradinhos, teremos um retângulo de comprimento + +$$ +\underbrace{1+1+\cdots+1}_{10^{6} \text { parcelas }}=10^{6} \times 1=10^{6} \mathrm{~mm}=1 \mathrm{~km} +$$ + +Solução 2: O quadrado tem área igual a $1 \mathrm{~m}^{2}=10^{6} \mathrm{~mm}^{2}$. A área $\Delta$ do retângulo é a mesma do quadrado. Como a largura do retângulo mede $\ell=1 \mathrm{~mm}$, resulta que o comprimento $c$ do retângulo, em milímetros, mede + +$$ +c=\frac{\Delta}{\ell}=\frac{10^{6}}{1}=10^{6} \mathrm{~mm} +$$ + +133. O código da Arca do Tesouro - Nas duas tabelas seguintes mostramos unicamente os grupos de três números em casas sucessivas, horizontais ou verticais, cuja soma seja 14 . + +| | | | 9 | 4 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | 7 | 3 | 4 | | +| 8 | 2 | 4 | | | | +| | | | 7 | 5 | 2 | +| | 7 | 6 | 1 | | | +| | | | 6 | 7 | 1 | + + +| | 9 | | 9 | | 1 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | 3 | | 3 | 4 | 8 | +| | 2 | | 2 | 5 | 5 | +| 7 | | 5 | 7 | 5 | | +| 2 | | 6 | 1 | 2 | | +| 5 | | 3 | 6 | 7 | | + +Assim, quando eliminamos esses números da tabela inicial, os números que sobrevivem são somente os indicados na tabela seguinte. + +| 5 | | 4 | | | | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| 6 | | | | | | +| | | | | | | +| | 4 | | | | | +| | | | | | 8 | +| | 2 | | | | | + +Portanto, a soma dos números que restam é $5+4+6+4+8+2=29$, que é o código da Arca do Tesouro. + +134. Operações com decimais - Temos $\frac{(0,2)^{3}+1}{0,2+1}=\frac{0,008+1}{1,2}=\frac{1,008}{1,2}=0,84$. +135. Fatores inteiros - Como o produto dos dois fatores é 96, eles são divisores de $96=$ $2^{5} \times 3$, ou seja, os possíveis fatores positivos são $1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48$ e 96 . Os únicos com quadrado menor do que 208 são $1,2,3,4,6,8$ e 12, cujos quadrados são 1, 4, 9, 16, 36, 64 e 144. + +A única maneira de obter 208 como soma de dois dos números listados acima, é $64+144=208$. Assim, os únicos fatores positivos são 8 e 12. Logo os únicos fatores inteiros cuja soma dos quadrados é 208 são 8 e 12 ou, então, -8 e -12 . + +136. Divisibilidade - A opção correta é (b). + +O número é divisível por $45=5 \times 9$, portanto é divisível por 5 e 9 . Todo número divisível por 5 termina em 0 ou 5 . Assim, $b=0$ ou $b=5$. Todo número divisível por 9 tem como a soma dos seus algarismos um número que é múltiplo de 9. Logo, $6+a+7+8+b=21+a+b$ é múltiplo de 9 . Como $a \leq 9$, e $b=0$ ou $b=5$, temos $21 \leq 21+a+b \leq 21+9+5=35$. Mas, o único múltiplo de 9 entre 21 e 35 é 27 . Logo, $21+a+b=27$. Concluímos que $a+b=6$ e o número procurado é 61785 ou 66780 . + +137. Número simples - Com 1 algarismo, temos os números simples 1 e 2; com 2 algarismos, temos os $2^{2}=4$ números simples 11, 12, 21 e 22; com 3 algarismos, temos os $2^{3}=8$ números simples 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221 e 222. Com 4 algarismos, temos $2^{4}=16$ números simples, com 5 algarismos, temos $2^{5}=32$ números simples e com 6 algarismos, temos $2^{6}=64$ números simples. Como um número inferior a 1 milhão tem, no máximo, 6 algarismos, resulta que existem exatamente $2+4+8+16+32+64=126$ números simples menores do que 1 milhão. +138. Venda de TV - Sejam $a$ o algarismo da dezena de milhar e $b$ o da unidade. Como o número é divisível por $72=8 \times 9$, temos que $79 b$ é um número par divisível por 8. Testando os valores de $b=0,2,4,6$ e 8 , vemos que, necessariamente, $b=2$. Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos for um múltiplo de 9 . Então, $a+6+7+9+2=a+24$ é um múltiplo de 9 e, portanto, $a=3$. Assim, na fatura constava $\mathrm{R} \$ 36792,00$ e, portanto, cada TV custou $36792 \div 72=511$ reais. +139. Chocolate - Como $8 \times 1,35=10,8$ é maior do que 10 , Henrique comprou 7 barras de chocolate e recebeu $10-7 \times 1,35=0,55$ reais, ou 55 centavos, de troco. +140. O quadradinho - Simplificando, obtemos + +$$ +1,6 \times \square=\frac{6400000}{400}=16000=1,6 \times 10000 +$$ + +Assim, $\square=10000$. + +141. Dois números - Como 12 é o MDC dos dois números e cada um tem dois algarismos, os únicos candidatos são os múltiplos de 12 menores do que 100, ou seja, + +$$ +12,24,36,48,60,72,84 \text { е } 96 +$$ + +Como $1728=12 \times 12 \times 12=2^{6} \times 3^{3}$, os múltiplos 60 (com fator 5) e 84 (com fator 7) não são divisores de 1728 . Também $1728 \div 12=144$ e $1728 \div 96=18$, de modo que a lista reduz a 24, 36, 48 e 72, com $24 \times 72=36 \times 48=1728$. Como o MDC de 24 e 72 é 24 , temos uma única solução, a saber, 36 e 48, cujo produto é 1728 e o MDC é 12. + +142. As idades dos irmãos - Dividindo 2000 por 7 , obtemos $2000=7 \times 285+5$. Logo, 2000 dias equivalem a 285 semanas, mais 5 dias. Como o dia 13 de março de 2007 caiu em uma terça-feira, contando os 5 dias restantes, temos que o aniversário do irmão de Carlos cairá em um domingo. Agora, dividindo 2000 por 365, obtemos $2000=365 \times 5+175$. Assim, 2000 dias equivalem a, aproximadamente, cinco anos e meio, portanto Carlos estará com 12 anos de idade. +143. A mistura de concreto - A opção correta é (e). + +De acordo com os dados do problema, misturamos $1 \mathrm{~kg}$ de cimento com $3 \mathrm{~kg}$ de areia e $5 \mathrm{~kg}$ de terra. Isso equivale a misturar $5 \mathrm{~kg}$ de cimento com $15 \mathrm{~kg}$ de areia e $25 \mathrm{~kg}$ de terra, e essa mistura pesa $5+15+25=45 \mathrm{~kg}$. + +144. Ponto na escala - A distância entre os pontos inicial e final é de $12,62-12,44=$ 0,18 unidades. Como estão marcados 18 intervalos, o comprimento de cada um deles é de $0,18 \div 18=0,01$ unidades. O ponto $P$ está na $6^{\underline{a}}$ posição à direita de 12,44 , portanto corresponde a $12,44+0,01 \times 6=12,50$. +145. O pomar do Francisco - A opção correta é (c). + +De acordo com os dados do problema, podemos observar que temos dois pares de árvores vizinhas: as laranjeiras são vizinhas dos limoeiros e as macieiras são vizinhas das pereiras. Como são cinco fileiras e as macieiras e pereiras não estão do lado das laranjeiras e limoeiros, resulta que as tangerineiras estão na terceira fila, a do meio. + +146. Quatro quadrados - Se a área de cada quadrado é $3 \mathrm{~cm}^{2}$ e cada um deles está dividido em 16 quadradinhos, então a área de cada quadradinho é $\frac{3}{16} \mathrm{~cm}^{2}$. Como há um total de 6 quadradinhos superpostos nos 4 quadrados, temos que a área da figura é + +$$ +4 \times 3-6 \times \frac{3}{16}=12-\frac{9}{8}=\frac{87}{8}=10,875 \mathrm{~cm}^{2} +$$ + +147. O fio de arame - A opção correta é (d). + +A figura é composta de 3 semicírculos, o que exclui as opções (b), (c) e (e), e 4 segmentos de reta, o que exclui a opção (a), que só tem 3 segmentos. + +148. Sequência de fósforos - A opção correta é (c). + +Observe que o número de fósforos da sequência é formado da seguinte maneira: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { primeiro termo }=3+3=\mathbf{2} \times 3=(1+1) \times 3 \\ +& \text { segundo termo }=3+3+3=\mathbf{3} \times 3=(2+1) \times 3 \\ +& \text { terceiro termo }=3+3+3+3=\mathbf{4} \times 3=(3+1) \times 3 +\end{aligned} +$$ + +Logo, o oitavo termo da sequência é $(8+1) \times 3=\mathbf{9} \times 3=27$. + +## 149. O trajeto das formiguinhas + +(a) O trajeto de $M$ a $N$ compreende 14 comprimentos e 12 larguras das lajotas. Logo, seu comprimento é $14 \times 6+12 \times 4=84+48=132 \mathrm{~cm}$. + +Como as duas formiguinhas percorrem a mesma distância, cada uma deve andar $132 \div 2=66 \mathrm{~cm}$. + +(b) Vamos acompanhar, desde o início, o percurso feito por Maricota até completar os $66 \mathrm{~cm}$ : + +$$ +\begin{aligned} +& \underbrace{2 \text { comprimentos }}_{2 \times 6=12}+\underbrace{1 \text { largura }}_{4+12=16}+\underbrace{3 \text { comprimentos }}_{18+16=34}+\underbrace{2 \text { larguras }}_{8+34=42}+ \\ +& \underbrace{2 \text { comprimentos }}_{12+42=54}+\underbrace{1 \text { largura }}_{4+54=58}+\underbrace{1 \text { comprimento }}_{6+58=64}+\underbrace{1 / 2 \text { largura }}_{2+64=66} . +\end{aligned} +$$ + +O caminho de Maricota até o ponto de encontro está indicado na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-071.jpg?height=474&width=1110&top_left_y=254&top_left_x=610) + +150. A soma é 100 + +(a) Inicialmente observe que, como a soma dos três números é 100 e o maior deles é igual à soma dos outros dois, então duas vezes o maior número é 100, ou seja, o maior número é 50 . + +(b) Como 50 não é primo, os outros dois números são primos e têm soma igual a 50. Por exemplo, 3 e 47 são primos e $3+47=50$. Portanto, os números 3 , 47 e 50 formam uma solução do problema. + +(c) Existem outras soluções para o problema. Para encontrá-las, escrevemos a lista de todos os primos entre 1 e 50 , ou seja, $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43$ e 47 e, para cada um desses números, verificamos se a diferença para 50 também é primo. Encontramos um total de quatro soluções + +| Solução 1 | 3 | 47 | 50 | +| :--- | :---: | :---: | :---: | +| Solução 2 | 7 | 43 | 50 | +| Solução 3 | 13 | 37 | 50 | +| Solução 4 | 19 | 31 | 50 | + +151. Código de barras - Lembre que a primeira e a última barra não fazem parte do código. + +(a) Primeiramente, escrevemos o CEP dado com os algarismos 0 e 1: + +$$ +\underbrace{00101}_{3} \underbrace{10100}_{6} \underbrace{00110}_{4} \underbrace{00001}_{7} \underbrace{11000}_{0} \underbrace{00011}_{1} \underbrace{00101}_{3} \underbrace{11000}_{0} . +$$ + +Em seguida, escrevemos o código de barras desse CEP: + +## |||||||||||||||||||||||||||||||||||| + +(b) Primeiramente, escrevemos o código de barras dado com os algarismos 0 e 1 em grupos de 5 algarismos: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-071.jpg?height=154&width=760&top_left_y=2470&top_left_x=725) + +Em seguida, escrevemos o CEP, que é 20240020 . + +152. Atletas da escola - O número total de alunos na escola é dado pela fração $12 / 12$, que podemos representar graficamente por um retângulo dividido em 12 partes iguais. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-072.jpg?height=145&width=328&top_left_y=270&top_left_x=1549) + +Denotemos por V, F e NE o número de alunos que jogam somente vôlei, somente futebol e nenhum desses dois esportes, respectivamente. A informação dada, em termos das partes desse retângulo, é a seguinte: + +- o $1 / 4$ dos alunos que jogam somente vôlei corresponde a três partes; +- o $1 / 3$ dos alunos que jogam somente futebol corresponde a quatro partes; +- o 1/12 dos alunos que não jogam nem vôlei nem futebol corresponde a uma parte. + +| $\mathrm{V}$ | $\mathrm{V}$ | $\mathrm{V}$ | $\mathrm{F}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| $\mathrm{F}$ | $\mathrm{F}$ | $\mathrm{F}$ | $\mathrm{NE}$ | +| | | | | + +(a) Sobram 4 partes do retângulo para os alunos que jogam vôlei e futebol, ou seja, esses 300 alunos correspondem a $4 / 12=1 / 3$ do total dos alunos da escola. Logo, o total de alunos na escola é $300 \times 3=900$. + +(b) O total de alunos que jogam somente futebol é $\frac{1}{3} \cdot 900=300$. + +(c) Os alunos que jogam futebol são os que jogam só futebol mais os que jogam futebol e vôlei, ou seja, $300+300=600$. + +(d) O total de alunos que praticam um dos esportes é $\frac{11}{12} \cdot 900=825$, pois $1 / 12$ dos alunos não jogam nem futebol, nem vôlei. + +## 153. Dizima periódica + +(a) Dividindo 1 por 22 , obtemos $\frac{1}{22}=0,0454545 \ldots$ Observe que o algarismo 4 está nas posições pares, ou seja, segunda, quarta, sexta, e assim por diante, enquanto que o algarismo 5 está nas posições ímpares, ou seja, a terceira, a quinta, a sétima, e assim por diante. Como 1997 é um número ímpar, temos que o algarismo da 1997 a casa decimal é 5 . + +(b) Dividindo 1 por 27 , obtemos $\frac{1}{27}=0,037037037 \ldots$ Observe que os algarismos 0 , 3 e 7 se repetem, sucessivamente, a cada três casas decimais, sendo que + +- o algarismo 0 está nas posições $1^{\mathrm{a}}, 4^{\text {a }}, 7$, por 3, deixam resto 1 ; +- o algarismo 3 está nas posições $2^{\underline{a}}, 5^{\text {a }}, 8$, por 3, deixam resto 2 e +- o algarismo 7 está nas posições $3^{\mathbf{a}}, 6^{\mathbf{a}}, 9^{\underline{a}}, \ldots$, ou seja, aquelas que são múltiplas de 3 . + +Como a divisão $1997 \div 3$ deixa resto 2 , o algarismo da 1997á casa decimal é 3 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-072.jpg?height=129&width=211&top_left_y=2511&top_left_x=1659) + +154. Ana na corrida - Transformando minutos em horas, temos que 20 minutos correspondem a 20/60 =1/3 de hora. Assim, a velocidade de Ana deve ser maior do que $v=5 / \frac{1}{3}=15 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. +155. Quadradinhos e o buraco - Contando os quadradinhos retirados de cada linha, temos que o número desses quadradinhos é $1+3+5+15+10+2=36$. Como cada quadradinho tem $1 \mathrm{~cm}^{2}$ de área, a área do buraco é $36 \mathrm{~cm}^{2}$. + +Para obter o perímetro do buraco, podemos simplesmente contar quantos lados de quadradinhos têm o buraco, obtendo 42 lados, de modo que o perímetro mede $42 \mathrm{~cm}$. Entretanto, uma maneira alternativa de descobrir o perímetro do buraco é observar que ele se estende por 6 linhas e 15 colunas, sendo que cada linha e cada coluna ocupada pelo buraco contém exatamente dois lados de quadradinho que fazem parte do perímetro. Logo, o perímetro do buraco mede $2 \times(6+15)=42 \mathrm{~cm}$. + +156. Quadrados perfeitos no retângulo - Para resolver esse problema, convém listar os quadrados perfeitos de dois algarismos, que são + +$$ +4^{2}=16,5^{2}=25,6^{2}=36,7^{2}=49,8^{2}=64 \text { e } 9^{2}=81 +$$ + +bem como os quadrados perfeitos de três algarismos, que são + +$$ +\begin{gathered} +10^{2}=100,11^{2}=121,12^{2}=144,13^{2}=169,14^{2}=196,15^{2}=225 \\ +16^{2}=256,17^{2}=289,18^{2}=324,19^{2}=361,20^{2}=400,21^{2}=441 \\ +22^{2}=484,23^{2}=529,24^{2}=576,25^{2}=625,26^{2}=676,27^{2}=729 \\ +28^{2}=784,29^{2}=841,30^{2}=900 \text { e } 31^{2}=961 +\end{gathered} +$$ + +Em particular, vemos que todo quadrado perfeito de três algarismos é um número terminado em $0,1,4,5,6$ ou 9 . + +Assim, estabelecemos que, dos quadrados perfeitos de dois algarismos, 25, 36 e 81 não podem aparecer na terceira coluna, assinalada com $X$. Para essa coluna, restam apenas os quadrados perfeitos 16,49 e 64 , + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-073.jpg?height=126&width=222&top_left_y=1793&top_left_x=1611) +portanto, temos três opções, como segue. +(I) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-073.jpg?height=128&width=288&top_left_y=2015&top_left_x=473) +(II) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-073.jpg?height=131&width=303&top_left_y=2013&top_left_x=928) +(III) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-073.jpg?height=123&width=294&top_left_y=2017&top_left_x=1418) + +(a) Vamos examinar cada uma das três opções. + +Opção (I): Os quadrados perfeitos de três algarismos terminados em 6 são 196, 256, 576 e 676. Como nenhum quadrado perfeito de dois algarismos termina em 2 ou 7 , os quadrados perfeitos 256,576 e 676 não podem aparecer na segunda linha, restando, apenas, 196. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-073.jpg?height=115&width=203&top_left_y=2284&top_left_x=1623) +Agora, os únicos quadrados perfeitos de dois algarismos terminados em 1 e 9 são, respectivamente, 81 e 49. Obtemos a solução seguinte, que é a única dentro da Opção (I). + +| 8 | 4 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | +| 1 | 9 | 6 | + +Opção (II): Os quadrados perfeitos de três algarismos terminados em 9 são 169, 289, 529 e 729, de modo que a segunda linha pode ser preenchida apenas com o quadrado perfeito 169. Na primeira coluna só pode aparecer o número 81 , por ser o único quadrado perfeito de dois algarismos terminado em 1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-074.jpg?height=115&width=212&top_left_y=565&top_left_x=845) + +| 8 | | 4 | +| :--- | :--- | :--- | +| 1 | 6 | 9 | + +Temos, agora, duas opções para preencher a última casa em branco: 1 ou 3. No entanto, nem 814 nem 834 são quadrados perfeitos. Assim, a opção (II) é impossível. + +Opção (III): Os quadrados perfeitos de três algarismos terminados em 4 são 144, 324, 484 e 784, de modo que a segunda linha pode ser preenchida apenas com o quadrado perfeito 144 e, na primeira coluna só pode aparecer o número 81 . Agora, a única escolha para a casa em branco é o número 6. + +| 8 | | 6 | +| :--- | :--- | :--- | +| 1 | 4 | 4 | + + +| 8 | 6 | 6 | +| :--- | :--- | :--- | +| 1 | 4 | 4 | + +No entanto, 866 não é quadrado perfeito. Logo a opção (III) também é impossível. + +(b) Pelo que vimos acima, existe apenas uma solução, encontrada no item precedente, a saber, | 8 | 4 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | +| 1 | 9 | 6 | . + +## 157. Aula de divisão + +(a) Temos $38-4=34=2 \times 17=1 \times 34$, portanto, $\star=17 \mathrm{e} \star=2$, ou $\star=34 \mathrm{e}$ $\star=1$. + +(b) Temos $75=6 \times 12+3$, portanto, $\star=3 \mathrm{e} \star=6$. + +(c) Temos $3 \times 7=21$. Os possíveis restos da divisão por 3 são 0,1 e 2 , portanto, $\star=21$ e $\star=0$, ou $\star=22$ e $\star=1$ ou, ainda, $\star=23$ e $\star=2$. + +(d) Temos $42=5 \times 8+2$, portanto, podemos trocar o divisor pelo quociente para obter $\star=8$ e $\star=2$. + +## 158. Linhas de ônibus + +(a) Fatorando, temos $15=3 \cdot 5$ e $25=5^{2}$, portanto o menor múltiplo comum de $15 \mathrm{e}$ 25 é $75=3 \cdot 5^{2}$. Assim, os dois ônibus passarão juntos novamente no ponto a cada 75 minutos, ou seja, a cada 1h15min. Logo, os ônibus passarão juntos novamente no ponto perto da casa de Quinzinho, às $7 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}+1 \mathrm{~h} 15 \mathrm{~min}=8 \mathrm{~h} 45 \mathrm{~min}$. + +(b) Para obter os horários em que os ônibus passarão juntos no ponto de ônibus perto da casa de Quinzinho, devemos ir somando 1h15min, obtendo 8h45min, 10h, 11h15min, 12h30min, 13h45min, 15h, 16h15min, 17h30min, 18h45min, 20h, $21 \mathrm{~h} 15 \mathrm{~min}$, 22h30min e 23h45min. O próximo ônibus só passa depois da meia noite. + +## 159. Quadrados dentro de um retângulo + +(a) Como o menor quadrado tem $1 \mathrm{~cm}$ de lado, o lado do quadrado $A$ mede $1 \times 4=4 \mathrm{~cm}$ e o lado do quadrado $B$ mede $4+1=5$ $\mathrm{cm}$. O quadrado $C$ tem um lado em comum com o quadrado $B$, portanto, o quadrado $C$ também tem $5 \mathrm{~cm}$ de lado. Assim, o lado do quadrado maior mede $5+5+4=14 \mathrm{~cm}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-075.jpg?height=328&width=240&top_left_y=287&top_left_x=1548) + +(b) Os lados do retângulo medem $14 \mathrm{~cm}$ e $14+5=19 \mathrm{~cm}$, portanto, o per��metro do retângulo é $14 \times 2+19 \times 2=66 \mathrm{~cm}$. + +## 160. Festa na escola + +(a) A professora +16 alunos +1 monitor +5 pais $=23$ pessoas comerão os pães de queijo. Para que cada pessoa possa comer pelo menos 5 pães de queijo, será necessário comprar, no mínimo, $5 \times 23=115$ pães de queijo. Cada pão de queijo pesa, em média, $\frac{100}{10}=10$ gramas, de modo que será necessário comprar + +$$ +10 \times 115=1150 \text { gramas de pães de queijo. } +$$ + +Como a precisão da balança é de $100 \mathrm{~g}$, arredondamos $1150 \mathrm{~g}$ para $1200 \mathrm{~g}$ e obtemos a quantidade de pão de queijo que a professora deve comprar, em gramas. + +(b) Como $\frac{1200}{100}=12$, temos que a professora gastará $12 \times 3,20=38,40$ reais. + +(c) A quantidade de pães de queijo comprada foi de $\frac{1200}{10}=120$ pães. Logo, sobrarão $120-115=5$ pães de queijo. + +## 161. Ai que fome + +(a) Maria possui $5 \times 0,50+7 \times 0,25+4 \times 0,10+5 \times 0,05=2,50+1,75+0,40+0,25=4,90$ reais. + +(b) Tirando a passagem, restam $\mathrm{R} \$ 4,00$ para Maria fazer seu lanche. Observe que Maria não pode escolher uma empada e, se escolher um sanduíche, não pode mais comprar um refrigerante. Assim, Maria só tem as nove seguintes opções de lanche. + +| Opção 1 | Opção 2 | Opção 3 | Opção 4 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| Sanduíche: $\mathrm{R} \$ 2,20$ | Sanduíche: $\mathrm{R} \$ 2,20$ | Sanduíche: $\mathrm{R} \$ 2,20$ | Sanduíche: $\mathrm{R} \$ 2,20$ | +| Suco: $\mathrm{R} \$ 1,20$ | Suco: $\mathrm{R} \$ 1,20$ | Refresco: $\mathrm{R} \$ 1,00$ | Refresco: $\mathrm{R} \$ 1,00$ | +| Cocada: $\mathrm{R} \$ 0,40$ | Bombom: $\mathrm{R} \$ 0,50$ | Cocada: $\mathrm{R} \$ 0,40$ | Bombom: $\mathrm{R} \$ 0,50$ | +| Total: $\mathrm{R} \$ 3,80$ | Total: $\mathrm{R} \$ 3,90$ | Total: $\mathrm{R} \$ 3,60$ | Total: $\mathrm{R} \$ 3,70$ | + + +| Opção 5 | Opção 6 | Opção 7 | Opção 8 | Opção 9 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| Pastel: $\mathrm{R} \$ 2,00$ | Pastel: $\mathrm{R} \$ 2,00$ | Pastel: $\mathrm{R} \$ 2,00$ | Pastel: $\mathrm{R} \$ 2,00$ | Pastel: $\mathrm{R} \$ 2,00$ | +| Suco: $\mathrm{R} \$ 1,20$ | Suco: $\mathrm{R} \$ 1,20$ | Refresco: $\mathrm{R} \$ 1,00$ | Refresco: $\mathrm{R} \$ 1,00$ | Refresco: $\mathrm{R} \$ 1,00$ | +| Cocada: $\mathrm{R} \$ 0,40$ | Bombom: $\mathrm{R} \$ 0,50$ | Sorvete: $\mathrm{R} \$ 1,00$ | Bombom: $\mathrm{R} \$ 0,50$ | Cocada: $\mathrm{R} \$ 0,40$ | +| Total: $\mathrm{R} \$ 3,60$ | Total: $\mathrm{R} \$ 3,70$ | Total : $\mathrm{R} \$ 4,00$ | Total: $\mathrm{R} \$ 3,50$ | Total: $\mathrm{R} \$ 3,40$ | + +162. Advinhe - Somando $50+50=100$ obtemos três dígitos e $41-32=9$ tem um, portanto, os números procurados não podem ser maiores do que 49 , nem menores do que 42. Como 43 é primo (bem como 47), meus números são quaisquer dentre 42,43 , $44,45,46,47,48$ e 49, que não têm divisor comum diferente de 1 . +163. Produto de consecutivos - Em primeiro lugar, note que se três números são consecutivos, então um deles é divisível por 3. Portanto, qualquer número que seja o produto de três ou mais números consecutivos, deve ser divisível por 3. Mas, dentre os números dados, apenas 1680 é divisível por 3 e, além disso, + +$$ +1680=2^{4} \times 3 \times 5 \times 7=5 \times 6 \times 7 \times 8 +$$ + +Logo, 1680 é o único dentre os três números dados que pode ser escrito como um produto de quatro números consecutivos. + +## 164. Palíndromos + +(a) O próximo é 2112 . + +(b) O próximo palíndromo ímpar é 3003. + +(c) Para ser primo, o palíndromo não pode ter quatro algarismos, pois todo número palíndromo de quatro algarismos é do tipo $a b b a$, que é divisível por 11, já que + +$$ +\begin{aligned} +a b b a & =a 00 a+b b 0=a \times 1001+b \times 110=a \times 11 \times 91+b \times 11 \times 10 \\ +& =(91 a+10 b) \times 11 +\end{aligned} +$$ + +O primeiro número palíndromo de cinco algarismos é $10001=73 \times 137$, que não é primo. Os próximos possíveis candidatos são + +$$ +10101=3367 \times 3 \text { e } 10201=101 \times 101 +$$ + +Assim, o primeiro número palíndromo primo depois de 929 é 10301. + +165. O maior MDC - Designemos por $d$ o máximo divisor comum dos seis números. Então, esses seis números de dois algarismos são múltiplos distintos de $d$ e podemos reformular a pergunta: queremos saber qual é o maior número $d$ que possui seis múltiplos distintos menores do que 100. + +Note que $d, 2 d, 3 d, 4 d, 5 d$ e $6 d$ são todos múltiplos de $d$. Logo, a melhor situação possível é quando esses seis números são os múltiplos considerados. Para isso, é preciso que $6 d \leq 99$. Dividindo 99 por 6 , obtemos o quociente 16 e o resto 3 , ou seja, $99=6 \cdot 16+3$. Logo, $d=16$. Portanto, os seis números de dois algarismos cujo MDC é o maior possível são 16, 32, 48, 64, 80 e 96. O MDC desses seis números é 16 . + +166. Quantidade de água na Terra - Denotemos $V=1360000000$. Lembre que $1 \%=$ $1 / 100$, portanto, $1 \%$ de $V$ é igual a $1360000000 / 100=13600000$. Segue que: + +- $97 \%=\frac{97}{100}=0,97$ e $97 \%$ de $V$ vale $97 \times 13600000=1319200000 ;$ +- $\frac{40000000}{1360000000}=0,0294=2,94 \times \frac{1}{100}=2,94 \% ;$ +- $1,8 \%=\frac{1,8}{100}=0,018$ e $1,8 \%$ de $V$ vale + +$$ +1,8 \times 13600000=24480000 +$$ + +- $0,0096=0,96 \times \frac{1}{100}=0,96 \%$ e $0,96 \%$ de $V$ vale + +$$ +0,96 \times 13600000=13056000 +$$ + +- $\frac{250000}{1360000000}=0,00018=0,018 \times \frac{1}{100}=0,018 \%$; +- $0,00001=0,001 \times \frac{1}{100}=0,001 \%$ e $0,001 \%$ de $V$ vale + +$$ +0,001 \times 13600000=13600 +$$ + +Assim, a tabela completa é a seguinte. + +| Especificações | Volume de água em $\mathrm{km}^{3}$ | Percentual | Forma decimal do percentual | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| Água salgada | 1319200000 | $97 \%$ | 0,97 | +| Água doce | 40000000 | $2,94 \%$ | 0,0294 | +| Gelo | 24480000 | $1,8 \%$ | 0,018 | +| Água subterrânea | 13056000 | $0,96 \%$ | 0,0096 | +| Lagos e rios | 250000 | $0,018 \%$ | 0,00018 | +| Vapor de água | 13600 | $0,001 \%$ | 0,00001 | + +167. Balas - Primeiramente, precisamos saber de quantas maneiras podemos obter 14 como soma de três parcelas inteiras, cada uma delas maior do que ou igual a 3, isto é, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-077.jpg?height=108&width=466&top_left_y=2056&top_left_x=818) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-077.jpg?height=274&width=962&top_left_y=2210&top_left_x=290) + +Agora, para cada uma dessas possibilidades, podemos fazer diferentes distribuições entre as três crianças, conforme a tabela seguinte. Observe que, quando as três parcelas são diferentes, temos seis possibilidades e, quando duas são iguais, temos apenas três possibilidades. + +| | $1^{\text {a }}$ criança | $2^{\text {a }}$ criança | $3^{\text {a }}$ criança | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| $14=3+3+8$ | 3 | 3 | 8 | +| | 3 | 8 | 3 | +| | 8 | 3 | 3 | +| $14=3+4+7$ | 3 | 4 | 7 | +| | 3 | 7 | 4 | +| | 4 | 3 | 7 | +| | 4 | 7 | 3 | +| | 7 | 3 | 4 | +| | 7 | 4 | 3 | +| $14=3+5+6$ | 3 | 5 | 6 | +| | 3 | 6 | 5 | +| | 5 | 3 | 6 | +| | 5 | 6 | 3 | +| | 6 | 3 | 5 | +| | 6 | 5 | 3 | +| $14=4+4+6$ | 4 | 4 | 6 | +| | 4 | 6 | 4 | +| | 6 | 4 | 4 | +| $14=4+5+5$ | 4 | 5 | 5 | +| | 5 | 4 | 5 | +| | 5 | 5 | 4 | + +Assim, temos $3+6+6+3+3=21$ maneiras diferentes de distribuir as balas entre as três crianças. + +168. Minutos - Observemos primeiramente que + +$$ +\frac{5}{6} \mathrm{~h}=\frac{5}{6} \times 60 \mathrm{~min}=50 \mathrm{~min} +$$ + +de modo que a prova durou $4 \mathrm{~h} 50 \mathrm{~min}$. Somando as horas e os minutos, obtemos + +$$ +12 \mathrm{~h} 35 \mathrm{~min}+4 \mathrm{~h} 50 \mathrm{~min}=16 \mathrm{~h} 85 \mathrm{~min} +$$ + +Mas, $85 \mathrm{~min}=1 \mathrm{~h} 25 \mathrm{~min}$. Logo, a prova termina às $16 \mathrm{~h} 85 \mathrm{~min}=17 \mathrm{~h} 25 \mathrm{~min}$. + +169. Menor número - Um número só é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos for divisível por 4. Assim, usando apenas os algarismos 1, 2, 3, 4 e 9, as únicas possibilidades são 12, 24, 32 ou 92 . Como 9 é o maior algarismo, devemos colocá-lo "o mais à direita possível", de modo que 9 deve ser o algarismo da casa das dezenas, ou seja, nosso número termina com 92 . Os outros algarismos 1,3 e 4 , devem aparecer em ordem decrescente à esquerda de 92 , ou seja, os três primeiros algarismos do número devem ser 134. Portanto, o número procurado é 13492. + +## 170. Contas do papagaio + +(a) Temos $8 \xrightarrow{\times 5} 40 \xrightarrow{+14} 54 \xrightarrow{\dot{\circ} 6} 9 \xrightarrow{-1} 8$. Logo, o papagaio grita 8 . + +(b) Devemos fazer a operação inversa daquela que o papagaio fez, começando da última operação, ou seja, somar 1 ao número, multiplicar o número por 6 , depois subtrair 14 e dividir por 5 o resultado: + +$$ +3 \xrightarrow{+1} 4 \xrightarrow{\times 6} 24 \xrightarrow{-14} 10 \xrightarrow{\div 5} 2 . +$$ + +Logo, Antônio soprou 2 no ouvido do papagaio. +(c) Observe que $7 \xrightarrow{+1} 8 \xrightarrow{\times 6} 48 \xrightarrow{-14} 34 \xrightarrow{\dot{* 5}} 6,8$. Como 6,8 não é um número inteiro, Antônio não vai soprá-lo ao ouvido do papagaio e, mesmo que soprasse, o papagaio não saberia realizar a primeira operação, que seria multiplicar $6,8 \times 5$. + +(d) Quando Antônio sopra um número $n$, o papagaio faz as operações + +$$ +n \xrightarrow{\times 5} 5 n \xrightarrow{+14} 5 n+14 \xrightarrow{\dot{\circ}} \frac{5 n+14}{6} \xrightarrow{-1} \frac{5 n+14}{6}-1 . +$$ + +O papagaio só saberá calcular a resposta se $5 n+14$ for divisível por 6 , ou seja, se for da forma $6 k$, com $k$ inteiro não-negativo. Se $5 n+14=6 k$, então $5 n+2=6(k-2)$ e, multiplicando ambos os lados por 5 , resulta $25 n+10=6(5 k-10)$, donde $n+24 n=25 n=6(5 k-10)-12+2$, ou seja, $n=6(5 k-12)+2-24 n=6(5 k-12-4 n)+2$. Assim, se Antônio sopra um número $n$ da forma $6 m+2$, o papagaio faz as operações + +$$ +6 m+2 \xrightarrow{\times 5} 30 m+10 \xrightarrow{+14} 30 m+24 \xrightarrow{\dot{\circ} 6} 5 m+4 \xrightarrow{-1} 5 m+3 +$$ + +e grita o número $5 m+3$. Se $n$ não for dessa forma, o papagaio permanece mudo. Logo, Antônio só pode soprar os números + +$$ +2,8,14,20,26,32,38, \ldots +$$ + +e o papagaio só pode responder, respectivamente, + +$$ +3,8,13,18,23,28,33, \ldots +$$ + +171. Soma maior que 34 - O maior número de quatro algarismos é 9999 , cuja soma dos algarismos é $4 \times 9=36$. Os números de quatro algarismos cuja soma dos algarismos é 35 são 8999, 9899, 9989 e 9998. Logo, temos cinco números de quatro algarismos com soma dos seus algarismos maior do que 34, que são os números 8999, 9899, 9 989, 9998 e 9999. +172. Nenhum 1 - Fatorando 111111 , obtemos $111111=3 \times 7 \times 11 \times 13 \times 37$. Segue daí que é possível, sim, escrever o número 111111 como um produto de dois fatores, nenhum deles terminando em 1. Por exemplo, $111111=3 \times 37037$. Mas existem outras possibilidades, como, por exemplo, $111111=7 \times 15873$. + +$\mathrm{Na}$ verdade, é possível listar todas as possibilidades. São elas + +$$ +\begin{array}{lllll} +3 \times 37037, & 7 \times 15873, & 13 \times 8547, & 33 \times 3367, & 37 \times 3003 \\ +39 \times 2849, & 77 \times 1443, & 143 \times 777, & 259 \times 429 \quad \text { e } & 273 \times 407 +\end{array} +$$ + +Logo, Roberto tem 10 opções para escrever 111111 na forma desejada. + +173. Números equilibrados - Note que se um número equilibrado tem os três algarismos distintos, diferentes de zero, então, com os mesmos algarismos, obtemos seis números equilibrados. Para isso, basta trocar os algarismos de posição. Por exemplo, 123, 132, 213, 231, 312 e 321 . + +Se um dos três algarismos do número equilibrado for 0 , então com esses algarismos obtemos apenas quatro números equilibrados, pois o 0 não pode estar na casa da centena. Por exemplo, 102, 120, 201 e 210. + +Assim, vamos variar apenas os algarismos da centena e da dezena. Como o algarismo da unidade é a média desses dois algarismos, esses dois algarismos devem ser ambos pares ou ambos ímpares. Listamos os possíveis números equilibrados a partir do algarismo das centenas. + +| $1: \leadsto 111$ | 132 | 153 | 174 | 195 | $\leadsto$ | total de números equilibrados
$1+4 \times 6=25$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $2: \leadsto 201$ | 222 | 243 | 264 | 285 | $\leadsto$ | $4+1+3 \times 6=23$ | +| $3: \leadsto$ | 333 | 354 | 375 | ; 396 | $\leadsto$ | $1+3 \times 6=19$ | +| $4: \leadsto$ | 402 | 444 | ; 465 | ; 486 | $\leadsto$ | $4+1+2 \times 6=17$ | +| $\leadsto$ | | 555 | ; 576 | ; 597 | $\leadsto$ | $1+2 \times 6=13$ | +| $\leadsto$ | | 603 | ; 666 | ; 687 | $\leadsto$ | $4+1+6=11$ | +| | | | 777 | $; \quad 798$ | $\leadsto$ | $1+6=7$ | +| | | | 804 | $; \quad 888$ | $\leadsto$ | $4+1=5$ | +| | | | | 999 | $\rightarrow$ | | + +Somando, temos 121 números equilibrados de três algarismos. + +174. Números primos - Os números primos entre 70 e 110 são + +71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107 e 109. + +Subtraindo 1 de todos esses números, obtemos a lista + +$$ +70, \quad 72, \quad 78, \quad 82, \quad 88, \quad 96, \quad 100, \quad 102, \quad 106 \text { e } 108 +$$ + +Dessa lista, os múltiplos de 3 são 72, 78, 96, 102 e 108. Logo, os números procurados são + +$$ +24=72 \div 3,26=78 \div 3,32=96 \div 3,34=102 \div 3 \text { e } 36=108 \div 3 +$$ + +De fato, temos $24 \times 3+1=73,26 \times 3+1=79,32 \times 3+1=97,34 \times 3+1=103 \mathrm{e}$ $36 \times 3+1=109$. + +## 175. Quadro moderno + +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-080.jpg?height=314&width=317&top_left_y=2010&top_left_x=755) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-080.jpg?height=317&width=308&top_left_y=2012&top_left_x=1231) + +A figura (a) mostra como foi pintado o quadrado nas duas cores, mas ainda não sabemos qual dessas partes é azul ou verde. Para isso, dividimos o quadrado em quatro faixas verticais, como na figura (b), com o que o quadrado ficou dividido em 16 quadradinhos iguais. A parte não hachurada compreende + +$$ +\underbrace{4 \text { meios quadrados }}_{2 \text { quadrados }}+8 \text { quadrados }=10 \text { quadrados. } +$$ + +Logo, a parte não hachurada corresponde a 10/16 do quadro, ou $5 / 8$ e, portanto, a parte hachurada corresponde a + +$$ +\frac{16}{16}-\frac{10}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8} +$$ + +Assim, a parte hachurada da figura é a que foi pintada de azul e corresponde a $3 / 8$ do quadro. + +176. Encontro de amigos - Eu chegarei quando meu relógio marcar 10h05min, uma vez que penso que meu relógio está adiantado cinco minutos. Como ele está atrasado dez minutos, chegarei, na verdade, às $10 \mathrm{~h} 15 \mathrm{~min}$. Meu amigo chegará quando seu relógio marcar 10h, pois ele pensa que o relógio dele está correto, mas, na realidade, serão 09h55min. Logo, meu amigo chegará vinte minutos antes de mim. +177. Trabalho comunitário - A resposta correta é (b). + +O número total de alunos dessa classe é $22+18=40$, dos quais $60 \%$ foram prestar trabalho comunitário, isto é, $0,6 \times 40=24$. O número mínimo de alunas que participaram desse trabalho é obtido quando o número de alunos que participaram é máximo, ou seja, quando todos os 22 alunos se envolverem no trabalho, restando o mínimo de duas vagas para as alunas. + +178. Área de trapézios - A resposta correta é (e). + +Unindo os quatro trapézios, formamos um quadrado de $50 \mathrm{~cm}$ de lado e, portanto, de $2500 \mathrm{~cm}^{2}$ de área. Como o "buraco" quadrado tem $30 \mathrm{~cm}$ de lado, sua área é de $30 \times 30=900 \mathrm{~cm}^{2}$. Assim, a área de cada um dos quatro trapézios, em $\mathrm{cm}^{2}$, é dada por $(2500-900) \div 4=1600 \div 4=400$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-081.jpg?height=328&width=300&top_left_y=1452&top_left_x=1503) + +179. Adivinhação - Já de início sabemos que o maior dos dois números + +- é par, por ser o dobro do menor, mas não termina em zero, porque o maior e o menor número não possuem algarismos em comum; +- seu algarismo das dezenas é 2 , no mínimo, porque sua metade é um número com dois algarismos e +- a soma de seus algarismos é 9 , no máximo, porque essa soma é um dos algarismos do menor número. + +Logo, o menor candidato a maior dos dois números é 22 e o maior é 72 . Depois de 22 , o número par seguinte é 24 , que desconsideramos porque sua metade é 12 , que repete o algarismo 2. Já 26 é candidato nesse critério, mas 28 não é, por ter soma de algarismos igual a 10. Continuando até 72 , obtemos todos os candidatos, indicados na tabela seguinte. + +| maior | 22 | 26 | 32 | 34 | 36 | 44 | 54 | 62 | 72 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| menor | 11 | 13 | 16 | 17 | 18 | 22 | 27 | 31 | 36 | + +Por verificação, temos que 34 e 17 é a única solução, tendo sido os dois números em que pensei. + +180. Dezoito números consecutivos - Uma sequência de dezoito números consecutivos sempre possui dois termos que são múltiplos de 9. A soma dos algarismos de um múltiplo de 9 sempre é um múltiplo de 9. Logo, toda sequência de dezoito números consecutivos sempre possui dois termos que são divisíveis por 9 e cuja soma de seus algarismos também é divisível por 9. Agora, cada um desses dois números têm três algarismos, portanto, os únicos múltiplos de 9 que podem ser a soma dos algarismos são 9,18 e 27. No entanto, 999 é o único número de três algarismos cuja soma dos algarismos é 27 e a única sequência de dezoito números consecutivos de três dígitos que o inclua é a sequência de 982 a 999, que não inclui número de três algarismos com soma de algarismos igual a 9 e um único com essa soma igual a 27. Assim, as únicas possibilidades para as somas dos algarismos dos dois múltiplos de 9 da sequência são +(i) 9 e 9 ; +(ii) 9 e 18 ; +(iii) 18 e 18 ; +(iv) 18 e 27 . + +Vejamos alguns exemplos de cada um desses quatro casos. + +(i) 9 e 9: um dos números é 144 e o outro é $135=144-9$ ou $153=144+9$. Duas possíveis sequências são + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-082.jpg?height=405&width=1117&top_left_y=1551&top_left_x=595) + +(ii) 9 e 18: um dos números é 900 e o outro é 891 ou 909. Duas possíveis sequências são + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-082.jpg?height=100&width=1074&top_left_y=2166&top_left_x=594) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-082.jpg?height=205&width=1105&top_left_y=2276&top_left_x=593) + +$\underbrace{}_{10 \varrho}, \underbrace{}_{11 \varrho}, \underbrace{909}_{12 \varrho}, \underbrace{}_{13 \varrho}, \underbrace{}_{14 \varrho}, \underbrace{}_{15 \varrho}, \underbrace{}_{160}, \underbrace{}_{17 \varrho}, \underbrace{915}_{189}$. + +(iii) 18 e 18: um dos números é 828 e o outro é 819 ou 837 . Duas possíveis sequências +são + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-083.jpg?height=103&width=1074&top_left_y=328&top_left_x=548) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-083.jpg?height=105&width=1116&top_left_y=433&top_left_x=550) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-083.jpg?height=97&width=1080&top_left_y=543&top_left_x=548) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-083.jpg?height=106&width=1074&top_left_y=635&top_left_x=548) + +(iv) 18 e 27: um dos números é 999 e temos uma única opção para a sequência, a saber, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-083.jpg?height=217&width=1080&top_left_y=942&top_left_x=565) + +Analisemos, agora, cada caso. Nos casos (i) e (ii), um dos números é divisível por 9, que é a soma de seus algarismos. No caso (iv), um dos números é 999 , que é divisível por 27. Finalmente, no caso (iii), um dos dois múltiplos de 9 necessariamente é par, pois são dois múltiplos consecutivos de 9. Logo, esse número é um múltiplo de 2 e de 9, portanto é um múltiplo da soma de seus algarismos, que é 18. + +181. Completar uma tabela - Observe que em cada quadrado formado por quatro quadradinhos, o número que está na parte inferior, à direita, é a soma dos outros três números. Assim, preenchemos a tabela. + +| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 | 2 | 5 | 10 | $3+4+10=17$ | +| 2 | $1+2+2=5$ | $2+5+5=12$ | $5+10+12=27$ | $10+17+27=54$ | +| 3 | 10 | 27 | 66 | 147 | +| 4 | 17 | 54 | 147 | $\mathbf{A}$ | + +Logo: + +$$ +\mathbf{A}=66+147+147=360 +$$ + +182. Procurando múltiplos de 9 - Sempre existe uma diferença que é um múltiplo de 9 . De fato, quando dividimos um número por 9 , podemos encontrar nove restos diferentes, a saber, $0,1,2,3,4,5,6,7$ ou 8 . Logo, entre os dez números do conjunto, pelo menos dois deles têm mesmo resto quando divididos por 9 , já que temos, no máximo, nove restos diferentes. Quando tomamos a diferença desses dois números que têm o mesmo resto, obtemos um número com resto zero, ou seja, divisível por 9 . +183. Correndo numa praça - A distância que o atleta percorre a cada volta completa é igual ao perímetro da praça, de $2 \times 900+2 \times 600=3000 \mathrm{~m}$. + +Como $15,5 \mathrm{~km}=15500 \mathrm{~m}$ e $5 \times 3000+500=15500$ $\mathrm{m}$, o atleta dá cinco voltas completas (partindo de $\mathrm{P}$ e retornando a P) e ainda corre mais $500 \mathrm{~m}$. Portanto, ele para no ponto $\mathrm{Q}, 150 \mathrm{~m}$ além do vértice $\mathrm{B}$, indicado na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-084.jpg?height=276&width=460&top_left_y=336&top_left_x=1415) + +184. Ovos para um bolo - Como os 43 bolos têm a mesma receita, o número de ovos que a doceira precisa é um múltiplo de 43. Por outro lado, esse número também é um múltiplo de 2, 3, 4, 5 e 6 , acrescido de 1 . O MMC de $2,3,4,5$ e 6 é 60 , mas $60+1=61$ não é múltiplo de 43. Precisamos, então, encontrar um número com essas duas propriedades: + +- é um múltiplo de 43 ; +- acrescido de 1 é múltiplo de $2,3,4,5$ e 6 . + +Lembre, também, que como a receita gasta menos do que nove ovos, o número que estamos procurando é menor do que $43 \times 9=387$. Temos: + +$$ +\begin{array}{ll} +60 \times 2+1=121 & \text { não é múltiplo de } 43 \\ +60 \times 3+1=181 & \text { não é múltiplo de } 43 \\ +60 \times 4+1=241 & \text { não é múltiplo de } 43 \\ +60 \times 5+1=301 & \text { é múltiplo de } 43 \\ +60 \times 6+1=361 & \text { não é múltiplo de } 43 +\end{array} +$$ + +Podemos parar por aqui, porque os próximos números serão maiores do que 387. Logo, a doceira comprou exatamente 301 ovos. + +185. Cortando uma cartolina - Os lados do retângulo final obtido após os cortes são, cada um, a metade dos lados da cartolina original. Assim, o perímetro do retângulo original é o dobro do perímetro do retângulo final. Logo, o perímetro da cartolina antes do corte media $2 \times 129=258 \mathrm{~cm}$. + +Observação: Ao fazer um corte paralelo a um dos lados do triângulo e pelo ponto médio desse lado, o outro corte que formará o retângulo só pode ocorrer no ponto médio do outro lado, em vista da semelhança desses triângulos. Assim, o enunciado contém um dado a mais, desnecessário para quem reconhece semelhança de triângulos e suas propriedades. + +186. A soma errada - À primeira inspeção, podemos admitir que os três algarismos à direita dos números estejam corretos, isto é, estão corretos os algarismos $0,1,3,4,5$, 6 e 8. Portanto, dentre os algarismos 2,7 e 9 , um deles está errado. O algarismo 9 está correto, pois se o mudarmos, a soma com 2 não estará certa. Assim, sobram 2 e 7. Se o 7 estivesse errado, então o 2 estaria correto, mas isso não é possível, pois $1+4+2=7$. Logo, é o 2 que está errado e deve ser substituído. Olhando novamente para a soma $1+4+2$, vemos que o resultado é um número com o algarismo da unidade igual a 1. Logo, o algarismo 2 deve ser substituído quatro vezes pelo 6 . Fazendo essa substituição, verificamos que a soma fica correta. +187. Número de cinco algarismos - Para que $a b c$ seja divisível por 4 , seus dois últimos algarismos devem formar um número divisível por 4. Como os algarismos são $1,2,3$, 4 e 5 , as únicas possibilidades são $b c=12, b c=24, b c=32$ e $b c=52$. Por outro lado, os números divisíveis por 5 terminam em 0 ou 5 . Como 0 não está incluído, segue que $d=5$, pois $b c d$ é divisível por 5 . Isso exclui a possibilidade $b c=52$, porque não podemos repetir o 5 . Até agora temos três possibilidades, a saber, + +$$ +\text { a125e, } a 245 e \text { e a325e. } +$$ + +Examinemos esses três casos para escolher os algarismos $a$ e $e$, lembrando que não pode haver repetição. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-085.jpg?height=483&width=462&top_left_y=798&top_left_x=363) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-085.jpg?height=423&width=297&top_left_y=802&top_left_x=845) + +Ñ é múltiplo de 3 É múltiplo de 3 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-085.jpg?height=368&width=280&top_left_y=798&top_left_x=1342) + +$43251 \quad 13254$ + +Ñ é múltiplo de 3 Ñ é múltiplo de 3 + +Logo, o número é 12453 . + +188. Tabela misteriosa - Observemos que: + +- na última coluna estarão os múltiplos de 9 , porque essa coluna está em branco e nenhum dos números que aparecem na tabela é múltiplo de 9 ; +- na $5^{a}$ linha estarão os múltiplos de 12 , pois é nessa linha que aparece o único múltiplo de 12 da tabela (a saber, 24); +- na $4^{\text {a }}$ coluna estarão os múltiplos de 10, pois 40 é o único múltiplo de 10 na tabela; +- na 5a coluna teremos múltiplos de 7 , pois 42 e 49 são os únicos múltiplos de 7 na tabela; +- na 2a linha estarão os múltiplos de 7 , porque 1 e 7 são os únicos divisores de 49 menores do que 12 ; +- na $3^{\text {a }}$ coluna aparecerão os múltiplos de 2 , pois 2 é o único divisor comum de 22 e 24 diferente de 1 ; +- na $3^{\text {a }}$ linha aparecerão os múltiplos de 11 , pois $22=2 \times 11$ e os múltiplos de 2 já estão na $3^{\text {a }}$ coluna; +- na $6^{\text {a }}$ linha aparecerão os múltiplos de 6 , pois os divisores de $42=2 \times 3 \times 7$ menores do que 12 e diferentes de 1 são $2,3,6$ e 7 . Os múltiplos de 2 e 7 já estão em seus respectivos lugares. Faltam os múltiplos de 3 e 6 . Os únicos múltiplos de 6 na tabela são 24 e 42 , e 24 já aparece na $5^{a}$ linha; +- na $2^{\mathrm{a}}$ coluna e na $4^{\mathrm{a}}$ linha aparecerão os múltiplos de 3 ou 5 , pois $15=3 \times 5$; + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-085.jpg?height=51&width=1485&top_left_y=2553&top_left_x=343) +comuns de 32 e 40 , menores do que 12 e diferentes de 1 , são 2,4 e 8 , mas os múltiplos de 2 já estão na 3 a coluna. + +Até aqui, a situação é a seguinte. + +| | 4 ou 8 | 3 ou 5 | 2 | 10 | 7 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 4 ou 8 | 32 | | | 40 | | | +| 7 | | | 14 | 70 | 49 | 63 | +| 11 | | | 22 | 10 | 77 | 99 | +| 3 ou 5 | | 15 | | | | | +| 12 | | | 24 | 120 | 84 | 108 | +| 6 | | | 12 | 60 | 42 | 54 | + +Examinemos agora as possibilidades que se apresentam. + +I - Repetição de ambos 30 e 60 + +| | 8 | 5 | 2 | 10 | 7 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 4 | 32 | 20 | 8 | 40 | 28 | 36 | +| 7 | 56 | 35 | 14 | 70 | 49 | 63 | +| 11 | 88 | 55 | 22 | 110 | 77 | 99 | +| 3 | 24 | 15 | 6 | $\mathbf{3 0}$ | 21 | 27 | +| 12 | 96 | $\mathbf{6 0}$ | 24 | 120 | 84 | 108 | +| 6 | 48 | $\mathbf{3 0}$ | 12 | $\mathbf{6 0}$ | 42 | 54 | + +III - Repetição de ambos 12 e 40 + +| | 8 | 3 | 2 | 10 | 7 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 4 | 32 | $\mathbf{1 2}$ | 8 | $\mathbf{4 0}$ | 28 | 36 | +| 7 | 56 | 21 | 14 | 70 | 49 | 63 | +| 11 | 88 | 33 | 22 | 110 | 77 | 99 | +| 5 | $\mathbf{4 0}$ | 15 | 10 | 50 | 35 | 45 | +| 12 | 96 | 36 | 24 | 120 | 84 | 108 | +| 6 | 48 | 18 | $\mathbf{1 2}$ | 60 | 42 | 54 | + +II - Três números repetidos + +| | 4 | 5 | 2 | 10 | 7 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 8 | 32 | 40 | 16 | 80 | 56 | 72 | +| 7 | 28 | 35 | 14 | 70 | 49 | 63 | +| 11 | 44 | 55 | 22 | 110 | 77 | 99 | +| 3 | 12 | 15 | 6 | $\mathbf{3 0}$ | 21 | 27 | +| 12 | 48 | $\mathbf{6 0}$ | $\mathbf{2 4}$ | 120 | 84 | 108 | +| 6 | $\mathbf{2 4}$ | $\mathbf{3 0}$ | 12 | $\mathbf{6 0}$ | 42 | 54 | + +IV - Apenas um número repetido + +| | 4 | 3 | 2 | 10 | 7 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 8 | 32 | $\mathbf{2 4}$ | 16 | 80 | 56 | 72 | +| 7 | 28 | 21 | 14 | 70 | 49 | 63 | +| 11 | 44 | 33 | 22 | 110 | 77 | 99 | +| 5 | 20 | 15 | 10 | 50 | 35 | 45 | +| 12 | 48 | 36 | $\mathbf{2 4}$ | 120 | 84 | 108 | +| 6 | $\mathbf{2 4}$ | 18 | 12 | 60 | 42 | 54 | + +Logo, a única solução é a da tabela IV. + +189. Habitantes e esporte - O total de habitantes desta cidade é praticamente $30000 \mathrm{e}$ é divisível por 9 e 15. Logo, deve terminar em 0 ou 5 e a soma de seus algarismos deve ser um múltiplo de 9. Como 29970 é o maior número que é menor do que 30000 e tem fatores 9 e 15, podemos supor que essa seja a população total da cidade. Logo, + +$$ +\frac{2}{15} \times 29970=3996 \text { e } \frac{2}{9} \times 29970=6660 +$$ + +é o número de mulheres e de homens, respectivamente, que praticam esporte somente nos fins de semana. A tabela dada indica que $8563+7582=16145$ pessoas não praticam esporte. Logo, a cidade tem $16145 \div 5=3229$ pessoas que praticam esporte regularmente e, portanto, $3229-1252=1977$ pessoas do sexo feminino praticam esporte regularmente. A tabela completa é a seguinte. + +| | | Praticam esporte
Nomente nos fins
de semana | | Praticam
esporte
regularmente | | População | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| fem. | masc. | fem. | masc. | fem. | masc. | total | +| 8563 | 7582 | 3996 | 6600 | 1977 | 1252 | 29970 | + +190. Botões luminosos - A resposta correta é (c). + +A tabela mostra a cor de cada botão em cada etapa. + +| | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{4}$ | $\mathbf{5}$ | $\mathbf{6}$ | $\mathbf{7}$ | $\mathbf{8}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| início | azul | azul | azul | azul | azul | azul | azul | azul | +| apertando botão 1 | verde | verde | azul | azul | azul | azul | azul | verde | +| apertando botão 3 | verde | azul | verde | verde | azul | azul | azul | verde | +| apertando botão 5 | verde | azul | verde | azul | verde | verde | azul | verde | + +Logo, os botões que ficaram com luzes verdes acesas no final são $1,3,5,6$ e 8 , o que nos dá um total de cinco botões. + +191. Qual é o número? - O problema é determinar os algarismos $b, c, d, e$ e $f$ tais que o número $b c d$ e $f 1$ seja o triplo de $1 b c d e f$. + +De início vemos que $f=7$ e, a partir daí, podemos ir descobrindo cada um dos algarismos, como segue. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-087.jpg?height=166&width=1256&top_left_y=1776&top_left_x=434) + +Portanto, $b=4$ e o número de partida é 142857 . + +192. Jardim variado - Os triângulos 1, 2, 5 e 6 são retângulos, de modo que, para calcular suas áreas, vamos "enxergar" cada um deles como metade de um retângulo. Para que a nossa estratégia funcione, precisamos saber dividir o terreno retangular em retângulos menores. + +Subdividimos o terreno em dezesseis retângulos de 15 por $40 \mathrm{~m}$, como mostra a figura, cada um com uma área de $15 \times 40$ $=600 \mathrm{~m}^{2}$. Então temos que + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-087.jpg?height=354&width=477&top_left_y=2096&top_left_x=1395) + +- a área do triângulo $1=$ área do triângulo $5=\frac{1}{2} \times 4 \times 600=1200 \mathrm{~m}^{2}$; +- a área do triângulo $2=\frac{1}{2} \times 6 \times 600=1800 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{e}$ +- a área do triângulo $6=\frac{1}{2} \times 2 \times 600=600 \mathrm{~m}^{2}$. + +Observe que a área do triângulo 4 é igual à área do terreno todo, subtraída das áreas dos triângulo 5 e 6 e da área da região à esquerda de $M R$. Contando retângulos, vemos que essa área mede $10 \times 600=6000 \mathrm{~m}^{2}$. Logo, a área do triângulo 4 é dada por + +$$ +120 \times 80-(1200+600+6000)=9600-7800=1800 \mathrm{~m}^{2} +$$ + +Finalmente, a área do triângulo 3 é a área total do terreno subtraída da soma das áreas já calculadas dos outros cinco triângulos, ou seja, + +$$ +120 \times 80-(2 \times 1200+2 \times 1800+600)=9600-6600=3000 \mathrm{~m}^{2} +$$ + +Para que o gasto seja o menor possível, as flores mais caras devem ser plantadas nas regiões menores. Como a menor região é a 6 , nela deve ser plantada a flor mais cara, a rosa, gastando $3,50 \times 600=2100$ reais. A maior região é a 3, onde deve ser plantada a flor mais barata, o bem-me-quer, gastando $0,80 \times 3000=2400$ reais. + +Nas regiões 1 e 5, com áreas iguais a $1200 \mathrm{~m}^{2}$, devem ser plantadas bromélias e cravos, contribuindo com $(3,00+2,20) \times 1200=6240$ reais. Nas regiões 2 e 4 , com áreas iguais a $1800 \mathrm{~m}^{2}$, devem ser plantadas margarida e violeta, contribuindo com $(1,20+1,70) \times 1800=5220$ reais. + +Temos, então, quatro diferentes maneiras de formar o jardim, mantendo o mesmo gasto mínimo de $2100+2400+6240+5220=15960$ reais. Apresentamos a seguir uma das quatro possibilidades de escolhas das flores com esse orçamento mínimo. + +| Região | Área $^{2}$ | Flor | Preço $^{2}$ | Total por flor | +| :---: | :---: | :--- | :---: | :---: | +| 1 | 1200 | bromélia | 3,00 | $3,00 \times 1200=3600$ | +| 2 | 1800 | margarida | 1,20 | $1,20 \times 1800=2160$ | +| 3 | 3000 | bem-me quer | 0,80 | $0,80 \times 3000=2400$ | +| 4 | 1800 | violeta | 1,70 | $1,70 \times 1800=3060$ | +| 5 | 1200 | cravo | 2,20 | $2,20 \times 1200=2640$ | +| 6 | 600 | rosa | 3,50 | $3,50 \times 600=2100$ | +| | TOTAL: 15960 | | | | + +193. O algarismo 3 - Vejamos todas as vezes que Luis escreveu o algarismo 3: + +- $3 \sim 1$; +- $\underbrace{13,23}_{2}, \underbrace{30,31,32,33, \ldots, 39}_{11}, \underbrace{43, \ldots, 93}_{6} \sim 2+11+6=19$. + +Até aqui, ele escreveu vinte vezes o algarismo 3. Daí temos + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-088.jpg?height=103&width=599&top_left_y=2490&top_left_x=814) + +Logo, ao escrever o número 131, ele escreveu o algarismo 3 pela $25^{\text {a }}$ vez. + +194. Soma de potências - Existe um padrão para o algarismo das unidades de uma potência de 3: ele tem período 4, pois se repete de quatro em quatro vezes. De fato, temos + +$$ +\begin{array}{ll} +3 & 3^{5}=243 \\ +3^{2}=9 & 3^{6}=\ldots 9 \\ +3^{3}=27 & 3^{7}=\ldots 7 \\ +3^{4}=81 & 3^{8}=\ldots 1 +\end{array} +$$ + +Como 444 é múltiplo de 4 , o algarismo das unidades de $3^{444}$ é 1 . + +Analogamente, o algarismo das unidades de potências de 4 tem período 2. De fato, temos + +$$ +\begin{array}{ll} +4^{1}=4 & 4^{3}=64 \\ +4^{2}=16 & 4^{4}=256 +\end{array} +$$ + +Como 333 é ímpar, o algarismo das unidades de $4^{333}$ é 4. Portanto, o algarismo das unidades de $3^{444}+4^{333}$ é $1+4=5$, de modo que ele é divisível por 5 . + +LEMBRETE: Todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por 5 . + +195. Telefonemas - Como João telefona para seus pais a cada três dias, podemos montar uma tabela indicando os dias da semana em que ocorreram os quatorze primeiros telefonemas de João. + +Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado + +| 10 | $6^{\circ}$ | $4^{\circ}$ | $2^{\circ}$ | $7^{\circ}$ | $5^{\circ}$ | $3^{\circ}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $8^{\circ}$ | $13^{\circ}$ | $11-$ | 9 | $14-$ | $12^{\circ}$ | $10^{\circ}$ | + +Analisando a primeira linha dessa tabela, percebemos que são sete telefonemas, um em cada dia da semana e que, a partir do sétimo telefonema, os dias começam a se repetir. Isso implica que os números que aparecem na segunda linha da tabela são obtidos dos números que aparecem na primeira linha somando 7. Por exemplo, João telefonará para seus pais aos domingos nos telefonemas de números + +$$ +\begin{array}{r} +1 \\ +1+7=8 \\ +8+7=15 \\ +15+7=22 \\ +22+7=29 \\ +29+7=36 +\end{array} +$$ + +ou seja, nos números que deixam resto 1 quando divididos por 7. Com esse raciocínio, podemos determinar o dia da semana em que cai uma ligação, analisando o resto da divisão do número do telefonema por 7. + +| Domingo | Segunda | Terça | Quarta | Quinta | Sexta | Sábado | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 | 6 | 4 | 2 | 7 | 5 | 3 | +| 8 | 13 | 11 | 9 | 14 | 12 | 10 | +| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | +| $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | +| resto 1 | resto 6 | resto 4 | resto 2 | resto 0 | resto 5 | resto 3 | + +Dividindo 100 por 7, obtemos $100=7 \times 14+2$. Logo, o resto da divisão de 100 por 7 é 2 e segue que o centésimo telefonema ocorre numa quarta-feira. + +196. O maior produto - Observe que obtemos o maior resultado possível se um dos números começar com o algarismo 5 e o outro com 4 . Além disso, como só temos cinco algarismos, um dos dois números deve ter somente um ou dois algarismos. Vejamos as possibilidades que dão o maior produto. + +- um dos fatores tem um algarismo: + +$5321 \times 4=21284 ; 4321 \times 5=21605$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-090.jpg?height=162&width=434&top_left_y=690&top_left_x=1439) + +- um dos fatores tem dois algarismos: + +$$ +\begin{aligned} +& 532 \times 41=21812 ; 531 \times 42=22302 ; 521 \times 43=22403 \\ +& 432 \times 51=22032 ; 431 \times 52=22412 ; 421 \times 53=22313 +\end{aligned} +$$ + +Logo, o melhor resultado é $431 \times 52=22412$. + +197. O caminho da Joaninha - Os números primos que aparecem na tabela são 23 , 73, 37, 17, 79, 19, 37, 53 e 251. Logo, só há dois caminhos que Dona Joaninha pode percorrer. Um é o apresentado na figura. O outro é idêntico, exceto que o azulejo 87 fica à esquerda, passando entre 87 e 231 e, depois, seguindo horizontalmente. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-090.jpg?height=434&width=620&top_left_y=1513&top_left_x=798) + +198. O lugar dos amigos - Observe que 3 é o único número dentro das três figuras e 1 é o único que não está dentro de um polígono, logo Celina $\leadsto 3$ e Fábio $\leadsto 1$. Agora, 4 é o único número dentro do triângulo e do círculo, $\log$ Elisa $\sim 4$. Nessa situação, 5 é o único dentro do triângulo, mas não do quadrado, assim Diana $\sim 5$. Finalmente, 7 é o único número dentro de uma única figura, $\log$ Bento $\sim 7$. Resta, então, 2 dentro do círculo, portanto, Guilherme $\sim 2$ e Ana $\sim 6$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-090.jpg?height=236&width=1060&top_left_y=2394&top_left_x=570) +199. Quadrado perfeito? - Lembre que um número é um quadrado perfeito se na sua decomposição em fatores primos os expoentes são todos pares. Por exemplo, + +- $5^{4} \times 7^{6} \times 13^{2}$ é um quadrado perfeito, pois é igual a $\left(5^{2} \times 7^{3} \times 13\right)^{2}$. + +Como nenhum número elevado ao quadrado termina em 3 , segue que $N_{1}=333 \ldots 3$ não é um quadrado. + +Temos que $N_{2}=666 \ldots 6=2 \times 333 \ldots 3$. Como $333 \ldots 3$ é ímpar, então na decomposição de $N_{2}$ em fatores primos aparece só um fator 2. Logo, $N_{2}$ não é um quadrado. + +Vejamos a divisibilidade por 3. A soma dos algarismos desses números é + +$$ +\begin{aligned} +& N_{3} \leadsto 50 \times 15=750 \\ +& N_{4} \leadsto 50 \times 21=1050 \\ +& N_{5} \leadsto 50 \times 27=1350 +\end{aligned} +$$ + +Como todas essas somas são divisíveis por 3, essas três somas também são divisíveis por 3. Logo, se algum deles fosse um quadrado perfeito, teria que ser divisível por 9. + +A soma dos algarismos de $N_{3}$ e $N_{4}$ não é divisível por 9 , logo esses dois números não são divisíveis por 9 e, consequentemente, não são quadrados perfeitos. + +Como 1350 é divisível por 9, então $N_{5}$ é divisível por 9 . Temos + +$$ +2727272727 \ldots 27 \div 9=303030 \ldots 03 +$$ + +e + +$$ +303030 \ldots 03 \div 3=101010 \ldots 01 +$$ + +portanto, + +$$ +2727272727 \ldots 27=3^{2} \times 303030 \ldots 03=3^{3} \times 101010 \ldots 01 +$$ + +Note que $101010 \ldots 01$ tem 49 algarismos, dos quais 25 são iguais a 1 e os outros iguais a 0. Logo, a soma de seus algarismos é 25 e, portanto, não é divisível por 3. Assim, $2727272727 \ldots 27$ é divisível por $3^{3}$, mas não por $3^{4}$. Assim, concluímos que tampouco $N_{5}$ é um quadrado perfeito. + +200. Preenchendo quadradinhos - A operação é equivalente a + +$$ +(\square+\square-\square) \times \square=4 \times \square +$$ + +portanto, o lado esquerdo da igualdade é um múltiplo de 4. Usando apenas os números $1,2,3,5$ e 6 , é possível verificar que as únicas possibilidades são + +$$ +(\square+\square-\square) \times \square=4 \times \square \quad \text { ou } \quad(\square+\square-\square) \times \square=4 \times \square +$$ + +Daí, podemos concluir que + +$$ +([5+\square-6) \times \square=4 \times \square \quad \text { ou } \quad(\boxed{6}+\square-\square) \times \square=4 \times \square +$$ + +são as únicas possibilidades de preenchimento. + +201. Os três números - Como 13983 termina em 3, a soma dos algarismos das unidades dos três números diferentes deve ser 13 ou 23. Como 23 não pode ser obtido na soma de 1, 2, 4 e 7 , só temos uma opção, a saber, $2+4+7=13$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-092.jpg?height=291&width=331&top_left_y=374&top_left_x=1522) + +Agora, a soma dos algarismos das dezenas deve ser $8-1=7$ e, portanto, só pode ser $1+2+4=7$. Completamos os algarismos das dezenas, tendo o cuidado de não repetir o mesmo algarismo num mesmo número. Temos somente as três opções seguintes. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-092.jpg?height=290&width=1182&top_left_y=924&top_left_x=518) + +Os algarismos das centenas devem somar 9 , o que nos deixa duas possibilidades, $4+4+1$ ou $1+1+7$. Como nas três opções o algarismo 4 ocorre em dois dos três números, escolhemos a possibilidade $1+1+7$ para a centena, para que não apareça repetido $o$ algarismo 4. Também precisamos cuidar para que não apareçam repetidos o 1 e o 7, o que elimina a terceira opção acima e nos leva a duas opções para as centenas, como segue. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-092.jpg?height=304&width=936&top_left_y=1702&top_left_x=638) + +Finalmente, os algarismos das unidades de milhar devem somar 13 e é fácil escolhê-los. Assim, Sofia pode chegar a 13983 de duas maneiras, como segue. + +| | 4 | 7 | 1 | 2 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | 7 | 1 | 2 | 4 | +| | 2 | 1 | 4 | 7 | +| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 | + + +| | 7 | 1 | 4 | 2 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | 2 | 7 | 1 | 4 | +| | 4 | 1 | 2 | 7 | +| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 | + +202. Preencher uma tabela - Existem várias maneiras de preencher a tabela, dependendo da casa que escolhemos para ser preenchida, o que pode ser feito de várias maneiras. Vejamos um exemplo de como preencher a tabela. Inicialmente, temos quatro casas que podem ser preenchidas, todas marcadas com X. Escolhemos uma delas e preenchemos de acordo com a segunda regra. Repetimos esse processo até a tabela estar completamente preenchida. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-093.jpg?height=442&width=1536&top_left_y=405&top_left_x=292) +$\leadsto$ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-093.jpg?height=208&width=1016&top_left_y=638&top_left_x=672) + +Mas, para colocar em cada casa o maior número possível, a idéia é, a cada vez, examinar todas as casas que podem ser preenchidas e só preencher a casa em que podemos colocar o maior número. Se em duas dessas casas o número a ser colocado for o mesmo, preencheremos a que tem o menor número de casas vizinhas já preenchidos. Vamos lá! +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-093.jpg?height=646&width=1498&top_left_y=1062&top_left_x=290) + +| 27 | 54 | 72 | 216 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 9 | 18 | 144 | 432 | +| 3 | 6 | | | +| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | | | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-093.jpg?height=208&width=471&top_left_y=1712&top_left_x=290) + +| 27 | 54 | 72 | 216 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 9 | 18 | 144 | 432 | +| 3 | 6 | 1178 | 576 | +| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | | | + + +| 27 | 54 | 72 | 216 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 9 | 18 | 144 | 432 | +| 3 | 6 | 1178 | 576 | +| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | | 1754 | + + +$\leadsto$| 27 | 54 | 72 | 216 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 9 | 18 | 144 | 432 | +| 3 | 6 | 1178 | 576 | +| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | 3516 | 1754 | + +Logo, o maior número que pode ser escrito na tabela é 3516 . + +203. Olimpiada de Pequim - Para iniciar, escolhemos um lugar para um dos atletas, digamos, para Maria. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-093.jpg?height=172&width=263&top_left_y=2344&top_left_x=928) +(a) Quem pratica natação está à esquerda de Maria. Logo, só podemos ter a configuração abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-094.jpg?height=208&width=263&top_left_y=433&top_left_x=1022) + +(b) Quem pratica ginástica está à frente de Juan. Existem duas únicas possibilidades: Maria pratica ginástica ou Maria não pratica ginástica. + +Maria pratica ginástica + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-094.jpg?height=257&width=420&top_left_y=928&top_left_x=447) + +Maria não pratica ginástica + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-094.jpg?height=285&width=289&top_left_y=914&top_left_x=1546) + +(c) Como Tânia e David sentaram-se juntos, então somente a segunda opção do item anterior - Maria não pratica ginástica - pode satisfazer essa condição. Ela gera as seguintes duas possibilidades. + +Maria não pratica ginástica + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-094.jpg?height=320&width=394&top_left_y=1482&top_left_x=431) + +Maria não pratica ginástica + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-094.jpg?height=320&width=374&top_left_y=1479&top_left_x=1458) + +(d) Como uma mulher sentou-se ao lado de quem pratica vôlei, é a segunda opção acima que é a correta, e temos duas possibilidades para o atleta que pratica atletismo: David ou Maria. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-094.jpg?height=320&width=1478&top_left_y=2076&top_left_x=401) + +## 204. Culturas diferentes + +(a) (i) 03/12 significa 12 de março para Ralph e 03 de dezembro para Jorge, portanto, é uma data ambígua. +(ii) 18/08 só pode ser mesmo 18 de agosto. + +(iii) 05/05 só pode ser 05 de maio. + +Logo, (i) é uma data em que eles não podem se escrever. + +(b) A data só é ambígua quando o número do dia também puder representar o número do mês, logo quando é um número de 1 a 12. Por outro lado, nesses números não há ambiguidade quando o número do mês for igual ao número do dia. Por exemplo, 05/05 só pode ser 05 de maio. Por isso, em cada mês, eles devem evitar 11 dias. Logo, os períodos mais longos em que eles não podem se escrever ocorrem em 11 dias consecutivos de janeiro - de 02 a 12 de janeiro - e em dezembro - de 02 a 12 de dezembro. Observe que nos outros meses os períodos em que eles não podem se escrever são menores. Por exemplo, + +- em abril eles não podem se escrever de 01/04 a 12/04, exceto em 04/04; +- em setembro eles não podem se escrever de 01/09 a 12/09, exceto em 09/09. + +205. Uma liquidação - Na liquidação, exceto aos sábados, os produtos estão $50 \%$ mais baratos. Nos sábados, com o desconto adicional de 20\%, os produtos estão custando $80 \%$ dos preços fora dos sábados, ou seja + +$$ +80 \% \text { de } 50 \%=\frac{80}{100} \times \frac{50}{100}=\frac{40}{100}=40 \% \text { do preço original. } +$$ + +Logo, Roberta deixou de economizar $60 \%$, que corresponde aos $\mathrm{R} \$ 50,40$. Como + +$$ +\begin{aligned} +& 60 \% \leadsto 50,40 \\ +& 10 \% \leadsto 50,40 \div 6=8,4 \mathrm{e} \\ +& 100 \% \leadsto 8,4 \times 10=84,00 +\end{aligned} +$$ + +o preço da calça antes da liquidação era de $\mathrm{R} \$ 84,00$. + +206. Número com muitos zeros - A resposta correta é (d). + +Vamos comparar os cinco números sem efetuar cálculos. Temos + +$$ +\begin{aligned} +3+a= & 3,000 \ldots 0001 \text { é menor do que } 4 \\ +3-a= & \text { é menor do que } 3 \\ +3 a= & 0,000 \ldots 0003 \text { é menor do que } 1 \\ +\frac{3}{a}= & \frac{3}{0,000 \ldots 0001}=\frac{3}{\frac{1}{10^{2010}}}=3 \times 10^{2010} \text { é maior do que } 10 \mathrm{e} \\ +\frac{a}{3}= & \frac{0,000 \ldots 0001}{3} \text { é menor do que } 0,000 \ldots 0001 +\end{aligned} +$$ + +Assim, 3/a representa o maior número. + +207. Corrida das tartarugas - Vamos representar cada tartaruga numa reta, utilizando sua letra inicial. Os dados finais da corrida estão representados na figura dada. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-096.jpg?height=234&width=1202&top_left_y=274&top_left_x=513) + +Logo, Sininha está $20 \mathrm{~m}$ à frente de Elzinha e, portanto, Pulinha está $5 \mathrm{~m}$ à frente de Sininha. A ordem de chegada é O, P, S, E e R. + +208. Que memória... - O número começa com 25 porque $5^{2}$ é a única potência de 5 com dois algarismos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-096.jpg?height=65&width=342&top_left_y=887&top_left_x=937) + +Os candidatos aos dois últimos algarismos são as potências de 2 com dois algarismos, a saber, 16, 32 e 64 . Como 32 não serve, por apresentar o 2 repetido, temos as opções + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-096.jpg?height=71&width=783&top_left_y=1141&top_left_x=722) + +O algarismo do meio é um múltiplo de 3 , portanto, só pode ser 3,6 ou 9 , mas o 6 não pode ser repetido. Para escolher entre as duas opções acima, basta lembrar que a soma dos cinco algarismos deve ser é ímpar e, como $2+5$ é ímpar, a soma dos três últimos deve ser par. Assim, a segunda opção acima fica descartada, pois não podemos completá-la com um múltiplo de 3 , restando, apenas os números + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-096.jpg?height=66&width=777&top_left_y=1566&top_left_x=725) + +O maior dos dois, | 2 | 5 | 9 | 1 | 6 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| , é o código bancário de Esquecinaldo. | | | | | + +209. Uma fração irredutivel - Para que a fração seja irredutível, o numerador e o denominador não podem ter fator comum. Começamos calculando os fatores primos de $N=2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \cdots \times 10$, que são + +$$ +2 \times 3 \times \underbrace{4}_{2^{2}} \times 5 \times \underbrace{6}_{2 \times 3} \times 7 \times \underbrace{8}_{2^{3}} \times \underbrace{9}_{3^{2}} \times \underbrace{10}_{2 \times 5} . +$$ + +Logo, a decomposição de $N$ em fatores primos é dada por + +$$ +N=2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7 +$$ + +Podemos escolher diversas frações que satisfazem o problema, como segue. + +(i) Se o numerador é 1 , temos a fração $\frac{1}{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7}$. + +(ii) Se o numerador tem apenas um fator de $N$, temos as quatro frações + +$$ +\frac{2^{8}}{3^{4} \times 5^{2} \times 7} ; \quad \frac{3^{4}}{2^{8} \times 5^{2} \times 7} ; \quad \frac{5^{2}}{2^{8} \times 3^{4} \times 7} \quad \text { e } \frac{7}{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2}} +$$ + +(iii) Se o numerador tem dois fatores de $N$, temos as seis frações + +$$ +\frac{2^{8} \times 3^{4}}{5^{2} \times 7} ; \frac{2^{8} \times 5^{2}}{3^{4} \times 7} ; \frac{2^{8} \times 7}{3^{4} \times 5^{2}} ; \frac{3^{4} \times 5^{2}}{2^{8} \times 7} ; \frac{3^{4} \times 7}{2^{8} \times 5^{2}} \quad \text { e } \quad \frac{5^{2} \times 7}{2^{8} \times 3^{4}} +$$ + +(iv) Se o numerador tem três fatores de $N$, temos as quatro frações + +$$ +\frac{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2}}{7} ; \quad \frac{2^{8} \times 3^{4} \times 7}{5^{2}} ; \quad \frac{2^{8} \times 5^{2} \times 7}{3^{4}} \quad \text { e } \frac{3^{4} \times 5^{2} \times 7}{2^{8}} +$$ + +(v) Se o numerador é $N$, temos a fração $\frac{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7}{1}$. + +Assim, ao todo, temos dezesseis dessas frações irredutíveis. + +## 210. Transformar em decimal - Temos: + +(a) $7 \times \frac{2}{3}+16 \times \frac{5}{12}=\frac{14}{3}+\frac{20}{3}=\frac{34}{3}=11+\frac{1}{3}=11,3333 \ldots$ + +(b) $5-\left(2 \div \frac{5}{3}\right)=5-\left(2 \times \frac{3}{5}\right)=5-\frac{6}{5}=4-\frac{1}{5}=3,8$ + +(c) $1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+4}}=1+\frac{2}{1+\frac{3}{5}}=1+\frac{2}{\frac{8}{5}}=1+2 \times \frac{5}{8}=1+\frac{10}{8}=2+\frac{1}{4}=2,25$ + +211. Uma sequência especial - Observe que: + +- os números de 1 a 9 ocupam nove posições; +- os números de 10 a 99 ocupam $2 \times 90=180$ posições; +- os números de 100 a 199 ocupam $3 \times 100=300$ posições; +- os de 200 a 299 ocupam $3 \times 100=300$ posições; +- os de 300 a 399 ocupam $3 \times 100=300$ posições; etc. + +$\underbrace{100, \ldots 199}_{3 \times 100=300}, \underbrace{200, \ldots, 299}_{3 \times 100=300}, \underbrace{300, \ldots, 399}_{3 \times 100=300}, \underbrace{400, \ldots, 499}_{3 \times 100=300}, \underbrace{500, \ldots, 599}_{3 \times 100=300}, \underbrace{600, \ldots, 699}_{3 \times 100=300}$ + +Assim, os algarismos usados para escrever de 1 a 699 ocupam $9+180+6 \times 300=1989$ posições, $\operatorname{logo}$ faltam $2009-1989=20$ posições. Como $20=3 \times 6+2$, precisamos ainda escrever de 700 a 706, obtendo 21 posições, com o algarismo 6 ocupando a posição 21. Logo, é o algarismo 0 que que ocupa a $2009^{a}$ posição. + +212. Cortar um retângulo - Dividimos o retângulo em $13 \times 7$ quadradinhos de $1 \mathrm{~cm}$ de lado cada um. Agora, usamos que $13=1+3+4+5=$ $6+7=0+13$ para obter a divisão em 13 retângulos diferentes. Você consegue encontrar outras formas de fazer essa divisão? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-097.jpg?height=337&width=568&top_left_y=2350&top_left_x=1255) + +213. Medida de ângulo - A resposta correta é (b). + +Temos que $A \widehat{O} C+C \widehat{O} E=90^{\circ}$ e $C \widehat{O} E=D \widehat{O} Y$. Logo, $A \widehat{O} C=90^{\circ}-D \widehat{O} Y$. Como $D \widehat{O} Y$ está entre $40^{\circ}$ e $50^{\circ}$, segue que $A \widehat{O} C$ está entre $90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$ e $90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$. + +214. Perimetros e áreas - A área do quadrado é $(\sqrt{3}+3)^{2}=\sqrt{3}^{2}+2 \times 3 \sqrt{3}+3^{2}=12+6 \sqrt{3}$ e a do retângulo é + +$$ +(\sqrt{72}+3 \sqrt{6}) \times \sqrt{2}=\sqrt{144}+3 \sqrt{12}=12+6 \sqrt{3} +$$ + +Logo, eles têm a mesma área. Vamos agora comparar os perímetros. O do quadrado é + +$$ +4 \times(\sqrt{3}+3)=4 \sqrt{3}+12 +$$ + +e o do retângulo é $2 \times(\sqrt{72}+3 \sqrt{6}+\sqrt{2})=2 \times(6 \sqrt{2}+3 \sqrt{6}+\sqrt{2})=6 \sqrt{6}+14 \sqrt{2}$. Como $4 \sqrt{3}<6 \sqrt{6}$ e, também, $12<14 \sqrt{2}$, segue que $4 \sqrt{3}+12<6 \sqrt{6}+14 \sqrt{2}$. Assim, o retângulo tem o maior perímetro. + +215. Cálculo de ângulo - Como $A B=A C$, o triângulo $\triangle A B C$ é isósceles, $\operatorname{logo} A \widehat{B} C=A \widehat{C} B$. Sendo $A D=B D$, o triângulo $\triangle A B D$ também é isósceles, $\log$ o $A \widehat{B} D=B \widehat{A} D$. Temos, então, + +$$ +A \widehat{C} B=A \widehat{B} C=A \widehat{B} D=B \widehat{A} D +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-098.jpg?height=239&width=457&top_left_y=1174&top_left_x=1416) + +Na figura, esses três ângulos iguais estão representados pela letra $\alpha$. Os ângulos internos de $\triangle A B C$ são $\alpha+39^{\circ}, \alpha$ e $\alpha$. Logo, $\alpha+39^{\circ}+\alpha+\alpha=180^{\circ}$, ou seja, $3 \alpha=180^{\circ}-39^{\circ}=$ $141^{\circ}$. Assim, $B \widehat{A} D=\alpha=47^{\circ}$. + +LEMBRETE 1: Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais: + +$\widehat{B}=\widehat{C} \quad$ e $A B=A C$. +LEMBRETE 2: A soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$ : + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-098.jpg?height=187&width=246&top_left_y=1734&top_left_x=1616) +$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$. + +216. O caminho da formiga - A resposta correta é (c). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-098.jpg?height=346&width=699&top_left_y=2277&top_left_x=764) + +217. Menino mentiroso - Claramente, Pedrinho encontrou Joãozinho num dia em que ele mente. O sábado está descartado pois, caso contrário, ele estaria falando a verdade. Assim, o encontro entre eles foi numa terça ou quinta-feira. Não pode ter sido numa terça-feira, porque então o dia seguinte não poderia ser uma quarta. Logo, a única possibilidade para o dia do encontro dos dois é quinta-feira. +218. Encontre os quatro números - Como os números 1, 2, 3 e 6 satisfazem a propriedade, é fácil verificar que, dado qualquer número inteiro $n$, os múltiplos $n, 2 n, 3 n$ e $6 n$ de $n$ também satisfazem a propriedade. Como estamos procurando números de três algarismos e $999 \div 6=166,5$, basta considerar qualquer valor de $n$ entre 100 e 166 para obter quatro números de três algarismos com a propriedade notável. + +## 219. Colando seis triângulos + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-099.jpg?height=160&width=262&top_left_y=1042&top_left_x=1231) + +I + +O perímetro da figura é formada por treze segmentos, na sequência de formação dos triângulos, que podem ser descritos como segue. + +- 2 segmentos de $1 \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{2}$ cm no triângulo I, +- 1 segmento de $\frac{1}{2} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{4}$ cm no triângulo II, +- 1 segmento de $\frac{1}{4} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{8}$ cm no triângulo III, +- 1 segmento de $\frac{1}{8} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{16}$ cm no triângulo IV, +- 1 segmento de $\frac{1}{16} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{32}$ cm no triângulo V e +- 2 segmentos de $\frac{1}{32}$ cm no triângulo VI. + +Solução 1: Contando os comprimentos de segmentos, podemos ver que o perímetro mede + +$$ +\begin{aligned} +2 \times 1 & +2 \times \frac{1}{2}+2 \times \frac{1}{4}+2 \times \frac{1}{8}+2 \times \frac{1}{16}+3 \times \frac{1}{32} \\ +& =2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{3}{32}=3+\frac{16+8+4+3}{32} \\ +& =3+\frac{31}{32}=\frac{127}{32} \mathrm{~cm} +\end{aligned} +$$ + +Solução 2: O contorno da figura, começando no canto esquerdo e seguindo no sentido anti-horário, mede + +$$ +1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{32}+\frac{1}{32}+\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1 +$$ + +centímetros. A soma da PG de primeiro termo 1 , razão $\frac{1}{2}$ e último termo $\frac{1}{32}$ é dada por + +$$ +1-\frac{1}{64} / 1-\frac{1}{2}=2-\frac{1}{32} +$$ + +Logo, o perímetro da figura mede + +$$ +\left[2-\frac{1}{32}\right]+\frac{1}{32}+\left[2-\frac{1}{32}\right]=4-\frac{1}{32}=\frac{127}{32} \mathrm{~cm} +$$ + +Solução 3: Observe que cada vez que agregamos um triângulo de lado $a$, trocamos um segmento de comprimento $a$ do perímetro por dois segmentos de comprimento $a$, de modo que o perímetro aumenta em $a$. + +Como o primeiro triângulo tem perímetro de $3 \mathrm{~cm}$, agregando um triângulo de lado $\frac{1}{2} \mathrm{~cm}$, a nova figura tem um perímetro de $3+\frac{1}{2} \mathrm{~cm}$; se agregamos mais um triângulo de lado $\frac{1}{4} \mathrm{~cm}$, a nova figura tem perímetro $3+\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \mathrm{~cm}$. Seguindo esse processo, depois do sexto triângulo, a figura tem perímetro de + +$$ +3+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=3+1-\frac{1}{32}=\frac{127}{32} \mathrm{~cm} +$$ + +onde usamos a soma da PG de primeiro termo $\frac{1}{2}$, razão $\frac{1}{2}$ e último termo $\frac{1}{32}$, dada por + +$$ +\frac{1}{2}-\frac{1}{64} / 1-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{32} +$$ + +220. Os livros da Elisa - Seja $N$ o número total de livros da Elisa. Como $N+1$ é um múltiplo de 9 e 4 , temos que $N+1$ é um múltiplo de 36 . Logo, $N+1$ é 36 ou 72 , pois Elisa tem menos do que 100 livros. Se $N=35$, então o número de livros de matemática é $36 \div 9-1=3$ e o número de livros de literatura é $36 \div 4=9$. Mas, então, Elisa teria $24+3+9=36$ livros, o que é impossível, porque 36 é maior do que 35 . Assim, $N=71$ e Elisa tem $72 \div 9-1=7$ livros de matemática. +221. Substituindo pela soma - Sabemos que qualquer número e a soma de seus algarismos sempre deixam o mesmo resto quando divididos por 9. Assim, Márcio substitui o número inicial por outro, muito menor, com o mesmo resto na divisão por 9 , e continua assim, até chegar num número de um único algarismo que, evidentemente, é igual ao resto da divisão de todos os números obtidos anteriormente - inclusive do primeiro por 9. Assim, o que Márcio faz é, tão somente, um processo de um passo apenas, que consiste na substituição de números naturais por seus restos na divisão por 9. +(a) Como $3^{2009}=3^{2008} \times 3=\left(3^{2}\right)^{1004} \times 3=9^{1004} \times 3$, o resto da divisão de $3^{2009}$ por 9 é 0 . Logo, o número final do processo de Márcio é 9 . + +(b) Observe que $17^{2}=(18-1)^{2}=18^{2}-2 \cdot 9+1=$ múltiplo de $9+1$. Logo, + +$$ +17^{2008}=\left(17^{2}\right)^{1004}=\text { múltiplo de } 9+1 +$$ + +e, portanto, $17^{2009}=$ múltiplo de $9+17=$ múltiplo de $9+8$. Logo, o número final do processo de Márcio é 8. + +(c) Aplicando o processo aos números da lista dos números naturais 1, 2, 3, 4, 5, 6, $7,8,9,10,11,12, \ldots$, a lista final sempre é $1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3, \ldots$ Como o resto da divisão do número 20092009 por 9 é 4, então o último número da lista final é 4 e os seis últimos algarismos da lista final são ..., $8,9,1,2,3,4$. Portanto, essa lista tem os quatro algarismos 1, 2, 3 e 4 uma vez a mais do que os algarismos 5, 6, 7, 8 e 9. Em particular, há mais 4 do que 5 na lista. O número de vezes que aparece o 9 na lista é o número de múltiplos de 9 que são menores do que ou iguais a 20092009 . Como 20092005 é o maior múltiplo de 9 que é menor do que 20092009 , temos que o algarismo 9 aparece $20092005 \div 9=2232445$ vezes na lista. + +## 222. Uma brincadeira na sala de aula + +(a) O número 1 só pode ser obtido por divisão a partir do 2 , com $1=2 \div 2$ e o 2 só pode ser obtido por divisão a partir do 4 , com $2=4 \div 2$, mas o 4 pode ser obtido por soma a partir do 1 , com $4=1+3$ ou por divisão a partir do 4 , com $4=8 \div 2$. Logo, temos duas maneiras de obter o 1 depois de três operações, a partir de 1 e de $8:\left\{\begin{array}{l}1 \leadsto 4 \leadsto 2 \leadsto 1 \\ 8 \leadsto 4 \leadsto 2 \leadsto 1\end{array}\right.$. + +(b) Com uma operação a mais, vemos que o número 8 pode ser obtido a partir do 5 por soma, com $8=5+3$, ou do 16 por divisão, com $8=16 \div 2$. Logo, temos três maneiras de obter o 1 depois de quatro operações, a partir de 2,5 e 16 : + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-101.jpg?height=191&width=659&top_left_y=1818&top_left_x=390) + +(c) De maneira análoga, vemos que podemos obter o 1 depois de cinco operações, com + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-101.jpg?height=272&width=1448&top_left_y=2057&top_left_x=384) + +223. Calcule a idade - No próximo ano, Laura e sua avó estarão dois anos mais velhas do que no ano passado. Logo, suas idades no ano passado são múltiplos de 8 que, somados com 2, dão múltiplos de 7 . Procuremos esses números. + +$$ +\begin{array}{rllllllllllll} +\text { múltiplos de } 7: & 7 & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 & 56 & 63 & \ldots & 98 & \ldots \\ +\text { (múltiplos de } 7 \text { ) }-2: & 5 & 12 & 19 & 26 & 33 & 40 & 47 & 54 & 61 & \ldots & 96 & \ldots +\end{array} +$$ + +Note que 40 e 96 são os únicos múltiplos de 8 menores do que 100 que aparecem na segunda linha. Como Vovó Ana tem menos do que 100 anos, podemos concluir que ano passado ela tinha 96 anos e Laura 40. Logo, a idade atual de Laura é 41 anos. + +## 224. Divisões e restos + +Solução 1: O dobro do número procurado é um múltiplo de 5 acrescido de 1. Como os múltiplos de 5 terminam em 0 ou 5 , o dobro termina em 1 ou 6 . Mas o dobro é um número par, logo termina em 6 . Assim, o número termina em 3 ou 8 e, portanto, dividido por 5 , deixa resto 3 . + +Solução 2: Sabemos que o número inteiro $n$ procurado satisfaz $2 n=5 m+1$, para algum inteiro $m$. Então o produto $5 m=2 n-1$ de 5 por $m$ é ímpar, o que implica que $m$ é ímpar. Assim, $m=2 k+1$, para algum inteiro $k$ e, portanto, + +$$ +2 n=5 m+1=5(2 k+1)+1=10 k+6=2(5 k+3) +$$ + +ou seja, $n=5 k+3$ deixa resto 3 na divisão por 5 . + +225. Preenchendo o círculo - Sabemos que $\square=423 \div 47=9$. Por outro lado, temos que + +$$ +1448=\underbrace{282 \times \boxminus}_{\text {múltiplo de } 282}+\underbrace{\boxminus \boxtimes}_{\text {número de } 2 \text { algarismos }} +$$ + +Como 282 tem três algarismos, concluímos que $\square \boxtimes$ só pode ser o resto da divisão de 1448 por 282. Efetuando essa divisão, obtemos $1448=282 \times 5+38$. Logo, $\square=3$ e $\boxtimes=8$. Obtemos, também, que $\boxminus=5$. Finalmente, obtemos + +$$ +423 \times \frac{\boxplus}{3}=282 \text {, ou seja, } 141 \times \boxplus=282 \text {, portanto, } \boxplus=2 +$$ + +A sequência completa é a seguinte. + +$$ +\text { (47) } \xrightarrow{\times 9} \xrightarrow{\times 2 / 3} \xrightarrow{\times 5} \xrightarrow{+348} \xrightarrow{ } +$$ +