problem: Zwei Kreise $\Gamma$ und $\Gamma^{\prime}$ mögen sich in den beiden voneinander verschiedenen Punkten $A$ und $B$ schneiden. Eine Gerade durch $B$ schneide $\Gamma$ und $\Gamma^{\prime}$ so in $C$ bzw. $D$, dass $B$ zwischen $C$ und $D$ liege. Eine weitere Gerade durch $B$ schneide $\Gamma$ und $\Gamma^{\prime}$ derart in $E$ bzw. $F$, dass $E$ zwischen $B$ und $F$ liege. Es möge sich ergeben, dass $|C D|=|E F|$ gilt. Das Innere der Strecke $C F$ treffe $\Gamma$ und $\Gamma^{\prime}$ ind $P$ bzw. $Q$. Weiterhin seien $M$ und $N$ die Mittelpunkte der $C$ bzw. $F$ nicht enthaltenden Bögen $P B$ bzw. $B Q$ von $\Gamma$ und $\Gamma^{\prime}$. Man beweise, dass $C N M F$ ein Sehnenviereck ist.

solution:
(1) Die Dreiecke $A C D$ und $A E F$ gleichsinnig kongruent: Wir arbeiten mit orientierten Winkeln modulo $\pi$. Es ist $\varangle A D C=\varangle A D B=\varangle A F B=\varangle A F E$ und $\varangle D C A=\varangle B C A=\varangle B E A=\varangle F E A$ (für das mittlere Gleichheitszeichen wurde beide Male der Satz vom Umfangswinkel benutzt). Da außerdem nach Voraussetzung $|C D|=|E F|$ gilt, folgt die Behauptung mit dem Kongruenzsatz wsw.
(2) $A$ liegt auf derselben Seite der Geraden $C D$ wie $F$ : Der Überlappungsbereich der beiden Kreise enthält die Strecke $B E$ und trifft die Gerade $C D$ nur im Punkt $B$.
(3) Die Dreiecke $C D Q$ und EFP sind gleichsinnig kongruent: Wie bei (1), $\varangle Q D C=\varangle Q D B=\varangle Q F B=$ $\varangle P F B$ usw.
(4) Es gibt eine Drehung um $A$, die die Punkte $C, D, Q$ in die Punkte $E, F, P$ überführt: folgt aus (1) und (3).
(5) $A$ liegt auf derselben Seite der Geraden $B F$ wie $C$ : Aus (2) folgt, dass $A$ und $Q$ auf derselben Seite der Geraden $C D$ liegen, und zusammen mit (4) ergibt sich, dass $A$ und $P$ auf derselben Seite der Geraden $E F=B F$ liegen, also auch $A$ und $C$.
(6) $B A$ ist die Winkelhalbierende des Innenwinkels des Dreiecks $B F C$ bei $B$ : Wegen (1) sind die Abstände von $A$ zu den verlängerten Seiten gleich, und wegen (2) und (5) handelt es sich um eine innere Winkelhalbierende.
(7) $C M$ ist die Winkelhalbierende des Innenwinkels des Dreiecks $B F C$ bei $C$ : Das folgt aus dem Umfangswinkelsatz.
(8) Analog ist $F N$ ist die Winkelhalbierende des Innenwinkels des Dreiecks $B F C$ bei $F$. Es sei $I$ der Inkreismittelpunkt des Dreiecks BFC.
(9) $M$ liegt auf dem $C$ nicht enthaltenden Kreisbogen $B A$ von $\Gamma$ : Aus (2) und (5) folgt, dass die Punkte auf $\Gamma$ die zyklische Reihenfolge $B, E, A, C$ bzw. $B, P, C$ (gleich orientiert) haben. Die orientierten Bögen $E A$ und $A C$ sind nach (4) gleich groß, also ist $\frac{1}{2} B C<B A$ und damit $B M=\frac{1}{2} B P<\frac{1}{2} B C<B A$.
(10) $N$ liegt auf dem $F$ nicht enthaltenden Kreisbogen $A B$ von $\Gamma^{\prime}$ : analog zu (9).
(11) $I$ ist ein innerer Punkt von $C M$ und $F N$ : $I$ liegt auf der Geraden $A B$, damit folgt die Behauptung aus (9) bzw. (10).
(12) $I$ ist ein innerer Punkt von $B A$ : folgt aus (9) oder (10).
(13) Es gilt $|C I| \cdot|I M|=|F I| \cdot|I N|$ : Nach dem Sehnensatz in $\Gamma$ ist $|C I| \cdot|I M|=|B I| \cdot|I A|$, nach dem Sehnensatz in $\Gamma^{\prime}$ ist $|B I| \cdot|I A|=|F I| \cdot|I N|$.
(14) Nach der Umkehrung des Sehnensatzes folgt mit (11) und (13), dass CNMF ein Sehnenviereck ist.

Bemerkungen: Die Teilergebnisse (1) oder (3) wurden mit 3 Punkten, (7) oder (8) mit 1 Punkt honoriert.

problem_match: Aufgabe 1

solution_match: Lösung:


problem: Es sei $n$ eine positive ganze Zahl und $b$ die größte ganze Zahl, die kleiner als $(\sqrt[3]{28}-3)^{-n}$ ist. Man beweise, dass $b$ nicht durch 6 teilbar sein kann.

solution:
Die komplexe Zahl $\omega=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}$ ist bekanntlich eine dritte Einheitswurzel und erfüllt $\omega^{2}=\frac{-1-\sqrt{3} i}{2}$, $\omega^{3}=1$ und $\omega^{2}+\omega+1=0$, insbesondere gilt

$$
1+\omega^{j}+\omega^{2 j}= \begin{cases}3, & \text { falls } j \text { durch drei teilbar ist } \\ 0 & \text { sonst. }\end{cases}
$$

Setze $r_{k}=\sqrt[3]{28} \omega^{k}-3$ für $k=0,1,2$. Nach Definition von $b$ ist $\left|r_{0}^{-n}-b\right|<1$; da die Realteile von $\omega$ und $\omega^{2}$ negativ sind, gilt $\left|r_{1}\right|>1$ und $\left|r_{2}\right|>1$. Damit ist

$$
\left|b-\left(r_{0}^{-n}+r_{1}^{-n}+r_{2}^{-n}\right)\right|<\left|b-r_{0}^{-n}\right|+\left|r_{1}^{-n}\right|+\left|r_{2}^{-n}\right|<3 .
$$

Wegen $\left(\sqrt[3]{28} \omega^{k}\right)^{3}=28$ ist

$$
r_{k}^{-1}=\frac{1}{\sqrt[3]{28} \omega^{k}-3}=\frac{\left(\sqrt[3]{28} \omega^{k}\right)^{3}-3^{3}}{\sqrt[3]{28} \omega^{k}-3}=\sqrt[3]{28}^{2} \omega^{2 k}+3 \sqrt[3]{28} \omega^{k}+9
$$

Erhebt man das Polynom $X^{2}+3 X+9$ in seine $n$-te Potenz, gibt es ganze Zahlen $c_{0}, \ldots, c_{2 n}$ mit $\left(X^{2}+3 X+\right.$ $9)^{n}=c_{2 n} X^{2 n}+c_{2 n-1} X^{2 n-1}+\ldots+c_{0}$, hierbei ist $c_{0}=9^{n}$ ungerade. Durch Einsetzen $X=\sqrt[3]{28} \omega^{k}$ folgt $r_{k}^{-n}=\sum_{j=0}^{2 n} c_{j} \sqrt[3]{28}^{j} \omega^{k j}$; daraus ergibt sich mit (1):

$$
r_{0}^{-n}+r_{1}^{-n}+r_{2}^{-n}=\sum_{j=0}^{2 n} c_{j} \sqrt[3]{28}^{j}\left(1+\omega^{j}+\omega^{2 j}\right)=3 \sum_{0 \leq \ell \leq 2 n / 3} c_{3 \ell} 28^{\ell}
$$

Die Summe ist offenbar ein Vielfaches von 3 und außerdem ungerade, da der Summand $c_{3 \ell} 28^{\ell}$ für $\ell=0$ ungerade, für $\ell>0$ gerade ist. Wäre $b$ durch 6 teilbar, wäre der Betrag $\left|b-\left(r_{0}^{-n}+r_{1}^{-n}+r_{2}^{-n}\right)\right|$ mindestens 3 im Widerspruch zu (2).
Bemerkungen: 1. Manche Teilnehmer versuchten, den Wert von $(\sqrt[3]{28}-3)^{-1}$ und damit von $b$ numerisch abzuschätzen. Das ist ein Irrweg, weil für alle reellen Zahlen $m, M$ mit $1<m<(\sqrt[3]{28}-3)^{-1}<M$ eine positive ganze Zahl $n$ existiert mit $M^{n}-m^{n}>6$.
2. Manche dachten, zu $\sqrt[3]{28}-3$ sei $-\sqrt[3]{28}-3$ „konjugierte Zahl". Das funktioniert so nur bei Quadratwurzeln, hier benötigt man $\omega \sqrt[3]{28}-3$ und $\omega^{2} \sqrt[3]{28}-3$.
3. Die Summen $s_{n}=r_{0}^{-n}+r_{1}^{-n}+r_{2}^{-n}$ genügen der linearen Rekursion $s_{t+3}=27 s_{t+2}+9 s_{t+1}+s_{t}$ für alle $t$, da aus $28=\left(r_{k}+3\right)^{3}$, also $1=27 r_{k}+9 r_{k}^{2}+r_{k}^{3}$ und $r_{k}^{-t-3}=27 r_{k}^{-t-2}+9 r_{k}^{-t-1}+r_{k}^{-t}$ die Rekursion durch Summation über $k=0,1,2$ folgt.

problem_match: # Aufgabe 2


problem:
Es bezeichne $\mathbb{Q}^{+}$die Menge der positiven rationalen Zahlen. Eine Funktion $f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+}$heiße elastisch, wenn für alle $x, y \in \mathbb{Q}^{+}$die Ungleichung

$$
f(x)+f(y) \geq 4 f(x+y)
$$

gilt.
(a) [5 Punkte] Man zeige: Ist $f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+}$elastisch und sind $x, y, z$ positive rationale Zahlen, so ist $f(x)+$ $f(y)+f(z) \geq 8 f(x+y+z)$.
(b) [5 Punkte] Gibt es eine elastische Funktion $f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+}$zusammen mit positiven rationalen Zahlen $x, y, z$, für die $f(x)+f(y)+f(z)<9 f(x+y+z)$ der Fall ist?

solution:
(a) Es gilt

$$
4 f(x)+f(y)+f(z) \stackrel{(*)}{\geq} 4(f(x)+f(y+z)) \stackrel{(*)}{\geq} 16 f(x+y+z) .
$$

Addiert man dazu die zyklisch vertauschten Versionen $f(x)+4 f(y)+f(z) \geq \ldots$ und $f(x)+f(y)+4 f(z) \geq \ldots$, erhält man $6(f(x)+f(y)+f(z)) \geq 48 f(x+y+z)$ und nach Division durch 6 die Behauptung.
(b) Ja, es gibt solche $f, x, y, z$. Betrachte die stückweise affin-lineare Funktion $f$ mit den Knickpunkten $\left(2^{k}, 2^{-k}\right)$ für $k \in \mathbb{Z}$, explizit: Für jedes $k \in \mathbb{Z}$ sei $f$ auf dem Intervall $\left[2^{k}, 2^{k+1}[\right.$ definiert durch

$$
f(x)=-\frac{x}{2^{2 k+1}}+\frac{3}{2^{k+1}} \quad \text { für } 2^{k} \leq x<2^{k+1} .
$$

Damit ist $f$ für alle $x \in \mathbb{Q}^{+}$definiert. Für alle $x$ gilt $f(2 x)=\frac{1}{2} f(x)$, damit wird (*) äquivalent zur Konvexitätsungleichung $\frac{1}{2}(f(x)+f(y)) \geq f\left(\frac{x+y}{2}\right)$. Die Funktion $f$ ist konvex, also auch elastisch. Mit $x=y=z=1$ gilt

$$
f(x)+f(y)+f(z)=3<9 \cdot \frac{3}{8}=9 f(x+y+z) .
$$

Bemerkung: Entgegen einer häufig geäußerten Behauptung sind elastische Funktionen nicht notwendigerweise monoton, Beispiel:

$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x^{2}} ; & x \neq 1 \\ 2 ; & x=1\end{cases}
$$

problem_match: # Aufgabe 3