# Lista 8 

1. Fração de fração - Qual o valor de $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}$ ?
2. Potências de 3 - Se $3^{n}=2$ então quanto vale $27^{2 n}$ ?
3. Aumento de preço - Se o preço de um produto subiu de $R \$ 5,00$ para $R \$ 5,55$, qual foi a taxa percentual de aumento?
4. Roseiras em fila - Jorge ganhou 15 roseiras para seu jardim, com a condição de plantá-las em 6 filas de 5 roseiras cada uma. Isso é possível? Em caso afirmativo faça um desenho indicando para Jorge como plantar as roseiras.
5. Calculadora diferente - Uma fábrica produziu uma calculadora original que efetua duas operações:

- a adição usual +
- a operação $\circledast$

Sabemos que para todo número natural $a$ tem-se:

$$
\text { (i) } a \circledast a=a \quad \text { e (ii) } a \circledast 0=2 a
$$

e, para quaisquer quatro naturais $a, b, c$ e $d$

$$
\text { (iii) }(a \circledast b)+(c \circledast d)=(a+c) \circledast(b+d) \text {. }
$$

Quais são os resultados das operações $(2+3) \circledast(0+3)$ e $1024 \circledast 48$ ?

6. Dois quadrados - Na figura ao lado, a área do quadrado maior é $10 \mathrm{~cm}^{2}$ e do menor é $4 \mathrm{~cm}^{2}$. As diagonais do quadrado maior contém as diagonais do quadrado menor. Quanto mede a área da região tracejada?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_99964c9a90a7dfca8690g-2.jpg?height=380&width=374&top_left_y=484&top_left_x=1406)

7. Paralelismo- Sendo $I L$ paralela à $E U$ e $R E$ paralela à $N I$, determine $\frac{F N \times F U}{F R \times F L}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_99964c9a90a7dfca8690g-2.jpg?height=219&width=454&top_left_y=1164&top_left_x=915)

8. Um subconjunto - O conjunto $\{1,2,3, \ldots, 3000\}$ contém um subconjunto de 2000 elementos tal que nenhum elemento é o dobro do outro?
9. Triângulos retângulos - Dada a figura com as marcas, determine $v, w, x, y$ e $z$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_99964c9a90a7dfca8690g-2.jpg?height=282&width=446&top_left_y=1895&top_left_x=1339)

10. Uma desigualdade especial- Quais valores de $x$ satisfazem $x^{2}<|x|+2$ ?
(a) $x<-1$ ou $x>1$
(b) $x>1$
(c) $-2<x<2$
(d) $x<-2$
(e) $x<0$

## Soluções da Lista 8

1. Fração de fração - Temos:

$$
1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{3}{2}}}=1+\frac{1}{1+\frac{2}{3}}=1+\frac{1}{\frac{5}{3}}=1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}
$$

2. Potências de 3 - Temos: $27^{2 n}=\left(3^{3}\right)^{2 n}=3^{6 n}=\left(3^{n}\right)^{6}=2^{6}=64$.
3. Aumento de preço - O aumento em reais foi $5,55-5=0,55$; então o percentual de aumento foi

$$
\frac{0,55}{5}=\frac{0,55 \times 20}{5 \times 20}=\frac{11}{100}=11 \%
$$

4. Roseiras em fila - É possível plantar as roseiras em 6 filas de 5 roseiras cada uma, conforme mostra o desenho a seguir .

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_99964c9a90a7dfca8690g-3.jpg?height=585&width=776&top_left_y=1712&top_left_x=340)

5. Calculadora diferente - Para calcular $(2+3) \circledast(0+3)$ utilizaremos a propriedade (iii), e temos:

$$
(2+3) \circledast(0+3)=(2 \circledast 0)+(3 \circledast 3)
$$

Agora, por (i) temos $2 \circledast 0=2 \times 2=4$, e por (ii) temos $3 \circledast 3=3$. Portanto,

$$
(2+3) \circledast(0+3)=4+3=7
$$

Agora, para calcular $1024 \circledast 48$ vamos usar a mesma estratégia que acima. Para isso, note que $1024=976+48$ e $48=0+48$.

$$
\begin{aligned}
1024 \circledast 48 & =(976+48) \circledast(0+48) \\
& =(976 \circledast 0)+(48 \circledast 48) \\
& =2 \times 976+48 \\
& =1952+48=2000
\end{aligned}
$$

6. Dois quadrados - Observemos que a área do quadrado maior menos a área do quadrado menor é igual a 4 vezes a área procurada. Logo a área tracejada é

$$
\frac{10^{2}-4^{2}}{4}=\frac{100-16}{4}=25-4=21
$$

7. Paralelismo- Dado que $I L$ e $E U$ são paralelas então $\frac{F U}{F L}=\frac{F E}{F I}$. Analogamente, como $R E$ é paralela a $N I$ temos que $\frac{F N}{F R}=\frac{F I}{F E}$. Logo,

$$
\frac{F N \times F U}{F R \times F L}=\frac{F E}{F I} \times \frac{F I}{F E}=1
$$

8. Um subconjunto - Vamos construir o subconjunto pedido da seguinte forma:

- ele contém todos os números ímpares: $1,3,5, \ldots, 2999$. Aqui já temos uma lista com 1500 números.
- o conjunto não pode conter os números que são da forma $2 \times$ (número ímpar),
- o conjunto pode conter os números que são da forma $4 \times$ (número ímpar), isto é,

$$
\underbrace{4 \times 1}_{4}, \underbrace{4 \times 3}_{12}, \underbrace{4 \times 5}_{20}, \ldots, \underbrace{4 \times 749}_{2996}
$$

essa lista tem 749 números e nenhum é o dôbro do outro. Além disso, nenhum deles é o dôbro de um número ímpar.

Logo, o nosso conjunto já possui $1500+749=2249$ elemento; assim qualquer subconjunto dele com 2000 elementos satisfaz as condições pedidas.

9. Triângulos retângulos - Observemos que os quatro triângulos que aparecem na figura são triângulos retângulos semelhantes, e portanto seus lados são proporcionais. Em particular

$$
\frac{v}{8}=\frac{9}{x}=\frac{y}{20}
$$

Além disso, pelo teorema de Pitágoras temos que $y^{2}=x^{2}+9^{2}$ e portanto

$$
\frac{81}{x^{2}}=\frac{y^{2}}{400}=\frac{x^{2}+81}{400}
$$

$\operatorname{assim} x^{4}+81 x^{2}-81 \times 400=0$ e

$$
x=\sqrt{\frac{81+\sqrt{81^{2}+4 \times 81 \times 400}}{2}}=3 \sqrt{\frac{9+\sqrt{81+1600}}{2}}=3 \sqrt{\frac{9+41}{2}}=15
$$

donde $y=\sqrt{15^{2}+9^{2}}=3 \sqrt{34}, z=\sqrt{20^{2}-x^{2}}=5 \sqrt{7}, v=8 \frac{9}{15}=\frac{24}{5} \mathrm{e}$ finalmente $w=\sqrt{8^{2}+v^{2}}=\frac{8}{5} \sqrt{34}$.

10. Uma desigualdade especial- Observemos que se um número $a$ satisfaz a desigualdade, então $-a$ também satisfaz a desigualdade, logo os valores que satisfazem a desigualdade formam um conjunto simétrico, portanto basta considerar o caso em que $x$ é positivo. Mas, $(2-x)(1+x)=x+3-x^{2}>0$ é positivo se $2-x$ é positivo, portanto $x<2$. Como a solução é simétrica temos que $-2<x<2$ é a solução da equação inicial. A opção correta é (c).