# II РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА <br> ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ 

Задачите и решенијата се скенирани од книгата

Регионални натпревари по математика 83-95

Подготвена од Боривое Миладиновиќ

## V одделение

1. Дадена е кружница $\mathrm{k}(0 ; 24 \mathrm{~mm})$. Точката $\mathrm{M}$ е оддалечена од центарот $\mathrm{O}$ за $40 \mathrm{~mm}$. Определи го најголемото и најмалото растојание од точката $\mathrm{M}$ до кружницата. Направи цртеж.
2. Дадени се множествата $\mathrm{E}=\{1,2,3\}, \mathrm{F}=\{4,5,6\}$ и $\mathrm{G}=\{7,8\}$. Утврди дали се вистинити следниве искази:
a) $\mathrm{Gx}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=(\mathrm{GxE}) \cap(\mathrm{GxF})$;
б) $G x(E \backslash F)=(G x E) \backslash(G x F)$.
3. Збирот на шест последователни природни броеви е 1287. Кои се тие броеви?

Колку ламарина е потребно да се направи олук во форма на квадар чии димензии се $12 \mathrm{~cm}, 2 \mathrm{dm}$ и $3 \mathrm{dm}$ ?

$\mathrm{V}$ одделемие

1. Најблиската и најодалечената точка на кружницата од точката $M$ се точките $A$ и $B$, во кон правата MO ја сече хружницата. $\overline{\mathrm{MA}}=\overline{\mathrm{MO}}-\overline{\mathrm{AO}} ; \overline{\mathrm{MA}}=40-24=16 \mathrm{~mm}$ $\overline{\mathrm{MB}}=\overline{\mathrm{MO}}+\overline{\mathrm{OB}}=40+24=64 \mathrm{~mm}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f3b024feb1133effebecg-1.jpg?height=197&width=298&top_left_y=1305&top_left_x=1127)

2. Дадени се множестата: $\mathrm{E}=\{1,2,3\}, \mathrm{F}=\{4,5,6\}$ и $\mathrm{G}=\{7,8\}$.

a) $\mathrm{E} \cap \mathrm{F}=\varnothing ; \mathrm{Gx}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\{7,8\} \mathrm{x} \varnothing=\varnothing$;

GxE $=\{7,8\} \times\{1,2,3\}=\{(7,1) ;(7,2) ;(7,3) ;(8,1) ;(8,2) ;(8,3)\}$

$G x F=\{7,8\} \times\{4,5,6\}=\{(7,4) ;(7,5) ;(7,6) ;(8,4) ;(8,5) ;(8,6)\}$

(GxE)(GxF) $\approx$.

б) $\mathrm{EFF}=\{1,2,3\} \backslash\{4,5,6\}=\{1,2,3\}$

$G x(E F)=\{7,8\} \times\{1,2,3\}=\{(7,1) ;(7,2) ;(7,3) ;(8,1) ;(8,2) ;(8,3)\}$

(GxE) (GxF) $=\{(7,1),(7,2),(7,3),(8,1),(8,2),(8,3)\}$.

Според тоа двете равенства се точни.
3. $x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)=1287$; $6 x+15=1287$; $6 x=1287-15=1272$; $x=1272: 6=212$.

Тие броеви се: 212, 213, 214, 215, 216, 217.

4. Бараната ламарина претставува обвнвката на олук во форма на квадар. Плоштината $\mathrm{M}=2(\mathrm{ac}+\mathrm{bc}$ ). Бидејкй $\mathrm{a}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{~b}=20 \mathrm{~cm}, \mathrm{c}=300 \mathrm{~cm}$, имаме:

$M=2(12 \cdot 300+20 \cdot 300)=19200 \mathrm{~cm}^{2}=192 \mathrm{dm}^{2}$.

## VI одделение

1. Еден автомобил за 3 часа поминал $320 \mathrm{~km}$. Првиот час поминал 0,325 од овој пат, а вториот час 0,75 од преостанатиот дел од патот. Колкав пат поминал автомобилот третиот час?
2. Две отсечки со заедничка внатрешна точка се поделени така што поголемиот дел на првата отсечка два пати е поголем од поголемиот дел на втората отсечка, а помалиот дел на другата отсечка три пати е поголем од помалиот дел на првата отсечка. Првата отсечка е за $3 \mathrm{~cm}$ подолга од втората. Колку се долги тие две отсечки ако помалиот дел од првата отсечка за $2 \mathrm{~cm}$ е покус од помалиот дел на втората отсечка ?
3. Сашко, Јован и Биљана заработиле заедно 4000 денари. Заработувачките на Сашко и Јован се однесуваат како $7 \frac{1}{2}: 1 \frac{3}{4}$. Биљана заработила $\frac{13}{30}$ од Сашковата заработувачка. Колку заработил секој од нив ?
4. Над кракот на рамнокрак триаголник конструиран е рамностран триаголник. Периметарот на така добиената фигура е $26 \mathrm{~cm}$. Одреди ги страните на тие триаголници, ако кракот на рамнокракиот триаголник е за $2 \mathrm{~cm}$ подолг од неговата основа.

## VI одделенне

1. Првиот час аптомобилот помннал $320 \cdot 0,325=104 \mathrm{~km}$, вториот (320-320-0,325) $0.75=$ $=162 \mathrm{~km}$, а третиот час $320-(104+162)=54 \mathrm{~km}$.
2. Од условот на задачата имаме: $\overline{\mathrm{AM}}=2 \overline{\mathrm{CM}} ; \overline{\mathrm{DM}}-\overline{\mathrm{BM}}=2 \mathrm{~cm}$;

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f3b024feb1133effebecg-3.jpg?height=305&width=697&top_left_y=482&top_left_x=248)

3. Ако $C$, J и $Б$ се првите буквн на ниныта иа Сашко, Јован и Биљана, тогаші инвните заработувачки се: $\mathrm{C}: \mathrm{J}=7 \frac{1}{2}=1 \frac{3}{4}$. Со користене кв својствата на пропоришја, истата ја заменуваме со:C: $7 \frac{1}{2}=\mathrm{J}: 1 \frac{3}{4}=\mathrm{k} ; \mathrm{C}: 7 \frac{1}{2}=\mathrm{k}$ т.е. $\mathrm{C}=\frac{15}{2} \mathrm{k} ; \mathrm{J}: 1-\frac{3}{4}=\mathrm{k}$ т.е. $\mathrm{J}=\frac{7}{4} \mathrm{k}$. Биљаиа ќе заработи $\frac{13}{30}$ од заработувачката на Сашко т.е. $\mathrm{B}=\frac{13}{30} \cdot \frac{15}{2} \mathrm{k}=\frac{13}{4} \mathrm{k}$. Бидејки тие вкупно заработкле 4000 денари, тогани $\frac{15}{2} k+\frac{7}{4} k+\frac{13}{4} k=4000$, од каде добиваме $\frac{50}{4} \mathrm{k}=4000 ; \mathrm{k}=320$. Сашко заработил $\frac{15}{2} \cdot 320=2400$ денарн. Јован эаработил $\frac{7}{4} \cdot 320=560$ денари . Бизака зарао́отила $\frac{13}{4} \cdot 320=1040$ денари.
4. Бараната фитура е четирнвголникот $\mathrm{ABMC}$ чин перуметар e: $\mathrm{L}=\mathrm{a}+3 \mathrm{~b}=26$. Бидејки b-a+2, тогат: $\mathrm{a}+\mathbf{3}(\mathrm{a}+2 \mathrm{z}=26$; a+ $3 a+6=26$; $4 \mathrm{a}=20$;

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f3b024feb1133effebecg-3.jpg?height=341&width=445&top_left_y=1327&top_left_x=955)
$\mathrm{a}=5 \mathrm{~cm}$ и $\mathrm{b}=7 \mathrm{~cm}$.

## VII одделение

1. Една пумпа за вода дава $72 \mathrm{~m}^{3}$ вода за 4 часа и 12 минути. За колку време ќe даде $2140 \mathrm{~m}^{3}$ вода?
2. Дадени се полиномите: $\mathrm{A}=2 \mathrm{x}^{2}-3 \mathrm{x}+4 ; \mathrm{B}=\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}-3 ; \mathrm{c}=3 \mathrm{x}^{2}-8 \mathrm{x}+5$. Одреди ја вредноста на $\mathrm{x}$ ако $2 \mathrm{~A}-\mathrm{B}-\mathrm{C}=0$.
3. Да се конструира трапез ако збирот од основите $\mathrm{a}+\mathrm{b}=12$, висината $\mathrm{h}=5 \mathrm{~cm}$ и аглите на поголемата основа се $\alpha=75^{\circ}$ и $\beta=45^{\circ}$.
4. Во рамнокрак триаголник основата е $\frac{4}{7}$ од кракот. Ако секоја од страните на триаголникот се зголеми за $\frac{1}{7}$ од кракот, периметарот на новодобиениот триаголник ќе биде $42 \mathrm{~cm}$. Одреди ги страните на тој триаголник.

## VII оилеление

1. I начин: Ако за $4 \frac{1}{5}$ часа пумпата дана $72 \mathrm{~m}^{3}$ нода, тогаш за 1 час ке даде $72: 4 \frac{1}{5}=17 \frac{1}{7} \mathrm{~m}^{3}$, а $2140 \mathrm{~m}^{3}$ вода ке даде за $2140: 17 \frac{1}{7}=124 \frac{5}{6}$ часа. т.е. за 124 часа и 50 минути.

II начии: Задачата може да се рении и со тримена на пропорција.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f3b024feb1133effebecg-4.jpg?height=94&width=428&top_left_y=2097&top_left_x=709)

$$
x: 4 \frac{1}{5}=2140: 72: \quad x=\frac{2140 \cdot 4 \frac{1}{5}}{72}=124 \text { часа и } 50 \text { мин. }
$$

2. Ако даддените полиноми ги замениме во условот. ќе добиеме:

$2\left(2 x^{2}-3 x+4\right)-\left(x^{2}-2 x-3\right)-\left(3 x^{2}-8 x+5\right)-0 \Leftrightarrow 4 x^{2}-6 x+8-x^{2}+2 x+3-3 x^{2}+8 x-5=0 \Leftrightarrow 4 x-6=0 \Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$.

## 3. 1 - pemerue:

Апилиз: Да претпоставиме дека задачата е решена т.е. дека трапезот ABCD в конструиран. На правите AB и DC ги определуваме точките $\mathrm{M}$ и N. така што $\overline{\mathrm{BM}}=\overline{\mathrm{CN}}$ - б. На тој начим е добиен трапезот ABCD. за кој е познато : $\overline{\mathrm{AM}}=\mathrm{a}+\mathrm{b} . \angle \mathrm{DAB}=75^{\circ} . \angle \mathrm{NMB}=450^{\circ} \overline{\mathrm{DD}_{1}}=\mathrm{h}$. т.е. трапезот може да се конструира. Темето C

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f3b024feb1133effebecg-5.jpg?height=294&width=529&top_left_y=550&top_left_x=954)
е на средина ка страната DN, а темето $B$ ке го добиеме како пресек на правата AM и правата повлечена низ темето $\mathrm{C}$ паралелна со правата $\mathrm{MN}$.

## Kометрукіпіра :

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f3b024feb1133effebecg-5.jpg?height=322&width=1078&top_left_y=956&top_left_x=326)

Во точките $\mathrm{A}$ и $\mathrm{M}$ на отсечката $\overline{\mathrm{AM}}=\mathrm{a}+\mathrm{b}$ пи конструнраме аглите $\alpha$ и $\beta$, а од пронзволна точка $D_{1}$ на $A M$ повлекуваме нормала на која ја нанесуваме виснната $h$. Од крајната точка на висината повлекуваме права паралелна $о$ AM која ги сече краците на аглите $\alpha$ и $\beta$ во тичките $\mathrm{D}$ и $\mathrm{N}$. На средината на $\mathrm{DN}$ е точката $\mathrm{C}$, низ која повлекуваме права паралелиа со кракот $M N$, што ја сече правата $A M$ во-точката $B$.

Докма: Е,ементите на трапезот одговараат на конетрукцијата.

II - permenne:

Аизлиз: Да претпоставиме дека задачата е решена, т.е. дека трапезот $\mathrm{ABCD}$ е конструиран. Средната линија на трапезот $\overline{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}$. Ннз средните точки $\mathrm{M}$ и $\mathrm{N}$ на краците на трапезот, конструнрани се аглите $\alpha$ и $\beta$. Краците на аглите ги сечат паралелните прави р и q, коп се на

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f3b024feb1133effebecg-5.jpg?height=286&width=500&top_left_y=1554&top_left_x=961)
растојание на дадената висниа. Пресечиите точхи се темиња на трапезот.

Конструкцијата изврши ја сам.

## 4. Нека а е основата, а в кракот на трнаголникот.

 кои го задоволуваат условот а $=\frac{4}{7}$ b. Ако а а и b, се страните на новнот трнаголник, шго се зголеми за $\frac{1}{7}$ од кракот $b$, тогаш $a_{1}=a+\frac{1}{7} b=\frac{4}{7} b+\frac{1}{7} b=\frac{5}{7} b$.$b_{1}=b+\frac{1}{7} b=\frac{8}{7} b$. Пернметарот на юовиот траголних e: $L=a_{1}+2 b_{1}=42 \mathrm{~cm}$;

$\frac{5}{7} b+2 \cdot \frac{8}{7} b=42$, од каде добиваме дека:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f3b024feb1133effebecg-6.jpg?height=426&width=375&top_left_y=263&top_left_x=1108)

## VIII одделение

1. Дадена е функцијата $y=(k-2) \cdot x+2 \cdot x-5$. Определи го параметарот $k$ така што:

a) графикот на функцијата да поминува низ точката $\mathrm{M}(3,4)$;

б) за најдената вредност на $\mathrm{k}$ одреди ја плоштината на триаголникот што го образуваат графикот на функцијата и координатните оски.

2. Бројот 1440 реаздели го на три дела така што тие се однесуваат како $2: 3: 4$.
3. Конструирај кзадрат што е еквивалентен на делтоид, чии дијагонали се долги $\mathrm{d}_{1}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{~d}_{2}=7 \mathrm{~cm}$.
4. Во правоаголен триаголник $\mathrm{ABC}(\mathrm{AC} \perp \mathrm{BC}$ ) со должина на страните $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ и с е впишана кружница со радиус $\mathrm{r}$. Докажи дека $\mathrm{r}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}}{2}$.

## VIII одиеление

1. а) Ако ти заменвме координатчте на точката $x=3$ и $y=4$ во дадената функшија, тoraw $4=(k-2) \cdot 3+2 \cdot 3-5 \Leftrightarrow 3 k=9 \Leftrightarrow k=3$.
6) За $k=3$ функцнјата е $y=3 x-5$, чиј график e претставен на цртежот. Бараниот трнаголник е правоаголен со катети $b=S$ и а за која $3 \mathrm{a}-5=0$, T.e. $\mathrm{a}=\frac{5}{3} \cdot P=\frac{1}{2} \mathrm{a} \cdot \mathrm{b}=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{5}{3}=\frac{25}{6}$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f3b024feb1133effebecg-8.jpg?height=338&width=339&top_left_y=403&top_left_x=1109)

2. Нека деловите a, b и с се со з6ир 1440, a a:b:c=2:3:4. Од дадената пропорияја имаме $\frac{a}{b}=\frac{b}{b}=\frac{c}{4}=k ; a=2 k ; b-3 k ; c=4 k .2 k+3 k+4 k=1440 \Leftrightarrow 9 k=1440 \Leftrightarrow k=160$. $\begin{array}{llll}2 & 3 & 4\end{array}$ Деловнте се: $a=320, b=480$ п $c=640$.
3. Апилизе Бндејки квадратот е екиквалеитен со делтондот, тоа значи дека неговата плоштина е: $\mathrm{p}=\frac{\mathrm{d}_{1} \mathrm{~d}_{2}}{2}=\frac{6.7}{2}=21 \mathrm{~cm}^{2}$. Страната а на квадраратот е хатета на правоаголниот трнаголник $\infty$ хипотенуза $5 \mathrm{~cm}$ и катета $2 \mathrm{~cm}$.

Комструкију: Конструшраме правоаголен трнаголник $\mathrm{ABC}$ со катета $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2 \mathrm{~cm}$ и хнпотенуза $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=5$ $\mathrm{cm}$. Катетата а $=. \overline{\mathrm{BC}}$ е страна на бараниот квадрат BCMN
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f3b024feb1133effebecg-8.jpg?height=372&width=332&top_left_y=954&top_left_x=1112)

Докиз: Квадратот ВСМN е бараннот, бидејки иего вата плоштина е: $P=2=52-2^{2}=21 \mathrm{~cm}^{2}$.

Дшскусија: Задачата има единствено решение, бидејки со хипотенузата с и катетата b ( $>b)$ триаголникот $\mathrm{ABC}$ е еднозначно определен.

4. Нека а и ь се катети, а с хнпотенузата на правоаголннот трнаголник. Бидејки раднусот на кружницата е нормален на страната во допнрната точка, следува четирнаголникот $\mathrm{CB}_{1} \mathrm{OA}_{1}$ е квацрат со страна r. $\overline{\mathrm{AB}_{1}}=\mathrm{b}-\mathrm{r}$ и $\overline{\mathrm{BA}_{1}}=\mathrm{a}-\mathrm{r}$. Страните на триаголникот се тангенти на кружкицата . Според тоа: $\overrightarrow{\mathrm{AC}_{1}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}_{1}}=b-r$; $\overline{\mathrm{BC}_{1}}=\overline{\mathrm{BA}_{1}}=\mathrm{a}-\mathrm{r} ; \mathrm{c}=\overline{\mathrm{AC}_{1}}+\overline{\mathrm{BC}_{1}}=\mathrm{b}-\mathrm{r}+\mathrm{a}-\mathrm{r}$; $c=b+a-2 r$ T.e. $r=\frac{a+b-c}{2}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_f3b024feb1133effebecg-8.jpg?height=384&width=464&top_left_y=1531&top_left_x=979)