# VIII РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ 

Задачите и решенијата се скенирани од книгата

Регионални натпревари по математика 83-95

Подготвена од Боривое Миладиновиќ

## V одделение

1. Која од релацийте на цртежот е транзитивна? Образложи го одговорот.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_464d1665678ef7b10649g-1.jpg?height=175&width=173&top_left_y=768&top_left_x=365)
a)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_464d1665678ef7b10649g-1.jpg?height=171&width=233&top_left_y=775&top_left_x=556)

б)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_464d1665678ef7b10649g-1.jpg?height=175&width=230&top_left_y=768&top_left_x=827)

в)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_464d1665678ef7b10649g-1.jpg?height=185&width=327&top_left_y=768&top_left_x=1113)

г)

2. Над страните на правоаголникот чија должина е за $4 \mathrm{~cm}$ поголема од ширината, од надвор конструирани се рамнострани триаголници. Периметарот на фигурата чии темиња се темињата на триаголниците и темињата на правоаголникот е $80 \mathrm{~cm}$. Пресметај ја плоштината на правоаголникот.
3. Нека е $\mathrm{A}=\{1,2,3,4\}, \mathrm{B}=\{0,1,2\}, \mathrm{C}=\{5,6\}$. Провери ја точноста на равенствата:
a) $(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) \mathrm{xC}=(\mathrm{AxC}) \cap(\mathrm{BxC})$;

б) $(\mathrm{A} \backslash \mathrm{B}) \mathrm{xC}=(\mathrm{AxC}) \backslash(\mathrm{BxC})$.

4. Од две различни места А и В, во исто време, еден спроти друг, тргнале двајца велосипедисти. Првиот се движел со брзина $13 \mathrm{~km}$ на час, а вториот со $15 \mathrm{~km}$ на час. Во моментот кога се сретнале вториот поминал $6 \mathrm{~km}$ повеќе. Пресметај го растојанието меѓу местата А и B.

## $\mathbf{v}$ одделение

1. Транзитивна е само релацијата иа цртежот под в).

a) не е транзитивна бидејки нема

$b \rightarrow \longrightarrow d$ :

б) не е транзитивна бидејки нема

$a_{o} \rightarrow \longrightarrow d, \quad$ bo $\longrightarrow \mathrm{d} ;$

в) не е транзитивна бидејќи нема

$\mathrm{a}_{\sigma} \longrightarrow \mathrm{d}, \mathrm{b}_{\mathrm{\sigma}} \longrightarrow \mathrm{c}, \mathrm{b}_{\sigma \rightarrow} \longrightarrow \mathrm{d}$.

2. Од цртежот се гледа дека периметарот на правоаголникот е два пати помал од периметарот на фигурата т.е. $\mathrm{L}=40 \mathrm{~cm}$.

Од 40=2(a+b) следува дека $a+b=20$, а како e $a=b+4$, пмаме: $b+4+b=20$, т.е. $b=8$ в $a-8+4=12 \mathrm{~cm}$, a $P=12.8=96 \mathrm{~cm}^{2}$.

3. a) $A \cap B=\{1,2\}$,

(AาB) $x C=\{1,2\} \times\{5,6\}=\{(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)\}$ :

$A x C=\{(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)\}$,

BxC=\{(0,5), (0,6), (1, 5), (1, 6), (2, 5), (2,6)\}.

$(\mathrm{AxC})(\mathrm{BxC})=\{(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)\}$.

Захлучох: Равенството под а) е точно.

б) $A \backslash B=\{3,4\},(A \cup B) \times C=\{(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)\}$ :

$(\mathrm{AxC})(\mathrm{BxC})=((3,5),(3,6),(4,5),(4,6)\}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_464d1665678ef7b10649g-2.jpg?height=443&width=414&top_left_y=687&top_left_x=1074)

Заклучок: Равенството под б) е точно.

4. Бидејки за секој час вторнот пелосппедист изминува по $2 \mathrm{~km}$ повеќе отколку првнот , $6 \mathrm{~km}$ тој ке помине зи 3 часа, т.е. секој возел по 3 часа.

Растојанието $\overline{\mathrm{AB}}=3 \cdot 13+3 \cdot 15=84 \mathrm{~km}$.

## VI одделение

1. Одреди го х од изразите:
a) $\left(3 \frac{4}{5}-1 \frac{3}{4}\right) \cdot x=0$
б) $(-8) \cdot(x+3)=0$.
2. Марко е три пати помлад од таткото, а два пати постар од сестрата. Таткото и сестрата заедно имаат 42 години. Колку години има Марко ?
3. Одреди колку страни има многуаголник кај кој може да се повлечат 252 дијагонали.
4. Во рамнокрак триаголник $\mathrm{ABC}$ ( $\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BC}}$ ), со периметар $22 \mathrm{~cm}$, е повлечена тежишната линија $\mathrm{AA}_{1}$. Периметрите на триаголниците $\mathrm{ABA}_{1}$ и $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{C}$ соодветно ce $17 \mathrm{~cm}$ и $19 \mathrm{~cm}$. Одреди ги должините на страните на триаголникот ABC.

## VI одиеление

1. a) $\left(3 \frac{4}{5}-1 \frac{3}{4}\right) x=0 ;$ бидејки $\left(3 \frac{4}{5}-1 \frac{3}{4}\right) \neq 0$ следува дека $x=0$.

б) $-8(x+3)-0$, бидејхн -8+0 следува дека $x+3-0$. т.е. $x=3$.

2. Ахо со $x$ ги означиме годините на сестрата, тогаш годините на Марко се $2 x$, а на таткото $6 x$.

Бидејки е $x+6 x=42$, следува дека $x=6$. Марко пмал 2-6-12 години.

3. Ако со $n$ го означиме бројот на страните иа многуаголникот , тогаш: $\frac{n(n-3)}{2}=252$; $n(n-3)=504=24 \cdot 21 ; n=24$. Многуаголникот има 24 странн.
4. Од триаголникот $\mathrm{ABC}$ вмаме: $\mathrm{a+2b-22}$.

Од $\triangle \mathrm{ABA}_{1}$ вмаме: $\mathrm{t}_{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{a}}{+}+\frac{\mathrm{b}}{2}=17$.

Од $^{2} \triangle A_{1} C_{1}$ имаме: $a_{2}+b+\frac{b}{2}=19$

Ако ги собереме левите и десните страни на равенствата Ке добиеме: $2 \mathrm{t}_{\mathrm{a}}+\mathrm{a}+2 \mathrm{~b}=36$, а бидејки е $\mathrm{a}+2 \mathrm{~b}=22$, имаме: $2 \mathrm{t}_{\mathrm{a}}=36-22=14 ; \mathrm{t}_{\mathrm{a}}=7 \mathrm{~cm}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_464d1665678ef7b10649g-3.jpg?height=322&width=367&top_left_y=1406&top_left_x=1095)

Од $7+\frac{b}{2}+=19$ добиваме $b=8 \mathrm{~cm}$, од $\mathrm{a}+2 \mathrm{~b}=22$, добиваме $\mathrm{a}=6 \mathrm{~cm}$.

## VII одделение

1. $\mathrm{A}(\mathrm{x})$ и $\mathrm{B}(\mathrm{x})$ се полиноми такви што: $\mathrm{A}(\mathrm{x})+\left(4 \mathrm{x}^{2}+1\right)=2 \mathrm{x}^{2}-3$ и $\mathrm{B}(\mathrm{x})-\left(2 \mathrm{x}^{2}-3 \mathrm{x}-1\right)=5 \mathrm{x}-4$. Одреди го производот $\mathbf{A}(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{B}(\mathbf{x})$.
2. Нека N, P и S се средини на страните $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ и $\mathrm{AC}$ на $\triangle \mathrm{ABC}$, а М подножна точка на висината кон страната AB. Да се докаже дека четириаголникот MNPS e рамнокрак трапез.
3. Во 5 автобуси и 2 тролејбуси можат да се превезат 300 патници, а во 2 автобуси и 3 тролејбуси 230 патници. Колку патници можат да се превезат со 1 автобус, а колку со 1 тролејбус?
4. Во правоаголен триаголник $\mathrm{ABC}(\mathrm{AC} \perp \mathrm{BC}$ ) со должини на страните $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ и с е впишана кружница со радиус $\mathrm{r}$. Докажи дека $\mathrm{r}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}}{2}$.

## VII одиеление

1. Од дадените изрази ги определупаме полиномите: $A(x)=-2 x^{2}-4, B(x)=2 x^{2}+2 x-5$, а поToa $A(x)-B(x)=\left(-2 x^{2}-4\right)\left(2 x^{2}+2 x-5\right)=-4 x^{4}-4 x^{3}+2 x^{2}-8 x+20$.
2. Отсечката SP е средна линија на триаголникот $\mathrm{ABC}, \mathrm{SP} \mid \mathrm{AB}$, т.е. четирнаголннкот MNSP е трапез. Треба да докажеме дека $\overline{P N}=\overline{S M}$. Отсечката PN е исто така средна линија на трнаголникот, т.е. $\overline{\mathrm{PN}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}$.

Отсечката SM е техсишна лингја на правоаголниот триаголник AMC кон хипотенузата.

$\overline{\mathrm{SM}}=\overline{\mathrm{SA}}=\overline{\mathrm{SC}}$, бидејkи $\mathrm{S}$ е центар иа опишаната кружница околу $\triangle \mathrm{AMC}$, т.е. $\overline{\mathrm{SM}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}$. $\mathrm{O}_{\mathrm{A}}$ $\overline{\mathrm{PN}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}$ и $\overline{\mathrm{SM}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}$, следува дека $\overline{\mathrm{PN}}=\overline{\mathrm{SM}}$, т.е. четирнаголникот е рамнокрак трапез.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_464d1665678ef7b10649g-5.jpg?height=281&width=351&top_left_y=672&top_left_x=1077)

3. I - решенпе:Ако прянот услов го помножиме со 2, kе добпеме:

во 10 автобусп и 4 тролејбуся ке се превезат 600 патиици.

Ако вторнот услов на задачата го помножиме $о 05$ ке добпеме:

во 10 автобуси и 15 тролејбуси се превезувавт $5.230=1150$ патицц.

Ако ги споредиме добиените заклучоци, ке добисме:

во 11 тролејбусн се превезуват $550: 11=50$ патници; а во еден тролејбус 50 патници.

Во еден автобус се превезувавт $\mathrm{x}$ патници, а од $5 \mathrm{x}+2 \cdot 50=300, \mathrm{x}=40$ патници.

II - pешенве: Нека х е бројот на патиицнте кои се превезуваат во еден автобус, а у во еден тролејбус, тогаш имаме:

$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x+3 y=230 \\
5 x+2 y=300
\end{array}\right.
$$

Множејки ја првата равенка со пет, а втората со два, и потоа одземајки ги равенките ќe добиеме:

$y=550: 11=50$ патинци; $x=40$ патиици.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_464d1665678ef7b10649g-5.jpg?height=122&width=291&top_left_y=1506&top_left_x=763)

$11 y=550$

4. Внди: II р.н. VIII/4.

## VII одделение

1. $\mathrm{A}(\mathrm{x})$ и $\mathrm{B}(\mathrm{x})$ се полиноми такви што: $\mathrm{A}(\mathrm{x})+\left(4 \mathrm{x}^{2}+1\right)=2 \mathrm{x}^{2}-3$ и $\mathrm{B}(\mathrm{x})-\left(2 \mathrm{x}^{2}-3 \mathrm{x}-1\right)=5 \mathrm{x}-4$. Одреди го производот $\mathbf{A}(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{B}(\mathbf{x})$.
2. Нека N, P и S се средини на страните $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ и $\mathrm{AC}$ на $\triangle \mathrm{ABC}$, а М подножна точка на висината кон страната AB. Да се докаже дека четириаголникот MNPS e рамнокрак трапез.
3. Во 5 автобуси и 2 тролејбуси можат да се превезат 300 патници, а во 2 автобуси и 3 тролејбуси 230 патници. Колку патници можат да се превезат со 1 автобус, а колку со 1 тролејбус?
4. Во правоаголен триаголних $\mathrm{ABC}(\mathrm{AC} \perp \mathrm{BC}$ ) со должини на страните $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ и с е впишана кружница со радиус $\mathrm{r}$. Докажи дека $\mathrm{r}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}}{2}$.

## VIII омделение

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_464d1665678ef7b10649g-7.jpg?height=51&width=1253&top_left_y=311&top_left_x=306)
го помннат хамнонот и автомобилот.

$s_{\mathbf{k}}=900-45 t-$ е остатокот од патот на камнонот.

$s_{a}=900-75 t$ - с остатокот од патот на автомобилот.

Од условот $s_{k}=3 s_{a}$, пмаме:

$$
900-45 t=3(900-75 t)
$$

Со решавање на равенката ке добиеме $t=10$ чвса, т.е. на камионот му остануватат уште $900-45 \cdot 10=450 \mathrm{~km}$, а на автомобилот му остануватат 900-75.10=150 km.

2. Од цртежот се гледа дека $\overline{\mathrm{CC}_{1}}=\mathrm{d}=5 \mathrm{dm}$.

Од правоаголниот триаголних $\mathrm{CC}_{1} \mathrm{~B}$ имаме:

$\overline{C_{1} B}=\sqrt{c^{2}-d^{2}} ; \overline{C_{1} B}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12 \mathrm{dm}, a$ $\overline{\mathrm{AB}}=\mathrm{b}+\overline{\mathrm{C}_{1} \mathrm{~B}}=16 \mathrm{dm}$.

Плоштината иа трапезот е: $\mathrm{P}=\frac{(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{DC}})}{2} \cdot \overline{\mathrm{AD}}$; $P=\frac{(16+4)}{2} \cdot 5=50 \mathrm{dm}^{2}$

3. Дадено е: $\overline{\mathrm{AB}}=15 \mathrm{~cm}, \overline{\mathrm{BC}}=9 \mathrm{~cm}$ и $\overline{\mathrm{AS}}: \overline{\mathrm{SC}}=3: 1$. Од сличноста на триаголниците ABS и CDS следува:

$\overline{\mathrm{AS}}: \overline{\mathrm{SC}}=\overline{\mathrm{AB}}: \overline{\mathrm{DC}}$ или $3: 1=15: \overline{\mathrm{DC}}$, т.e. $\overline{\mathrm{DC}}=5 \mathrm{~cm}$. Од сличноста на $\triangle \mathrm{ABM}$ и $\triangle \mathrm{DCM}$ следува: $\overline{\mathrm{AB}}: \overline{\mathrm{BM}}=\overline{\mathrm{DC}}: \overline{\mathrm{CM}}$. Бидејки е $\overline{\mathrm{BM}}=9+\overline{\mathrm{CM}}$, имаме: $15:(9+\overline{\mathrm{CM}})=5: \overline{\mathrm{CM}}$.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_464d1665678ef7b10649g-7.jpg?height=646&width=362&top_left_y=720&top_left_x=1078)
Оттука следува: $\overline{C M}=4,5 \mathrm{~cm}$.

4. Види $\mathrm{V}$ р.н. VII/2.