# III РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ 

Задачите и решенијата се скенирани од книгата

Регионални натпревари по математика 83-95

Подготвена од Боривое Миладиновиќ

## V оделение

1. Дадено е пресликувањето од множеството $A=\{0,1,2,3\}$ во множеството $B=\{1,4,7,10\}$ со својот график $\mathrm{f}=\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}), \mathrm{x} \in \mathrm{A}, \mathrm{y} \in \mathrm{B}$ и $\mathrm{y}=3 \cdot \mathrm{x}+1\}$. Дали ова пресликување е бијекција ? Образложи го одговорот.
2. Ако во некој четирицифрен број се изостави цифрата 3 што означува единици и на добиениот трицифрен број му се додаде 124 ќe се добие 758.

Кој е тој четирицифрен број ?

3. Во еден магацин се донесени 75 тони компири, а од друг се изнесени 40 тони, по што во првиот магацин имало 135 тони компири повеќе отколку во вториот. Колку тони компири имало повеќе во првиот магацин на почетокот ?
4. Точките $\mathrm{M}$ и $\mathrm{N}$ се средини на две соседни страни од квадратот чија плоштина е $16 \mathrm{~cm}^{2}$. Определи ја плоштината на триаголникот чиишто две темиња му се точките $\mathrm{M}$ и $\mathrm{N}$, а третото теме е во темето на квадратот образувано од страните на кои не лежат точките $\mathrm{M}$ и $\mathrm{N}$.

## $\mathrm{V}$ одделение

1. Преслисувањето е прикажано на цртежот. Од цртежот се гледа дека пресликувањето е илјекуија, бидејќи различни елементи од множеството А имаат различни слики во В. Пресликувањето е сурјехчщја, бидејќи секој елемент од множеството В е слика на некој елемент од

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_8f7263aac5f0c6b885e0g-1.jpg?height=242&width=367&top_left_y=1434&top_left_x=922)
множеството А. Според тоа пресликувањето е бщесцмја.

2. Нека бараниот број е $\overline{\mathrm{xyz} 3}$ : $x, y, z \in\{1,2,3, \ldots, 9\} . \overline{\mathrm{xyz}}+124=758$. следува $z=4$, бидејки $4+z=8$, а $y=3$ и $x=6$. т.е. бараннот број е 6343 .
3. Со носењето и изнесувањето на компири, во двата магацина настанала промена за $115 \mathrm{~kg}$ компири, така што во првиот магацин имало повеќе $135-115=20 \mathrm{~kg}$ компири.
4. Од $\mathrm{P}=16 \mathrm{~cm}^{2}=\mathrm{a}^{2}$, следува дека страната на квадратот е $\mathrm{a}=4 \mathrm{~cm}$. Плоштината на бараннот триаголннк е:

$P_{\triangle M N D}=P_{\text {ABCD }}-P_{\triangle M M D}-P_{\triangle O N C}-P_{\triangle M B N}$

$P_{\triangle M N D}=16-\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2-\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2=6 \mathrm{~cm}^{2}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_8f7263aac5f0c6b885e0g-1.jpg?height=231&width=250&top_left_y=1939&top_left_x=904)

## VI одделение

1. Дали може правата што минува низ точките $\mathrm{A}(-3,6), \mathrm{B}(1,-2)$ и $\mathrm{C}(0,0)$ да биде график на функцијата $\mathrm{y}=\mathrm{ax}$ ? Образложи го одговорот.
2. Некој двоцифрен број е делив со 2. Ако тој број се подели со 2, добиениот количник е делив со 2. Ако кон истиот број се додаде 3, збирот е делив со 3. Ако, пак, од истиот број се одземе 5, разликата е делива со 5. Одреди го тој двоцифрен број.
3. Еден објект можат да го изградат 20 работници за 45 дена. На објектот работеле 15 работници 20 дена, а потоа дошле уште 10 работници. За колку дена ќе биде изграден објектот?
4. Во еден триаголник едната страна е $\frac{1}{2}$ од $\frac{2}{3}$ на периметарот, втората страна е $\frac{2}{3}$ од $\frac{4}{7}$ на периметарот, а третата страна е $24 \mathrm{~cm}$. Одреди го периметарот на тој триаголник.

## V1 одделеннс

## 1. Одговорот е да.

Правата линија минува низ координатниот почеток, т.е. низ точката С(0,0), а односот на ординатата и апцисата на точките $\mathrm{A}$ и В е ист, т.е. $\mathrm{a}=-2$.

2. Нека бараниот двоцифрен број е $\overline{x y}, x \in\{1,2,3, \ldots, 9\}, y \in\{0,1,2, \ldots, 9\}$. Бидејќи $2 \mid \overline{x y}$, следува дека $2 \mid \mathbf{y}$. Нека $\overline{x y}: 2=k$, од условот на задачата $2 \mid k$. Од $3 \mid(\overline{x y}+3)$ следува дека

$3 \mid(x+y+3)$. Од $5 \mid((\overline{x y}-5)$ следува дека $5 \mid(y-5)$. Од 5|(y-5) следува дека $y=0$ или $y=5$. $y \neq 5$, следи $\mathrm{y}=0$.

Од $3(x+0+3)$ следува дека $x \in\{3,6,9\}$. Бараниот број е 60 . Броевите 30 и 90 не се решенија бидејќи количннците: $30: 2=15$ и $90: 2=45$ не се деливи со 2 .

3. I - начин: Ако работи еден работних тогаш објектот ќе биде завршен за $20.45=900$ дена. 15 работници за 20 дена имаат $15.20=300$ работни дена. Останатите 600 работни денови треба да ги исполнат $15+10=25$ работници. Тие ќе работат 600:25=24 дена.

II - начин: Со примена на пропорција:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_8f7263aac5f0c6b885e0g-3.jpg?height=96&width=380&top_left_y=959&top_left_x=281)

$x=\frac{20 \cdot 45}{15}=60$ дена

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_8f7263aac5f0c6b885e0g-3.jpg?height=99&width=466&top_left_y=955&top_left_x=709)

$y=\frac{40 \cdot 15}{25}=24$ дена.

Според тоа објектот ќe биде изграден за 20+24=44 дена.

4. Нека $\mathrm{c}=24 \mathrm{~cm}$, а страната $a=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})=\frac{1}{3}(\mathrm{a}+\mathrm{b}+24)$ т.е. $\mathrm{a}=\frac{1}{2} \mathrm{~b}+12$. Страната $\mathrm{b}=\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{7}(\mathrm{a}+\mathrm{b}+24)$. Со замена за а, имаме: $\mathrm{b}=\frac{8}{21} \cdot\left(\frac{1}{2} \mathrm{~b}+12+\mathrm{b}+24\right)$ т.е. $\mathrm{b}=32 \mathrm{~cm} \mathrm{и} \mathrm{a}=28 \mathrm{~cm}$.

## VII одделение

1. Докажи дека ако средната цифра на еден трицифрен број е еднаква на збирот на другите две, тогаш тој број е делив со 11.
2. За која вредност на $x$ изразот ( $3 x-4) \cdot(7 x+8)-1,5 x \cdot(24 x+4)-5 \cdot(1-2 x)$ е негативен?
3. Да се конструира рамнокрак правоаголен триаголник ако е даден збирот од катетата и хипотенузата.
4. Низ центарот $O$ на впишаната кружница во триаголник $\mathrm{ABC}$ е повлечена права р паралелна со страната $\mathrm{BC}$, која ги сече страните $\mathrm{AC}$ и $\mathrm{AB}$ соодветно во точките $\mathrm{M}$ и $\mathrm{N}$. Докажи дека $\overline{\mathrm{MN}}=\overline{\mathrm{BN}}+\overline{\mathrm{CM}}$.

VII одделение

1. Нека бараниот број е $\overline{x y z}=100 x+10 y+z$. Бидејки $y=x+z$ имаме:

$100 x+10(x+z)+z=11(10 x+z)$, т.е. бројот е делив со II.

2. Дадениот полином х́e го сведеме во нормален вид, т.е. $21 x^{2}+24 x-28 x-32-36 x^{2}-6 x-5+10=-\left(15 x^{2}+43\right)<0$ за секој реален број $x$.
3. Анализа: Нека задачата е решена, т.е. $\triangle \mathrm{ABC}$ е бараниот. Ако на продолженнето на страната CA ја нанесеме хипотенузата, добиваме правоаголен триаголник $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BC}$ кој е определен со $\overline{\mathrm{CA}_{1}}=\mathrm{b}+\mathrm{c}$ и аголот во темето $\mathrm{A}_{1}$ еднаков на $\frac{45^{\circ}}{2}$, бидејки триаголникот $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{~B} \mathrm{e}$ рамнокрак со агол во темето А еднаков на 1350 . Темето А е во пресекот на симетралата на $\mathrm{BA}_{1}$ и страната $\mathrm{CA}_{1}$. Од анализата произлегунаат конструкцијата, доказот и дискуснјата на задачата.
4. Од дадените услови следува дека СО е симетрала на аголот $\mathrm{ABC}$, т.е. $\angle \mathrm{OCB}=\angle \mathrm{OCM}$ (1), а $\angle \mathrm{OCB}=\angle \mathrm{COM}$ (2), како наизменични агли на трансверзала. Од (1) и (2) следува дека $\angle O C M=\angle С О М$, т.е. $\triangle$ СОМ е рамнокрах со

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_8f7263aac5f0c6b885e0g-4.jpg?height=209&width=411&top_left_y=1150&top_left_x=1049)
основа $\mathrm{CO}$, следи $\overline{\mathrm{OM}}=\overline{\mathrm{CM}}$. На ист начин се покажува дека и $\triangle \mathrm{BON}$ е рамнокрак т.е. $\overline{\mathrm{ON}}=\overline{\mathrm{BN}}$, што значи дека: $\overline{\mathrm{MN}}=\overline{\mathrm{OM}}+\overline{\mathrm{ON}}: \overline{\mathrm{MN}}=\overline{\mathrm{CM}}+\overline{\mathrm{BN}}$.

## VIII одделение

1. За која вредност на променливата $x$ изразот $x^{4}-6 x^{2}+12$ има најмала вредност?
2. Еден камион од местото А до местото В се движел со брзина $60 \mathrm{~km}$ на час. На враќање од В во А, камионот бил натоварен и се движел со брзина $40 \mathrm{~km}$ на час. Колкава е средната брзина на движењето на камионот на тој пат ?
3. Во правоаголен триаголник со катети $6 \mathrm{~cm}$ и $12 \mathrm{~cm}$, повлечена е симетрала на правиот агол. Определи ја должината на симетралата од темето до пресечната точка со хипотенузата.
4. Даден е триаголникот $\mathrm{ABC}$, во кој BD е симетрала на аголот B. Одреди ги должините на отсечките $\mathrm{AD}$ и $\mathrm{DC}$ ако страните на триаголникот се: $\overline{\mathrm{AB}}=5 \mathrm{~cm}$, $\overline{\mathrm{BC}}=7,5 \mathrm{~cm}, \overline{\mathrm{AC}}=10 \mathrm{~cm}$.

## VIII одиеление

1. Триномст ќe го запишеме во форма $x^{4} \cdot 6 x^{2}+12=\left(x^{2}-3\right)^{2}+3$. Тој има најмала вредност, ако нзразот $\mathrm{x}^{2}-3=0$, т.е. $|\mathrm{x}|=\sqrt{3}$.
2. Нека $t_{1}=\frac{s}{60}$ е време за кое камионот поминал од местото А до местото В. $t_{2}=\frac{s}{40}$ е време за кое камионот поминал од $B$ до $\mathrm{A}$, а $ь$ е растојание од местото $\mathrm{A}$ до местото $\mathrm{B}$. $v_{\mathrm{cp}}=\frac{2 \mathrm{~s}}{\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}}=\frac{2 \mathrm{~s}}{\frac{\mathrm{s}}{60}+\frac{\mathrm{s}}{40}}=\frac{2 \mathrm{~s}}{\frac{2 \mathrm{~s}+3 \mathrm{~s}}{120}}=\frac{2 \cdot 120}{5}=48 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$.
3. Нека $\mathrm{N}$ е пресечната точка на симетралата на аголют и хипотенузата. Ако од $\mathrm{N}$ повлечеме нормали кон краците на правоаголниот триаголник ќе го добиеме квадратот CMNP со страна $x$. Отсечките NM и NP се виснни на $\triangle \mathrm{CNB}$ и $\triangle \mathrm{CNA}$.

$P_{\triangle B C N}+P_{\triangle C A N}=P_{\triangle A B C}$, T.e. $\frac{6 x}{2}+\frac{12 x}{2}=\frac{6 \cdot 12}{2}$.

T.e. $\mathrm{x}=4 \mathrm{~cm}, \mathrm{a} \overline{\mathrm{CN}}=4 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$.

(како дијагонала на квадратот CMNP).

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_8f7263aac5f0c6b885e0g-6.jpg?height=250&width=409&top_left_y=767&top_left_x=954)
4. 1 - решение:Задачата ке ја решнме со примена иа теоремата: " Во секој триаголник симетрала на кој било внатрешек агол ја дели спротивната страна во однос еднаков на односот, од друтите две страни " т.е.

Оттука следува дека $\overline{\mathrm{AD}}=4 \mathrm{~cm}$, а $\overline{\mathrm{DC}}=6 \mathrm{~cm}$.

$$
\begin{aligned}
& \overline{\mathrm{AD}}: \overline{\mathrm{DC}}=\overline{\mathrm{AB}}: \overline{\mathrm{BC}} \\
& \overline{\mathrm{AD}}: \overline{\mathrm{DC}}=5: 7,5=2: 3 \text { и }
\end{aligned}
$$

$$
\overline{\mathrm{AD}}+\overline{\mathrm{DC}}=10
$$

II - решение:

Задачата ќe ја решиме преку плоштините на триаголниците. За таа цел повлекуваме нормали од точката D до $\mathrm{AB}$ и $\mathrm{BC}$.

Отсечката $\overline{D M}=\overline{\text { DN }}$ (врз основа на својстюото на симетрала на агол). 'Од темето В повлехуваме нормала на AC.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_8f7263aac5f0c6b885e0g-6.jpg?height=257&width=260&top_left_y=1261&top_left_x=1031)

$\mathrm{P}_{\triangle \mathrm{ABD}}+\mathrm{P}_{\triangle \mathrm{DBC}}=\mathrm{P}_{\triangle \mathrm{ABC}}$ т.e.

$\frac{1}{2} \overline{\mathrm{DM}} \cdot \overline{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2} \overline{\mathrm{DN}} \cdot \overline{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}} \cdot \overline{\mathrm{BP}}$. Бидејки $\overline{\mathrm{DM}}=\overline{\mathrm{DN}}$ и по извршената замена следува:

$$
\begin{aligned}
\overline{\mathrm{DM}} \cdot(5+5,7) & =10 \cdot \overline{\mathrm{BP}} \\
\overline{\mathrm{DM}}: \overline{\mathrm{BP}} & =10: 12,5=4: 5
\end{aligned}
$$

Од спячноста на правоаголиите триаголници ABP и AMD (кои имаат еден заеднички агол) имаме:

Од (1) $\mathbf{1}$ (2) urame: $\overline{\mathrm{AD}} \cdot 5 \overline{\mathrm{DM}}: \overline{\mathrm{BP}}=\overline{\mathrm{AD}}: \overline{\mathrm{AB}}$

Од (1) и (2) имаме: $\overline{\mathrm{AD}}-5=4: 5$, т.e. $\overline{\mathrm{AD}}=4 \mathrm{~cm}, \mathrm{a} \overline{\mathrm{DC}}=6 \mathrm{~cm}$.