![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cec03b1defdc87686e88g-1.jpg?height=146&width=577&top_left_y=41&top_left_x=1068)

# Olimpiada Naţională de Matematică 

Etapa locală - 26 februarie 2022

## CLASA a XII-a - enunţuri

Timp de lucru 180 de minute

Fiecare problemă se punctează cu 1 punct

Alegeţi varianta de răspuns. Pentru fiecare întrebare, un singur răspuns este cel corect.

1. Fie operaţia $\perp$ definită prin $x \perp y=x y-6 x-6 y+42$, pentru orice $x, y \in \mathbb{R}$. Această operaţie nu este lege de compoziţie pe:

A. $\mathbb{R}$.

B. $\mathbb{R} \backslash\{6\}$.

C. $(6, \infty)$.

D. $(-\infty, 6)$.

E. $\mathbb{Q}$.

2. Funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=(a x+b) e^{x}$ este o primitivă a funcţiei $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=$ $(3 x+2) e^{x}$ dacă:

A. $a=3, b=1$.

B. $a=3, b=-1$.

C. $a=3, b=0$.

D. $a=3, b=2$.

E. $a=3, b=-2$.

3. Fie legea asociativă * definită pentru orice $x, y \in \mathbb{R}$ prin $x * y=(x-3)(y-3)+3$. Atunci $\frac{7}{2} * \frac{11}{3} * \frac{15}{4} * \frac{19}{5} * \frac{23}{6}$ este egal cu:
A. $\frac{27}{7}$.
B. $\frac{19}{6}$.
C. $\frac{1}{6}$.
D. $\frac{7}{2}$.
E. 3 .
4. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie derivabilă cu derivata continuă astfel încât $f^{\prime}(0)=2$. Notăm cu $F$ o primitivă a lui $f$. Atunci $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{F(x)+F(-x)-2 F(0)}{x^{2}}$ este egală cu:

A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. -1 .

E. -2 .

5. Pe $\mathbb{Z}_{8}$ definim legea $\circ$ prin $a \circ b=a b+a+b$, pentru orice $a, b \in \mathbb{Z}_{8}$. Numărul soluţiilor ecuaţiei $x \circ x=\widehat{7}$ este:

A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 4 .

E. 8 .

6. Fie funcţia $f:\left[\frac{1}{2}, \infty\right) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\int_{\frac{1}{2}}^{x}(t-1) \ln (t) d t$. Atunci:

A. $x=1$ este punct de minim al funcţiei $f$.

B. $x=1$ este punct de maxim al funcţiei $f$.

C. $f$ este descrescătoare pe $\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$.

D. $f$ este crescătoare pe $\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$.

E. Toate răspunsurile anterioare sunt false.

7. Pe $(0, \infty)$ definim legea de compoziţie $\perp$ prin $u \perp v=u \sqrt{1+v^{2}}+v \sqrt{1+u^{2}}$, pentru orice $u, v \in(0, \infty)$. Valoarea numărului real $\alpha$, pentru care $\lim _{x \rightarrow \infty}\left((x \perp x)-\alpha x^{2}\right)$ există şi este finită, este egală cu:

A. 1 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 8 .

E. Alt răspuns.

8. Fie mulţimea $\mathcal{F}=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f$ admite primitive pe $\mathbb{R}\}$. Care dintre următoarele enunţuri este fals?

A. Pentru orice $g, h \in \mathcal{F}$ avem $g+h \in \mathcal{F}$.

B. Pentru orice $g, h \in \mathcal{F}$ avem $g-h \in \mathcal{F}$.

C. Pentru orice $g, h \in \mathcal{F}$ avem $g h \in \mathcal{F}$.

D. Pentru orice $\alpha \in \mathbb{R}$ si $g \in \mathcal{F}$ avem $\alpha g \in \mathcal{F}$.

E. $\mathcal{F}$ este grup în raport cu operaţia de adunare a funcţiilor.

9. Pe $\mathbb{R}$ definim legea asociativă * prin $a * b=3(a-2)(b-2)+2$, pentru orice $a, b \in \mathbb{R}$. Pentru un număr real $\alpha$ definim şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 2}$ prin relaţia $x_{n}=\underbrace{\alpha * \alpha * \ldots * \alpha}_{n \text { de } \alpha}$. Mulţimea tuturor valorilor posibile ale numărului $\alpha$ pentru care şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 2}$ este mărginit este:

A. $\emptyset$.
B. $\{2\}$.

C. $\left\{\frac{5}{3}, \frac{7}{3}\right\}$.
D. $\left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}\right)$.
E. $\left[\frac{5}{3}, \frac{7}{3}\right]$.

10. Valoarea integralei $I=\int_{0}^{1}(x \cos (x)+\sin (x)) d x$ este:

A. 0 .

B. 1 .

C. $\cos (1)$.

D. $\sin (1)$.

E. $\sin (1)+\cos (1)$.

11. Cel mai mic număr natural nenul $n$, pentru care $\widehat{2} \cdot \widehat{7} \cdot \widehat{12} \cdot \ldots \cdot(\widehat{5 n+2})=\widehat{0}$ în $\mathbb{Z}_{2022}$, este:

A. 1011 .

B. 37 .

C. 337 .

D. 67 .

E. 57 .

12. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie pară si $a \in(0, \infty)$ astfel încât $f(a) \neq 0$. Fie $F$ o primitivă a functुiei $f$ cu proprietatea $F(a)=F(-a)=0$. Atunci $\int_{-a}^{a} F(t) d t$ este egală cu:

A. $a$.

B. $-f(a)$.

C. $-a$.

D. $f(-a)$.

E. 0 .

13. Fie $(G, \cdot)$ un grup cu elementul neutru $e$. Se ştie că $x^{2}=e$, pentru orice $x \in G$. Câte morfisme injective $f: G \rightarrow G$ satisfac relaţia $f(f(x)) \cdot f(x)=e$, pentru orice $x \in G$ ?

A. Niciunul.

B. Exact unul.

C. Exact două.

D. Un număr finit mai mare sau egal decât 3 .

E. O infinitate.

14. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty)$ o funcţie continuă şi crescătoare cu proprietatea că $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x+1)}{f(x)}=1$. Fie $F$ o primitivă a lui $f$. Atunci despre $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{F(n)}{f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(n-1)}$ putem spune că:

A. $\mathrm{Nu}$ există.

B. Este egală cu 0.

C. Este egală cu 1.

D. Este egală cu $+\infty$.

E. Este egală cu 2.

15. Numărul total de valori posibile ale elementului $a \in \mathbb{Z}_{36}$, pentru care funcţia $f: \mathbb{Z}_{36} \rightarrow \mathbb{Z}_{36}$, $f(x)=a x$ este surjectivă, este egal cu:

A. 36 .

B. 18 .

C. 12 .

D. 9 .

E. 4 .

16. Pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$ definim şirul $\left(I_{n}\right)_{n \geq 1}$ prin $I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\operatorname{tg} x)^{n} d x$. Valoarea lui $n$, pentru care are loc egalitatea $I_{n+2}+I_{n}=\frac{1}{2022}$, este:

A. 2023 .

B. 2022 .

C. 2021 .

D. 2020 .

E. 2019 .

17. Fie $(G, \cdot)$ un grup cu elementul neutru $e$. Fie $H \neq G$ o submulţime nevidă a lui $G \mathrm{cu}$ proprietatea că oricare ar fi $a \in H$ şi $b \in G \backslash H$ avem $a b \in H$. Considerăm enunţurile:

E1: Pentru orice $u, v \in H$ avem $u v \in H$.

E2: Pentru orice $u, v \in G \backslash H$ avem $u v \in G \backslash H$.

E3: $e \in H$.

E4: Pentru orice $x \in H$ avem $x^{-1} \in H$.

Numărul de enunţuri adevărate este egal cu:

A. 4 .

B. 2 .

C. 0 .

D. 3 .

E. 1 .

18. Mulţimea tuturor valorilor posibile ale numărului real $a$ pentru care funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\left\{\begin{aligned} \cos ^{2} \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{aligned}\right.$ admite primitive pe $\mathbb{R}$, este:

A. $\left\{\frac{1}{2}\right\}$.

B. $\{1\}$.

C. $\{0\}$.

D. $[0,1]$.

E. $\emptyset$.

19. Fie ( $G, \cdot)$ un grup cu elementul neutru $e$. Fie $a, b \in G$, astfel încât $a^{4}=e$ şi $a^{2} b a^{-2}=b^{4}$. Care dintre următoarele enunţuri este cu certitudine adevărat?

A. $a^{2} b^{3} a^{-2}=b^{8}$.

B. $a^{2} b^{5} a^{-2}=b^{16}$.

C. $b^{14}=e$.

D. $b^{15}=e$.

E. $b^{16}=e$.

20. Valoarea limitei $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\frac{1}{n}}^{n} \frac{\operatorname{arctg} x}{1+x^{2}} d x$ este:
A. $\frac{\pi^{2}}{4}$.
B. $\frac{\pi^{2}}{2}$.
C. $\frac{\pi}{4}$.

D. $\frac{\pi^{2}}{8}$.
E. $\frac{\pi}{8}$.

21. Fie $n \in \mathbb{N}$ şi $G$ un grup cu $2 n+1$ elemente, despre care se ştie că există o funcţie $f: G \rightarrow G$, cu proprietatea că $f(x f(x y))=y f\left(x^{2}\right)$, pentru orice $x, y \in G$. Considerăm enunţurile:

E1: $f$ este injectivă.

E2: $G$ poate fi grup necomutativ.

E3: $x^{8} y=y x^{8}$.

E4: $f(x)=x$, pentru orice $x \in G$.

Numărul de enunţuri adevărate este egal cu:

A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

E. 4 .

22. Valoarea integralei $I=\int_{0}^{4 \pi} \frac{x \cos x}{1+\sin ^{2} x} d x$ este:

A. $2 \pi$.

B. 2 .

C. $\pi$.

D. 1 .

E. 0 .

23. Fie $A \subset \mathbb{Z}$ o mulţime care are ca elemente toate numerele naturale prime, opusele lor, 0,1 şi -1 . Fie enunţurile:

E1: Adunarea numerelor nu este lege de compozitiie pe $A$.

E2: Înmulţirea numerelor nu este lege de compoziţie pe $A$.

E3: Există o infinitate de operaţii * care pot fi legi de compoziţie pe $A$.

E4: Există cel puţin o operaţie * care defineşte o structură de grup abelian pe $A$.

Numărul de enunţuri adevărate este egal cu:

A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

E. 4 .

24. Spunem că o funcţie integrabilă $f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ are proprietatea $P$ dacă

$$
\int_{0}^{1} f^{2}(x) d x-\left(\int_{0}^{1} f(x) d x\right)^{2}=\frac{1}{4}
$$

Fie enunţurile:

E1: Există funcţii continue care au proprietatea $P$.

E2: Există funcţii discontinue care au proprietatea $P$.

E3: Există funcţii monotone care au proprietatea $P$.

E4: Există funcţii nemonotone care au proprietatea $P$.

Numărul de enunţuri adevărate este egal cu:

A. 3 .

B. 4 .

C. 0 .

D. 1 .

E. 2 .

Olimpiada Naţională de Matematică

Etapa locală - 26 februarie 2022

CLASA a XII-a

Grila de răspunsuri

1. Răspuns: $\mathrm{D}$
2. Răspuns: $\mathrm{B}$
3. Răspuns: B
4. Răspuns: C
5. Răspuns: C
6. Răspuns: $\mathrm{D}$
7. Răspuns: $\mathrm{B}$
8. Răspuns: C
9. Răspuns: $\mathrm{E}$
10. Răspuns: $\mathrm{D}$
11. Răspuns: $D$
12. Răspuns: $\mathrm{E}$
13. Răspuns: $B$
14. Răspuns: C
15. Răspuns: C
16. Răspuns: C
17. Răspuns: B
18. Răspuns: A
19. Răspuns: $D$
20. Răspuns: $D$
21. Răspuns: D
22. Răspuns: $\mathrm{E}$
23. Răspuns: $\mathrm{E}$
24. Răspuns: A