problem: Déterminer tous les nombres réels $x, y, z$ satisfaisant le système d'équations suivant : $x=\sqrt{2 y+3}, y=\sqrt{2 z+3}, z=\sqrt{2 x+3}$.

solution:
Il est évident que les nombres $x, y, z$ doivent être strictement positifs. Les deux premières équations donnent $x^{2}=2 y+3$ et $y^{2}=2 z+3$. En les soustrayant, on obtient $x^{2}-y^{2}=2(y-z)$. On en déduit que si $x \leqslant y$ alors $y \leqslant z$, et de même si $y \leqslant z$ alors $z \leqslant x$. Donc si $x \leqslant y$, on a $x \leqslant y \leqslant z \leqslant x$, ce qui impose que $x=y=z$.

On montre de même que si $x \geqslant y$ alors $x=y=z$. Donc dans tous les cas, $x, y, z$ sont égaux, et leur valeur commune satisfait l'équation $x^{2}=2 x+3$, qui s'écrit encore $(x-3)(x+1)=0$. Or, $x$ est strictement positif, donc nécessairement $x=y=z=3$. Réciproquement, on vérifie immédiatement que $x=y=z=3$ est bien solution du système.

problem_match: Exercice 1.

solution_match: Solution de l'exercice 1


problem: Soient $n$ et $k$ des entiers strictement positifs. Il y a $n k$ objets (de même taille) et $k$ boîtes qui peuvent contenir chacune $n$ objets. Chaque objet est colorié en une couleur parmi $k$ couleurs possibles. Montrer qu'il est possible de ranger les objets dans les boîtes de sorte que chaque boîte contienne des objets d'au plus 2 couleurs différentes.

solution:
On le montre par récurrence sur $k$. Si $k=1 c^{\prime}$ est évident. Supposons la propriété vraie pour tous les entiers $<k$.

Si l'une des couleurs $c$ est prise exactement $n$ fois, on range tous les objets dont la couleur est $c$ dans la dernière boîte. L'hypothèse de récurrence permet de ranger les $n(k-1)$ objets restants dans les $k-1$ premières boîtes de sorte que chaque boîte contienne des objets d'au plus 2 couleurs différentes.

Supposons donc qu'aucune couleur ne soit prise exactement $n$ fois. Si toutes les couleurs sont prises $\leqslant n-1$ fois, alors il y a au plus $(n-1) k$ objets au total, ce qui contredit l'hypothèse. Donc l'une des couleurs $c_{1}$ est prise $\geqslant n+1$ fois. De même, l'une des couleurs $c_{2}$ est prise $\leqslant n-1$ fois.

On place alors tous les objets de couleur $c_{2}$ dans la dernière boîte. On complète cette boîte avec des objets de couleur $c_{1}$. L'hypothèse de récurrence permet de ranger les $n(k-1)$ objets restants dans les $k-1$ premières boîtes de sorte que chaque boîte contienne des objets d'au plus 2 couleurs différentes.

problem_match: Exercice 2.

solution_match: Solution de l'exercice 2


problem: On dit qu'un entier strictement positif $n$ est amusant si pour tout diviseur strictement positif $d$ de $n$, l'entier $d+2$ est premier. Déterminer tous les entiers amusants dont le nombre de diviseurs est maximum.

solution:
Soit $n$ un entier amusant et $p$ un diviseur premier de $n$. Alors $p$ est impair, puisque $p+2$ est premier.

Supposons que $p \geqslant 5$. Alors $p+2$ est premier, et $p+2>3$, donc $p+2$ n'est pas divisible par 3. On en déduit que $p$ n'est pas congru à 1 modulo 3 . Il est clair que $p \mathrm{n}^{\prime}$ est pas congru à 0 modulo 3 , donc $p \equiv 2(\bmod 3)$. Supposons que $p^{2} \mid n$. Alors $p^{2} \equiv 1(\bmod 3)$, donc $p^{2}+2 \equiv 0$ $(\bmod 3)$. De plus, $p^{2}+2$ est premier, donc $p^{2}+2=3$, ce qui est impossible.

On déduit de ce qui précède que si $p \geqslant 5$ est un diviseur premier de $n$, alors $p^{2}$ ne divise pas $n$.

De même, si $p_{1}$ et $p_{2}$ sont des diviseurs premiers distincts $\geqslant 5$ de $n$, alors $p_{1} p_{2}$ divise $n$, donc $p_{1} p_{2}+2$ est divisible par 3 , ce qui est impossible.

Par conséquent, tout entier amusant $n$ est de la forme $n=3^{k}$ ou bien $3^{k} p$ où $p$ est premier.
On vérifie que $3+2,3^{2}+2,3^{3}+2$ et $3^{4}+2$ sont premiers mais $3^{5}+2$ ne l'est pas, donc $k \leqslant 4$. Les entiers amusants de la forme $3^{k}$ ont donc au plus 5 diviseurs.

Si $n=3^{4} \times 5=405$, alors $n+2$ n'est pas premier donc $n$ n'est pas amusant.
Si $n=3^{k} p$ avec $p \geqslant 7$ premier, et $k \geqslant 3$, alors les nombres $p, 3 p, 9 p, 27 p$ sont des diviseurs de $n$ congrus à $p, 3 p, 4 p, 2 p$ modulo 5 . Aucun n'est congru à 0 modulo 5 , et les congruences de ces quatre nombres modulo 5 sont deux à deux distinctes, donc à l'ordre près valent $1,2,3,4$. On en déduit qu'il existe un diviseur $d \geqslant 7$ de $n$ tel que $d \equiv 3(\bmod 5)$. On a donc $d+2>5$ et $5 \mid d$, ce qui entraîne que $d$ n'est pas premier.

On déduit de ce qui précède que les entiers amusants de la forme $3^{k} p$ vérifient $k \leqslant 2$ ou bien $(k \leqslant 3$ et $p=5$ ), donc ont au plus 8 diviseurs, avec égalité seulement lorsque $k=3$ et $p=5$. Réciproquement, on vérifie que $3^{3} \times 5$ est amusant, donc l'unique entier ammusant ayant un nombre maximal de diviseurs est $3^{3} \times 5=135$.

problem_match: Exercice 3.

solution_match: Solution de l'exercice 3


problem:
Soit $A B C$ un triangle non isocèle. Soit $\omega$ le cercle inscrit et $I$ son centre. On note $M, N, P$ les points de contact de $\omega$ avec les côtés $[B C],[C A],[A B]$. Soit $J$ le point d'intersection entre $(M N)$ et $(I C)$. La droite $(P J)$ recoupe $\omega$ en $K$. Montrer que
a) $C K I P$ est cyclique;
b) $(C I)$ est la bissectrice de $\widehat{P C K}$.

solution:
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_06_71816d268b29bf21a80eg-3.jpg?height=659&width=853&top_left_y=191&top_left_x=636)
a) Comme $(I N) \perp(N C)$ et $(I M) \perp(M C)$, les points $M$ et $N$ sont situés sur le cercle de diamètre [IC], donc $I, M, C, N$ sont cocycliques.

D'après la puissance d'un point par rapport à ce cercle, on a $J I \cdot J C=J M \cdot J N$. D'autre part, en utilisant la puissance par rapport au cercle inscrit, on a $J M \cdot J N=J K \cdot J P$, donc finalement $J I \cdot J C=J K \cdot J P$, ce qui entraîne que $P, I, K, C$ sont cocycliques.
b) D'après la question a), on a $\widehat{I C P}=\widehat{I K P}$ et $\widehat{K C I}=\widehat{K P I}$. Or, $I P K$ est isocèle en $I$, donc $\widehat{I K P}=\widehat{K P I}$, ce qui entraîne que $\widehat{I C P}=\widehat{K C I}$.

problem_match: Exercice 4.

solution_match: ## Solution de l'exercice 4