problem: Les cases d'une grille à 10 lignes et 10 colonnes sont coloriées en blanc et en noir. Un coloriage de ces cases est dit homogène s'il contient un carré $3 \times 3$ monochrome, et inhomogène sinon. Montrer qu'il existe plus de coloriages inhomogènes que de coloriages homogènes.

solution: Il y a $2^{100}$ coloriages possibles. Si $c$ est un carré $3 \times 3$, le nombre de coloriages tels que $c$ soit monochrome est égal à $2 \times 2^{91}=2^{92}$. Or, il y a 64 carrés $3 \times 3$, donc il y a au plus $64 \times 2^{92}=2^{98}$ coloriages homogènes.

problem_match: Exercice 1.

solution_match: Solution de l'exercice 1


problem:
Montrer que si $a, b, c$ sont des nombres réels positifs vérifiant $a+b+c=1$ alors

$$
\frac{7+2 b}{1+a}+\frac{7+2 c}{1+b}+\frac{7+2 a}{1+c} \geqslant \frac{69}{4}
$$

solution:
Comme $7+2 b=5+2(1+b)$, on écrit le membre de gauche sous la forme

$$
5\left(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\right)+2\left(\frac{1+b}{1+a}+\frac{1+c}{1+b}+\frac{1+a}{1+c}\right)
$$

En utilisant l'inégalité $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geqslant \frac{9}{x+y+z}$, on minore le premier terme par $\frac{45}{4}$.
En utilisant l'inégalité $x+y+z \geqslant 3 \sqrt[3]{x y z}$, on minore le second terme par 6 . L'assertion à démontrer en découle.

problem_match: Exercice 2.

solution_match: Solution de l'exercice 2


problem: Soit $A B C$ un triangle, et $M$ le milieu de $[B C]$. On note $I_{b}$ et $I_{c}$ les centres des cercles inscrits à $A M B$ et $A M C$. Montrer que le second point d'intersection des cercles circonscrits aux triangles $A B I_{b}$ et $A C I_{c}$ se situe sur la droite $(A M)$.

solution:
Soit $T$ l'intersection entre le cercle de diamètre $[B C]$ et la demi-droite $\left[M A\right.$ ). Il suffit de montrer que $T$ appartient au cercle $A B I_{b}$ (par symétrie des rôles de $B$ et $C$, ceci montrera qu'il appartient également au cercle $A C I_{c}$ ).
Comme $\widehat{B T C}$ est droit, on a $\widehat{A T B}=90^{\circ}+\frac{1}{2} \widehat{A M B}=\widehat{A I_{b} B}$.

problem_match: Exercice 3.

solution_match: Solution de l'exercice 3


problem:
Soit $n \geqslant 1$ un entier. On suppose qu'il existe exactement 2005 couples $(x, y)$ d'entiers naturels tels que $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$. Montrer que $n$ est le carré d'un entier.
N.B. Si $x \neq y$ alors $(x, y) \neq(y, x)$.

solution:
On remarque que $x>n$ et $y>n$.
L'équation s'écrit $x y=n(x+y)$, ou encore $n^{2}=(x-n)(y-n)$. On en déduit qu'il y a exactement 2005 couples d'entiers naturels $(u, v)$ tels que $n^{2}=u v$.
Si $n^{2}=u v$ alors $u$ est un diviseur de $n^{2}$. Réciproquement, si $u$ est un diviseur de $n^{2}$ alors l'équation $n^{2}=u v$ détermine uniquement $v$. On en déduit que $n^{2}$ admet exactement 2005 diviseurs.
Ecrivons $n=p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{r}^{\alpha_{r}}$ avec $p_{i}$ premiers distincts et $\alpha_{i}$ entiers. On a donc $n^{2}=p_{1}^{2 \alpha_{1}} \cdots p_{r}^{2 \alpha_{r}}$. On sait que le nombre de diviseurs de $n^{2}$ est égal à $\left(2 \alpha_{1}+1\right) \cdots\left(2 \alpha_{r}+1\right)$. Or, la décomposition en facteurs premiers de 2005 est $5 \times 401$, donc soit $r=1$ et $2 \alpha_{1}+1=2005$, soit $r=2$ et $2 \alpha_{1}+1=5$, $2 \alpha_{2}+1=401$. Dans tous les cas, les $\alpha_{i}$ sont pairs donc $n$ est un carré parfait.

problem_match: Exercice 4.

solution_match: Solution de l'exercice 4