# Сојузен натпревар 1976 

## Седмо одделение

1. Морска вода содржи $5 \%$ сол. Колку килограми обична вода треба да се измеша со $40 \mathrm{~kg}$ морска вода за да добиената мешавина содржи $2 \%$ сол?

Решение. Во $40 \mathrm{~kg}$ морска вода има $40 \cdot 0,05=2 \mathrm{~kg}$ сол. Ако дотуриме $60 \mathrm{~kg}$ обична вода, ќе имаме $100 \mathrm{~kg}$ мешавина со $2 \mathrm{~kg}$ сол, односно со $2 \%$ сол.

2. Определи ја најмалата дропка со која треба да се поделат дропките $\frac{8}{15}, \frac{12}{35}$ и $\frac{20}{21}$ така што во сите три случаи количникот ќе биде природен број.

Решение. Бараната дропка да ја означиме со $\frac{a}{b}$. Тогаш мора да бидат цели броеви следниве производи $\frac{8}{15} \cdot \frac{b}{a}, \frac{12}{35} \cdot \frac{b}{a}$ и $\frac{20}{21} \cdot \frac{b}{a}$. Ова же важи ако $b=105 a$, бидејќи $\operatorname{NZS}(15,21,35)=105$. За да дропката $\frac{a}{b}$ биде најмала, треба да биде $a=1$, а $b=105 n$ треба да биде најголем природен број. Бидејжи најголем природен број од дадениот вид не постои, заклучуваме дека не постои ниту најмала дропка $\frac{a}{b}=\frac{1}{105 n}$.

3. Кружниците $k^{\prime}$ и $k^{\prime \prime}$ надворешно се допираат во точката $A$. Права која ја содржи точката $A$ ја сече по втор пат кружницата $k^{\prime}$ во точката $M$ и ја сече по втор кружницата $k$ " во точката $N$. Докажи дека тангентите $t^{\prime}$ и $t^{\prime \prime}$ на дадените кружници, за кои $M$ и $N$ се допирни точки, се меѓусебно паралелни.

Решение. Триаголниците $O^{\prime} A M$ и $O^{\prime \prime} A N$ се рамнокраки, па затоа $\angle A^{\prime} M^{\prime}=\measuredangle M^{\prime}$ и $\angle A N O "=\measuredangle N A O "$ (цртеж десно). Понатаму $\measuredangle M A O^{\prime}=\measuredangle N A O^{\prime \prime}$ (накрсни агли), па затоа $\angle A M O^{\prime}=\measuredangle A N O "$. Бидејќи $A$ е точка од правата $M N$, следува дека аглите $\measuredangle A M O^{\prime}$ и $\measuredangle A N O^{\prime \prime}$ наизменични, па како тие се еднакви заклучуваме дека

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_eccb5af80e608b1c2ec5g-1.jpg?height=430&width=428&top_left_y=1751&top_left_x=1057)
$O^{\prime} M \| O^{\prime \prime} N$. Но, $t^{\prime \prime} \perp O^{\prime \prime} N$ и $t^{\prime} \perp O^{\prime} M$, па затоа од $O^{\prime} M \| O^{\prime \prime} N$ следува дека $t^{\prime} \| t^{\prime \prime}$.

4. Докажи дека сите квадари за кои плоштината во $\mathrm{cm}^{2}$ и волуменот во $\mathrm{cm}^{3}$ се изразени со ист број, имаат еднаков збир на реципрочните вредности на должините на трите раба кои излегуваат од исто теме.

Решение. Од фромулите за плоштина и волумен на квадар имаме $2 a b+2 b c+2 c a=a b c$. Ако ова равенство го поделиме со $2 a b c \neq 0$, добиваме

$$
\frac{2 a b}{2 a b c}+\frac{2 b c}{2 a b c}+\frac{2 c a}{2 a b c}=\frac{a b c}{2 a b c}, \text { т.e. } \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}
$$

што и требаше да се докаже.

5. Нека $n$ е произволен број запишан со 2000 цифри и делив со 9. Збирот на цифрите на бројот $n$ да го означиме со $a$, збирот на цифрите на $a$ да го означиме со $b$ и збирот на цифрите на $b$ да го означиме со c. Определи го бројот $c$.

Решение. Збирот на цифрите на број $n$ е делив со 9 и не е поголем од $2000 \cdot 9=18000$, т.е. $a \leq 18000$. Збирот на цифрите $b$ на бројот $a$ е делив со 9 и не е поголем од 36 ( за $a=9999$ е еднаков на 36), т.е. $b \leq 36$. Збирот на цифрите $c$ на бројот $b$ е делив со 9 и не е поголем од 9. Значи, $c=9$.

## Осмо одделение

1. Природниот број $n$ е зголемен за својата четирикратна реципрочна вредност и тој број е квадриран. Од добиениот број е одземен квадратот на четирикратната реципрочна вредност на бројот $n$ и е добиен број кој не е делив со 5. Докажи!

Решение. Имаме

$$
\left(n+\frac{4}{n}\right)^{2}-\left(\frac{4}{n}\right)^{2}=n^{2}+8+\left(\frac{4}{n}\right)^{2}-\left(\frac{4}{n}\right)^{2}=n^{2}+8
$$

Според тоа, добиениот број е природен. Квадрат на природен број завршува на цифрата $0,1,4,5,6$ или 9 , па затоа бројот $n^{2}+8$ завршува на цифрата $8,9,2,3,4$ или 7 . Последното значи дека бројот $n^{2}+8$ не е делив со 5 за ниту еден природен број $n$.

2. Авион ги прелетал првите $385 \mathrm{~km}$ со брзина од $220 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Преостанатиот дел од патот го прелетал со брзина од $330 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Средната брзина на целиот пат била $250 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Колкав пат прелетал авионот?

Решение. Првиот дел од патот авионот го прелетал за $\frac{385}{220}=3,5$ часа. Преостанатиот дел од патот, т.е. $x \mathrm{~km}$ авионот ги прелетал за $t$ часови. Оттука ги добиваме равенките $x=330 t$ и $385+x=250(3,5+t)$. Ако од првата
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_eccb5af80e608b1c2ec5g-3.jpg?height=272&width=450&top_left_y=459&top_left_x=1014)
замениме во втората равенка $t=\frac{x}{330}$, ја добиваме равенката

$$
385+x=250\left(3,5+\frac{x}{330}\right)
$$

чие решение е $x=2021,25 \mathrm{~km}$. Според тоа, авионот прелетал $2406,25 \mathrm{~km}$

3. Рамнина сече коцка така што три раба на коцката со заедничко теме сече во точки кои тие рабови ги делат во односи $2: 1,3: 1$ и 4:1, сметајќи од заедничкото теме. Определи го односот на волумените на телата на кои оваа рамнина ја дели коцката.

Решение. Нека $a$ е работ, а $V=a^{3}$ е волуменот на коцката. Отсеченото тело е пирамидата $S M N P$. Волуменот $V_{1}$ на оваа пирамида ќ го пресметаме ако за база го земеме правоаголниот триаголник $S M N$, а отсечката $S P=\frac{a}{4}$ за висина. Имаме

$$
V_{1}=\frac{1}{3} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{3} \cdot \frac{a}{4}=\frac{a^{3}}{72}
$$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_eccb5af80e608b1c2ec5g-3.jpg?height=373&width=387&top_left_y=1323&top_left_x=1095)

Волуменот $V_{2}$ на преостанатиот дел од коцката е $V_{2}=V-V_{1}=\frac{71 a^{3}}{72}$. Јасно, $V_{2}: V_{1}=71: 1$.

4. Даден е правоаголен триаголник $A B C$. Од темето $A$ на правиот агол е повлечена тежишната линија $A M$. Висината $A D$ на триаголникот $A C M$ ја полови спротивната страна.

a) Определи ги аглите на триаголникот $A B C$.
б) Пресметај ги плоштината и волуменот на телото кое се добива со вртење на триаголникот $A B C$ околу страната $A B$, ако должината на отсечката $A D$ е $k \sqrt{3}$.

Решение. а) Во правоаголен триголник тежишната линија повлечена кон хипотенузата е половина од хипотенузата, па затоа $A M=C M$ (цртеж десно). Понатаму, бидејќи $D M=C D, A D=A D$ и $\measuredangle A D M=\measuredangle A D C=90^{\circ}$, заклучуваме дека триаголниците $A D M$ и $A D C$ се складни. Значи,

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_eccb5af80e608b1c2ec5g-4.jpg?height=327&width=308&top_left_y=418&top_left_x=1170)
$A M=A C$. Според тоа, триаголникот $A M C$ има еднакви страни, па затоа тој е рамностран. Оттука следува дека $\measuredangle A C B=60^{\circ}, \measuredangle A B C=30^{\circ}$ и по претпоставка $\measuredangle B A C=90^{\circ}$.

б) Бидејќи $A D=k \sqrt{3}$, од $A D=\frac{A C \sqrt{3}}{2}$ следува дека $A C=2 k$. Значи, $B C=4 k$ и $A B=2 k \sqrt{3}$. Добиеното тело е конус со радиус $A C$, висина $A B$ и изводница $B C$. Според тоа,

$$
P=\pi \cdot(2 k)^{2}+\pi \cdot 2 k \cdot 4 k=12 k^{2} \pi \text { и } V=\frac{1}{3} \pi \cdot(2 k)^{2} \cdot 2 k \sqrt{3}=\frac{8 \sqrt{3} k^{3} \pi}{3}
$$

5. Во трапез $A B C D$ права паралелна со основата $A B$ ги сече отсечките $A C$ и $B C$ соодветно во точките $M$ и $N$. Докажи дека плоштините на триаголниците $D A M$ и $D B N$ се еднакви.

Решение. Триаголниците $A C D$ и $B C D$ имаат заедничка страна $C D$, а висините кои им соодветствуваат на овие страни се еднакви на висината на трапезот $h$ (цртеж десно). Затоа

$$
P_{A C D}=\frac{C D \cdot h}{2}=P_{B C D}
$$

Триаголниците $M C D$ и $N C D$ имаат за-

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_eccb5af80e608b1c2ec5g-4.jpg?height=346&width=395&top_left_y=1440&top_left_x=1033)
едничка страна $C D$, а висините им се еднакви на нормалното растојание $d$ меѓу паралелните прави $C D$ и $p$, па затоа

$$
P_{M C D}=\frac{C D \cdot d}{2}=P_{N C D}
$$

Сега, од

$$
P_{A M D}=P_{A C D}-P_{M C D} \text { и } P_{B N D}=P_{B C D}-P_{N C D}
$$

следува $P_{A M D}=P_{B N D}$, што и требаше да се докаже.