# Сојузен натпревар 1987 

## Седмо одделение

1. Докажи дека за секој трицифрен број важи следново тврдење: или бројот е делив со 3, или двоцифрен број, односно едноцифрен број, составен од неговите цифри е делив со 3 .

Решение. Ако некоја од цифрите на произволен трицифрен број е делива со 3, тогаш тврдењето на задачата е докажано. Нека претпоставиме дека ниту една од цифрите $x, y, z$ не е делива со 3. Тогаш или остатоците од делењето на цифрите $x, y, z$ се меѓусебно еднакви или кај две цифри остатоците се различни. Ако остатоците се еднакви, тогаш збирот $x+y+z$ е делив со 3 , што значи дека бројот е делив со 3. Ако два остатоци, на пример кај цифрите $x$ и $y$, се различни, тогаш тие во некој редослед се еднакви на 1 и 2, што значи дека збирот $x+y$ е делив со 3, па затоа двоцифрениот број $\overline{x y}$ е делив со 3 .

2. Броевите 12 и 60 имаат интересно својство: нивниот производ е еднаков на нивниот десеткратен збир. Определи ги сите вакви парови природни броеви.

Решение. Нека $x$ и $y$ се бараните броеви. Тогаш $x y=10(x+y)$, од каде последователно добиваме

$$
\begin{aligned}
& x y-10 x-10 y=0 \\
& x y-10 x-10 y+100=100 \\
& (x-10)(y-10)=100
\end{aligned}
$$

Но, $100=1 \cdot 100=2 \cdot 50=4 \cdot 25=5 \cdot 20=10 \cdot 10$, па од последната равенка лесно се добива дека бараните броеви се: 11 и 110 , или 12 и 60 , или 14 и 35 , или 15 и 30 , или 20 и 20 .

3. Некој трицифрен број се зголемува за 45 ако цифрите на единиците и десетките ги заменат местата, а истиот број се намалува за 270 ако цифрите на стотките и десетките ги заменат местата. Што ќе се случи со овој број, ако цифрите на единиците и стотките ги заменат местата? Решение. Нека $100 x+10 y+z$ е дадениот трицифрен број. Со замена на местата на цифрите на десетките и едниците добиваме

$$
100 x+10 y+z+45=100 x+10 z+y \text {, т.е. } y-z+5=0
$$

Со замена на местата на цифрите на стотките и десетките добиваме

$$
100 x+10 y+z-270=100 y+10 x+z \text {, т.e. } x-y-3=0
$$

Со собирање на равенствата $y-z+5=0$ и $x-y-3=0$, го добиваме равенството $x-z=-2$. Со замена на местата на цифрите на стотките и единиците добиваме:

$$
100 x+10 y+z-(100 z+10 y+x)=99(x-z)=99(-2)=-198
$$

што значи дека бројот ќе се зголеми за 198.

4. Во рамнокрак триаголник $A B C$ со основа $A B$, отсечката $C D$ е висина спуштена кон основата. Ако $M$ е произволна точка од кракот $B C$, докажи дека разликата на отсечките $C A$ и $C M$ е поголема од разликата на отсечките $D A$ и $D M$.

Решение. Од $C A=C B$ следува

$$
C A-C M=C B-C M=B M
$$

Од триаголникот $B D M$, според неравенството на триаголник добиваме $B M>|D B-D M|$, цртеж десно. Меѓутоа, $C D$ е висина повлечена кон основата на рамнокракиот триаголниок $A B C$, па затоа $D A=D B$. Според тоа,

$$
C A-C M=B M>|D B-D M|=|D A-D M|
$$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_96622cbf97c09feda73ag-2.jpg?height=428&width=350&top_left_y=884&top_left_x=1130)
т.е. $C A-C M>|D A-D M|$ шо и требаше да се докаже.

5. Дадена се точка $C$ и прави $p$ и $q$ кои се сечат. Конструирај триаголник $A B C$ за кој правата $p$ е симетрала на внатрешниот агол $\alpha$, а правата $q$ е симетрала на внатрешниот агол $\beta$. (Точката $C$ и правите $p$ и $q$ избери ги така што задачата ќе има решение).

Решение. Анализа. Нека $A B C$ е триаголникот во кој $p$ и $q$ се симетрали на аглите $\alpha$ и $\beta$, цртеж десно. Тогаш точката $C^{\prime}$, симетрична на $C$ во однос на $p$ припаѓа на правата $A B$, а на

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_96622cbf97c09feda73ag-2.jpg?height=267&width=475&top_left_y=1669&top_left_x=991)
оваа права припаѓа и точката $C^{\prime \prime}$, симетрична на $C$ во однос на $q$. Конструкиија. Ги конструираме точките $C^{\prime}$ и $C^{\prime \prime}$ симетрични на точката $C$ во однос на правите $p$ и $q$, соодветно. Ја повлекуваме
правата $C^{\prime} C^{\prime \prime}$ и во пресекот на оваа права со правите $p$ и $q$ ги наоѓаме темињата $A$ и $B$.

Доказот непосредно следува од анализата и конструкцијата. Деталите од доказот, како и дискусијата ги оставаме на читателот за вежба.

## Осмо одделение

1. За кои вредности на $x, y, z$ изразот $x^{2}+y^{2}+z^{2}-12 y-14 z+90$ има најмала вредност? Определи ја таа вредност.

Решение. Последователно добиваме

$$
\begin{aligned}
x^{2}+y^{2}+z^{2}-12 y-14 z+90 & =x^{2}+y^{2}-12 y+z^{2}-14 z+90 \\
& =x^{2}+(y-6)^{2}+(z-7)^{2}+5 \geq 5
\end{aligned}
$$

Според тоа, најмалата можна вредност на дадениот израз е 5 и истата се достигнува за $x=0, y=6, z=7$.

2. Ако $a^{2}+a+1=0$, определи ја вредноста на изразот

$$
a^{1987}+\frac{1}{a^{1987}}
$$

Решение. Ако $a^{2}+a+1=0$, тогаш $a \neq 1$, па затоа даденото равенство го помножиме со $a-1$ добиваме $(a-1)\left(a^{2}+a+1\right)=0$, т.е. $a^{3}-1=0$, што значи $a^{3}=1$. Според тоа, $a^{1987}=\left(a^{3}\right)^{662} a=1^{662} a=1 \cdot a=a$, па затоа

$$
a^{1987}+\frac{1}{a^{1987}}=a+\frac{1}{a}
$$

Но од условот $a^{2}+a+1=0$, последователно добиваме $a^{2}+1=-a$ и ако поделиме со $a$ наоѓаме $a+\frac{1}{a}=-1$. Конечно,

$$
a^{1987}+\frac{1}{a^{1987}}=a+\frac{1}{a}=-1
$$

3. Збирот на сите природни броеви од 1 до $n$ е еднаков на трицифрен број со еднакви цифри. Колку природни броеви се собрани?

Решение. Од условот на задачата добиваме

$$
\begin{aligned}
& 1+2+3+\ldots+n=\overline{k k k} \\
& \frac{n(n+1)}{2}=111 k
\end{aligned}
$$

$$
n(n+1)=222 k=2 \cdot 3 \cdot 37 k
$$

Левата страна на последното равенство е производ на два последователни броја, а во десната страна еден од множителите е бројот 37, кој е прост број. Според тоа, вториот множител може да биде 36 или 38. Но, бројот 38 не е делив со 3 , па затоа вториот множител е 36 , при што $k=6$. Значи, $n(n+1)=36 \cdot 37$, од каде заклучуваме дека се собрани првите 36 природни броеви и е добиен збирот 666.

4. Во правоаголник $A B C D$ со страни $A B=10 \mathrm{~cm}$ и $B C=5 \mathrm{~cm}$ е впишана полукружница со дијаметар $A B$. Во кој однос полукружницата ја дели дијагоналата на правоаголникот?

Решение. Нека $E$ е пресечната точка на дијагоналата $A C$ со полкружницата $k$ (цртеж десно). Тогаш $\measuredangle A E B=$ $90^{\circ}$, како агол над дијаметарот $A B$. Правоаголните триаголници $A B E$ и $B C E$ се слични, бидејќи имаат еднак-

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_96622cbf97c09feda73ag-4.jpg?height=332&width=507&top_left_y=841&top_left_x=977)
ви остри агли . Затоа

$$
A E: E C=A B: B C=10: 5=2: 1
$$

5. Нека $A B C D$ е произволен конвексен четириаголник со плоштина 3 . На страната $A B$ се земени точки $M$ и $N$ такви што $A M=M N=N B$, а на страната $C D$ се земени точки $P$ и $Q$ такви што $C P=P Q=Q D$. Докажи дека четириаголникот $M N P Q$ има плоштина 1.

Решение. Триаголниците $A N Q$ и $N M Q$ имаат еднакви основи, $A M=M N$ и заедничка соодветна висина, па затоа имаат еднакви плоштини (на цртежот означени со $P^{\prime}$ ). Од слични причини еднакви се и плоштините на триаголниците $C P N$ и $P Q N$ кои се означени со $P^{\prime \prime}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_96622cbf97c09feda73ag-4.jpg?height=351&width=466&top_left_y=1550&top_left_x=1031)
Според тоа, плоштината на четириаголникот $M N P Q$ е еднаква на $P^{\prime}+P^{\prime \prime}$. Ќе докажеме дека збирот на плоштините на триаголниците $A D Q$ и $B C N$ е еднаков на третина од плоштината на четириаголникот $A B C D$, т.е. дека е еднаква на 1. Навистина, триаголникот $A D Q$ има три пати помала основа од триаголникот $A C D$, па како нивните
висини се еднакви добиваме дека $P_{A D Q}=\frac{1}{3} P_{A C D}$. Аналогно се докажува дека $P_{B C N}=\frac{1}{3} P_{A B C} \cdot$ Според тоа,

$$
P_{A D Q}+P_{B C N}=\frac{1}{3} P_{A C D}+\frac{1}{3} P_{A B C}=\frac{1}{3} P_{A B C D}=1
$$

Според тоа, $P_{A N C Q}=2$, т.е. $2 P^{\prime}+2 P^{\prime \prime}=2$, од каде следува $P^{\prime}+P^{\prime \prime}=1$, односно $P_{M N P Q}=P^{\prime}+P^{\prime \prime}=1$.