# Сојузен натпревар 1970 

1. Дешифрирај го равенството

$$
\overline{a b c d}=(5 c+1)^{2}
$$

Решение. Според условот на задачата важи

$$
1000 a+110 b+10 c+d=25 c^{2}+10 c+1
$$

т.е.

$$
25\left(40 a+4 b-c^{2}\right)=1-d
$$

Левата страна е делива со 25 , па затоа $25 \mid 1-d$, од каде добиваме $d=1$. Според тоа, $40 a+4 b-c^{2}=0$, т.е. $4(10 a+b)=c^{2}$, од каде добиваме $4 \mid c^{2}$. Но, $a, b, c$ се цифри и како $a \neq 0$ одма се добива дека $c^{2}=64$ и $10 a+b=16$. Значи, $c=8, b=6, a=1$ и бараниот број е $\overline{a b c d}=1681$.

2. Авион летал од $A$ во $B$ и тоа прво со брзина $180 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, а кога му преостанало да прелета $320 \mathrm{~km}$ помалку отколку што веќе прелетал, ја зголемил брзината на $250 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. На тој начин просечната брзина на авионот на целиот пат од $A$ до $B$ била $200 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Определи ја должината на патот од $A$ до $B$.

Решение. Времето да се помине патот од $A$ до $D$ е $\frac{x+320}{180}$, а времето да се помине патот од

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_6a3de2303cb9ec4e16a2g-1.jpg?height=135&width=600&top_left_y=1420&top_left_x=880)
$D$ до $B$ е $\frac{x}{250}$. Затоа важи $2 x+320=200\left(\frac{x+320}{180}+\frac{x}{250}\right)$, од каде добиваме $x=400 \mathrm{~km}$. Според тоа, должината на патот од $A$ до $B$ е $2 x+320=1120 \mathrm{~km}$.

3. Милан нацртал паралелограм $A B C D$, со $M$ ја означил средината на страната $B C$, со $N$ ја означил средината на страната $C D$ и потоа излегол од собатра. Тогаш неговата сестра Нада дошла до масата и на цртежот избришала се освен точките $A, M$ и $N$. Помогни му на Милан да го реконструира цртежот, т.е. да ги најде точките $B, C$ и $D$.

Решение. Прв начин. Искористи го фактот дека средината $E$ на отсечката $M N$ лежи на дијагоналата $A C$ и ја дели во во однос $3: 1$, т.е. $C E=E S=S F=A F$, односно $A E=3 E C$ (види цртеж).

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_6a3de2303cb9ec4e16a2g-2.jpg?height=318&width=925&top_left_y=413&top_left_x=441)

Bтор начин. Точката $P$ е тежиште на $\triangle A C D$, па затоа $A P: P N=2: 1$, па точката $P$ може да се определи. Слично, $\triangle A B C$, па точката $Q$ може да се определи. Со тоа се определени правите на кои лежат дијагоналите и нивниот пресек $S$. Понатаму, $S C=A S, C N$ во пресекот со $P Q$ ја дава точката $D$, а $C M$ во пресекот со $P Q$ ја дава точката $B$.

Tpem начин. Прво докажи дека отсечките $A M$ и $A N$ ја делат дијагоналата $B D$ на три еднакви дела и дека $A P: P N=2: 1$ и $A Q: Q N=2: 1$. Понатаму, $P Q \| N M$ итн. Деталите ги оставаме на читателот за вежба.

4. Краците на трапезот се $39 \mathrm{~mm}$ и $45 \mathrm{~mm}$, а дијагоналата која е нормална на подолгиот крак има должина $60 \mathrm{~mm}$. Конструирај го овој трапез, а потоа пресметај ги неговиот периметар и плоштина.

Решение. Прво ќе ги пресметаме плоштината и периметарот на трапезот. Од првоаголниот $\triangle A B C$ за основата $A B=a$ имаме $a^{2}=60^{2}+45^{2}$, односно $a=75 \mathrm{~mm}$. Понатаму, за висината $h$ на трапе-

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_6a3de2303cb9ec4e16a2g-2.jpg?height=404&width=661&top_left_y=1497&top_left_x=799)
зот важи $\frac{75 h}{2}=\frac{60 \cdot 45}{2}$, т.е.

$h=36 \mathrm{~mm}$. Сега за проекциите на краците на основата $A B$ имаме $x^{2}=c^{2}-h^{2}$ и $y^{2}=d^{2}-h^{2}$, односно $x=27 \mathrm{~mm}$ и $y=15 \mathrm{~mm}$. Затоа $b=a-(x+y)=33 \mathrm{~mm}$. Според тоа, периметарот на трапезот е

$$
O=a+b+c+d=192 \mathrm{~mm}
$$

а неговата плоштина е

$$
P=\frac{a+b}{2} h=1944 \mathrm{~mm}^{2}
$$

Конструкиија: 1) Го конструираме правоаголниот триаголник $A B C$ (дадени се катетите).

2) Низ точката $C$ повлекуваме права $p \| A B$.
3) Од точката $A$ опишуваме кружен лак со радиус $r=39 \mathrm{~mm}$ и во пресек

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_6a3de2303cb9ec4e16a2g-3.jpg?height=426&width=630&top_left_y=455&top_left_x=798)
со правата $p$ ја определуваме точката $D$.

Трапезот $A B C D$ е бараниот трапез.

5. Плоштината на правилна четиристрана пирамида е $5 a^{2}$, каде $a$ е должината на работ на основата на таа пирамида.

a) Изрази го волуменот на оваа пирамида во функција од $a$.

б) Пресметај го волуменот на пирамидата ако $a=6 d m$.

Решение. а) За плоштината на пирамидата има

$$
P=a^{2}+4 \cdot \frac{a h}{2}=a^{2}+2 a h
$$

па затоа $a^{2}+2 a h=5 a^{2}$, од каде добиваме $h=2 a$. Понатаму, од Питагоровата теорема добиваме

$$
H^{2}=h^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=\frac{15 a^{2}}{4}
$$

па затоа $H=\frac{a}{2} \sqrt{15}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_6a3de2303cb9ec4e16a2g-3.jpg?height=512&width=659&top_left_y=1316&top_left_x=805)

Според тоа,

$$
V=\frac{B H}{3}=\frac{1}{3} a^{2} \cdot \frac{a}{2} \sqrt{15}=\frac{\sqrt{15}}{6} a^{3}
$$

б) За $a=6 d m$ имаме:

$$
V=\frac{\sqrt{15}}{6} \cdot 6^{3}=36 \sqrt{15} d m^{3}
$$