# Сојузен натпревар 1961 

## III година

1. Ако $x_{1}$ и $x_{2}$ се решенија на равенката $x^{2}+k x+1=0$, определи ги оние вредности на $k$ за кои е точно неравенството

$$
\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{x_{1}}\right)^{2}>2
$$

Решение. Од Виетовите формули следува $x_{1}+x_{2}=-k, x_{1} x_{2}=1$. Понатаму:

$$
\begin{aligned}
\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{x_{1}}\right)^{2} & =\frac{x_{1}^{4}+x_{2}^{4}}{\left(x_{1} x_{2}\right)^{2}}=\left(\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}\right)^{2}-2 x_{1}^{2} x_{1}^{2} \\
& =\left(k^{2}-2\right)^{2}-2=k^{2}\left(k^{2}-4\right)+2
\end{aligned}
$$

Од претходните равенства следува дека неравенството (1) важи ако и само ако $k^{2}>4$,т.е. ако и само ако $k(-\infty,-2) \cup(2,+\infty)$.

2. Определи ја најголемата вредност на изразот

$$
\log _{2}^{4} x+12 \log _{2}^{2} x \cdot \log _{2}\left(\frac{8}{x}\right)
$$

ако променливата $x$ се менува на интерваот $[1,64]$.

Решение. Нека $\log _{2} x=1$. Забележуваме дека $t$ расте од 0 до 6 кога $x$ расте од 1 до 64. Понатаму,

$$
\begin{aligned}
\log _{2}^{4} x+12 \log _{2}^{2} x \cdot \log _{2}\left(\frac{8}{x}\right) & =\log _{2}^{4} x+12 \log _{2}^{2} x \cdot\left(3-\log _{2} x\right) \\
& =t^{4}-12 t^{3}+36 t^{2}=(t(t-6))^{2}
\end{aligned}
$$

Функцијата $f(t)=t(t-6)$ прима негативни вредности за $0<t<6$ и достигнува минимум во точката $t=3$. Затоа максимумот на дадениот израз е еднаков на $(f(3))^{2}=81$.

3. Прав цилиндар и конус имаат заедничка основа, а врвот на конусот се наоѓа во средината на другата основа на цилиндарот. Определи го аголот меѓу изводницата на конусот и оската на цилиндарот ако односот на плоштините на цилиндарот и конусот е 7:4.

Решение. Нека $r$ и $h$ се соодветно радиусот на основата на цилиндарот и неговата висина. Тогаш плоштините на цилиндарот и конусот соодветно се:

$$
P_{1}=2 \pi r h+2 r^{2} \pi, \quad P_{2}=r \pi \sqrt{r^{2}+h^{2}}+r^{2} \pi
$$

Од условот $\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{7}{4}$ последователно добиваме:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_2b46cc0a5ee8d13de133g-1.jpg?height=552&width=330&top_left_y=1685&top_left_x=1123)

$$
\begin{aligned}
& 8 h+8 r=7 \sqrt{r^{2}+h^{2}}+7 r \\
& 48 r^{2}-16 r h-15 h^{2}=0 \\
& 48\left(\frac{r}{h}\right)^{2}-16 \frac{r}{h}-15=0
\end{aligned}
$$

и конечно $\frac{r}{h}=\frac{3}{4}$. Ако со $\varphi$ го означиме бараниот агол (види цртеж), тогаш $\operatorname{tg} \varphi=\frac{r}{h}=\frac{3}{4}$, па затоа $\varphi=\operatorname{arctg} \frac{3}{4}$.

4. Страните на триаголникот $A B C$ се $a, b$ и $c$, при што $a<b<c$. Над нив се конструирани слични правоаголници, така што плоштината на правоаголникот над страната $c$ е поголема од збирот на плоштините на другите два правоаголници за плоштина на квадратот чија страна е $m$. Определи ги вторите страни на конструираните правоаголници.

Решение. Нека $k c$ е висината на правоаголникот конструиран над страната со должина $c$, при што $k>0$. Постојат следниве четири можности за висините на правоаголниците кои се конструирани соодветно над страните со должини $a$ и $b$ :

1) $k a, k b$;
2) $k a, \frac{b}{k}$;
3) $\frac{a}{k}, k b$;
4) $\frac{a}{k}, \frac{b}{k}$.

Доволно е во секој од овие случаи да се определи вредноста на коефициентот $k$. Условот на задачата во наведените случаи го добива видот:

1) $k c^{2}=k a^{2}+k b^{2}+m^{2}$
2) $k c^{2}=k a^{2}+\frac{b^{2}}{k}+m^{2}$,
3) $k c^{2}=\frac{a^{2}}{k}+k b^{2}+m^{2}$,
4) $k c^{2}=\frac{a^{2}}{k}+\frac{b^{2}}{k}+m^{2}$.

Ако $c^{2}>a^{2}+b^{2}$, тогаш во случајот 1) го добиваме решението $k=\frac{m^{2}}{c^{2}-a^{2}-b^{2}}$. Во случаите 2), 3) и 4) $k$ е позитивно решение на следниве равенки:

$$
\begin{aligned}
& \left(c^{2}-a^{2}\right) k^{2}-m^{2} k-b^{2}=0 \\
& \left(c^{2}-b^{2}\right) k^{2}-m^{2} k-a^{2}=0 \\
& c^{2} k^{2}-m^{2} k-a^{2}-b^{2}=0
\end{aligned}
$$

Според тоа, ако $c^{2}>a^{2}+b^{2}$,тогаш постојат четири решенија, а ако $c^{2} \leq a^{2}+b^{2}$, тогаш постојат три решенија.

## IV година

1. Дадена е низата $a_{n}=\frac{c^{2}+n-2}{2}, n \in \mathbb{N}$.

a) Определи го збирот $S_{n}$ на првите $n$ членови.
б) Докажи дека броителот на збирот $S_{c}$ е делив со 25 ако $c=10 k+1$, каде $k$ е природен број.

Решение. а) Имаме:

$$
S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}=\sum_{k=1}^{n} \frac{c^{2}+k-2}{2}=n \frac{c^{2}-2}{2}+\frac{1}{2}(1+2+\ldots+n)=\frac{n}{4}\left(2 c^{2}+n-3\right)
$$

б) Ако $c=10 k+1$, тогаш броителот на $S_{c}$ е еднаков на

$$
(10 k+1)\left(2(10 k+1)^{2}+10 k+1-3\right)=25 k(10 k+1)(8 k+2)
$$

2. Докажи дека збирот на квадратите на растојанијата од произволна точка на кружницата до сите темиња на рамностраниот триаголник впишан во таа кружница е константен.

Решение. Без ограничување на општоста можеме да земеме дека опишаната кружница $k$ е кружница со радиус $r$ и центар во координатниот почеток, а темињата на рамностраниот триаголник се точките $A, B, C$ со координати, соодветно: $\left(\frac{r}{2}, \frac{r \sqrt{3}}{2}\right),(-r, 0),\left(\frac{r}{2},-\frac{r \sqrt{3}}{2}\right)$. Произволна точка $X$ на кружницата $k$ има координати ( $r x, r y$ ), каде $x^{2}+y^{2}=1$. Тогаш:

$$
\begin{aligned}
X A^{2}+X B^{2}+X C^{2} & =\left(r x-\frac{r}{2}\right)^{2}+\left(r y-\frac{r \sqrt{3}}{2}\right)^{2}+(r x+r)^{2}+r^{2} y^{2}+\left(r x-\frac{r}{2}\right)^{2}+\left(r y+\frac{r \sqrt{3}}{2}\right)^{2} \\
& =3\left(x^{2}+y^{2}\right) r^{2}+3 r^{2}=6 r^{2}
\end{aligned}
$$

3. Определи го параметарот $\lambda$ така што растојанието од центарот на кружницата

$$
x^{2}+y^{2}+4 x-4 y-17=0
$$

до правата $x-(\lambda+2) y-\lambda-4=0$ е еднакво на $\frac{5}{\sqrt{2}}$. Тангентите кои го допираат кружницата во пресечните точки со дадената права и самата права формираат триаголник. Определи ја плоштината на пресекот на опишаниот круг околу тој триаголник и дадениот круг. (За $\lambda$ земи го целобројното решение.)

Решение. Равенката на кружницата $k$ можеме да ја запишеме во видот

$$
(x+2)^{2}+(y-2)^{2}=25
$$

Центарот на кружницата е тоќката $O(-2,2)$. Равенката

$$
\frac{|-2-2(\lambda+2)-\lambda-4|}{\sqrt{1+(\lambda+2)^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{2}}
$$

има две решенија $\lambda_{1}=5$ и $\lambda_{2}=-\frac{15}{7}$. Правата $x-7 y-9=0$ ја сече кружницата $k$ во точките $A(2,-1)$ и $B(-5,-2)$, види цртеж. Равенките на тангентите на кружницата $k$ во точките $A$ и $B$, соодветно се:

$$
y+1=\frac{4}{3}(x-2) \text { и } y+2=-\frac{3}{4}(x+5)
$$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_28_2b46cc0a5ee8d13de133g-4.jpg?height=625&width=818&top_left_y=315&top_left_x=473)

Пресечната точка на овие тангенти е $C(-1,-5)$. Да забележиме дека четириаголникот $A O B C$ е квадрат со страна 5. Бараната плоштна е еднаква на

$$
\frac{5^{2} \pi}{4}+\frac{1}{2}\left(\frac{50}{4} \pi-25\right)=\frac{25}{2}(\pi-1)
$$

4. Докажи дека позитивните реални броеви $a, b$ и $c$ може да се должини на страни на триаголник ако и само ако неравенството $a^{2} p+b^{2} q>c^{2} p q$ важи за секои парови позитивни реални броеви $p$ и $q$ чиј збир е еднаков на 1.

Решение. Прво да забележиме дека позитивните броеви $a, b, c$ може да се должини на страни на триаголник ако и само ако

$$
a+b>c, b+c>a, c+a>b
$$

Да означиме

$$
p=x, q=1-x, a^{2} p+b^{2} q-c^{2} p q=f(x)=c^{2} x^{2}+\left(a^{2}-b^{2}-c^{2}\right) x+b^{2}
$$

Дискриминантата на триномот $f(x)$ e:

$$
D=\left(a^{2}-b^{2}-c^{2}\right)^{2}-4 b^{2} c^{2}=-(a+b+c)(a+b-c)(a+b-c)(b+c-a)
$$

Неравенството $f(x)>0$ важи за секој рален број $x$ ако и само ако $D<0$,т.е.ако и само ако важи

$$
(a+b-c)(a+b-c)(b+c-a)>0
$$

Лесно се гледа дека за позитивни броеви $a, b, c$ може да биде негативен најмногу еден од броевите $a+b-c, b+c-a, c+a-b$. Неравенството (1) важи ако и само ако

$$
a+b>c, b+c>a, c+a>b
$$