# Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Jadranska ulica 19 1000 Ljubljana ## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano. Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen. ## 62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018 ## Naloge za 1. letnik Čas reševanja: 45 minut. B1. Poišči vsa realna števila $x$, ki rešijo neenačbo $$ \frac{|x-3|+x}{x+1}<1 $$ B2. Pokaži, da je izraz $2^{2 n+3}+3^{n+2} \cdot 7^{n}$ deljiv s 17 za vsako naravno število $n$. ## 62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018 ## Naloge za 2. letnik ## Čas reševanja: 45 minut. B1. Poišči vsa cela števila $z$, za katera je tudi $\frac{5 z^{2}+3}{z-1}$ celo število. (20 točk) B2. Dana sta dva enako dolga vektorja $\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}$ in $\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}$, kjer sta $\vec{a}$ in $\vec{b}$ neničelna vektorja, za katera velja $|\vec{a}|=\sqrt{3}|\vec{b}|$. (a) Izračunaj velikost kota med vektorjema $\vec{a}$ in $\vec{b}$. (b) Izračunaj velikost kota med vektorjema $\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}$ in $\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}$. ## 62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018 ## Naloge za 3. letnik ## Čas reševanja: 45 minut. B1. Poišči vsa naravna števila $n$, za katera je $$ \frac{100 n^{5}-n^{4}-50 n^{3}+2 n^{2}-290 n-2}{n^{2}-2} $$ celo število. (20 točk) B2. Poišči vsa realna števila $x$, ki rešijo enačbo $$ \sqrt{\log _{2} x}-\log _{2}(\sqrt{2} x)+\frac{5}{2}=0 $$ ## 62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018 ## Naloge za 4. letnik ## Čas reševanja: 45 minut. B1. Poišči vsa realna števila $x$, za katera je vrednost funkcije $$ f(x)=\sqrt{\frac{15 x^{2}+2}{3 x^{2}+5}} $$ celo število. (20 točk) B2. Naj bodo $x, y$ in $z$ zaporedni členi geometrijskega zaporedja. Dokaži, da velja $$ (x+y+z)(x-y+z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} $$ ## 62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018 Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna $\mathbf{2 0}$ točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $\mathbf{v}$ uradni rešitvi. ## Rešitve za 1. letnik B1. Obravnavamo dva primera. Če je $x \geq 3$, je $|x-3|=x-3$, torej dobimo neenakost $\frac{2 x-3}{x+1}<1$, ki jo preoblikujemo do $\frac{x-4}{x+1}<0$. Imamo dve možnosti, bodisi je $x-4>0$ in $x+1<0$ ali pa je $x-4<0$ in $x+1>0$. V prvem primeru nimamo rešitev, saj sledi protislovje $40$ in $x+1<0$ ali pa je $2-x<0$ in $x+1>0$. V prvem primeru sledi $x<-1$, v drugem primeru pa $x>2$. $Z$ upoštevanjem pogoja $x<3$, dobimo rešitve $x<-1$ in $20$............................................................................ ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cfd2cf88ee04390f062cg-10.jpg?height=54&width=1576&top_left_y=1755&top_left_x=274) Upoštevanje pogoja $x \geq 3$ in zapis končne rešitve $x \in[3,4) \ldots \ldots \ldots \ldots$. Reševanje naloge, ko je $x<3$ : ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cfd2cf88ee04390f062cg-10.jpg?height=57&width=1579&top_left_y=1973&top_left_x=273) ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cfd2cf88ee04390f062cg-10.jpg?height=66&width=1579&top_left_y=2023&top_left_x=273) ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cfd2cf88ee04390f062cg-10.jpg?height=63&width=1579&top_left_y=2079&top_left_x=273) ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cfd2cf88ee04390f062cg-10.jpg?height=57&width=1579&top_left_y=2127&top_left_x=273) Zapis rešitev $x<-1$.......................................................................................................... ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cfd2cf88ee04390f062cg-10.jpg?height=57&width=1576&top_left_y=2227&top_left_x=274) ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cfd2cf88ee04390f062cg-10.jpg?height=51&width=1576&top_left_y=2282&top_left_x=274) Upoštevanje pogoja $x<3$ in zapis končne rešitve $x \in(-\infty,-1) \cup(2,3) \ldots 1$ točka Zapis skupne rešitve $x \in(-\infty,-1) \cup(2,3) \cup[3,4)=(-\infty,-1) \cup(2,4) \ldots \ldots 1$ točka B2. Naj bo $n$ poljubno naravno število. Dani izraz preoblikujemo $$ 2^{2 n+3}+3^{n+2} \cdot 7^{n}=2^{3} \cdot 2^{2 n}+3^{2} \cdot 3^{n} \cdot 7^{n}=8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 21^{n}=17 \cdot 4^{n}+9 \cdot\left(21^{n}-4^{n}\right) $$ Ker je prvi člen večkratnik števila 17 , zadošča dokazati, da je $21^{n}-4^{n}$ deljivo s 17 . Slednje sledi iz enakosti $$ 21^{n}-4^{n}=(21-4)\left(21^{n-1}+21^{n-2} \cdot 4+\ldots+21 \cdot 4^{n-2}+4^{n-1}\right) $$ Preoblikovanje izraza v $2^{3} \cdot 2^{2 n}+3^{2} \cdot 3^{n} \cdot 7^{n}$ 3 točke Zapis izraza kot $8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 21^{n}$ 4 točke Preoblikovanje izraza v $17 \cdot 4^{n}+9 \cdot\left(21^{n}-4^{n}\right)$ .4 točke Razcep izraza $21^{n}-4^{n}$ .4 točke Argumentiran sklep o deljivosti izraza s 17 5 točk 2. način. Kot pri prvi rešitvi izraz preoblikujemo do $8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 21^{n}$. Ker je ostanek števila 21 pri deljenju s 17 enak 4 , ima število $8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 21^{n}$ pri deljenju s 17 enak ostanek kot število $8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 4^{n}=17 \cdot 4^{n}$. Ker je slednje deljivo s 17 je tudi prvotno število deljivo s 17 . Preoblikovanje izraza $\mathbf{v} 2^{3} \cdot 2^{2 n}+3^{2} \cdot 3^{n} \cdot 7^{n}$ 3 točke Zapis izraza kot $8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 21^{n}$ 4 točke Argumentiran sklep, da ima izraz $8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 21^{n}$ pri deljenju s 17 enak ostanek kot izraz $17 \cdot 4^{n}$ 10 točk Sklep, da je izraz deljiv s 17 3 točke ## 62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018 Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna $\mathbf{2 0}$ točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $v$ uradni rešitvi. ## Rešitve za 2. letnik B1. Izraz $\frac{5 z^{2}+3}{z-1}$ najprej preoblikujemo $$ \frac{5 z^{2}+3}{z-1}=5 z+\frac{5 z+3}{z-1}=5 z+5+\frac{8}{z-1} $$ Ker je $z$ celo število, mora biti tudi $\frac{8}{z-1}$ celo število. To pomeni, da mora biti $z-1$ en od deliteljev števila 8 . Delitelji števila 8 so $-8,-4,-2,-1,1,2,4$ in 8 , zato je $z \in\{-7,-3,-1,0,2,3,5,9\}$. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cfd2cf88ee04390f062cg-12.jpg?height=68&width=1579&top_left_y=1071&top_left_x=273) ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cfd2cf88ee04390f062cg-12.jpg?height=65&width=1576&top_left_y=1121&top_left_x=274) Ugotovitev, da mora biti $\frac{8}{z-1}$ celo število ......................................................... ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cfd2cf88ee04390f062cg-12.jpg?height=55&width=1576&top_left_y=1229&top_left_x=274) ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cfd2cf88ee04390f062cg-12.jpg?height=60&width=1579&top_left_y=1278&top_left_x=273) ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cfd2cf88ee04390f062cg-12.jpg?height=60&width=1579&top_left_y=1329&top_left_x=273) B2. (a) Vektorja $\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}$ in $\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}$ sta enako dolga, zato je $\left|\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}=\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}$. Kot med vektorjema $\vec{a}$ in $\vec{b}$ označimo s $\varphi$ in poračunamo $$ \left|\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}=\left(\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right) \cdot\left(\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right)=\frac{1}{9} \vec{a} \cdot \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{b}=\frac{1}{9}|\vec{a}|^{2}+\frac{2}{3}|\vec{a}||\vec{b}| \cos \varphi+|\vec{b}|^{2} $$ Podobno dobimo še $$ \left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}=\frac{4}{9}|\vec{a}|^{2}+\frac{4}{3}|\vec{a}||\vec{b}| \cos \varphi+|\vec{b}|^{2} $$ Ker morata biti ta dva izraza enaka, sledi $$ \frac{1}{3}|\vec{a}|^{2}+\frac{2}{3}|\vec{a}||\vec{b}| \cos \varphi=0 $$ Od tod z upoštevanjem zveze $|\vec{a}|=\sqrt{3}|\vec{b}|$ izrazimo $\cos \varphi=-\frac{|\vec{a}|}{2|\vec{b}|}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, torej je $\varphi=\frac{5 \pi}{6}$. Ugotovitev $\left|\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}=\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}$ 1 točka Izračun $\left|\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}=\frac{1}{9}|\vec{a}|^{2}+\frac{2}{3}|\vec{a}||\vec{b}| \cos \varphi+|\vec{b}|^{2}$ .3 točke Izračun $\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}=\frac{4}{9}|\vec{a}|^{2}+\frac{4}{3}|\vec{a}||\vec{b}| \cos \varphi+|\vec{b}|^{2}$ 2 točki Zapis enakosti $\frac{1}{3}|\vec{a}|^{2}+\frac{2}{3}|\vec{a}||\vec{b}| \cos \varphi=0$ 1 točka Izračun $\cos \varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 2 točki Zapis rešitve $\varphi=\frac{5 \pi}{6}$ 1 točka. (b) Kot med vektorjema $\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}$ in $\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}$ označimo z $\alpha$. Tedaj je $$ \cos \alpha=\frac{\left(\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right) \cdot\left(\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right)}{\left|\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|}=\frac{\frac{2}{9}|\vec{a}|^{2}+\vec{a} \cdot \vec{b}+|\vec{b}|^{2}}{\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}} $$ saj je po predpostavki $\left|\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|=\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|$. Z upoštevanjem enakosti (1), zveze $|\vec{a}|=\sqrt{3}|\vec{b}|$ in rezultata $\varphi=\frac{5 \pi}{6}$ iz točke (a) dobimo $$ \cos \alpha=\frac{\frac{2}{9}|\vec{a}|^{2}+|\vec{a}||\vec{b}| \cos \varphi+|\vec{b}|^{2}}{\frac{4}{9}|\vec{a}|^{2}+\frac{4}{3}|\vec{a}||\vec{b}| \cos \varphi+|\vec{b}|^{2}}=\frac{\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{2}+1\right)|\vec{b}|^{2}}{\left(\frac{4}{3}-2+1\right)|\vec{b}|^{2}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{2} $$ Od tod dobimo $\alpha=\frac{\pi}{3}$. Zapis $\cos \alpha=\frac{\frac{2}{9}|\vec{a}|^{2}+\vec{a} \cdot \vec{b}+|\vec{b}|^{2}}{\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}}$ ..... 4 točke Izračun $\cos \alpha=\frac{1}{2}$ ..... 5 točk Zapis rešitve $\alpha=\frac{\pi}{3}$ ..... 1 točka ## 62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018 Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna $\mathbf{2 0}$ točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $v$ uradni rešitvi. ## Rešitve za 3. letnik B1. Če polinom $100 n^{5}-n^{4}-50 n^{3}+2 n^{2}-290 n-2$ delimo s polinomom $n^{2}-2$, dobimo rezultat $100 n^{3}-n^{2}+150 n$ in ostanek $10 n-2$. Torej je $$ \frac{100 n^{5}-n^{4}-50 n^{3}+2 n^{2}-290 n-2}{n^{2}-2}=100 n^{3}-n^{2}+150 n+\frac{10 n-2}{n^{2}-2} $$ To število bo celo natanko tedaj, ko bo $\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ celo število. Opazimo, da je za $n>10$ števec tega ulomka manjši od imenovalca in oba sta pozitivna, zato je $0<\frac{10 n-2}{n^{2}-2}<1$. $\mathrm{V}$ tem primeru $\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ ni celo število. Torej mora biti $n \leq 10$. Izračunamo vrednost izraza $\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ za prvih 10 naravnih števil in opazimo, da dobimo celo število le, ko je $n=1,2,3,10$. Izračunan količnik $100 n^{3}-n^{2}+150 n$ ..... 2 točki Izračunan ostanek $10 n-2$ ..... 2 točki Zapis $\frac{100 n^{5}-n^{4}-50 n^{3}+2 n^{2}-290 n-2}{n^{2}-2}=100 n^{3}-n^{2}+150 n+\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ ..... 1 točka Ugotovitev, da mora biti $\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ celo število ..... 4 točke Ugotovitev, da za $n>10$ ulomek $\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ ni celo število ..... 3 točke Izračunana vrednost izraza $\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ za prvih deset naravnih števil ..... 3 točke Zapisana rešitev $n=1,2,3,10$ ..... 5 točk B2. Z upoštevanjem zveze $\log _{2}(\sqrt{2} x)=\log _{2} \sqrt{2}+\log _{2} x=\frac{1}{2}+\log _{2} x$ dano enačbo preoblikujemo v $$ \sqrt{\log _{2} x}-\log _{2} x+2=0 $$ Uvedemo novo spremenljivko $t=\sqrt{\log _{2} x}$, da dobimo kvadratno enačbo $$ t-t^{2}+2=0 $$ Enačbo preoblikujemo $\mathrm{v} t^{2}-t-2=0$ in levo stran razstavimo $(t-2)(t+1)=0$, da dobimo rešitvi $t=-1$ in $t=2$. Prva rešitev odpade, saj mora biti $t \geq 0$, iz druge rešitve pa dobimo enačbo $\sqrt{\log _{2} x}=2$, od koder poračunamo $x=2^{4}=16$. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cfd2cf88ee04390f062cg-15.jpg?height=60&width=1576&top_left_y=821&top_left_x=277) ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cfd2cf88ee04390f062cg-15.jpg?height=65&width=1579&top_left_y=867&top_left_x=273) Preoblikovanje enačbe $\mathbf{v} \sqrt{\log _{2} x}-\log _{2} x+2=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točke Vpeljava nove spremenljivke oz. ugotovitev, da je enačba razcepna . . . . . 3 točke Razcep kvadratne enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 točki Rešitvi $t=-1$ in $t=2$ oz. $\sqrt{\log _{2} x}=-1$ in $\sqrt{\log _{2} x}=2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$. Ugotovitev, da rešitev $t=-1$ oz. $\sqrt{\log _{2} x}=-1$ odpade ..................... 2 točki ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cfd2cf88ee04390f062cg-15.jpg?height=54&width=1576&top_left_y=1184&top_left_x=274) ## 62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018 Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna 20 točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $v$ uradni rešitvi. ## Rešitve za 4. letnik B1. Izraz pod korenom preoblikujemo $$ f(x)=\sqrt{\frac{15 x^{2}+2}{3 x^{2}+5}}=\sqrt{5-\frac{23}{3 x^{2}+5}} $$ Ker je $\frac{23}{3 x^{2}+5} \geq 0$, je $\frac{15 x^{2}+2}{3 x^{2}+5} \leq 5$ in zato velja $0 \leq f(x) \leq \sqrt{5}$ za vsa realna števila $x$. Tako imamo le tri možnosti $f(x)=0, f(x)=1$ ali $f(x)=2$. Enačba $\sqrt{\frac{15 x^{2}+2}{3 x^{2}+5}}=0$ nima realnih rešitev, saj $15 x^{2}+2$ ne more biti enako 0 za nobeno realno število $x$. Enačbo $\sqrt{\frac{15 x^{2}+2}{3 x^{2}+5}}=1$ kvadriramo in odpravimo ulomke, da dobimo $15 x^{2}+2=3 x^{2}+5$. Od tod izrazimo $x^{2}=\frac{1}{4}$ oziroma $x= \pm \frac{1}{2}$. Podobno iz enačbe ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cfd2cf88ee04390f062cg-16.jpg?height=117&width=1576&top_left_y=1204&top_left_x=274) Vrednost fukcije $f(x)$ je celo število takrat, ko je $x= \pm \frac{1}{2}$ ali $x= \pm \sqrt{6}$. Sklep, da je korenjenec vedno pozitiven, saj je $x$ realno število ..... 1 točka Preoblikovanje korenjenca do oblike $5-\frac{23}{3 x^{2}+5}$ ..... 2 točki Ugotovitev, da je $0 \leq f(x) \leq \sqrt{5}$ za vsa realna števila $x$ ..... 2 točki Sklep, da je $f(x)=0, f(x)=1$ ali $f(x)=2$ ..... 3 točke Preoblikovanje enačbe $f(x)=0$ do $15 x^{2}+2=0$ ..... 1 točka Sklep, da enačba $f(x)=0$ nima realnih rešitev ..... 1 točka Preoblikovanje enačbe $f(x)=1$ do $15 x^{2}+2=3 x^{2}+5$ ..... 1 točka Enačba $f(x)=1$ ima rešitvi $x= \pm \frac{1}{2}$ ..... 2 točki Preizkus rešitev ..... 2 točki Preoblikovanje enačbe $f(x)=2$ do $15 x^{2}+2=12 x^{2}+20$ ..... 1 točka Enačba $f(x)=2$ ima rešitvi $x= \pm \sqrt{6}$ ..... 2 točki Preizkus rešitev ..... 2 točki 2. način. Naj bo $f(x)=n$, kjer je $n \geq 0$ celo število. Enakost kvadriramo, da dobimo $\frac{15 x^{2}+2}{3 x^{2}+5}=n^{2}$. Odpravimo ulomke in enačbo preuredimo do $\left(15-3 n^{2}\right) x^{2}=5 n^{2}-2$. Ker je $15-3 n^{2} \neq 0$ za vsa cela števila $n$, lahko enačbo delimo z $15-3 n^{2}$, da dobimo $$ x^{2}=\frac{5 n^{2}-2}{15-3 n^{2}} $$ Torej mora biti $\frac{5 n^{2}-2}{15-3 n^{2}} \geq 0$. Število $n=0$ očitno ne ustreza temu pogoju, za $n \geq 1$ pa je $5 n^{2}-2>0$, zato mora biti tudi $15-3 n^{2}>0$. Od tod sledi $n^{2}<5$ oziroma $n \leq 2$. Imamo torej le dve možnosti, $n=1$ ali $n=2$. Pri $n=1$ dobimo $x^{2}=\frac{1}{4}$ oziroma $x= \pm \frac{1}{2}$, pri $n=2$ pa dobimo $x^{2}=6$ oziroma $x= \pm \sqrt{6}$. Preizkus pokaže, da so vse rešitve res prave. Zapis enačbe $f(x)=n$, kjer je $n \geq 0$ celo število ..... 1 točka Preoblikovanje enačbe do $\left(15-3 n^{2}\right) x^{2}=5 n^{2}-2$ ..... 1 točka Utemeljen sklep, da je $\frac{5 n^{2}-2}{15-3 n^{2}} \geq 0$ ..... 3 točke Ugotovitev, da število $n=0$ ne ustreza temu pogoju ..... 2 točki Ugotovitev, da za $n \geq 1$ velja $5 n^{2}-2>0$ ..... 1 točka Sklep $15-3 n^{2}>0$ ..... 1 točka Sklep $n^{2}<5$ oziroma $n \leq 2$ ..... 1 točka Preverjanje možnosti $n=1$ ..... 1 točka Rešitev $x^{2}=\frac{1}{4}$ oziroma $x= \pm \frac{1}{2}$ ..... 2 točki Preizkus rešitev ..... 2 točki Preverjanje možnosti $n=2$ ..... 1 točka Rešitev $x= \pm \sqrt{6}$ ..... 2 točki Preizkus rešitev ..... 2 točki B2. Ker so $x, y$ in $z$ zaporedni členi geometrijskega zaporedja, velja $y^{2}=x z$. Levo stran enakosti zmnožimo in poenostavimo $(x+y+z)(x-y+z)=x^{2}-x y+x z+x y-y^{2}+y z+x z-y z+z^{2}=x^{2}+2 x z-y^{2}+z^{2}$. Z upoštevanjem zveze $x z=y^{2}$ dobimo $$ x^{2}+2 x z-y^{2}+z^{2}=x^{2}+2 y^{2}-y^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} $$ kar je desna stran dane enakosti. S tem je enakost dokazana. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cfd2cf88ee04390f062cg-18.jpg?height=60&width=1585&top_left_y=770&top_left_x=270) Preoblikovanje leve strani enakosti do $x^{2}+2 x z-y^{2}+z^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . .3$ točke ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cfd2cf88ee04390f062cg-18.jpg?height=60&width=1579&top_left_y=872&top_left_x=273) Preoblikovanje $x^{2}+2 x z-y^{2}+z^{2}=x^{2}+2 y^{2}-y^{2}+z^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točke Preoblikovanje $x^{2}+2 y^{2}-y^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ Sklep, da je leva stran enakosti enaka desni ................................... 4 točke 2. način. Ker so $x, y$ in $z$ zaporedni členi geometrijskega zaporedja, jih lahko zapišemo v obliki $x=a, y=a q$ in $z=a q^{2}$, kjer je $q$ kvocient zaporedja. Slednje vstavimo v levo stran enakosti in jo poenostavimo $$ \begin{aligned} (x+y+z)(x-y+z) & =\left(a+a q+a q^{2}\right)\left(a-a q+a q^{2}\right)=a^{2}\left(1+q+q^{2}\right)\left(1-q+q^{2}\right)= \\ & =a^{2}\left(1-q+q^{2}+q-q^{2}+q^{3}+q^{2}-q^{3}+q^{4}\right)=a^{2}\left(1+q^{2}+q^{4}\right) \end{aligned} $$ ter $\mathrm{v}$ desno stran enakosti $$ x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}+a^{2} q^{2}+a^{2} q^{4}=a^{2}\left(1+q^{2}+q^{4}\right) $$ Ker sta rezultata enaka, je s tem enakost dokazana. Upoštevanje $x=a, y=a q$ in $z=a q^{2}$ ..... 4 točke Preoblikovanje leve strani enakosti do $\left(a+a q+a q^{2}\right)\left(a-a q+a q^{2}\right)$ ..... 2 točki Preoblikovanje leve strani enakosti do $a^{2}\left(1+q^{2}+q^{4}\right)$ ..... 4 točke Preoblikovanje desne strani enakosti do $a^{2}+a^{2} q^{2}+a^{2} q^{4}$ ..... 2 točki Preoblikovanje desne strani enakosti do $a^{2}\left(1+q^{2}+q^{4}\right)$ ..... 4 točke Sklep, da je leva stran enakosti enaka desni ..... 4 točke