# Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
3. matematično tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih sol Ljubljana, 12. april 2003
## NALOGE ZA 1. LETNIK
1. Vemo, da je $A=\frac{a^{-2}-b^{-2}}{a^{-1}-b^{-1}}$
$$
\text { in } B=\left(\frac{a^{-1}}{a^{-1}-b^{-1}}-\frac{b^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}}\right) \cdot\left(a^{-1}-b^{-1}\right) \cdot\left(a^{-2}+b^{-2}\right)^{-1}
$$
Dokaži, da je $A=B^{-1}$.
2. Trije razredi so zbirali papir. Razred $A$ je zbral $20 \%$ več papirja kot razred $B$, razred $B$ pa $20 \%$ manj papirja kot razred $C$. Koliko kilogramov papirja so zbrali posamezni razredi, če je skupaj zbranih $759 \mathrm{~kg}$ papirja? Zapiši odgovor.
3. Točka $T(a+\sqrt{2}, \sqrt{2}-a)$ naj bo enako oddaljena od točk $A(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ in $B(\sqrt{2},-\sqrt{2})$.
a) Določi vrednost parametra $a$.
b) Izračunaj ploščino trikotnika $A B T$.
4. Naloga iz zbirke LILAVATI, indijskega matematika Bhaskare:
Za zmeraj isto sem ceno kupil zate teh osem rubinov, zatem smaragdov deset in nazadnje še biserov sto, ki nosiš jih zdaj na uhanih. $\check{C}$ e zberem skupaj po enega iz vrste vsake žlahtnih kamnov teh, bo njih cena le za kovance tri manjša, kot je polovica od sto.
O, vedro dekle, če si v računanju spretna dovolj, le bř̌ povej mi, koliko je kovancev tedaj vsak od teh kamnov me stal.
5. Dokaži, da vsota petih zaporednih naravnih števil ne more biti praštevilo.
Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.
Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.
Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.
3. matematično tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih sol Ljubljana, 12. april 2003
## NALOGE ZA 2. LETNIK
1. Poenostavi izraz
$$
\left(x+\sqrt[3]{3 \cdot \sqrt{\frac{x^{3}-1}{9}+\frac{x-x^{2}}{3}}}\right) \cdot(x-\sqrt{x-1})
$$
2. Dani sta premici z enačbama $(1-a) x-2 a y-2=0$ in $-2 x+a y-1=0$. Določi $a$ tako, da se bosta premici sekali na simetrali lihih kvadrantov.
3. V pravilnem šestkotniku $A B C D E F$ s stranico dolžine $a$ se nosilki stranic $A F$ in $D E$ sekata v točki $T$. Natančno izračunaj dolžino daljice $B T$.
4. Dan je trapez s podatki $a=7, b=4, c=3$ in $\beta=90^{\circ}$. Izračunaj kot med diagonalama trapeza na stotinko stopinje natančno.
5. Dani funkciji $f(x)=\frac{3-2 a}{a+5} x+\frac{2 a-1}{3-a}$ določi parameter $a$ tako, da bo graf funkcije sekal ordinatno os nad koordinatnim izhodiščem in da bo funkcija padajoča.
Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.
Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.
Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.
Za reševanje imaš na voljo 120 min.
3. matematično tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih sol Ljubljana, 12. april 2003
## NALOGE ZA 3. LETNIK
1. Poslovodja je nabavil puloverje in zanje plačal 960 tisočakov. V trgovini jih je prodajal po 12 tisočakov. Dobiček, ki ga je ustvaril pri prodaji vseh puloverjev, je bil enak znesku, ki ga je dal za 60 puloverjev. Koliko puloverjev je nabavil? Zapiši odgovor.
2. Reši sistem enačb $3^{x} \cdot 2^{y}=648$ in $\log _{3}(x-y)=0$.
3. Reši enačbo $\log _{x}(5 \cdot \sqrt{5})-\frac{5}{4}=\left(\log _{x} \sqrt{5}\right)^{2}$.
4. Zapiši enačbo polinoma 3. stopnje (lahko tudi v razstavljeni obliki), katerega graf poteka skozi točke $A(4,-5), B(-1,0), C(0,5)$ in $D(5,0)$. Skiciraj graf polinoma.
5. Poišči vse celoštevilske rešitve enačbe $x^{2}+73=y^{2}$.
Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.
Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.
Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.
Za reševanje imaš na voljo 120 min.
3. matematično tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih sol Ljubljana, 12. april 2003
## NALOGE ZA 4. LETNIK
1. Dana je funkcija $f(x)=\cos x-\sin x$.
a) Pokaži, da funkcija ni niti soda niti liha.
b) Pokaži, da je $f(x)=-\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$, in zapiši zalogo vrednosti.
2. Dokaži, da sestavljajo razlike kvadratov zaporednih naravnih števil aritmetično zaporedje.
3. Ženin in nevesta sta naročila trinadstropno torto iz treh enako visokih tort na med seboj povezanih in enako oddaljenih podstavkih. Razmik med sosednjima podstavkoma je bil $11 \mathrm{~cm}$, trinadstropna torta pa je bila visoka $30 \mathrm{~cm}$. Spodnja torta je bila največja, premer vsake naslednje pa je bil za $6 \mathrm{~cm}$ krajši od premera prejšnje.
S trinadstropno torto sta nahranila sebe in še 28 svatov. Upoštevaj, da je vsak v povprečju pojedel $24 \mathrm{dag}$ torte in da $77 \pi \mathrm{cm}^{3}$ torte tehta $10 \mathrm{dag}$. Kolik je bil polmer spodnje (največje) torte?
4. Poišči ničle funkcije $f(x)=\sqrt{1-\cos ^{2} 2 x}$ in nariši njen graf na intervalu $[-\pi, 2 \pi]$.
Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.
Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.
Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.
5. Na dveh šolah so neopravičene izostanke prikazali z grafikoni. Na prvi šoli (šoli $A$ ) so podatke prikazali z dvema histogramoma:
Na drugi šoli (šoli $B$ ), na kateri je 200 dijakov, so podatke prikazali s strukturnim krogom:
a) Za vsako šolo razvrsti podatke v ustrezno preglednico.
Šola $A$ :
| Razred | Število
dijakov | Neopr.
ure |
| :--- | :--- | :--- |
| $1 a$ | | |
| $1 b$ | | |
| $2 a$ | | |
| $3 a$ | | |
| $4 a$ | | |
| $4 b$ | | |
| | | |
Šola $B$ :
| Frekvenčni
razred | Odstotek | Število
dijakov | Povprečje
razreda | Zmnožek |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $0-4$ | | | | |
| $5-9$ | | | | |
| $10-14$ | | | | |
| $15-19$ | | | | |
| $20-24$ | | | | |
| | | | | |
b) Koliko znaša povprečno število neopravičenih ur na dijaka na posamezni šoli? Zapiši odgovor.
## Rešitve nalog in točkovnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovico možnih točk.
## Prvi letnik
1. Najprej poenostavimo izraz $A$ : $\frac{\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2} b^{2}}}{\frac{b-a}{a b}}=\frac{(b-a)(b+a)}{(b-a) a b}=\frac{b+a}{a b}$, nato pa še izraz $B$ : $\left(\frac{\frac{1}{a}}{\frac{b-a}{a b}}-\frac{\frac{1}{b}}{\frac{b+a}{a b}}\right) \cdot \frac{b-a}{a b} \cdot \frac{1}{\frac{b^{2}+a^{2}}{a^{2} b^{2}}}=\left(\frac{b}{b-a}-\frac{a}{b+a}\right) \cdot \frac{a b(b-a)}{b^{2}+a^{2}}=\frac{b^{2}+a b-a b+a^{2}}{(b-a)(b+a)} \cdot \frac{a b(b-a)}{b^{2}+a^{2}}=$ $\frac{a b}{b+a}$. Vidimo, da res velja $A=B^{-1}$.
Zapis: $A=\frac{\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2} b^{2}}}{\frac{b-a}{a b}}$ 1 točka
Zapis: $A=\frac{b+a}{a b}$ 1 točka
Poenostavljanje prvega oklepaja do oblike: $\frac{b}{b-a}-\frac{a}{a+b}$
1 točka
Zapis zveze: $\left(a^{-2}+b^{-2}\right)^{-1}=\frac{a^{2} b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$.
1 točka
Zapis: $B=\frac{a b}{b+a}$
1 točka
Sklep: $A=B^{-1}$
1 točka
2. Denimo, da je razred $C$ zbral $x$ kg papirja. Tedaj je razred $B$ zbral $0.8 x \mathrm{~kg}$ papirja, razred A pa $1.2 \cdot 0.8 \cdot x=0.96 x \mathrm{~kg}$ papirja. Velja $x+0.8 x+0.96 x=759$, od koder izračunamo $x=275$, nato pa še $0.8 x=220$ in $0.96 x=264$. Razred $A$ je zbral $264 \mathrm{~kg}$ papirja, razred $B$ $220 \mathrm{~kg}$ in razred $C 275 \mathrm{~kg}$ papirja.
Odgovor ........................................................................................................
3. Da bo točka $T$ enako oddaljena od točk $A$ in $B$, mora veljati $\sqrt{(a+\sqrt{2}+\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2}-a-\sqrt{2})^{2}}=$ $\sqrt{(a+\sqrt{2}-\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2}-a+\sqrt{2})^{2}}$, od koder dobimo $a^{2}+4 a \sqrt{2}+8+a^{2}=a^{2}+8-4 a \sqrt{2}+a^{2}$ oziroma $8 a \sqrt{2}=0$ in končno $a=0$.
Točke $A, B$ in $T$ so oglišča enakokrakega pravokotnega trikotnika $s$ katetama dolžine $2 \sqrt{2}$. Ploščina tega trikotnika je $\frac{2 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{2}}{2}=4$.
Zapis $\sqrt{(a+\sqrt{2}+\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2}-a-\sqrt{2})^{2}}=$
$\sqrt{(a+\sqrt{2}-\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2}-a+\sqrt{2})^{2}}$
.1 točka
Poenostavitev enakosti do oblike $8 a \sqrt{2}=0$ .1 točka
Izračun $a=0$
.1 točka
(b) Zapis obrazca za računanje ploščine trikotnika .1 točka Izračunana ploščina trikotnika: 4 .1 točka
4. Denimo, da je rubin stal $x$ kovancev, smaragd $y$ kovancev in biser $z$ kovancev. Prvi del naloge pove, da je $8 x=10 y=100 z$, od koder lahko izrazimo $x=\frac{25}{2} z$ in $y=10 z$. Besedilo drugega dela naloge prepišemo v enačbo $x+y+z=\frac{100}{2}-3$. Zapišemo torej lahko $\frac{25}{2} z+10 z+z=47$ in izrazimo $z=2$. Biser je stal 2 kovanca, smaragd 20 kovancev, rubin pa 25 kovancev.
Vpeljava neznank: $x$-rubin, $y$-smaragd, $z$-biser .......................................................................................
Izraženi dve neznanki z isto neznanko ..............................................................................
Vstavljanje izraženih neznank v enačbo .........................................................................................................
5. Če vzamemo pet zaporednih naravnih s̆tevil $n-2, n-1, n, n+1$ in $n+2$, je $n \geq 3$, vsota teh s̆tevil pa je $5 n$. S̆tevilo $5 n$ je za $n \geq 3$ sestavljeno.
Če vzamemo pet zaporednih naravnih s̆tevil $n, n+1, n+2, n+3$ in $n+4$, je $n \geq 1$, vsota teh števil pa je $5 n+10=5(n+2)$. Število $5(n+2)$ je za $n \geq 1$ sestavljeno, saj je $n+2 \geq 3$.
Sklep: produkt $5(n+2)$ je sestavljeno število.............................................................
ALI
Sklep: $5 n$ je sestavljeno število..............................................................................
## Drugi letnik
1. Izraz poenostavimo: $\left(x+\sqrt[3]{3 \cdot \sqrt{\frac{x^{3}-1}{9}+\frac{x-x^{2}}{3}}}\right) \cdot(x-\sqrt{x-1})=\left(x+\sqrt[3]{3 \cdot \sqrt{\frac{x^{3}-1+3 x-3 x^{2}}{9}}}\right)$. $(x-\sqrt{x-1})=\left(x+\sqrt[6]{(x-1)^{3}}\right) \cdot(x-\sqrt{x-1})=(x+\sqrt{x-1}) \cdot(x-\sqrt{x-1})=x^{2}-x+1$.
Razširjanje na skupni imenovalec $\sqrt[3]{3 \cdot \sqrt{\frac{x^{3}-1+3 x-3 x^{2}}{9}}}$
Sklep $\sqrt[6]{3^{2} \cdot \frac{x^{3}-1+3 x-3 x^{2}}{9}}$. .1 točka
Zapis $\sqrt[6]{(x-1)^{3}}$ .1 točka
Sklep $\sqrt[6]{(x-1)^{3}}=\sqrt{x-1}$
1 točka
Množenje oklepajev
1 točka
Rezultat $x^{2}-x+1$
1 točka
2. Če je $a=0$, sta premici med seboj vzporedni (njuni enačbi sta tedaj $x-2=0$ in $2 x+1=0$ ), zato privzemimo, da $a \neq 0$. Izrazimo $y=\frac{(1-a) x-2}{2 a}$ iz prve in $y=\frac{2 x+1}{a}$ iz druge enačbe. Izenačimo dobljeni desni strani $\frac{(1-a) x-2}{2 a}=\frac{2 x+1}{a}$ in enačbo preuredimo v $(-a-3) x=4$, od koder izrazimo $x=-\frac{4}{a+3}$, če je $a \neq-3$ (prepričamo se lahko, da predstavljata dani enačbi dve vzporedni premici, če upoštevamo $a=-3$ ). Izrazimo še ordinato presečišča: $y=\frac{a-5}{a(a+3)}$. Vsaka točka na simetrali lihih kvadrantov ima absciso enako ordinati, zato mora veljati $-\frac{4}{a+3}=\frac{a-5}{a(a+3)}$, od tod pa končno dobimo $a=1$.
Enačba simetrale $y=x$ 1 točka Pretvorba na sistem dveh enačb z dvema neznankama 1 točka
Pravilno reševanje sistama dveh enačb z dvema neznankama ... 3 točke Rešitev $a=1$ 1 točka
3. S skice razberemo, da je $|D T|=2 a,|B D|$ pa je enaka dolžini dveh višin enakostraničnega trikotnika s stranico $a$, torej $|B D|=a \sqrt{3}$. Dolžino daljice $B T$ izračunamo po Pitagorovem izreku: $|B T|=\sqrt{|D T|^{2}+|B D|^{2}}=$ $\sqrt{4 a^{2}+3 a^{2}}=a \sqrt{7}$.
Skica .1 točka
Pravilno kvadriranje zveze $|B T|^{2}=(a \sqrt{3})^{2}+(2 a)^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka
4. Označimo $\varphi=\angle B A C$ in $\varepsilon=\angle A B D=\angle B D C$. V pravokotnih trikotnikih $A B C$ in $B C D$ dobimo $\operatorname{tg} \varphi=\frac{4}{7}$ oziroma $\operatorname{tg} \varepsilon=\frac{4}{3}$, tako da je $\varphi=29.74^{\circ}$ in $\varepsilon=53.13^{\circ}$ ter $\angle A E B=97.13^{\circ}$. Kot med diagonalama je $82.87^{\circ}$.
Skica z označenim presečiščem diagonal $\mathrm{E}$ ter
5. Dana funkcija je padajoča, če velja $\frac{3-2 a}{a+5}<0$. Njen graf seka ordinatno os nad koordinatnim izhodiščem, če velja $\frac{2 a-1}{3-a}>0$. Prva neenačba je izpolnjena, če imata s̆tevec in imenovalec ulomka $\frac{3-2 a}{a+5}$ različna predznaka, to je za $a<-5$ ali za $a>\frac{3}{2}$. Druga neenačba je izpolnjena, če imata števec in imenovalec ulomka $\frac{2 a-1}{3-a}$ enaka predznaka, to je za $\frac{1}{2} dijakov | Neopr.
ure |
| :--- | ---: | ---: |
| $1 a$ | 30 | 105 |
| $1 b$ | 28 | 80 |
| $2 a$ | 26 | 100 |
| $3 a$ | 27 | 85 |
| $4 a$ | 26 | 130 |
| $4 b$ | 23 | 110 |
| | 160 | 610 |
Šola $B$ :
| Frekvenčni
razred | Odstotek | Število
dijakov | Povprečje
razreda | Zmnožek |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $0-4$ | 34 | 68 | 2 | 136 |
| $5-9$ | 15 | 30 | 7 | 210 |
| $10-14$ | 28 | 56 | 12 | 672 |
| $15-19$ | 10 | 20 | 17 | 340 |
| $20-24$ | 13 | 26 | 22 | 572 |
| | | 200 | | 1930 |
Povprečno s̆tevilo neopravičenih ur na dijaka na šoli $A$ je $\bar{x}=\frac{105+80+100+85+130+110}{30+28+26+27+26+23}=\frac{610}{160}=$ 3.81, na soli $B$ pa $\bar{y}=\frac{68 \cdot 2+30 \cdot 7+56 \cdot 12+20 \cdot 17+26 \cdot 22}{200}=\frac{1930}{200}=9.65$.
Zapis tabele za šolo $A$ :
.1 točka
Izračunano število dijakov za solo $B$......................................................................
Povprečje za šolo $B$ :
Odgovor:
Na šoli $A$ je povprečno število neopravičenih ur na dijaka 3,81 , na s̆oli $B$ pa 9,65 . .