# Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
22. tekmovanje v znanju
matematike za dijake srednjih
tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 17. marec 2022
Naloge za 1. letnik
Čas reševanja: 45 minut.
B1. Poenostavi izraz $\frac{1+3 a^{-1}+3 a^{-2}+a^{-3}}{1+a^{-3}} \cdot \frac{1-a^{-1}+a^{-2}}{1-a^{-2}} ; a \neq-1,0,1$, nato pa izračunaj vrednost izraza za $a=2,8 \overline{3}: \frac{17}{30}$.
B2. V dveh sadovnjakih so prvo leto nabrali skupaj 315 ton sadja. Naslednje leto se je skupni pridelek povečal za $40 \%$. V prvem sadovnjaku se je pridelek povečal za $25 \%$, v drugem pa za $50 \%$. Koliko ton sadja so v vsakem sadovnjaku nabrali prvo leto in koliko drugo leto?
## 22. tekmovanje v znanju
matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 17. marec 2022
Naloge za 2. letnik
Čas reševanja: 45 minut.
B1. Dana je družina premic $\mathbf{z}$ enačbo $m(2 x-1)+(-x+2 y-2)=0, m \in \mathbb{R}$.
a) Za $m=3$ zapiši enačbo premice v eksplicitni in odsekovni obliki ter jo nariši v kartezičnem koordinaten sistemu.
b) Zapiši, za katero vrednost parametra $m$ leži točka $A\left(-\frac{3}{2}, 4\right)$ na dani premici.
c) Zapiši, za katero vrednost parametra $m$ je dana premica vzporedna premici $2 x+4 y-1=0$.
d) Zapiši, za katere vrednosti parametra $m$ je dana premica naraščajoča.
B2. a) Poenostavi izraz: $\frac{14 \sqrt{15}}{2 \sqrt{5}+3 \sqrt{10}}-\frac{9 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
b) Izračunaj vrednost izraza: $0,36^{-\frac{1}{2}} \cdot 27^{\frac{2}{3}}-0,04^{-\frac{1}{2}}+16^{\frac{3}{4}}+\left(0,25^{-\frac{1}{2}}-8^{-\frac{2}{3}}\right)^{0}$
## 22. tekmovanje v znanju
matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 17. marec 2022
Naloge za 3. letnik
Čas reševanja: 45 minut.
B1. Dan je paralelogram $A B C D$ s podatki: $|A B|=a=8 \mathrm{~cm},|B C|=b=4 \sqrt{2} \mathrm{~cm}, v_{a}=4 \mathrm{~cm}$ in kot $\Varangle B A D$ je ostri.
a) $\mathrm{S}$ šestilom in ravnilom načrtajte paralelogram $A B C D$.
b) Izračunajte velikosti kotov $\Varangle B A D$ in $\Varangle A D B$.
B2. Dana je kvadratna funkcija s predpisom $f(x)=-2(x-2)^{2}+8$.
a) Narišite graf funkcije $f$ v kartezičnem koordinatnem sistemu.
b) Izračunajte ploščino enakokrakega trapeza $A B C D$, katerega oglišči $A$ in $B$ sta v presečišči grafa funkcije $f$ in abscisne osi, oglišči $C$ in $D$ pa ležita na grafu funkcije $f$ tako, da je $|C D|=2$.
## 22. tekmovanje v znanju
matematike za dijake srednjih
tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 17. marec 2022
Naloge za 4. letnik
Čas reševanja: 45 minut.
B1. 1. Hkrati vržemo tri poštene igralne kocke, ki jih med seboj razlikujemo. S kolikšno verjetnostjo padejo
a) dve šestici in ena petica?
b) tri različna števila?
c) vsota pik pet?
d) vsota pik tri ali štirinajst?
e) vsaj šestnajst pik?
B2. 5. V množici realnih števil reši enačbo $\sqrt{6 x^{4}-9 x^{3}+18 x^{2}-9 x+3}=2 x^{2}+1$. Različne rešitve enačbe (večkratne rešitve upoštevaj enkrat) so prvi trije členi padajočega neskončnega geometrijskega zaporedja. Kolikšna je vsota prvih desetih členov tega zaporedja?
# dUFA
22. tekmovanje v znanju
matematike za dijake srednjih
tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 17. marec 2022
## Rešitve nalog za Naloge za 1. letnik
1. Potence z negativnim eksponentom zapišemo z ulomki ter jih razširimo na skupni imenovalec $\frac{1+\frac{3}{a}+\frac{3}{a^{2}}+\frac{1}{a^{3}}}{1+\frac{1}{a^{3}}} \cdot \frac{1-\frac{1}{a}+\frac{1}{a^{2}}}{1-\frac{1}{a^{2}}}=\frac{\frac{a^{3}+3 a^{2}+3 a+1}{a^{3}}}{\frac{a^{3}+1}{a^{3}}} \cdot \frac{\frac{a^{2}-a+1}{a^{2}}}{\frac{a^{2}-1}{a^{2}}}$. Odpravimo dvojne ulomke ter razstavimo, kar se da $\frac{a^{3}+3 a^{2}+3 a+1}{a^{3}+1} \cdot \frac{a^{2}-a+1}{a^{2}-1}=\frac{(a+1)\left(a^{2}-a+1\right)+3 a(a+1)}{(a+1)\left(a^{2}-a+1\right)} \cdot \frac{a^{2}-a+1}{(a-1)(a+1)}=\frac{(a+1)\left(a^{2}-a+1+3 a\right)}{(a+1)\left(a^{2}-a+1\right)} \cdot \frac{a^{2}-a+1}{(a-1)(a+1)}$. Krajšamo $\frac{a^{2}+2 a+1}{(a-1)(a+1)}=\frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)}=\frac{a+1}{a-1}$. Periodično decimalno število $2,8 \overline{3}$ pretvorimo $\mathrm{v}$ ulomek $\frac{17}{6}$ in poenostavimo $a=2,8 \overline{3}: \frac{17}{30}=\frac{17}{6} \cdot \frac{30}{17}=5 . a=5$ vstavimo v poenostavljen izraz $\frac{a+1}{a-1}$ ter dobimo rešitev $\frac{3}{2}$.
Zapis potenc z negativnim eksponentom z ulomki $\frac{1+\frac{3}{a}+\frac{3}{a^{2}}+\frac{1}{a^{3}}}{1+\frac{1}{a^{3}}} \cdot \frac{1-\frac{1}{a}+\frac{1}{a^{2}}}{1-\frac{1}{a^{2}}}$ 1 točka Razširitev ulomkov na skupni imenovalec $\frac{\frac{a^{3}+3 a^{2}+3 a+1}{3}}{\frac{a^{3}+1}{a^{3}}} \cdot \frac{\frac{a^{a^{3}}-a+1}{a^{2}}}{\frac{a^{2}-1}{a^{2}}}$ 1 točka Odprava dvojnih ulomkov $\frac{a^{3}+3 a^{2}+3 a+1}{a^{3}+1} \cdot \frac{a^{2}-a+1}{a^{2}-1}$ .1 točka Razstavljanje izraza $a^{3}+3 a^{2}+3 a+1=a^{a^{3}}+1+3 a(a+1)=(a+1)\left(a^{2}-a+1\right)+3 a(a+1)$
Zapis periodičnega decimalnega števila z ulomkom $2,8 \overline{3}=\frac{17}{6} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1$ točka
Poenostavitev števila $a=2,8 \overline{3}: \frac{17}{30}=\frac{17}{6} \cdot \frac{30}{17}=5 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots$ točka
2. $\mathrm{Z} x$ in $y$ označimo pridelka iz prvega oziroma drugega sadovnjaka v prvem letu. Potem je skupni pridelek v prvem letu enak $x+y=315$. V drugem letu je pridelek prvega sadovnjaka enak $x_{2}=x+25 \% x=1,25 x$, drugega pa $y_{2}=y+50 \% y=1,5 y$. Skupni pridelek je enak $1,25 x+1,5 y=1,4 \cdot 315$ oziroma $1,25 x+1,5 y=441$. Rešimo sistem enačb in dobimo $x=126$ in $y=189$. V prvem letu so v prvem sadovnjaku pridelali 126 ton sadja, v drugem pa 189 ton. Izračunamo še pridelka obeh sadovnjakov v drugem letu. $x_{2}=1,25 x=1,25 \cdot 126=189$ in $y_{2}=1,5 y=283,5$. V drugem letu so $\mathrm{v}$ prvem sadovnjaku pridelali 189 ton sadja, $\mathrm{v}$ drugem pa 283,5 ton.
Zapis pridelka v prvem sadovnjaku za prvo leto $x$..............................................................................
Zapis pridelka v prvem sadovnjaku za drugo leto $x_{2}=x+25 \% x=1,25 x \ldots \ldots \ldots . .1$ točka
Zapis pridelka v drugem sadovnjaku za drugo leto $y_{2}=y+50 \% y=1,5 y \ldots \ldots \ldots . .1$ točka
Zapis sistema enačb $x+y=3151,25 x+1,5 y=441 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1+1$ točka
Reševanje sistema enačb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1^{*}$ točka
Izračun pridelka za prvo leto v prvem sadovnjaku 126 ton in v drugem 189 ton ....... 1 točka
Izračun pridelka za drugo leto v prvem sadovnjaku 189 ton in v drugem 283, 5 ton . . . 1 točka Odgovor: V prvem letu so v prvem sadovnjaku pridelali 126 ton sadja, v drugem pa 189 ton. V drugem letu so v prvem sadovnjaku pridelali 189 ton sadja, v drugem pa 283, 5 ton. . 1 točka
## 22. tekmovanje v znanju
matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 17. marec 2022
## Rešitve nalog za Naloge za 2. letnik
1. Vstavimo $m=3$ in dobimo premico z enačbo $5 x+2 y-5=0$. Preoblikujemo jo v eksplicitno obliko in dobimo $y=-\frac{5}{2} x+\frac{5}{2}$. Premico zapišemo se v odsekovni obliki in dobimo: $\frac{x}{1}+\frac{y}{\frac{5}{2}}=1$. Premico narišemo: odsek na osi $x$ je 1 , odsek na osi $y$ pa $\frac{5}{2}$.
Točko $A\left(-\frac{3}{2}, 4\right)$ vstavimo v dano družino premic in dobimo, da je $m=\frac{15}{8}$.
Enačbo družine premic preoblikujemo v eksplicitno obliko: $y=\frac{1-2 m}{2} x+\frac{m}{2}+1$. Izpišemo smerni koeficient $k=\frac{1-2 m}{2}$.
Premici sta vzporedni, ko imata enak smerni koeficient. Ker je smerni koeficient dane premice $-\frac{1}{2}$, smerni koeficient družine premic pa $\frac{1-2 m}{2}$, z enačenjem le-teh dobimo, da sta premici vzporedni, ko je $m=1$.
Premica je naraščajoča, ko je $k>0$, to je, ko je $m<\frac{1}{2}$.
a) Zapis premice v eksplicitni obliki $y=-\frac{5}{2} x+\frac{5}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka
$\qquad$
b) Vstavljanje točke $A$ v enačbo in izračun vrednosti parametra $m=\frac{15}{8} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1$ točka
Zapis smernega koeficienta družine premic $k=\frac{1-2 m}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka
Ugotovitev, da sta premici vzporedni, ko sta njuna smerna koeficienta enaka $\frac{1-2 m}{2}=-\frac{1}{2} \ldots .1$ točka
Izračun vrednosti parametra $m=1$
1 točka
d) Ugotovitev, da je premica naraščajoča, ko je $\frac{1-2 m}{2}>0$ 1 točka
Rešitev neenačbe $m<\frac{1}{2}$
1 točka
2. a) Vsak ulomek posebej racionaliziramo. Ulomek $\frac{14 \sqrt{15}}{2 \sqrt{5}+3 \sqrt{10}}$ razširimo z $2 \sqrt{5}-3 \sqrt{10}$. V števcu lahko po delnem korenjenju izpostavimo -10 in krajšamo z imenovalcem, dobimo
## Naloge za 2. letnik
$3 \sqrt{6}-2 \sqrt{3}$. Ulomek $\frac{9 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ razširimo z $\sqrt{3}$ in dobimo $3 \sqrt{6}$. Rezultat je $-2 \sqrt{3}$.
b) Izračunamo vsak člen posebej in nato seštejemo ter dobimo rezultat 19.
a) Razširitev prvega ulomka z $2 \sqrt{5}-3 \sqrt{10}$ ..... 1 točka
Preoblikovanje prvega ulomka v $3 \sqrt{6}-2 \sqrt{3}$ ..... 1 točka
Preoblikovanje drugega ulomka v $3 \sqrt{6}$ ..... 1 točka
Rezultat $-2 \sqrt{3}$ ..... 1 točka
b) Poenostavitev $0,36^{-\frac{1}{2}}=\frac{5}{3}$ ..... 1 točka
Poenostavitev $27^{\frac{2}{3}}=9$ ..... 1 točka
Poenostavitev $0,04^{-\frac{1}{2}}=5$ ..... 1 točka
Poenostavitev $16^{\frac{3}{4}}=8$ ..... 1 točka
Ugotovitev $\left(0,25^{-\frac{1}{2}}-8^{-\frac{2}{3}}\right)^{0}=1$ ..... 1 točka
Rezultat 19 ..... 1 točka
## 22. tekmovanje v znanju
matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šolOdbirno tekmovanje, 17. marec 2022
Rešitve nalog za Naloge za 3. letnik
1.
a) Načrtamo poltrak z izhodiščem v točki $A$. S šestilom odmerimo dolžino stranice $a$ in dobimo oglišče $B$. Na navpičnico $\mathrm{s}$ šestilom odmerimo dolžino $v_{a}=4 \mathrm{~cm}$ in narišemo vzporednico $\mathrm{k}$ stranici $a$. S šestilom iz oglišča $A$ in iz oglišča $B$ načrtamo dolžino stranice $b$. Kjer loka sekata vzporednico k stranici $a$, dobimo oglišči $C$ in $D$. Pri tem upoštevamo, da je kot $\angle B A D$ ostri.
b) Če narišemo višino na stranico $A B$ iz oglišča $D$ do stranice $A B$, dobimo pravokotni trikotnik $A E D$. Ker hipotenuza tega trikotnika meri $4 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$, ena kateta pa $4 \mathrm{~cm}$, lahko izračunamo velikost kota $\angle B A D$ s pomočjo kotne funkcije $\sin \angle B A D=\frac{4}{4 \sqrt{2}}$. Iskani kot $\angle B A D$ tako meri $45^{\circ}$. V trikotniku $A E D$ izračunamo še dolžino preostale katete, ki prav tako meri $4 \mathrm{~cm}$. Posledično kot $\angle A D E$ meri $45^{\circ}$. Trikotnik $B E D$ je skladen s trikotnikom $A E D$ zato kot $\angle E D B$ meri $45^{\circ}$. Če velikosti teh dveh kotov seštejemo, dobimo velikost iskanega kota $\angle A D B$, ki meri $90^{\circ}$.
a) Načrtana stranica $A B$
1 točka
Načrtana višina $v_{a}$ in vzporednica $\mathrm{k}$ stranici $A B$ 1 točka
Načrtana natančna vrednost stranice $B C$ in $A D$ (npr. s pomočjo Pitagorovega izreka) ....1 točka
Načrtan paralelogram $A B C D$
1 točka
2.
a) Kvadratno funkcijo $f(x)=-2(x-2)^{2}+8$ zapišemo v splošni obliki $f(x)=-2 x^{2}+8 x$ in $\mathrm{z}$ rešitvijo enačbe $f(x)=-2 x^{2}+8 x$ izračunamo ničli $x_{1}=0$ in $x_{2}=4$. Zapišemo začetno vrednost $N(0,0)$ in izračunamo ali iz temenske oblike izpišemo koordinati temena $T(2,8)$. Narišemo graf kvadratne funkcije.
b) Kar oglišči $A$ in $B$ ležita v ničlah kvadratne funkcije, ugotovimo da je $|A B|=4$, torej je stranica $a$ dolga 4 enote. Iz naloge razberemo, da je stranica $c$ dolga 2 enoti. Za izračun ploščine potrebujemo poleg dolžin stranic $a$ in $c$ tudi višino trapeza $v$. Višino trapeza nam določata ordinati točk $C$ in $D$, ki ležita na paraboli. Ker je lik enakokraki trapez, sta abscisi točk $C$ in $D$ enako oddaljeni od premice $x=2$ in sicer je abscisa točke $C 3$, abscisa točke $D$ pa 1 . Ordinata obeh točk, ki določa tudi višino trapeza je 6 . Z uporabo obrazca $S=\frac{a+c}{2} \cdot v$ izračunamo
ploščino trapeza $S=\frac{4+2}{2} \cdot 6=18$.
a) Zapis funkcije $v$ splošni obliki $f(x)=-2 x^{2}+8 x$ .1 točka
Izračun ničel $x_{1}=0$ in $x_{2}=4$
1 točka
Zapis ali upoštevanje začetne vrednosti $f(0)=0$. . . . 1 točka
Zapis ali upoštevanje temena $T(2,8)$ 1 točka
Narisan graf kvadratne funkcije 1 točka
b) Zapis ali uporaba $a=4$
1 točka
Zapis ali uporaba abscise točke $C x_{C}=1$ ali abscise točke $D x_{D}=3$ 1 točka
Izračun ordinate točke $C y_{C}=6$ ali ordinate točke $D y_{D}=6$ .1 točka
Izračun ploščine $S=\frac{4+2}{2} \cdot 6=18$ $1+1$ točka
## 22. tekmovanje v znanju
matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šolOdbirno tekmovanje, 17. marec 2022
Rešitve nalog za Naloge za 4. letnik
1. Izračunamo število vseh izidov $n=6^{3}=216$.
a) Izračunamo število ugodnih izidov $m=3$, izračunamo verjetnost $P(A)=\frac{1}{72}$.
b) Izračunamo število ugodnih izidov $m=6 \cdot 5 \cdot 4=120$, izračunamo verjetnosti $P(A)=\frac{5}{9}$.
c) Izračunamo število ugodnih izidov $m=6$, izračunamo verjetnost $P(A)=\frac{1}{36}$.
d) Izračunamo število ugodnih izidov $m=16$, izračunamo verjetnost $P(A)=\frac{2}{27}$.
e) Izračunamo število ugodnih izidih $m=10$, izračunamo verjetnost $P(A)=\frac{5}{108}$.
Izračun števila vseh izidov $n=6^{3}=216 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
b) Izračun števila ugodnih izidov $m=6 \cdot 5 \cdot 4=120$ in izračun verjetnosti $P(A)=\frac{5}{9} \ldots 1$ točka
Izračun verjetnosti $P(A)=\frac{1}{36} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka
e) Izračun števila ugodnih izidov $m=10 \ldots \ldots . \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1$ točka
2. Enačbo kvadriramo in dobimo npr.: $6 x^{4}-9 x^{3}+18 x^{2}-9 x+3=4 x^{4}+4 x^{2}+1$. Enačbo uredimo npr.: $2 x^{4}-9 x^{3}+14 x^{2}-9 x+2=0$ in rešitve poiščemo s Hornerjevim algoritmom. Rešitve enačbe so: $x_{1}=1^{(2)}, x_{2}=2$ in $x_{3}=\frac{1}{2}$. Zapišemo padajoče zaporedje $2,1, \frac{1}{2} \ldots$. Izračunamo količnik $q=\frac{1}{2}$. Izračunamo vsoto prvih desetih členov geometrijskega zaporedja npr.: $S_{10}=$ $\frac{a_{1} \cdot\left(q^{10}-1\right)}{q-1}=\frac{\left.2 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{10}-1\right)}{\frac{1}{2}-1}=\frac{1023}{256}$.
Pravilna uporaba Hornerjevega algoritma .................................................. 1 1* točka
Zapis rešitve $x_{2}=2$............................................................................................................
Izračun ali upoštevanje, da je količnik $q=\frac{1}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Uporaba obrazca za vsoto geometrijskega zaporedja.........................................................
Izračun vsote geometrijskega zaporedja $S_{10}=\frac{1023}{256} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1$ točka