# Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
## 23. tekmovanje v znanju
matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 16. marec 2023
Naloge za 1. letnik
Čas reševanja: 45 minut.
B1. V koordinatni sistem nariši množico točk $(x, y)$, ki ustrezajo pogoju $(|x| \leq 2) \wedge(-2 \leq y \leq$ 4) $\wedge(y \leq x)$. Izračunaj ploščino in obseg lika, ki nastane.
B2. Poenostavi izraz v množici realnih števil: $\left(\frac{1}{x^{4}-27 x}-\frac{1}{x^{4}-3 x^{3}}\right): \frac{x^{n+2}-9 x^{n}}{x^{n+5}+3 x^{n+4}+9 x^{n+3}} ; x \neq 0,3,-3$.
## 23. tekmovanje v znanju
matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 16. marec 2023
Naloge za 2. letnik
Čas reševanja: 45 minut.
B1. Dani sta dve nepovezani nalogi.
a) Skrči izraz, kolikor je mogoče $\left(\frac{b}{a}\right)^{2 m+2} \cdot\left(\frac{b}{a}\right)^{1-m}-5 \cdot\left(\frac{b^{2} c}{a^{3}}\right)^{m+3}:\left(\frac{b c}{a^{2}}\right)^{m+3}$.
b) Izračunaj vrednost izraza $(3-\sqrt{5}) \cdot \sqrt{\frac{3 \sqrt{5}+7}{2}}-5 \cdot \sqrt{\frac{3}{125}} \cdot \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{5}}{3 \sqrt{3}}}-\sqrt{27^{\frac{2}{3}}-0,25^{-\frac{3}{2}}}$.
B2. Dana sta pravilna večkotnika, ki imata skupaj 15 stranic in 34 diagonal. Določi število stranic in vsoto velikosti notranjih kotov vsakega izmed danih večkotnikov.
## 23. tekmovanje v znanju
matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 16. marec 2023
Naloge za 3. letnik
Čas reševanja: 45 minut.
B1. Stožec z dolžino stranice $13 \mathrm{~cm}$ ima površino $90 \pi \mathrm{cm}^{2}$. Njegova prostornina je enaka $\frac{3}{40}$ prostornine krogle in enaka $\frac{1}{12}$ prostornine valja $\mathrm{z}$ višino $3 \mathrm{~cm}$. V kolikšnem razmerju so polmeri stožca, krogle in valja?
B2. Dana je funkcija $f(x)=\log _{2}(2+\sqrt{x+4})$.
- V kateri točki graf funkcije $f$ seka abscisno os?
- V kateri točki graf funkcije $f$ seka ordinatno os?
- Določi presečišče grafa funkcije $f$ in premice z enačbo $y=3$.
- Funkciji $f$ določi inverzno funkcijo.
Odgovore utemeljite.
## 23. tekmovanje v znanju
matematike za dijake srednjih
tehniških in strokovnih šol
Odbirno tekmovanje, 16. marec 2023
Naloge za 4. letnik
Čas reševanja: 45 minut.
B1. Izračunaj koordinate presečišč grafov funkcije $f(x)=x^{4}-2 x^{3}-7 x+2$ in funkcije $g(x)=$ $3 x^{3}-8 x^{2}-1$. Zapiši smerni koeficient premice skozi ti dve presečišči. Izračunaj tangens manjšega od kotov med to premico in premico $\mathrm{z}$ enačbo $3 x+2 y-11=0$.
B2. Dani sta dve nepovezani nalogi.
(a) Reši enačbo $5 V_{n+1}^{3}=8 C_{n+2}^{4}$; pri čemer je $V_{n}^{r}$ oznaka za variacije brez ponavljanja reda $r$ v množici z $n$ elamenti in $C_{n}^{r}$ oznaka za kombinacije brez ponavljanja reda $r$ v množici z $n$ elementi.
(b) Izračunaj, za katere vrednosti $x$ števila $\log _{2}(x-1), \log _{2}(x+3), \log _{2}\left(x^{2}-9\right) \mathrm{v}$ tem vrstnem redu tvorijo aritmetično zaporedje.
## 23. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
16. marec 2006
## Naloge za 1. letnik (rešitve)
1. V koordinatni sistem narišemo množico točk, ki ustreza pogoju $(|x| \leq 2) \wedge(-2 \leq y \leq 4)$ $\wedge(y \leq x)$. Dobljena množica točk oblikuje pravokotni trikotnik s katetama $k_{1}=k_{2}=4$. Izračunamo ploščino trikotnika $S=\frac{k_{1} \cdot k_{2}}{2}=8$. S Pitagorovim izrekom izračunamo dolžino hipotenuze nastalega trikotnika $h=\sqrt{32}=4 \sqrt{2}$ in njegov obseg $o=8+4 \sqrt{2}$.
Narisana množica točk $|x| \leq 2$ ..... 1 točka
Narisana množica točk $-2 \leq y \leq 4$ ..... 1 točka
Narisana množica točk $y \leq x$ ..... 1 točka
Označen presek množic ..... 1 točka
Zapis ali uporaba dolžin obeh katet $k_{1}=k_{2}=4$ ..... 1 točka
Zapis ali uporaba obrazca za izračun ploščine pravokotnega trikotnika $S=\frac{k_{1} \cdot k_{2}}{2}$ ..... 1 točka
Izračun ploščine trikotnika $S=8$ ..... 1 točka
Zapis ali uporaba Pitagorovega izreka $h^{2}=k_{1}{ }^{2}+k_{2}{ }^{2}$ ..... 1 točka
Izračun dolžine hipotenuze $h=\sqrt{32}=4 \sqrt{2}$ ..... 1 točka
Izračun obsega $o=8+4 \sqrt{2}$ ..... 1 točka
2. Najprej razstavimo prvi imenovalec $x^{4}-27 x=x\left(x^{3}-27\right)=x(x-3)\left(x^{2}+3 x+9\right)$ in drugi imenovalec $x^{4}-3 x^{3}=x^{3}(x-3)$ ter razširimo oba ulomka na najmanjši skupni imenovalec in dobimo $\frac{-3 x-9}{x^{3}(x-3)\left(x^{2}+3 x+9\right)}$. Za tem razstavimo števec tretjega ulomka $x^{n+2}-9 x^{n}=x^{n}\left(x^{2}-9\right)=$ $x^{n}(x-3)(x+3)$ in imenovalec tretjega ulomka $x^{n+5}+3 x^{n+4}+9 x^{n+3}=x^{n+3}\left(x^{2}+3 x+9\right)$. Ko ulomke okrajšamo kolikor je mogoče dobimo rezultat $-\frac{3}{(x-3)^{2}}$.
Razcep prvega imenovalca $x^{4}-27 x=x\left(x^{3}-27\right)=x(x-3)\left(x^{2}+3 x+9\right)$ ..... $1+1$ točka
Razcep drugega imenovalca $x^{4}-3 x^{3}=x^{3}(x-3)$ ..... 1 točka
Zapis izrazov v oklepaju na skupi imenovalec $\frac{-3 x-9}{x^{3}(x-3)\left(x^{2}+3 x+9\right)}$ ..... 1 točka
Razcep tretjega števca $x^{n+2}-9 x^{n}=x^{n}\left(x^{2}-9\right)=x^{n}(x-3)(x+3)$ ..... $1+1$ točka
Razcep tretjega imenovalca $x^{n+5}+3 x^{n+4}+9 x^{n+3}=x^{n+3}\left(x^{2}+3 x+9\right)$ ..... 1 točka
Krajšanje ulomkov ..... $1^{*}$ točka
Rezultat $-\frac{3}{(x-3)^{2}}$ ..... $1+1$ točka
## 23. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
16. marec 2006
Naloge za 2. letnik (rešitve)
1. a) V prvem členu upoštevamo pravilo za množenje potenc $\mathrm{z}$ isto osnovo in dobimo $\left(\frac{b}{a}\right)^{2 m+2}$. $\left(\frac{b}{a}\right)^{1-m}=\left(\frac{b}{a}\right)^{m+3}$. V drugem členu pišemo obe potenci pod skupni eksponent, delimo in krajšamo ulomka ter dobimo $5 \cdot\left(\frac{b^{2} c}{a^{3}}\right)^{m+3}:\left(\frac{b c}{a^{2}}\right)^{m+3}=5 \cdot\left(\frac{b}{a}\right)^{m+3}$. Člena odštejemo in dobimo $-4 \cdot\left(\frac{b}{a}\right)^{m+3}$.
V prvem členu faktor pred korenom zapišemo pod skupni korenski znak, kvadriramo, zmnožimo, krajšamo, korenimo in dobimo $(3-\sqrt{5}) \cdot \sqrt{\frac{3 \sqrt{5}+7}{2}}=\sqrt{\frac{(3-\sqrt{5})^{2}(3 \sqrt{5}+7)}{2}}=\sqrt{\frac{(9-6 \sqrt{5}+5) \cdot(3 \sqrt{5+7})}{2}}=$ $\sqrt{\frac{2(7-3 \sqrt{5})(3 \sqrt{5}+7)}{2}}=\sqrt{49-45}=2$ Drugi člen delno korenimo, nato zapišemo pod skupni korenski znak, rešimo po pravilih in dobimo $5 \cdot \sqrt{\frac{3}{125}} \cdot \sqrt[3]{\frac{5 \cdot \sqrt{5}}{3 \cdot \sqrt{3}}}=\frac{5}{5} \cdot \sqrt{\frac{3}{5}} \cdot \sqrt[3]{\frac{5 \cdot \sqrt{5}}{3 \cdot \sqrt{3}}}=\sqrt[6]{\frac{3^{3} \cdot 5^{2} \cdot 5}{5^{3} \cdot 3^{2} \cdot 3}}=1$. $\mathrm{V}$ tretjem členu osnove potenc $\mathrm{v}$ korenjencu zapišemo $\mathrm{v}$ obliki potenc, izračunamo korenjenec, korenimo in dobimo $\sqrt{27^{\frac{2}{3}}-0,25^{-\frac{3}{2}}}=\sqrt{3^{3 \frac{2}{3}}-2^{-2\left(-\frac{3}{2}\right)}}=\sqrt{9-8}=1$ Zapišemo rezultat 0 .
Upoštevanje pravila za množenje potenc z isto osnovo ...........................................................................
Zapis potenc pod skupni eksponent..............................................................................
Izračun prvega člena $(3-\sqrt{5}) \cdot \sqrt{\frac{3 \sqrt{5}+7}{2}}=\sqrt{\frac{(3-\sqrt{5})^{2}(3 \sqrt{5}+7)}{2}}=\sqrt{\frac{2(7-3 \sqrt{5})(3 \sqrt{5}+7)}{2}}=\sqrt{49-45}=2$ $1+1$ točka
Izračun drugega člena $5 \cdot \sqrt{\frac{3}{125}} \cdot \sqrt[3]{\frac{5 \cdot \sqrt{5}}{3 \cdot \sqrt{3}}}=\frac{5}{5} \cdot \sqrt{\frac{3}{5}} \cdot \sqrt[3]{\frac{5 \cdot \sqrt{5}}{3 \cdot \sqrt{3}}}=\sqrt[6]{\frac{3^{3} \cdot 5^{2} \cdot 5}{5^{3} \cdot 3^{2} \cdot 3}}=1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1$ točka Izračun tretjega člena $\sqrt{27^{\frac{2}{3}}-0,25^{-\frac{3}{2}}}=\sqrt{3^{3 \frac{2}{3}}-2^{-2\left(-\frac{3}{2}\right)}}=\sqrt{9-8}=1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1$ točka
2. Upoštevamo skupno število stranic in zapišemo prvo enačbo $m+n=15$. Upoštevamo formulo za število diagonal in zapišemo drugo enačbo $\frac{n(n-3)}{2}+\frac{m(m-3)}{2}=34$. Rešimo sistem npr. na zamenjalni način in dobimo enačbo $m^{2}-15 m+56=0$. Rešimo enačbo npr. z razcepom $(m-7)(m-8)=0$. Rešitve so $m_{1}=8$ in $m_{2}=7 \mathrm{oz} . n_{1}=7$ in $n_{2}=8$. Ugotovimo, da gre za 8 -kotnik in 7-kotnik. Izračunamo vsoto notranjih kotov 8 -kotnika $(8-2) 180^{\circ}=1080^{\circ}$ in vsoto notranjih kotov 7 -kotnika $(7-2) 180^{\circ}=900^{\circ}$.
Zapis druge enačbe $\frac{n(n-3)}{2}+\frac{m(m-3)}{2}=34 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Reševanje sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ugotovitev, da gre za 8 -kotnik in 7 -kotnik .........................................................................................
Izračun vsote notranjih kotov 7 -kotnika $(7-2) 180^{\circ}=900^{\circ} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka Če kandidat s poskušanjem ugane, da gre za 7-kotnik in 8-kotnik in pravilno izračuna obe vsoti notranjih kotov, dobi zadnje 3 točke.
}
## 23. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
16. marec 2006
## Naloge za 3. letnik (rešitve)
1. Podatke za stožec vstavimo v formulo za površino stožca $90 \pi=\pi r^{2}+13 \pi r$, delimo enačbo s $\pi$ ter dobljeno enačbo $90=r^{2}+13 r$ preoblikujemo $r^{2}+13 r-90=0$, tako da dobimo iz $(r+18)(r-5)=0$ rešitev za polmer stožca $r_{s}=5 \mathrm{~cm}$. Iz $v^{2}=s^{2}-r^{2}$ izračunamo višino stožca $v=12 \mathrm{~cm}$. Vstavimo dobljena podatka in izračunamo prostornino stožca $V_{s}=\frac{\pi r^{2} v}{3}=$ $100 \pi \mathrm{cm}^{3}$. Nato izračunamo prostornino krogle $V_{k}=\frac{40 V_{s}}{3}=\frac{400}{3} \pi \mathrm{cm}^{3}$ ter izračunamo polmer krogle $r_{k}=10 \mathrm{~cm}$. Zatem izračunamo še prostornino valja $V_{v}=12 V_{s}=1200 \mathrm{~cm}^{3}$ in izračunamo še polmer valja $r_{v}=20 \mathrm{~cm}$. Nazadnje zapišemo razmerja polmerov $r_{s}: r_{k}: r_{v}=5: 10: 20=$ $1: 2: 4$.
Vstavitev danih podatkov $\mathrm{v}$ formulo za površino stožca $90 \pi=\pi r^{2}+13 \pi r \ldots \ldots \ldots .1$ točka
Rešitev kvadratne enačbe $(r+18)(r-5)=0$ in zapis polmera stožca $r_{s}=5 \mathrm{~cm} \ldots \ldots .1$ točka
Izračun prostornine stožca $V_{s}=\frac{\pi r^{2} v}{3}=100 \pi \mathrm{cm}^{3} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Zapis razmerja polmerov $r_{s}: r_{k}: r_{v}=5: 10: 20=1: 2: 4 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . .1$ točka
2. Presečišče krivulje $z$ abscisno osjo določimo tako, da izračunamo ničlo funkcije, oziroma rešimo enačbo $\log _{2}(2+\sqrt{x+4})=0$. Ko enačbo preoblikujemo $\mathrm{v} \sqrt{x+4}=-1$, ugotovimo, da nima rešitve. Graf funkcije $f$ nima presečišča z abscisno osjo.
Presečišče grafa funkcije $z$ ordinatno osjo izračunamo tako, da določimo začetno vrednost funkcije, izračunamo torej vrednost funkcije $f$ pri $x=0$. Dobimo $f(0)=\log _{2}(2+\sqrt{0+4})=2$. Presečišče grafa funkcije z ordinatno osjo je v točki $N(0,2)$.
Presečíče krivulje s premico $y=3$ dobimo, če rešimo enačbo $3=\log _{2}(2+\sqrt{x+4})$. Enačbo preoblikujemo in izračunamo $x=32$. Premica in krivulja se torej sekata v točki $P(32,3)$.
Inverzno funkcijo $\mathrm{k}$ funkciji $f(x)=\log _{2}(2+\sqrt{x+4})$ dobimo z reševanjem enačbe $x=$ $\log _{2}(2+\sqrt{y+4})$. Enačbo preuredimo v $2^{x}=2+\sqrt{y+4}$ in $2^{x}-2=\sqrt{y+4}$, kvadriramo obe strani in dobimo $\left(2^{x}-2\right)^{2}=y+4$ in nazadnje $y=2^{2 x}-4 \cdot 2^{x}$. Inverzno funkcijo zapišemo $f^{-1}(x)=4^{x}-2^{x+2}$.
Ugotovitev, da enačba nima rešitve in graf funkcije $f$ nima presečišča $\mathrm{z}$ abscisno osjo..... 1 točka
Zapis presečišča grafa ordinatno osjo $N(0,2) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Zapis enačbe $3=\log _{2}(2+\sqrt{x+4}) . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Preoblikovanje enačbe in izračun $x=32$, zapis presečǐča $P(32,3) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .1$ točka
Naloge za 3. letnik
Preureditev enačbe $\mathrm{v} 2^{x}=2+\sqrt{y+4}$ in $2^{x}-2=\sqrt{y+4}$, kvadriranje in preureditev $\left(2^{x}-2\right)^{2}=$
## 23. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
16. marec 2006
## Naloge za 4. letnik (rešitve)
1. Presečíče grafov funkcij določimo tako, da enačimo funkcijska predpisa $f(x)=g(x)$. Dobimo enačbo višje stopnje $x^{4}-2 x^{3}-7 x+2=3 x^{3}-8 x^{2}-1$. Enačbo preoblikujemo in dobimo $x^{4}-5 x^{3}+8 x^{2}-7 x+3=0$. Ugotovimo, da je $x_{1}=1$ rešitev te enačbe, naredimo Hornerjev algoritem in dobimo razcep $\left(x^{3}-4 x^{2}+4 x-3\right)(x-1)=0$. Prvi faktor je enak nič za $x_{2}=3$. Še enkrat naredimo Hornerjev algoritem in dobimo razcep $\left(x^{2}-x+1\right)(x-3)(x-1)=0$. Kvadratni faktor ima negativno diskriminanto in zato drugih realnih rešitev ni. $\mathrm{Za} x_{1}=1$ in $x_{2}=3$ izračunamo še ordinati presečišč. $y_{1}=g\left(x_{1}\right)=-6$ in $y_{2}=g\left(x_{2}\right)=8$. Iskani presečišči sta $P_{1}(1,-6)$ in $P_{2}(3,8)$. Izračunamo smerni koeficient premice skozi ti dve presečišči $k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=7$. Smerni koeficient prve premice je $k_{1}=7$. Premico $3 x+2 y-11=0$ zapišemo v eksplicitni obliki $y=-\frac{3}{2} x+\frac{11}{2}$. Smerni koeficient druge premice je torej $k_{2}=-\frac{3}{2}$. Uporabimo obrazec za tangens vmesnega kota $\tan \varphi=\left|\frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1} \cdot k_{2}}\right|=\frac{17}{19}$.
Enačenje funkcijskih predpisov ..... 1 točka
Preoblikovanje $\mathrm{v} x^{4}-5 x^{3}+8 x^{2}-7 x+3=0$ ..... 1 točka
Rešitev $x_{1}=1$ ..... 1 točka
Rešitev $x_{2}=3$ ..... 1 točka
Zapis presečišč $P_{1}(1,-6)$ in $P_{2}(3,8)$ ..... $1+1$ točka
Izračun $k_{1}=7$ ..... 1 točka
Določitev $k_{2}=-\frac{3}{2}$ ..... 1 točka
Zapis ali upoštevanje $\tan \varphi=\left|\frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1} \cdot k_{2}}\right|$ ..... 1 točka
Izračun $\tan \varphi=\frac{17}{19}$ ..... 1 točka
## 2.
a) Upoštevamo pomen variacij in kombinacij in dobimo zvezo $5(n+1) n(n-1)=\frac{8(n+2)(n+1) n(n-1)}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$. Množimo s 3 in vse prenesemo na eno stran, dobimo $15(n+1) n(n-1)-(n+2)(n+1) n(n-1)=$ 0 . Izpostavimo skupni faktor in dobimo enačbo $(n+1) n(n-1)(13-n)=0$. Rešitve $n=-1$, $n=0$ in $n=1$ ne ustrezajo. Ustrezna rešitev je $n=13$.
b) Upoštevamo definicijo aritmetičnega zaporedja in dobimo $2 \log _{2}(x+3)=\log _{2}(x-1)+$ $\log _{2}\left(x^{2}-9\right)$. Upoštevamo pravila za logaritmiranje in dobimo $\log _{2}(x+3)^{2}=\log _{2}\left((x-1)\left(x^{2}-9\right)\right)$. Antilogaritmiramo in preoblikujemo v $0=x^{3}-2 x^{2}-15 x$. Izpostavimo in razstavimo $\mathrm{v}$ $0=x(x-5)(x+3)$. Rešitvi $x=0$ in $x=-3$ ne ustrezata. Rešitev $x=5$ ustreza.
Upoštevanje definicij aritmetičnega zaporedja in zapis enačbe $2 \log _{2}(x+3)=\log _{2}(x-1)+$ $\log _{2}\left(x^{2}-9\right)$
## Naloge za 4. letnik
Reševanje enačbe ..... $1^{*}$ točka
Antilogaritmiranje in preoblikovanje enačbe do oblike $x^{3}-2 x^{2}-15 x=0$ ..... 1 točka
Rešitvi enačbe $x=0$ in $x=-3$ ne ustrezata ..... 1 točka
Ugotovitev, da je zaporedje aritmetično za $x=5$ ..... 1 točka