# Društvo matematikov, fizikov 

in astronomov Slovenije

Jadranska ulica 19

1000 Ljubljana

## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.

Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.

## 8. tekmovanje v znanju matematike za dijake poklicnih šol

Področno tekmovanje, 2. april 2008

Čas reševanja: 90 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor pol točke odšteli. Odgovore sklopa A vpišite v gornjo tabelo na nalepki, spodnjo tabelo na nalepki pa pustite prazno. V sklopu B račune in odgovore zapisujte pod posamezno nalogo. Pri vsaki nalogi lahko dobite največ 5 točk.

## Prilepite nalepko s šifro

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c7870cece3ffb80afd9eg-2.jpg?height=314&width=728&top_left_y=431&top_left_x=1189)

A1. 360000 sekund je:
(A) 5 ur
(B) 10 ur
(C) 36 ur
(D) 60 ur
(E) več kot 90 ur

A2. Vsota števk 4-mestne PIN-kode Matejine bančne kartice je 24. Prva in zadnja števka sta enaki 7. Število, ki predstavlja kodo, se z leve in desne strani prebere enako. Katera je predzadnja števka v PIN-kodi?
(A) 0
(B) 2
(C) 4
(D) 5
(E) ni mogoče določiti

A3. Številska os med 0 in 2 je razdeljena na 7 enakih delov. Katero število predstavlja točka $A$ ?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c7870cece3ffb80afd9eg-2.jpg?height=79&width=720&top_left_y=1571&top_left_x=1179)
(A) $\frac{3}{14}$
(B) $\frac{6}{14}$
(C) $\frac{3}{7}$
(D) $\frac{6}{7}$
(E) 1

A4. Katarina je sestavila osem šopkov. Koliko cvetlic je porabila, če je v vsakem šopku sedem narcis in pet tulipanov?
(A) $8 \cdot 7+5$
(B) $8 \cdot(7+5)$
(C) $8 \cdot 7 \cdot 5$
(D) $8+7+5$
(E) nič od navedenega

A5. Stopnice so narejene iz kock. Koliko jih potrebujemo, če želimo narediti 9 stopnic?
(A) 40
(B) 42
(C) 45
(D) 48
(E) 50

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c7870cece3ffb80afd9eg-2.jpg?height=189&width=197&top_left_y=2204&top_left_x=1720)

A6. Katera trditev je napačna?
(A) $\frac{-2}{-5}>0$
(B) $\frac{-2-5}{-2}<0$
(C) $\frac{(-2) \cdot(-5)}{-2}<0$
(D) $\frac{-5}{(-2) \cdot(-2)}<0$
(E) $\frac{-2}{-2-5}>0$

A7. Plavalec je preplaval reko, široko $8 \mathrm{~m}$. Plaval je naravnost, zaradi vodnega toka s hitrostjo $1 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ pa je stopil na nasprotni breg reke $6 \mathrm{~m}$ niže. Kolikšno razdaljo je preplaval?
(A) $8 \mathrm{~m}$
(B) $10 \mathrm{~m}$
(C) $11 \mathrm{~m}$
(D) $14 \mathrm{~m}$
(E) $20 \mathrm{~m}$

A8. Če želimo zamesiti testo za tri pice, potrebujemo 360 dag moke, $45 \mathrm{~g}$ svežega kvasa, $9 \mathrm{~g}$ soli in $190 \mathrm{ml}$ mlačne vode. Za največ koliko pic bi zadostovalo $0,75 \mathrm{~kg}$ kvasa?
(A) 5
(B) 25
(C) 50
(D) 100
(E) nič od tega

A9. 200-litrska cisterna za jabolčni sok ima obliko pokončnega valja in je visoka $1 \mathrm{~m}$. Koliko litrov soka je v cisterni, če je napolnjena do višine $15 \mathrm{~cm}$ ?
(A) 10
(B) 15
(C) 20
(D) 25
(E) 30

A10. Ceno nekega izdelka najprej znižajo za $50 \%$, nato znižano ceno še za dodatnih $50 \%$. Za koliko odstotkov bi morali znižati ceno izdelka na začetku, da bi bila končna cena izdelka enaka kot po drugem znižanju?
(A) za $25 \%$
(B) za $66 \%$
(C) za $75 \%$
(D) za $100 \%$
(E) odvisno od začetne cene izdelka

B1. Tri skupine izletnikov so šle na tridnevno potovanje. Spodnji graf prikazuje, kako sta potovali prvi dve skupini, podatki za tretjo skupino pa so zapisani $v$ tabeli.

A Na grafu predstavite podatke za 3. skupino.

| Skupina | Dolžina prepotovane poti: |  |  |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
|  | 1. dan | 2. dan | 3. dan |
| 1 |  |  |  |
| 2 |  |  |  |
| 3 | $250 \mathrm{~km}$ | $200 \mathrm{~km}$ | $350 \mathrm{~km}$ |

B S pomočjo grafa dopolnite tabelo za 1. in 2 . skupino.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c7870cece3ffb80afd9eg-4.jpg?height=774&width=1037&top_left_y=635&top_left_x=475)

B2. Iz $4 \mathrm{~kg}$ orehov dobimo 140 dag jedrc.

A Koliko \% mase predstavljajo jedrca?

B Za potico potrebujemo 50 dag jedrc. Koliko kg orehov moramo imeti v ta namen? Rezultat zaokrožite na dve decimalki natančno.

C Kaj se bolj splača kupiti: cele neizluščene orehe po 6 EUR (izluščimo jih zastonj) ali jedrca po 20 EUR za kg?

B3. Krava in teliček tehtata skupaj $480 \mathrm{~kg}$. Razmerje njunih mas je 17 : 3.

A Koliko tehta teliček?

B Teliček vsak naslednji dan tehta $1,5 \mathrm{~kg}$ več kot prejšnji dan. V koliko dneh bo dosegel maso $120 \mathrm{~kg}$ ?

B4. Na spodnji sliki je narisan tloris Petrine dnevne sobe. Petra bo nad celotnim krožnim lokom naredila zastekljeno verando v višini $2 \mathrm{~m}$. Najmanj koliko kvadratnih metrov stekla bo potrebovala? Rezultat zaokrožite na dve decimalki natančno.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c7870cece3ffb80afd9eg-5.jpg?height=576&width=828&top_left_y=1411&top_left_x=634)

## 8. tekmovanje v znanju matematike za dijake poklicnih šol Področno tekmovanje, 2. april 2008

## Rešitve nalog in točkovnik

## NALOGE SKLOPA A

V tabeli so zapisani pravilni odgovori izbirnih nalog. Vsak pravilen odgovor točkujemo z 2 točkama, za nepravilnega 0.5 točke odštejemo, če naloga ni reševana, 0 točk.

| A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| E | D | D | B | C | B | B | C | E | C |

A1 360000 sekund je 100 ur. Pravilen odgovor je več kot 90 ur.

A2 Vsota prve in zadnje števke je 14. Za vsoto druge in tretje števke nam ostane 10. Ker je število palindrom, sta tudi druga in tretja števka enaki, torej sta enaki 5. Predzadnja števka je 5 .

A3 En del številske premice predstavlja $\frac{2}{7}$. Točka A je slika ulomka $3 \cdot \frac{2}{7}=\frac{6}{7}$.

A4 V vsakem šopku je $7+5$ cvetlic. Katarina je porabila $8 \cdot(7+5)$ cvetlic.

A5 Za 9 stopnic potrebujemo $(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=45$ kock.

A6 Napačna trditev je izraz pod $(B)$, saj je $\frac{-2-5}{-2}=\frac{-7}{-2}>0$.

A7 Preplavana razdalja je hipotenuza pravokotnega trikotnika. Za izračun uporabimo Pitagorov izrek: $d=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10 \mathrm{~m}$.

A8 Če za eno pico porabimo $15 \mathrm{~g}$ kvasa, bo $0,75 \mathrm{~kg}$ kvasa zadostovalo za $750: 15=50$ pic.

A9 Ker je cisterna visoka $100 \mathrm{~cm}$, ustreza vsakemu cm višine $200 l: 100=2 l$ soka. Če je cisterna napolnjena do višine $15 \mathrm{~cm}$, je v njej $15 \cdot 2 l=30 l$ soka.

A10 Izdelek s ceno $a$ ima po $50 \%$ znižanju ceno $0,5 a$. Po dodatnem $50 \%$ znižanju je cena izdelka $0,5 a \cdot 0,5=0,25 a$, kar predstavlja $25 \%$ prvotne cene. Enako ceno dobimo, če izvedemo enkratno znižanje za $75 \%$.

Tekmovalec lahko pri vsaki nalogi dobi največ 5 točk. Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.

Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki

- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.

B1 Iz tabele odčitamo podatke za tretjo skupino in dopolnimo graf. Iz grafa odčitamo potrebne podatke in dopolnimo tabelo.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c7870cece3ffb80afd9eg-7.jpg?height=768&width=1031&top_left_y=1021&top_left_x=478)

| Skupina | Dolžina prepotovane poti: |  |  |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
|  | 1. dan | 2. dan | 3. dan |
| 1 | $350 \mathrm{~km}$ | $200 \mathrm{~km}$ | $150 \mathrm{~km}$ |
| 2 | $150 \mathrm{~km}$ | $150 \mathrm{~km}$ | $300 \mathrm{~km}$ |
| 3 | $250 \mathrm{~km}$ | $200 \mathrm{~km}$ | $350 \mathrm{~km}$ |

A Pravilno narisan graf za tretjo skupino. ................................................ 2 t Op.: Če je pravilno narisan graf za dva dneva, dobi tekmovalec 1 točko. Če je pravilno narisan graf za en dan, dobi tekmovalec 0 točk.

B Pravilno dopolnjena tabela z dolžinami prepotovane poti za obe skupini $\mathrm{v}$ vseh treh dneh $3 \mathbf{t}$ Op.: Pravilno zapisani dolžini poti za posamezen dan za obe skupini točkujemo z 1 točko. Če so pravilno zapisane dolžine poti za vse tri dni za eno skupino, dobi tekmovalec 2 točki. Točke po skupinah in dnevih se ne seštevajo.

B2 Jedrca predstavljajo $\frac{1,4 \mathrm{~kg}}{4 \mathrm{~kg}}=0,35=35 \%$ mase.

Za 50 dag jedrc potrebujemo $\frac{50}{0,35} \approx 142,8 \mathrm{dag}=1,43 \mathrm{~kg}$

Iz kilograma celih orehov, za katerega odštejemo 6 EUR, dobimo $0,35 \mathrm{~kg}$ jedrc. Če kupimo
enako količino orehovih jedrc, odštejemo $0,35 \cdot 20 E U R=7 E U R$. Ugodneje je kupiti cele orehe.

A Izračunan procent mase $\frac{1,4 \mathrm{~kg}}{4 \mathrm{~kg}}=0,35=35 \% \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Op.: Samo zapis odstotka ne prinese točke.

B Izračunana masa orehov $\frac{50}{0,35}=142,8 d a g=1,43 \mathrm{~kg} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \mathrm{m} \mathbf{t}$ Op.: Če rezultat ni pravilno zaokrožen, odštejemo eno točko.

C Primerjanje cen za enako količino jedrc, npr.: Iz kilograma celih orehov, za katerega odštejemo 6 EUR, dobimo $0,35 \mathrm{~kg}$ jedrc. Če kupimo enako količino orehovih jedrc, odštejemo $0,35 \cdot 20 E U R=7 E U R$. 1 t

Zapisan odgovor, npr.: Ugodneje je kupiti cele orehe. .

B3 Iz razmerja mas krave in telička izračunamo sorazmernostni faktor $\frac{480 \mathrm{~kg}}{20}=24 \mathrm{~kg}$. Masa telička je $24 \mathrm{~kg} \cdot 3=72 \mathrm{~kg}$. Če teliček vsak dan pridobi $1,5 \mathrm{~kg}$, bo maso $120 \mathrm{~kg}$ dosegel v 32 dneh, kar izračunamo iz enačbe: $72+1,5 x=120 \Leftrightarrow x=32$.
A Izračun mase telička: $\frac{480 \mathrm{~kg}}{20}=24 \mathrm{~kg}, 24 \mathrm{~kg} \cdot 3=72 \mathrm{~kg}$ ..... $1 \mathbf{t}$
Zapisan odgovor, npr.: Teliček tehta $72 \mathrm{~kg}$. ..... $1 \mathbf{t}$
B Zapis enačbe $72+1,5 x=120$ in rešena enačba $x=32$ ..... $2 \mathrm{t}$
Zapisan odgovor, npr.: Teliček bo maso $120 \mathrm{~kg}$ dosegel v 32 dneh. ..... $1 \mathrm{t}$

B4 Zastekljena veranda predstavlja $\frac{3}{4}$ plašča valja, ki je visok $2 \mathrm{~m}$ in ima za osnovno ploskev krog s polmerom $150 \mathrm{~cm}$. Ploščina zastekljene verande je: $S=\frac{3}{4} \cdot 2 \pi r \cdot v=\frac{3}{4} \cdot 2 \pi \cdot 150 \mathrm{~cm}$. $200 \mathrm{~cm}=141300 \mathrm{~cm}^{2}=14,13 \mathrm{~m}^{2}$.

Ugotovitev: Dolžina loka je $\frac{3}{4}$ obsega kroga. $1 \mathrm{t}$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c7870cece3ffb80afd9eg-8.jpg?height=60&width=1679&top_left_y=1786&top_left_x=228)

Izračunana ploščina: $S=141300 \mathrm{~cm}^{2}=14,13 \mathrm{~m}^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2$ t

Zapisan odgovor, npr.: Za zasteklitev verande bo potrebovala najmanj $14,13 \mathrm{~m}^{2}$ stekla. $1 \mathbf{t}$ Op.: Če v odgovoru ni zapisana zahtevana enota, dobi tekmovalec 0 točk.