problem:
Bepaal alle paren $(a, b)$ van positieve gehele getallen waarvoor

$$
a^{2}+b \mid a^{2} b+a \quad \text { en } \quad b^{2}-a \mid a b^{2}+b .
$$

solution:
Uit $a^{2}+b \mid a^{2} b+a$ volgt

$$
a^{2}+b \mid\left(a^{2} b+a\right)-b\left(a^{2}+b\right)=a-b^{2}
$$

Uit $b^{2}-a \mid a b^{2}+b$ volgt

$$
b^{2}-a \mid\left(a b^{2}+b\right)-a\left(b^{2}-a\right)=b+a^{2} .
$$

We zien dus dat $a^{2}+b\left|a-b^{2}\right| a^{2}+b$. Dat betekent dat $a^{2}+b$ op eventueel het teken na gelijk is aan $a-b^{2}$. We krijgen dus twee gevallen: $a^{2}+b=b^{2}-a$ en $a^{2}+b=a-b^{2}$. In het tweede geval geldt $a^{2}+b^{2}=a-b$. Maar $a^{2} \geq a$ en $b^{2} \geq b>-b$, dus dit is onmogelijk. We moeten dus wel het eerste geval hebben: $a^{2}+b=b^{2}-a$. Hieruit volgt $a^{2}-b^{2}=-a-b$, dus $(a+b)(a-b)=-(a+b)$. Aangezien $a+b$ positief is, mogen we erdoor delen en krijgen we $a-b=-1$, dus $b=a+1$. Alle paren die kunnen voldoen zijn dus van de vorm $(a, a+1)$ voor een positieve gehele $a$.
We controleren deze paren. Er geldt $a^{2}+b=a^{2}+a+1$ en $a^{2} b+a=a^{2}(a+1)+a=$ $a^{3}+a^{2}+a=a\left(a^{2}+a+1\right)$, dus aan de eerste deelbaarheidsrelatie wordt voldaan. Verder is $b^{2}-a=(a+1)^{2}-a=a^{2}+a+1$ en $a b^{2}+b=a(a+1)^{2}+(a+1)=a^{3}+2 a^{2}+2 a+1=$ $a\left(a^{2}+a+1\right)+a^{2}+a+1=(a+1)\left(a^{2}+a+1\right)$, dus aan de tweede deelbaarheidsrelatie wordt ook voldoen. De paren $(a, a+1)$ voldoen dus en zijn daarmee precies de oplossingen.

problem_match: Opgave 1.

solution_match: Oplossing.


problem: Zij $\triangle A B C$ een driehoek. Zij $M$ het midden van $B C$ en zij $D$ een punt op het inwendige van zijde $A B$. Het snijpunt van $A M$ en $C D$ noemen we $E$. Veronderstel dat $|A D|=|D E|$. Bewijs dat $|A B|=|C E|$.

solution:
Er is maar één configuratie. Zij $N$ het midden van $A C$. Dan is $M N$ een middenparallel. Wegens Z-hoeken is $\angle E A D=\angle M A B=\angle A M N$, maar ook geldt $\angle E A D=\angle D E A=\angle M E C$. Dus $\angle A M N=\angle C E M$. Als nu $S$ het snijpunt van $M N$ en $C E$ is, dan is $\triangle S E M$ dus gelijkbenig met $|S E|=|S M|$. Verder is $S M$ een middenparallel in driehoek $C D B$, dus $2|S M|=|D B|$ en is $S$ dan het midden van $C D$, zodat $|C S|=|S D|$. Als we dit alles combineren, vinden we

$$
|C E|=|C S|+|S E|=|S D|+|S E|=2|S E|+|D E|=2|S M|+|A D|=|D B|+|A D|=|A B| .
$$

problem_match: Opgave 2.

solution_match: Oplossing I.


solution:
Er is maar één configuratie. Zij $K$ een punt op $A M$ zodat $M$ het midden van lijnstuk $A K$ is. Dan snijden $A K$ en $B C$ elkaar middendoor, dus $A B K C$ is een parallellogram. Dat betekent

$$
\angle C K A=\angle K A B=\angle E A D=\angle D E A=\angle C E K
$$

dus driehoek $C K E$ is gelijkbenig met tophoek $C$. Daaruit volgt $|C E|=|C K|$. Vanwege het parallellogram is $|C K|=|A B|$, dus $|C E|=|A B|$.

solution_match: Oplossing II.


solution:
We passen Menelaos toe op de lijn door $A, E$ en $M$ in driehoek $B C D$. Er geldt dus

$$
\frac{|B M|}{|M C|} \cdot \frac{|C E|}{|E D|} \cdot \frac{|D A|}{|A B|}=1 .
$$

Omdat $M$ het midden van $B C$ is, is $\frac{|B M|}{|M C|}=1$. En gegeven is dat $|A D|=|D E|$. Dit geeft samen dat $|C E|=|A B|$.

solution_match: Oplossing III.


solution:
We bewijzen eerst dat $A$ en $B$ aan dezelfde kant van de middelloodlijn van $B C$ liggen. Stel namelijk dat $A$ en $C$ juist aan dezelfde kant liggen of $A$ op de middelloodlijn ligt. Dan geldt $|A B| \geq|A C|$ en zegt de bissectricestelling dus dat de bissectrice vanuit hoek $A$ de zijde $B C$ snijdt tussen $M$ en $C$. Dus $\angle B A M \leq \angle C A M$. Maar

$$
\begin{aligned}
\angle A E C & =180^{\circ}-\angle A E D=180^{\circ}-\angle D A E=180^{\circ}-\angle B A M \\
& \geq 180^{\circ}-\angle C A M=\angle A E C+\angle A C E>\angle A E C .
\end{aligned}
$$

Tegenspraak. Dit bewijst onze claim.

Spiegel nu $A$ in de middelloodlijn van $B C$ en noem het beeld $A^{\prime}$. Dan is $\angle M A^{\prime} C=$ $\angle M A B=\angle E A D$. Vanwege de gelijkbenigheid is $\angle E A D=\angle D E A=\angle M E C$, dus $\angle M A^{\prime} C=\angle M E C$. Omdat $A^{\prime}$ en $C$ aan dezelfde kant van de middelloodlijn van $B C$ liggen en $E$ juist aan de andere kant (want $E$ ligt op $A M$ ), betekent dat dat $M C A^{\prime} E$ een koordenvierhoek is. Daarom is

$$
\angle E A^{\prime} C=180^{\circ}-\angle E M C=\angle E M B=\angle A M B=\angle A^{\prime} M C=\angle A^{\prime} E C,
$$

waarbij we ook de spiegeling nogmaals gebruikt hebben. Dus is driehoek $A^{\prime} E C$ gelijkbenig met top $C$. Dus $|C E|=\left|C A^{\prime}\right|=|B A|$.

solution_match: Oplossing IV.


solution:
De sinusregel in driehoek $M A B$ geeft

$$
\frac{|M B|}{\sin \angle M A B}=\frac{|A B|}{\sin \angle A M B}=\frac{|A B|}{\sin \angle A M C},
$$

waarbij het laatste $=$-teken geldt omdat $\angle A M B+\angle A M C=180^{\circ}$. De sinusregel in driehoek EMC geeft

$$
\frac{|M C|}{\sin \angle M E C}=\frac{|E C|}{\sin \angle E M C} .
$$

Er geldt $|M B|=|M C|$ en $\angle A M C=\angle E M C$. Ook is $\angle M A B=\angle E A D=\angle D E A=$ $\angle M E C$. Dit alles combineren geeft

$$
\frac{|A B|}{\sin \angle A M C}=\frac{|M B|}{\sin \angle M A B}=\frac{|M C|}{\sin \angle M E C}=\frac{|E C|}{\sin \angle E M C}=\frac{|E C|}{\sin \angle A M C},
$$

dus $|A B|=|E C|$.

solution_match: Oplossing V.


problem:
Laat $a, b$ en $c$ rationale getallen zijn waarvoor $a+b c, b+a c$ en $a+b$ allemaal ongelijk aan 0 zijn en waarvoor geldt dat

$$
\frac{1}{a+b c}+\frac{1}{b+a c}=\frac{1}{a+b}
$$

Bewijs dat $\sqrt{(c-3)(c+1)}$ rationaal is.

solution:
Er geldt

$$
\frac{1}{a+b c}+\frac{1}{b+a c}=\frac{(b+a c)+(a+b c)}{(a+b c)(b+a c)}=\frac{(a+b)+(a+b) c}{a b+a^{2} c+b^{2} c+a b c^{2}}
$$

Uit de gegeven gelijkheid volgt dus

$$
(a+b)((a+b)+(a+b) c)=a b+a^{2} c+b^{2} c+a b c^{2}
$$

oftewel

$$
\begin{aligned}
(a+b)^{2} & =a b+a^{2} c+b^{2} c+a b c^{2}-(a+b)^{2} c \\
& =a b+a b c^{2}-2 a b c \\
& =a b(c-1)^{2}
\end{aligned}
$$

Dus $(c-1)^{2}=0$ of $a b$ is het kwadraat van een rationaal getal. Als $(c-1)^{2}=0$, dan is $c=1$ en staat er in de oorspronkelijke vergelijking

$$
\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}=\frac{1}{a+b}
$$

wat niet waar kan zijn. Dus $(c-1)^{2} \neq 0$, waaruit volgt dat $a b$ het kwadraat van een rationaal getal is.
Verder zien we dat

$$
\begin{aligned}
(a-b)^{2} & =(a+b)^{2}-4 a b \\
& =a b+a b c^{2}-2 a b c-4 a b \\
& =a b c^{2}-2 a b c-3 a b \\
& =a b(c-3)(c+1) .
\end{aligned}
$$

Dus $a=0$ of $b=0$ of $(c-3)(c+1)$ is het kwadraat van een rationaal getal. Als $a=0$ staat er in de oorspronkelijke vergelijking

$$
\frac{1}{b c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b}
$$

wat niet waar kan zijn. Dus $a \neq 0$ en op vergelijkbare manier zien we dat $b \neq 0$. Dus $(c-3)(c+1)$ is het kwadraat van een rationaal getal.

problem_match: Opgave 3.

solution_match: # Oplossing I.


solution:
Er geldt

$$
\frac{1}{a+b c}+\frac{1}{b+a c}=\frac{(b+a c)+(a+b c)}{(a+b c)(b+a c)}=\frac{a+b+a c+b c}{a b+a^{2} c+b^{2} c+a b c^{2}} .
$$

Uit de gegeven gelijkheid volgt dus

$$
(a+b)(a+b+a c+b c)=a b+a^{2} c+b^{2} c+a b c^{2}
$$

oftewel

$$
a^{2}+a b+a^{2} c+a b c+a b+b^{2}+a b c+b^{2} c=a b+a^{2} c+b^{2} c+a b c^{2}
$$

oftewel

$$
a^{2}+2 a b c+a b-a b c^{2}+b^{2}=0
$$

We kunnen dit zien als kwadratische vergelijking in $a$, waarvan we weten dat het een rationale oplossing heeft. De discriminant van deze vergelijking moet dus het kwadraat van een rationaal getal zijn. Deze discriminant is gelijk aan

$$
\begin{aligned}
D & =\left(2 b c+b-b c^{2}\right)^{2}-4 b^{2} \\
& =\left(2 b c+b-b c^{2}-2 b\right)\left(2 b c+b-b c^{2}+2 b\right) \\
& =b^{2}\left(2 c-1-c^{2}\right)\left(2 c+3-c^{2}\right) \\
& =b^{2}\left(c^{2}-2 c+1\right)\left(c^{2}-2 c-3\right) \\
& =b^{2}(c-1)^{2}(c+1)(c-3) .
\end{aligned}
$$

Net als in de vorige oplossing zien we dat $b=0$ en $c=1$ geen oplossingen geven, dus volgt hieruit dat

$$
(c-3)(c+1)=\frac{D}{b^{2}(c-1)^{2}}
$$

het kwadraat van een rationaal getal is.


problem: Zij $\triangle A B C$ een driehoek met $|A C|=2|A B|$ en zij $O$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Zij $D$ het snijpunt van de bissectrice van $\angle A$ met $B C$. Zij $E$ de loodrechte projectie van $O$ op $A D$ en zij $F \neq D$ het punt op $A D$ waarvoor $|C D|=|C F|$. Bewijs dat $\angle E B F=\angle E C F$.

solution:
Als $E=F$ zijn hoeken $E B F$ en $E C F$ beide 0 , dus aan elkaar gelijk. We nemen dus verder aan dat $E \neq F$. Zij $G$ het tweede snijpunt van $A D$ en de omgeschreven cirkel van $\triangle A B C$. Er zijn meerdere configuraties mogelijk. We bekijken de configuratie waarbij de punten op de lijn $A D$ in de volgorde $A, E, D, G, F$ liggen, waarbij eventueel mag gelden $D=E$ en $F=G$. Andere configuraties gaan analoog.
Zij $M$ het midden van $A C$. Omdat $|A B|=\frac{|A C|}{2}=|A M|$ en omdat $A D$ de bissectrice van $\angle B A M$ is, is $M$ het beeld van $B$ onder spiegeling in $A D$. Er geldt dus $\angle E B F=\angle E M F$, dus om te bewijzen dat $\angle E B F=\angle E C F$ is het voldoende om te bewijzen dat $\angle E M F=$ $\angle E C F$. Dat is equivalent met dat de punten $E, M, C$ en $F$ op een cirkel liggen, aangezien $M$ en $C$ aan dezelfde kant van $E F$ liggen.
Om dit te bewijzen laten we zien dat $\angle E F C+\angle E M C=180^{\circ}$, oftewel dat $\angle E F C=$ $\angle A M E$. Omdat $\triangle C D F$ gelijkbenig is, vinden we

$$
\angle E F C=\angle D F C=\angle F D C=180^{\circ}-\angle A D C=\angle D A C+\angle A C D=\frac{\angle A}{2}+\angle C .
$$

Verder geldt dat de middelloodlijn van een koorde door het middelpunt van de bijbehorende cirkel gaat, dus $M O$ staat loodrecht op $A C$. Dit betekent met Thales dat $E$ en $M$ beide op de cirkel met middellijn $A O$ liggen. Hieruit volgt dat $\angle A M E=\angle A O E$. Dan is $\triangle A O G$ gelijkbenig, dus hoogtelijn $O E$ is in deze driehoek ook bissectrice. We vinden dus met de middelpunt-omtrekhoeksstelling dat

$$
\angle A O E=\frac{\angle A O G}{2}=\angle A C G=\angle A C B+\angle B C G=\angle A C B+\angle B A G=\angle C+\frac{\angle A}{2} .
$$

Er geldt dus

$$
\angle A M E=\angle A O E=\angle C+\frac{\angle A}{2}=\angle E F C,
$$

precies wat we moesten bewijzen.

problem_match: Opgave 4.


solution: Zij $G \neq A$ het snijpunt van $A D$ met de omgeschreven cirkel van $\triangle A B C$. Dan geldt $|A G|=2|A E|$ omdat de projectie van het middelpunt van een cirkel op een koorde van die cirkel het midden van die koorde is. Zij $M$ het midden van $A C$. Omdat $|A B|=\frac{|A C|}{2}=|A M|$ en omdat $A D$ de bissectrice van $\angle B A M$ is, is $M$ het beeld van $B$ onder spiegeling in $A D$. Nu geldt er $\angle D G C=\angle A G C=\angle A B C=\angle A B D=$ $\angle D M A=180^{\circ}-\angle D M C$, dus $D M C G$ is een koordenvierhoek. Nu is $A M^{2}=\frac{A M \cdot A C}{2}=$ $\frac{A D \cdot A G}{2}=A D \cdot A E$, dus $\triangle A M E \sim \triangle A D M$ (zhz). Nu geldt $180^{\circ}-\angle E M C=\angle E M A=$ $\angle M D A=\angle B D A=\angle C D F=\angle D F C=\angle E F C$, dus $E M C F$ is een koordenvierhoek. Nu is $\angle E B F=\angle E M F=\angle E C F$, precies wat we moesten bewijzen.


problem: Op een $2014 \times 2014$-bord staat op elk van de $2014^{2}$ vakjes een lamp. Lampen kunnen aan of uit staan. In de beginsituatie is een aantal van de lampen aan. In een zet kies je een rij of kolom waarin minstens 1007 lampen aan staan en verander je van alle 2014 lampen in die rij of kolom de status (van aan naar uit en van uit naar aan). Vind de kleinste niet-negatieve gehele $k$ zodat geldt: vanuit elke beginsituatie kun je in een eindig aantal stappen naar een situatie waarin hoogstens $k$ lampen aan staan.

solution:
Nummer de rijen van 1 tot en met 2014 en de kolommen ook. Bekijk de volgende beginsituatie: in rij $i$ zijn de lampen in de kolommen $i, i+1, \ldots, i+1005$ aan en de rest uit, waarbij we de kolomnummers modulo 2014 rekenen. Nu zijn in elke rij en in elke kolom precies 1006 lampen aan. Er is dus geen zet mogelijk. Het is dus niet altijd mogelijk om naar een situatie met minder dan 2014 • 1006 lampen aan toe te gaan.
Nu laten we zien dat we wel altijd naar een situatie met hoogstens 2014 • 1006 lampen aan toe kunnen. Stel uit het ongerijmde dat er in een bepaalde situatie minstens 2014•1006+1 lampen aan staan en het toch niet mogelijk is om naar minder lampen aan toe te gaan. Als er een rij of kolom is met 1008 of meer lampen aan, dan kunnen we de status van de lampen in deze rij of kolom veranderen en zijn er daarna minder lampen aan, tegenspraak. Dus in elke rij en kolom staan hoogstens 1007 lampen aan.
Zij $I$ de verzameling rijen met precies 1007 lampen aan en zij $J_{1}$ de verzameling kolommen met precies 1007 lampen aan. We zijn van plan om de status van de lampen in alle rijen in $I$ om te zetten. Dit noemen we het grote plan. Als na het uitvoeren van het grote plan een kolom ontstaat met 1008 of meer lampen aan, krijgen we weer een tegenspraak, dus we nemen aan dat dat niet zo is. $\mathrm{Zij} J_{2}$ de verzameling kolommen die na het uitvoeren van het grote plan precies 1007 lampen aan zullen hebben. Als er een vakje $(i, j)$ bestaat met $i \in I$ en $j \in J_{1}$ waarvan de lamp uit staat, kan ik rij $i$ omzetten en krijg ik in kolom $j$ meer dan 1007 lampen aan, tegenspraak. Dus elke lamp op $(i, j)$ met $i \in I$ en $j \in J_{1}$ is aan. Als er een vakje $(i, j)$ bestaat met $i \in I$ en $j \in J_{2}$ waarvan de lamp na het uitvoeren van het grote plan uit staat, krijg ik op dezelfde manier een tegenspraak. Dus elke lamp op $(i, j)$ met $i \in I$ en $j \in J_{2}$ staat na het uitvoeren van het grote plan aan. Omdat de kolommen in $J_{2}$ na het uitvoeren van het grote plan elk precies 1007 lampen aan hebben, hebben ze vóór het uitvoeren van het grote plan dus $1007-|I|$ lampen aan. (De notatie $|X|$ geeft het aantal elementen in de verzameling $X$ aan.) De kolommen in $J_{1}$ hebben precies 1007 lampen aan en dit betekent ook dat $J_{1}$ en $J_{2}$ disjunct zijn (geen overlappende kolommen hebben). De overige kolommen hebben hoogstens 1006 lampen aan. Het totaal aantal lampen aan vóór het grote plan is dus hoogstens
$(1007-|I|)\left|J_{2}\right|+1007\left|J_{1}\right|+1006\left(2014-\left|J_{1}\right|-\left|J_{2}\right|\right)=1006 \cdot 2014+\left|J_{1}\right|+\left|J_{2}\right|-|I| \cdot\left|J_{2}\right|$.
Dit moet minstens $1006 \cdot 2014+1$ zijn, dus $\left|J_{1}\right|+\left|J_{2}\right|-|I| \cdot\left|J_{2}\right| \geq 1$. Hieruit volgt $\left|J_{1}\right|>(|I|-1)\left|J_{2}\right|$. Als $|I| \geq 2$, dan $\left|J_{1}\right|>\left|J_{2}\right|$. Door het uitvoeren van het grote plan wordt dan dus het aantal kolommen met 1007 lampen aan verkleind. Maar daarna hebben we weer een situatie met $|I|$ rijen met 1007 lampen aan, waarbij $J_{1}$ en $J_{2}$ precies verwisseld zijn. Dus kunnen we hier een nieuw groot plan uitvoeren waardoor het aantal kolommen
met 1007 lampen aan weer kleiner wordt. Tegenspraak, want we zijn nu weer terug in de uitgangssituatie. We concluderen dat moet gelden $|I|=1$.
We hebben dus de situatie dat er precies één rij is met precies 1007 lampen aan. Analoog kunnen we laten zien dat er ook één kolom moet zijn met precies 1007 lampen aan. Omdat er $1006 \cdot 2014+1$ lampen aan staan, moeten er in elke andere rij en kolom precies 1006 lampen aan staan. Verander nu de status van lampen in de rij met 1007 lampen aan. In 1007 kolommen staan vervolgens $1006+1=1007$ lampen aan. We hebben al gezien dat we in deze situatie het aantal lampen dat aan staat, kunnen verminderen.
We zien dat als er meer dan 1006 • 2014 lampen aan staan, het altijd mogelijk is om dit aantal te verminderen. Dus de kleinste $k$ is $1006 \cdot 2014$.

problem_match: Opgave 5.