{"year": "2000", "problem_label": "1", "tier": 1, "problem": "Gegeben sei ein hinreichend großer Vorrat von gleichseitigen Dreiecken und Quadraten, alle mit der gleichen Seitenlänge. Aus diesen Bausteinen lassen sich konvexe* Polygone bilden, indem man sie in der Ebene lückenlos und überschneidungsfrei aneinander legt. (Die Figur zeigt drei Möglichkeiten für ein Sechseck.)\n![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_05_86be4ef4a7fa44b9a212g-1.jpg?height=121&width=614&top_left_y=796&top_left_x=713)\na) Welches ist die größtmögliche Anzahl $m$ von Seitenkanten für ein so gebildetes konvexes Polygon? (Die Antwort ist zu begründen.)\nb) Man gebe für alle möglichen Anzahlen von Seitenkanten $\\leq m$ jeweils ein Beispiel an.\n*) Eine Figur heißt konvex, wenn für je zwei ihrer Punkte auch alle Punkte der Verbindungsstrecke zu der Figur gehören.", "solution": "", "problem_match": "# Aufgabe 1", "solution_match": ""}
{"year": "2000", "problem_label": "2", "tier": 1, "problem": "Wir betrachten - mit 1 beginnend - alle positiven Teiler einer natürlichen Zahl $n$ der Größ̉e nach geordnet: $1=d_{1}<d_{2}<d_{3}<\\ldots<n$.\nMan bestimme alle natürlichen Zahlen $n$ mit den Eigenschaften:\n(1) $n=d_{13}+d_{14}+d_{15}$\nund\n\n$$\n\\left(d_{5}+1\\right)^{3}=d_{15}+1\n$$", "solution": "", "problem_match": "# Aufgabe 2", "solution_match": ""}
{"year": "2000", "problem_label": "3", "tier": 1, "problem": "Die natürlichen Zahlen von 1 bis $n^{2}$ werden zufällig auf die Felder eines $n \\times n$-Quadrats verteilt ( $n \\geq 2$ ). Für jedes Paar von Zahlen innerhalb einer Reihe bzw. einer Spalte dividieren wir die größere durch die kleinere Zahl. Der kleinste dieser $n^{2}(n-1)$ Quotienten werde als Charakteristik C der zufälligen Anordnung bezeichnet.\nWelches ist der größtmögliche Wert für C ? (Die Antwort ist zu begründen.)\n\n## 2. Auswahlklausur", "solution": "", "problem_match": "# Aufgabe 3", "solution_match": ""}
{"year": "2000", "problem_label": "1", "tier": 1, "problem": "In einem $10 \\times 17$-Rechteck werden 74 Punkte markiert.\nMan beweise, dass es dabei stets zwei markierte Punkte gibt, deren Abstand 2 nicht überschreitet.", "solution": "", "problem_match": "# Aufgabe 1", "solution_match": ""}
{"year": "2000", "problem_label": "2", "tier": 1, "problem": "Zwei Sehnen $A C$ und $B D$ eines Kreises mit Mittelpunkt $M$ schneiden sich in $P$. Die Umkreise der Dreiecke PBC und PDA haben ihre Mittelpunkte in $E$ bzw. $F$ und schneiden sich ein zweites Mal in $Q$.\nMan beweise, dass $\\overline{M F}=\\overline{Q E}$ gilt.", "solution": "", "problem_match": "# Aufgabe 2", "solution_match": ""}
{"year": "2000", "problem_label": "3", "tier": 1, "problem": "Gegeben ist die Summe $S=\\frac{1}{n}+\\frac{1}{n+1}+\\ldots+\\frac{1}{n+m}$ mit $n, m \\in\\{1,2,3, \\ldots\\}$.\na) Man beweise, dass $S$ keine natürliche Zahl sein kann.\nb) Man ermittle (mit Begründung!) für $m=2 \\cdot(n-1)$ ein $k \\in \\operatorname{IN}$ so, dass $S \\in] k, k+1[$.", "solution": "", "problem_match": "# Aufgabe 3", "solution_match": ""}