{"year": "2001", "problem_label": "1", "tier": 1, "problem": "In einem Schritt kann man vom Punkt $A(i|j| k)$, mit $i, j k \\in\\{0,1,2,3\\}$, zu einem weiteren Punkt des Würfelgitters gelangen, indem man stets genau eine der Koordinaten um 1 vergrößert.\nMan ermittle die Anzahl aller kürzesten Wege, die vom Ursprung $\\mathrm{O}(0|0| 0)$ in den Punkt $\\mathrm{P}(3|3| 3)$ führen.", "solution": "", "problem_match": "# Aufgabe 1", "solution_match": ""}
{"year": "2001", "problem_label": "2", "tier": 1, "problem": "Man beweise: Für die positiven reellen Zahlen a, b, c gilt die Ungleichung\n\n$$\n\\frac{a}{\\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\\frac{b}{\\sqrt{(b+a)(b+c)}}+\\frac{c}{\\sqrt{(c+a)(c+b)}} \\leq \\frac{3}{2} .\n$$", "solution": "", "problem_match": "# Aufgabe 2", "solution_match": ""}
{"year": "2001", "problem_label": "3", "tier": 1, "problem": "Im regulären 18-Eck $\\quad \\mathrm{A}_{1} \\mathrm{~A}_{2} . \\mathrm{A}_{18}$ mit den Umkreismittelpunkt M ist P der Schnitt von $A_{1} A_{7}$ mit $M A_{2}$ und $Q$ der Schnitt von $A_{2} A_{13}$ mit $M A_{1}$. Man berechne den Winkel $\\angle \\mathrm{MPQ}$.\n\n## 2. Auswahlklausur", "solution": "", "problem_match": "# Aufgabe 3", "solution_match": ""}
{"year": "2001", "problem_label": "1", "tier": 1, "problem": "Gegeben seien positive ganze Zahlen $a, b, c$ mit der Eigenschaft $b>2 a$ und $c>2 b$.\nMan zeige, dass es dann stets eine reelle Zahl $r$ mit folgender Eigenschaft gibt:\nDie gebrochenen Teile der Zahlen $r a, r b, r c$ liegen alle im Intervall $\\left.\\rfloor \\frac{1}{3} ; \\frac{2}{3}\\right\\rfloor$.\n(Hinweis: Der gebrochene Teil einer Zahl ist die Differenz zwischen der Zahl und ihrem ganzen Teil.)", "solution": "", "problem_match": "# Aufgabe 1", "solution_match": ""}
{"year": "2001", "problem_label": "2", "tier": 1, "problem": "Wir betrachten zwei Kreise in der Ebene, welche sich in den beiden verschiedenen Punkten $X$ und $Y$ schneiden.\nMan beweise, dass es in dieser Ebene vier feste Punkte mit folgender Eigenschaft gibt: Für jeden Kreis, der im Durchschnitt der beiden gegebenen Kreise liegt und diese in den Punkten $A$ und $B$ berührt sowie die Gerade $X Y$ in den Punkten $C$ und $D$ schneidet, geht jede der Geraden $A C, A D, B C$ und $B D$ durch einen dieser vier Punkte.", "solution": "", "problem_match": "# Aufgabe 2", "solution_match": ""}
{"year": "2001", "problem_label": "3", "tier": 1, "problem": "Für jede positive ganze Zahl $n$ bezeichne $d(n)$ die Anzahl aller positiver Teiler von $n$. (Beispiele: $d(2)=2, d(6)=4, d(9)=3$.)\nMan bestimme alle positiven ganzen Zahlen $n$ mit der Eigenschaft $(d(n))^{3}=4 n$.", "solution": "", "problem_match": "# Aufgabe 3", "solution_match": ""}